понедельник, 25 июля 2016 г.

Разложение на слагаемые

Тема занятий:
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ
На прошлом уроке мы рассмотрели
Сложение

Урок 16

Разложение на слагаемые


Если известен только результат сложения и неизвестны слагаемые, тогда сумму можно разложить на слагаемые при помощи линейных угловых функций.

Разложение суммы на слагаемые. Применение линейных угловых функций. Математика для блондинок.
Разложение суммы на слагаемые

Преобразование квадрата величины в произведение двух сумм (см. пример выше), можно выполнить с применением разложения результата умножения на множители и слагаемые.

Преобразование квадрата в произведение сумм. Математика для блондинок.
Преобразование квадрата в произведение сумм

Подобные преобразования могут быть полезны при изучении различных явлений природы для лучшего их понимания. Рассмотрим пример размножения живых существ.

Бесполое размножение живых организмов можно описать при помощи разложения суммы на слагаемые. В результате деления организма А получаются два самостоятельных организма В и С.

Бесполое размножение. Математика для блондинок.
Бесполое размножение

Для одноклеточных организмов характерно разложение на слагаемые при углах, близких к 45 градусам. Для многоклеточных организмов диапазон угла разложения варьируется в более широких пределах (вегетативное размножение, почкование, фрагментация). Единицей измерения при разложении можно считать физическое тело организма.

Началом жизни (ноль) подобных организмов можно считать момент деления родительского организма. Окончанием жизни (единица) можно считать собственное деление или смерть.

Половое размножение описывается при помощи умножения, но момент возникновения полового размножения можно описать при помощи линейных угловых функций. При одновременном размножении организмов А и В мог возникнуть жизнеспособный общий поток С, имеющий наследственные признаки двух родителей.

Возникновение полового размножения. Математика для блондинок.
Возникновение полового размножения

Какими должны быть углы разложения для появления общего потомка? Скорее всего, это зависит от генетических особенностей родительских организмов. Если судить о половом размножении исходя из размеров человеческих половых клеток, то наиболее вероятными кандидатами в «изобретали» полового размножения являются большая клетка и вирус. Вирус размножается внутри клетки. Одновременно с делением клетки происходило деление вируса. В результате воздействия внешних факторов или без их участия появился качественно новый организм. Или два – самец M и самка W.

Самец и самка. Половое размножение. Математика для блондинок.
Самец и самка

В качестве основы для сложения (единицы измерения) могла выступать молекула ДНК, которая имеется и у клетки, и у вируса.

Это только один из множества вариантов возможного развития событий. От момента появления жизни на Земле до момента появления полового размножения у Природы было достаточно времени для самых разных экспериментов.

Заключение

Дальнейшее изучение свойств единиц измерения поможет лучше понимать и более точно описывать математическими методами различные явления в окружающем мире.

Отдельные идеи, изложенные в данной работе, будут рассмотрены более подробно в последующих публикациях.

Благодарность

Выражаю искреннюю благодарность своим родителям и дочери Инне за финансовую поддержку моей работы над математикой.

Сложение

Тема занятий:
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ
На прошлом уроке мы рассмотрели
Линейные угловые функции

Урок 15

Сложение


В результате сложения двух разных величин получается третья величина. При сложении изменения происходит в области чисел, область единиц измерения не изменяется. Сложение возможно только для параллельных величин с одинаковыми единицами измерения. Сложение отражает количественные изменения величин.

5а+3а=(5+3)а=8а

Для выполнения сложения двух разных величин с единицами измерения в разных масштабах (угол масштаба единиц измерения не равен нулю), необходимо изменить масштаб единиц измерения так, чтобы угол масштаба между ними равнялся нулю. При этом не имеет значения, изменяется первое слагаемое, второе или оба сразу.

Сложить два одинаковых числа с разными единицами измерения нельзя, поскольку результат не имеет смысла.

5а+5b=5(a+b)

Преобразование результата сложения отрезков в стороны прямоугольника выглядит следующим образом.

Сложение и прямоугольник. Математика для блондинок.
Сложение и прямоугольник

Слагаемые можно представить как стороны прямоугольника, тогда полупериметр прямоугольника является результатом сложения. Для любой суммы можно определить линейные угловые функции, если известны слагаемые.

На следующем уроке мы рассмотрим
Разложение на слагаемые

суббота, 23 июля 2016 г.

Линейные угловые функции

Тема занятий:
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ
На прошлом уроке мы рассмотрели
Деление

Урок 14

ЛИНЕЙНЫЕ УГЛОВЫЕ ФУНКЦИИ


Если рассматривать конечные тригонометрические функции как координаты точек единичной окружности в декартовой системе координат, тогда линейные угловые функции – это координаты точек хорды, соединяющей точки пересечения окружности с осями координат. Сумма координат любой точки этой хорды всегда равна единице.

Линейные угловые функции. Новый вид тригонометрических функций. Математика для блондинок.
Линейные угловые функции

В математике понятия, аналогичные линейным угловым функциям, используются с древних времен – это деление целого на части. В современном мире аналогом являются проценты.

Пояснение для читателей этого сайта. Для себя я называл линейные угловые функции "линос" и "лосес". Как я придумал эти названия? Взял обозначение синуса и косинуса. Визуально они довольно хорошо различаются. В каждом обозначении я заменил первую букву на латинскую букву "l" от слова "line" - линия. Получилось довольно симпатично. Но решать вам. Приживутся ли эти функции в математике и как они будут называться - время покажет. Я просто предлагаю ещё один математический инструмент для описания реальности.

На следующем уроке мы рассмотрим
Сложение

пятница, 22 июля 2016 г.

