пятница, 29 апреля 2011 г.

Тригонометрические функции

Тригонометрические функции - это просто. В прошлый раз мы рассмотрели портрет тангенса, сегодня раскроем секреты практического применения этого шедевра живописи.

Любая тригонометрическая функция является результатом деления. Это нужно запомнить навсегда. Мы что-то делим на что-то и в результате получаем тригонометрическую функцию. Что на что делится в тригонометрических функциях? Здесь варианты бывают разные. Предлагаю вам не зубрить на память всё, что касается тригонометрических функций. Давайте попробуем просто применять портрет тангенса и минимальный набор необходимых знаний.

И так, тангенс - это синус на косинус. Как мы сказали чуть выше, в тангенсе синус делится на косинус. Деление в математике может быть обозначено дробной чертой или двоеточием. Преобразуем наш портрет тангенса в запись деления с двоеточием. Вот что у нас получилось.

Тригонометрические функции. Тригонометрия для блондинок. Тангенс - это синус деленный на косинус. Математика для блондинок.
Самое главное, чему нас учит этот рисунок, так это тем местам, где нужно искать синусы и косинусы. В принятой математиками системе обозначений, синусы всегда располагаются по вертикали - это вверх-вниз. Косинусы всегда располагаются по горизонтали - это влево-вправо (или в сторону). Вот как будет выглядеть полный набор из 6 тригонометрических функций в нашем варианте обозначений. Для наглядности синус и косинус изобразим разным цветом и добавим дробные черточки там, где без них не обойтись.

Тригонометрические функции. Шесть тригонометрических функций - синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс, косеканс. Математика для блондинок.
Не пугайтесь такого количества картинок. То, что изображено в верхней части, над красной чертой, мы уже почти выучили. Повторим:

синус - это вверх

косинус - это в сторону

тангенс - это синус разделить на косинус


Видите? Половину тригонометрических функций мы уже выучили. Со второй половиной, той что под красной чертой, ещё проще - переверните вверх ногами то, что вы уже выучили. Оставшиеся тригонометрические функции - это дроби, обратные уже известным нам. Меняем местами числитель и знаменатель - у нас уже всё готово.

С котангенсом всё просто. Котангенс - это отношение косинуса к синусу. С переворачиванием тангенса никаких проблем не возникает - у него есть и числитель, и знаменатель. А как быть с синусом и косинусом? У нас ведь нет знаменателей этих дробей! Не волнуйтесь, у любого числа есть знаменатель, который в математике писать не принято - это единица. В секансе и косекансе именно эта единичка оказывается в числителе, а косинус и синус пишутся в знаменателе.

Важно запомнить! В парах названий тригонометрических функций секанс - косинус и косеканс - синус может быть только одна приставка ко на два названия. Если мы берем за основу синус, то обратная дробь будет называться косеканс. Если мы берем косинус, то обратная дробь называется секанс, так как одну приставку ко мы уже израсходовали на косинус.

В принципе, этого вполне достаточно, чтобы в определениях тригонометрических функций чувствовать себя, как рыба в воде. Остается не выясненным вопрос, что у синуса и косинуса писать в знаменателе вместо единички. Ведь мы в самом начале сказали, что тригонометрические функции - это результат деления (отношение) или дробь. Не волнуйтесь, математики нам сами подскажут, что именно они хотят там видеть. Для этого существуют определения тригонометрических функций. О них мы поговорим в следующий раз.

суббота, 23 апреля 2011 г.

Астрономия для блондинок

Астрономия для блондинок - это не отдельный мой сайт, а покуда всего лишь одна картинка. Но мне она понравилась. Смотрите сами.

Астрономия для блондинок. Математика для блондинок.
Очень мне понравилось описание планеты Земля. Лично я думаю, если бы на нашей планете жили одни блондинки, инопланетяне уже давно с нами подружились бы. Информацию о том, что Плутон исключен из числа планет, в самом низу рисунка, добавил я собственноручно. Заумные ученые стырили у нас одну планету. Хотя, как математик, я их понимаю - нужно вырабатывать какие-то общие правила и выполнять их.

Наша астрономия для блондинок, я надеюсь, станет познавательным разделом этого сайта. И об инопланетянах мы будем вспоминать ещё не раз. Вселенная - это наш дом, в котором нам предстоит научиться жить. Астрономия нам поможет узнать, что в нашем доме есть интересного, математика поможет понять, почему и как всё это работает.

Картинка взята с блога Katya_Klimova, аудиалки и визуалки, ненавидящей укроп и всех тех, кто чужие вещи выдает за свои. Респект, Катя!

