четверг, 19 августа 2010 г.

Площадь треугольника

Площадь треугольника относится к тому числу школьных задач, которые очень часто приходится решать и в дальнейшей жизни. Сейчас мы говорим не о площади треугольника Бермудского, которую при желании можно вычислить (кстати, она составляет более одного миллиона квадратных километров), и не о площади треугольника любовного, которую в принципе вычислить нельзя. Мы говорим о площади того треугольника, который является геометрической фигурой. Кстати, от фигуры блондинки математики кое-что взяли для своих любимых треугольников. Но об этом в другой раз.

Сегодня мы глянем одним глазом на формулы треугольника для нахождения площади. Площадь треугольника в Википедии дана в виде целой кучи формул. Я самым бессовестным образом стырил их оттуда и сделал для вас шпаргалку по геометрии с формулами площади треугольника и портретом самого виновника торжества - треугольника. Эту шпаргалку по любимой нашей математике можно скачать бесплатно - правой кнопочкой мышки (брррр!) "сохранить рисунок как". Эта шпаргалка останется у вас в компьютере.

Треугольник, площадь треугольника, формулы треугольника. Площадь прямоугольного треугольника. Шпаргалки по математике, шпаргалки по геометрии скачать бесплатно. Площадь треугольника фото, треугольник картинка. Математика для блондинок. Николай Хижняк.
Начнем с картинки треугольника. В разных учебниках могут быть разные обозначения вершин, сторон и углов треугольника. Поэтому, прежде чем тупо применять формулы со шпаргалки для решения своих задач, сравните все обозначения сторон, углов и вершин треугольников. Вполне возможно, что некоторые буковки в формулах вам придется поменять, что бы на шпаргалке и в вашем учебнике были одинаковые обозначения.

Теперь о самих формулах. Под цифрой 1 (один) стоит самая распространенная формула для нахождения площади треугольника через длину стороны треугольника и высоту треугольника, опущенную на эту сторону. Равняется площадь треугольника половине произведения стороны треугольника на высоту.

Вторая формула позволяет находить площадь треугольника по длине двух сторон и углу между ними. В формуле присутствует синус угла гамма, значение которого нужно искать по тригонометрической таблице или вычислять на калькуляторе.

Третья формула позволяет найти площадь треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности. Знаками равенства в этой формуле разделены разные варианты этой формулы, в которых применяется полупериметр треугольника, радиус вневписанной окружности, касающейся одной из сторон. С этими штучками мы как-нибудь попытаемся разобраться. А пока внизу нашей шпаргалки можно найти обозначения того, кто есть кто в нашем треугольном зоопарке. И формулы для вычисления высоты и полупериметра треугольника.

По длинам трех сторон и радиусу описанной окружности можно найти площадь при помощи четвертой формулы.

Моя самая любимая формула - формула Герона - под номером пять. Эта формула позволяет находить площадь треугольника по трем сторонам. Чем так хороша эта формула Герона? На работе я с её помощью вычислял площадь практически любой геометрической фигуры. Например, если комната имела форму неправильного многоугольника, то достаточно было замерить длины стен и расстояния между углами комнаты (длины сторон и расстояния между вершинами многоугольника). Потом по формуле Герона высчитывалась площадь треугольников, на которые можно разбить любой многоугольник. Сумма площадей треугольников давала площадь многоугольника, то есть площадь комнаты. В шпаргалке формула Герона представлена в двух вариантах - нахождение площади треугольника через полупериметр и через длины сторон.

Дальше мы можем найти площадь треугольника по одной стороне и трем углам (формула 6), по радиусу описанной окружности и трем углам (формула 7), по координатам вершин треугольника (формула 8). В последней формуле вертикальные палочки в числителе обозначают модуль числа, ведь площадь не может быть отрицательной - это знают даже математики.

Площадь прямоугольного треугольника (формула 9) можно найти как половину произведения катетов или через радиусы вписанной и описанной окружности.

В заключение нашей экскурсии по Плаццо Де Треугольник мы можем найти площадь треугольника по стороне и двум углам, используя котангенсы (формула 10) или синусы (формула 11) этих углов.

Найти решение:

Найти картинки на тему площадь треугольника - здесь неплохая картинка - аж 11 формул для вычисления площади треугольника.

Формула площади треугольника через синус альфа - с применением sin угла можно найти площадь по формулам 2, 6, 7 и 11.

24 комментария:

  1. Подскажите, пожалуйста. Как найти высоту прямоугольного треугольника. Мне бы формулу...)))

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Этот комментарий был удален автором.

      Удалить
    2. Высота равна:
      удвоенная площадь, деленная на основание;
      гипотенуза, умноженная на синус противолежащего угла;
      гипотенуза, умноженная на косинус прилежащего угла;
      периметр минус гипотенуза, минус основание...
      и так далее:)

      Удалить
    3. Анонимный31 мая 2013 г., 19:00

      На самом деле очень интересно. Если бы мне в школе так подробно разжевывали... Но, увы - это первое. Второе - я настоящая блондинка,которая защитила диплом на менеджера-экономиста. Но, думаю многим из нас не нужно рассчитывать на работе площадь треугольника. Посчитать сдачу в магазине или проценты по кредиту - вот и всё(а имеющим автомобиль цены на бензин). Я - Эксперт по работе с кредиторской задолженностью - настоящая блондинка.У меня 2 вопроса к Николаю - чем, собственно алгебра, может помочь в решении экономических проблем в стране?(Конкретно) И зачем кузнецу - бухгалтер?