Деление

Тема занятий:
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ
На прошлом уроке мы рассмотрели
Разложение на сомножители

Урок 13

Деление


Вопреки общепринятому мнению, деление не является математическим действием. Это решение типовой задачи по нахождению одного из сомножителей, если известен другой сомножитель и результат умножения. Ещё в древнем Вавилоне дробь рассматривали как результат умножения числа на обратное другое число. Даже в современной математике не существует деления одной дроби на другую дробь, эта операция заменяется умножением делимого на дробь, обратную делителю.

Деление можно рассматривать как проекцию результата умножения вдоль одного из сомножителей. Например, длина – это проекция площади вдоль ширины, ширина – это проекция площади вдоль длины.

Наиболее интересной в этом плане является скорость, которая измеряется длинной, деленной на время. Если предположить, что длина является результатом умножения двух перпендикулярных направлений времени, тогда скорость – это проекция длины (площади времени) вдоль одного из направлений времени. Для понимания природы и сути скорости света, данный подход может быть весьма полезным.

На следующем уроке мы рассмотрим
Линейные угловые функции

Разложение на сомножители

Тема занятий:
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ
На прошлом уроке мы рассмотрели
Ноль и бесконечность

Урок 12

Разложение на сомножители


Математическим действием, противоположным умножению по смыслу, является разложение на сомножители. Выполняется оно с применением бесконечных тригонометрических функций.

Разложение на сомножители. Математика для блондинок.
Разложение на сомножители

Простейшим примером разложения на сомножители под углом в 45 градусов является извлечение квадратного корня. Поскольку оба сомножителя в этом случае одинаковы, в качестве результата разложения принято записывать только один из сомножителей.

Разложение на сомножители можно применять тогда, когда известен только результат умножения и не известен ни один из сомножителей. Единицы измерения в результате разложении на сомножители следует подбирать интуитивно таким образом, чтобы в результате их умножения получалась первоначальная единица измерения. Количество пространственных измерений в единицах измерения сомножителей при разложении может быть разным. Например, трехмерный объем можно разложить на одномерные сомножители при помощи двух операций разложения, один из вариантов выглядит так:

Разложение объема. Три сомножителя для получения объема. Математика для блондинок.
Разложение объема

В данном примере углы α и β не связаны между собой. Если объём раскладывать в куб (a=b=c), то α≈35° – это угол между диагональю куба и диагональю основания, β=45° – это угол между диагональю основания и его стороной.

На следующем уроке мы рассмотрим
Деление

Ноль и бесконечность

Тема занятий:
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ
На прошлом уроке мы рассмотрели
Различия между умножением и сложением

Урок 11

Ноль и бесконечность


Если угол равен нулю или 90°, тогда двухмерный прямоугольник исчезает и остается одномерный отрезок. Отсюда вытекает смысл бесконечности: как бы мы не изменяли стороны прямоугольника, он никогда не превратится в отрезок. Единица, деленная на ноль, не равна бесконечности. Бесконечно малая величина не равна единице, деленной на бесконечность.

Ноль и бесконечность. Математика для блондинок.
Ноль и бесконечность

Разница между элементами в этих неравенствах такая же, как разница между точкой, лежащей на прямой, и точкой, не лежащей на прямой.

Умножение и деление на ноль не относятся к математическим действиям с числами, они выполняются в области единиц измерения. Эти значения тригонометрических функций можно назвать нечисловыми.

В дополнение к материалам об умножении и делении на ноль, изложенным ранее, следует добавить следующее. В позиционной системе счисления ноль обозначает отсутствие числа определенного разряда. Отсутствие числа числом быть не может. Здесь ноль аналогичен знакам препинания в письменности, которые имеют графическую форму, но не произносятся при чтении.

В общем случае ноль следует понимать как отсутствие рассматриваемой единицы измерения. Например, нулевое значение угла означает, что угол отсутствует. Деление на ноль следует рассматривать как необходимость введения единицы измерения, перпендикулярной уже существующим, для дальнейшего решения задачи. Деление на ноль не означает автоматического перехода к умножению. Например, описать поворот отрезка в одномерном пространстве невозможно, для этого необходимо ввести дополнительное измерение и рассматривать задачу в двухмерном пространстве.

На следующем уроке мы рассмотрим
Разложение на сомножители

Различия между умножением и сложением

Тема занятий:
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ
На прошлом уроке мы рассмотрели
Примеры умножения

Урок 10

Различия между умножением и сложением


Умножение – это изменение качества, то есть изменение единиц измерения. Вопреки общепринятому мнению [1, стр. 7; 2, стр. 10], умножение нельзя представить в виде сложения. Для подмены умножения сложением используются математические свойства умножения. С единицами измерения подмена выглядит так:

Подмена умножения сложением. Математика для блондинок.
Подмена умножения сложением

Алгебраические выражения с использованием букв подчеркивают разницу между сложением и умножением:

Умножение в алгебре. Икс умножить на игрек. Математика для блондинок.
Умножение в алгебре

Если при сложении слагаемые имеют одинаковые численные значения, то к сложению можно применить математическую модель умножения с допущением, что единицы измерения при умножении не изменяются:

Замена сложения умножением. Математика для блондинок.
Замена сложения умножением

В математике отдельными свойствами единиц измерения обладают:

- системы счисления чисел – нельзя складывать числа, представленные в разных системах счисления, вопрос возможности умножения чисел в разных системах счисления автором не изучался;

- знаменатели обыкновенных дробей – нельзя сложить дроби с разными знаменателями, при умножении дробей знаменатели перемножаются;

- буквенные обозначения в алгебраических выражениях – нельзя сложить числа с разными обозначениями, при умножении получается новое обозначение результата;

- условные обозначения функций (например, тригонометрических).

На следующем уроке мы рассмотрим
Ноль и бесконечность