понедельник, 18 апреля 2011 г.

Как запомнить тригонометрические функции?

Как запомнить тригонометрические функции? Этот вопрос задают себе очень многие при изучении тригонометрических функций. На собственном опыте знаю, что дело это не простое. Через многие годы мне удалось пронести только два момента, которые относятся к тригонометрическим функциям. Первое, что хорошо врезалось в мою память, это определение тригонометрических функций вообще: тригонометрическая функция - это отношение чего-то к чему-то. При этом в памяти сразу возникает дробь, у которой я не помню что стоит в числителе и забыл, что находится в знаменателе. Из всех тригонометрических отношений я помню только тангенс: тангенс - это синус на косинус. Синус стоит на первом месте, значит он в числителе дроби. Косинус стоит на втором месте, значит он в знаменателе дроби. Синусы с косинусами я вообще по жизни всегда путал. До последнего времени...

Мне удалось найти тот недостающий элемент, которого так не хватало во времена моего обучения. Сегодня даже я могу безошибочно ткнуть пальцем в косинус и рассказать, что на что в нем делится.

Этой волшебной палочкой-выручалочкой оказался портрет тангенса. Да-да, не удивляйтесь - именно портрет, при взгляде на который безошибочно узнаешь тангенс. Этот портрет тангенса - единственная работа маслом гениального художника начала двадцать первого века, которая на аукционе Сотби в 2137 году была продана за сто миллионов долларов. Как это ни странно, но написана картина была на обратной стороне холста. Откуда я это знаю? Я математик и умею видеть будущее. Кстати, вчера я разговаривал с этим художником, он утверждает, что такую картину ещё не писал, но идея ему очень понравилась. Специально для вас я публикую здесь репродукцию этого шедевра.

Шедевр. Математика для блондинок.
Теперь у нас есть всё для создания нашей собственной тригонометрической Библии, которую нужно будет выучить наизусть. Не пугайтесь, в нашей Библии будет всего одна строчка:

тангенс - это синус на косинус

Одну-единственную картинку из этой Библии я вам уже показал. Теперь, как самый настоящий проповедник, я буду учить вас всё это правильно читать. Я думаю, самым лучшим способом обучения будет разглядывание тригонометрических комиксов. Давайте в ближайшее время этим и займемся.

пятница, 8 апреля 2011 г.

Зачем нужны синусы и косинусы?

Зачем нужны синусы и косинусы? Действительно, интересный вопрос. В комментариях к тригонометрическому кругу синусов и косинусов появился такой вопрос:

а где в жизни пригодится sin и cos?
p.s зачем они нужны синусы косинусы?


Давайте будем называть вещи своими именами. Подавляющему большинству из вас они никогда не пригодятся. Разве что, когда ваши дети пойдут в школу и начнут изучать тригонометрические функции, они вам тоже зададут вопрос "Зачем нужны синусы и косинусы?" и, в добавок, попросят объяснить, что это такое.

Деньгами мы пользуемся каждый день уже не одну тысячу лет и прекрасно обходимся без всяких синусов, косинусов и прочих изящных математических штучек. Уверяю вас, и через миллионы лет в подсчете денег ничего не изменится. Не потому, что мы такие тупые, а потому, что таковы математические свойства денег: нельзя рубли умножить на рубли и с деньгами во второй степени бежать в автосалон покупать "Ламбарджини".

На кухне, в кулинарных рецептах, вы тоже не встретите ни синусов, ни косинусов. Если взглянуть трезво на нашу повседневную жизнь, то вся наша повседневная математика остается где-то на уровне знаний Древней Греции. Нам хватает с головой.

Так зачем же нужны синусы и косинусы? По сравнению с Древней Грецией, у нас сегодня имеется очень много разных штучек, о которых древние греки даже мечтать не могли. Даже их Боги не ездили на машинах, не пользовались мобильной связью, не общались по Интернету. Зато всё это есть у нас и мы постоянно этим пользуемся. Откуда же всё это невиданное богатство взялось? Его создали мы сами. Сперва ученые делали научные открытия. Потом инженеры, на основании сделанных учеными открытий, создавали всякие полезные штуки. Мы сегодня этими штуками пользуемся, не имея ни малейшего понятия о том, что находится внутри этих штук и какие научные законы положены в основу их работы. Так вот, если бы не было синусов и косинусов, не было бы и всех этих клевых штук.

Наиболее эффективно синусы и косинусы применяются учеными и инженерами. Я не скажу, что они непрерывно только тригонометрическими функциями пользуются. Нет, они используют их редко, но метко. Синусы и косинусы часто присутствуют в формулах разных расчетов, инженерных или научных.