      Удалить
    4. Анонимный31 мая 2013 г., 19:05

      У меня нет претензий к Николаю, добрый человек , пожалел нас блондинок...

      Удалить
    5. Ответ на первый вопрос. Алгебра не способна помочь в решении экономических проблем в отдельно взятой стране. Это всё равно, что заткнуть воздухом одну дырку в решете. В экономике все проблемы психологические. И все эти проблемы объясняются очень просто - жадность. Казнокрадство, взяточничество, злоупотребление служебным положение и так далее - это уголовно наказуемо. А то, что уголовно не наказывается? Как блондинка блондинку спрошу: почему людей, не возвращающих кредиты, можно посадить в тюрьму, а банкира, раздающего эти кредиты направо и налево в надежде побольше заработать - нельзя? Жадность одного наказывается, жадность другого не наказывается. Тут же возникает вопрос - где математическое равенство? Не надо раздавать кредиты кому попало и тогда не будет проблем с их возвращением.

      В мировой экономике математическая проблема только одна - полное отсутствие отрицательных денег. Если обычные деньги кончились, то они не способны появиться из пустоты. Это только у математиков после нуля на числовой прямой, из ниоткуда, появляются отрицательные числа. Когда мировую экономику дружными усилиями загоняют в область отрицательных чисел, наступает мировой экономический кризис. После ливня глупо искать каплю, виноватую в наводнении. К наводнению приводит сам дождь или падение всех капель, вместе взятых.

      Ответ на второй вопрос. Зачем кузнецу бухгалтер? Для размножения))) При чем здесь алгебра или площадь треугольника? Чем-то же должно разумное существо отличаться от диких животных. Пожрать, по размножаться, поспать... Снова пожрать, снова... Умение считать деньги и знание процента отката тупым бюрократическим функциям - разве это способно принципиально выделить нас на общем фоне животных?

      Удалить
  2. диагонать треугольника не существует)

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Ах, ну да. У треугольника это называется гипотенуза:)

      Удалить
  3. Добрый день. Подскажите, как вывести формулу по двум углам и стороне(формулу с котангенсами)? Заранее благодарю.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Вопрос, конечно, интересный. Давно над этим ломаю голову. Попробую сегодня заняться этим вплотную.

      Удалить
  4. напишите плз как вывести формулу S = A*A/(2*(ctg(α)+ctg(β)))

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Не так страшен котангенс, как его малюют:) Картинки уже рисую, сегодня к вечеру будет готово.

      Удалить
    2. Ссылка на вывод формулы в комментарии выше. Нужно только букву "с" на букву "А" поменять.

      Удалить
  5. Здравствуйте) Подскажите, как вывести формулу S=2R^2 sinasinbsiny, зная "R", "а" и "b".

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Решения я не знаю, но сделал бы так. Формула 2 имеет три варианта для трех углов. Смысл её в том, что площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на угол между ними. Приравниваем эти формулы к формуле 4. Ведь площади треугольника, высчитанные по разным формулам, равны. В результате получаем значения сторон, выраженные через радиус и синус угла:

      a=2Rsina
      b=2Rsinb
      c=2Rsiny

      Эти значения подставляем в формулу 4, сокращаем и получаем нужную нам формулу 7.

      Является это решение правильным или нет - понятия не имею. Приговор могут вынести только проповедники математики:)

      Удалить
  6. спасибо большое за формулы:)

    ОтветитьУдалить
  7. Анонимный15 мая 2013 г., 18:15

    как найти площадь тупоугольного треугольника?угол тупой 90-180 град

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. В математике тупые углы от углов сообразительных почти ничем не отличаются. Только сообразительностью:) Не существует математической формулы, специально выведенной для поиска площади тупоугольного треугольника. Можно брать любую формулу из изображенных на рисунке. Какую конкретную формулу брать? Всё зависит от тех данных, которые известны. Если в формуле используется всё то, что нам известно, тогда берем её и считаем. Если в формуле есть то, чего нам не дано, тогда ищем другую формулу. Это как поиск жениха: если всё устраивает - быстренько выскакиваем замуж, если что-то не устраивает - ищем другого.

      Удалить
  8. Анонимный9 июля 2013 г., 20:49

    подскажите как найти площадь треугольника если а= 9
    б= корень из 109
    с = корень из 10

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Если даны длины трех сторон треугольника, то обычно площадь находят по формуле Герона. Только вот со сложением корней возникают проблемы. Нужно взять калькулятор и извлечь корни из чисел. Тогда получится (с округлением до двух знаков после запятой):

      а=9; б=10,44; с=3,16

      Площадь получается равной 13,49.

      Возможно, есть и другой способ решения, без преобразования корней в числа.

      Удалить
  9. основание прямой треугольной призмы-прямоуг. треугольник с катетами 3см и 4см. высота призмы 10см. найдите площадь полной поверхности. помогите блондинке)))

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. На блондинку купился))) По теореме дедушки Пифагора находим гипотенузу прямоугольного треугольника, которая равна 5 сантиметров.

      После этого складываем в кучку площади всех граней прямой треугольной призмы: два треугольника (снизу и сверху) и три прямоугольника (по бокам):

      2*3*4/2+3*10+4*10+5*10 = 132 сантиметра квадратных

      Удалить