Часто с синусами и косинусами приходится сталкиваться геодезистам. Они имеют специальные инструменты для точного измерения углов. При помощи синусов и косинусов углы можно превратить в длины или координаты точек на земной поверхности.

Преподаватели математики по роду своих обязанностей постоянно имеют дело с тригонометрическими функциями. В этом году они рассказывали о синусах и косинусах вам, на следующий год учителя математики будут рассказывать то же самое другим ученикам. Такая у них работа - учить.

Школьники и студенты изучают тригонометрические функции на уроках математики. Лично я прошел через пытки синусами и косинусами в школе, техникуме, институте.

Взрослые иногда занимаются синусами и косинусами тогда, когда их детям-школьникам необходима помощь при подготовке домашних заданий.

Всё! Остальным синусы и косинусы не нужны вообще! В повседневной жизни большинство людей почти никогда их не используют. Если я ошибаюсь, поправьте меня.

Так зачем тогда вообще учить эти синусы и косинусы? Ну, во-первых, такова школьная программа. Во-вторых, если вам в жизни понадобится применить синус или косинус, вы уже знаете, что это такое и где нужно искать информацию о них. Полученных в школе знаний вам вполне хватит, что бы самостоятельно во всем разобраться.

Так что же такое синусы, косинусы и другие тригонометрические функции? Это математический инструмент, которым нужно уметь пользоваться. То, что мы этим инструментом почти никогда не пользуемся, говорит не о том, что изучать их не надо, а о том, что эффективность применения полученных нами знаний практически равна нулю. Но это уже совсем другая тема.

воскресенье, 3 апреля 2011 г.

Как вычислить площадь поверхности прямой треугольной призмы

Как вычислить площадь поверхности прямой треугольной призмы? Для этого лучше всего представить себе треугольную призму во всей её красе. Как выглядит треугольная призма? Посмотрите на картинку

Треугольная призма. Площадь поверхности треугольной призмы. Математика для блондинок.
Теперь следующий вопрос: у вас есть тюбик губной помады в форме треугольной призмы? Если вы хоть как-то ответили на этот вопрос (да или нет), значит теперь вы уже имеете представление о том, что такое треугольная призма и как она выглядит. Вот те два треугольничка, сверху и снизу, называются основаниями призмы. Три прямоугольника по бокам называются гранями призмы. Поскольку в основании призмы лежит треугольник, то и граней у нас ровно три. Если в основании будет пятиугольник, граней будет пять. А если в основании призмы находится 1234-угольник? Правильно, граней будет 1234 штуки. С конструкцией прямой призмы мы разобрались, после этого можно заняться математическими вычислениями площади поверхности треугольной призмы.

Поскольку призма является геометрическим телом, её строение можно исследовать на примере тела блондинки. Что входит в площадь поверхности призмы? Если вы наступите пяткой на что-то острое или стукнетесь обо-что макушкой своей блондинистой головы, вам будет больно. Это потому, что и пятки, и макушка головы входят в состав поверхности вашего тела. Точно так же верхний и нижний треугольники входят в площадь поверхности треугольной призмы. Если вас ткнуть пальцем в бок, вы скажете "Ой!" потому, что боковая поверхность принадлежит вашему телу. Вот те три прямоугольника, что находятся с боков треугольной призмы, составляют площадь её боковой поверхности.

В результате проведенных нами научных исследований тел блондинки и треугольной призмы, мы пришли к заключению, что площадь поверхности треугольной призмы состоит из площадей верхнего и нижнего оснований (они равны) и площади боковой поверхности. Площадь треугольника нужно найти по одной из формул. Напоминаю, что найденную по формуле площадь треугольника при вычислении площади поверхности призмы нужно взять два раза, то есть умножить её на два.

Площадь боковой поверхности призмы определяется как сумма площадей прямоугольных граней. Нужно длину каждой стороны треугольника (того, который в основании) умножить на высоту призмы и сложить три полученные площади вместе. Можно поступить проще: периметр треугольника (периметр треугольника - это сумма длин всех его сторон) умножить на высоту призмы. Но суммирования вам не избежать в любом случае: либо до умножения (складываем длинны сторон), либо после умножения (складываем площади прямоугольных граней). Еще одна засада, которая вас может поджидать на пути к площади поверхности треугольной призмы - это отсутствие всех длин сторон. Для нахождения площади треугольника это не смертельно. А вот для площади боковой поверхности призмы вам придется предварительно найти длины всех трех сторон треугольника, применяя полученные математические знания.

Спонсор решения задачи про площадь поверхности прямой треугольной призмы был, да сплыл.