вторник, 14 июня 2011 г.

Как найти объем прямоугольного параллелепипеда

Найдите объем прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если AC1=24см, угол C1AA1=45 градусам, AC1 составляет угол в 30 градусов с плоскостью боковой грани. Таково условие задачи. На картинке это выглядит так.

Как найти объем параллелепипеда. Условие задачи. Математика для блондинок.
Картинка немного неудачная получилась - на скорую руку делалась.

Для нахождения объема нам нужно знать длину, ширину и высоту параллелепипеда и перемножить их между собой. Используя тригонометрические функции, по углу 45 градусов можно найти высоту АА1 и длину диагонали А1С1 основания, по углу 30 градусов можно найти ширину C1D1. Дальше применяем теорему Пифагора - ведь у нас параллелепипед, у которого все углы прямые. Из треугольника А1C1D1 находим длину А1D1.

Как найти объем параллелепипеда. Ход решения задачи. Математика для блондинок.
Находим высоту параллелепипеда. Диагональ - это гипотенуза прямоугольного треугольника АА1С1, длинна которой нам известна. Угол между гипотенузой и прилежащим катетом нам так же известен - 45 градусов. Отношение прилежащего катета к гипотенузе - это косинус. Всё необходимое для нахождения высоты параллелепипеда у нас имеется:

АА1 = 24 х cos45 = 24 x 0,7071 = 16,97 см

Теперь нам нужно найти длину диагонали верхнего основания параллелепипеда. Угол в 45 градусов говорит нам о том, что мы имеем дело с равнобедренным прямоугольным треугольником, катеты которого равны. Можно просто переписать полученное выше значение высоты, но я себе не доверяю, я верю только математике. Поэтому проверим полученный результат. Отношение гипотенузы к противолежащему катету - это синус. Находим длину диагонали верхнего основания:

А1C1 = 24 х sin45 = 24 x 0,7071 = 16,97 см

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник AD1C1. Нам известна длина гипотенузы 24 см и угол 30 градусов. Нам нужно найти противолежащий катет этого треугольника, который одновременно является шириной параллелепипеда. Нужную нам длину находим через синус угла 30 градусов:

C1D1 = 24 х sin30 = 24 x 0,5 = 12 см

Теперь нам осталось найти длину параллелограмма. Из треугольника A1D1C1, у которого нам известны длина гипотенузы и длина одного катета, находим длину второго катета по теореме Пифагора:

A1D1 = корень квадратный из (16,97^2 - 12^2) = корень квадратный из (287,98 - 144) = 12

Все необходимые данные для вычисления объема прямоугольного параллелепипеда у нас есть, и нам остается только перемножить между собой длину, ширину и высоту этого геометрического чуда:

Объем = 16,97 х 12 х 12 = 2443,68 см^3

Всё, эту задачу по геометрии мы решили. Какой вывод можно сделать из полученного результата? Между нами, блондинками, говоря, до стандартных параметров красоты, 90 х 60 х 90 = 486000 сантиметров кубических, этому параллелепипеду ещё очень далеко, даже не смотря на то, что он прямоугольный.

понедельник, 13 июня 2011 г.

Что такое тригонометрический круг?

Что такое тригонометрический круг? Ещё его называют тригонометрическая окружность. Вопрос довольно интересный. Не будем вдаваться в подробности различий понятий "круг" и "окружность". Хотя, для блондинок поясню, что круг - это монета или дырка от бублика, окружность - это обручальное кольцо или бублик. Исходя из классического определения тригонометрических функций, правильнее говорить "тригонометрическая окружность", поскольку речь идет о наборе точек и их координатах, а не о плоской фигуре и её площади. Но в Интернете гораздо чаще ищут именно "тригонометрический круг", наверное потому, что так меньше букв набирать надо.

Прежде, чем мы перейдем к формулировке определений тригонометрических функций с использованием портрета тангенса, нам нужно понять, чем тригонометрический круг отличается от всех остальных кругов. В своих рассуждениях мы будем использовать один математический фокус, смысл которого основан именно на этих отличиях.

Возьмем рисунок окружности из определения тригонометрических функций. Выглядит он вот так.

Что такое тригонометрический круг. Рисунок окружности произвольного радиуса, обычный круг. Математика для блондинок.
На рисунке изображена обычная окружность произвольного радиуса. Поскольку в центре окружности нахально развалилась декартова система координат, то все точки этой окружности имеют вертикальные и горизонтальные координаты. Радиус окружности и координаты точек выражаются числами. Точки пересечения осей координат и окружности определяются величиной радиуса окружности и численно ему равны.

Для того, чтобы превратить обычную окружность в тригонометрическую, нужно все элементы окружности разделить на радиус окружности. Буквы "X" и "Y" являются ярлычками системы координат, обозначающими её навязчивое присутствие на нашем рисунке. Эти буквы на радиус не делятся, как и буква "В", обозначающая точку на окружности. Точка "0" (ноль) в результате деления на радиус так и останется точкой "0" (помните, ноль, деленный на любое число, равняется нулю?). Угол альфа можно разделить на число, но нельзя разделить на радиус окружности (кстати, вот вам готовое доказательство того, что деление не имеет смысла)))), поэтому угол лучше не трогать, во избежание крупных неприятностей (из всех присутствующих на картинке, угол - самый крутой элемент, он присутствует во всех тригонометрических функциях в своем естественном виде). У нас остаются только радиус окружности и координаты точки "В", которые мы можем разделить на величину радиуса окружности.

Понятно, что при делении радиуса окружности на точно такой же радиус, мы в результате получим единицу. А вот при делении координат точки окружности на радиус мы получим значения синуса и косинуса угла альфа (по определению тригонометрических функций). Вот как выглядят наши преобразования на картинке.

Что такое тригонометрический круг. Преобразования окружности. Деление элементов окружности на радиус. Математика для блондинок.

Теперь нам остается только заменить все радиусы на единички а координаты точки на синус и косинус угла альфа и у нас получится тригонометрическая окружность. Мы даже можем сформулировать определение единичной окружности (пусть вундеркинды учат):

окружность с радиусом, равным единице, называется тригонометрической окружностью, если в центре окружности находится центр декартовой системы координат.

Это определение далеко не полное и не учитывает целое море нюансов, на которые математики обычно не обращают внимания. Но об этом мы лучше поговорим при изучении свойств тригонометрических функций. А пока посмотрим на картинку, как выглядит тригонометрическая окружность во всей своей красе.

Тригонометрический круг, тригонометрическая окружность. Математика для блондинок.
Собственно, это и есть тригонометрический круг. Если на него поместить значения разных углов и соответствующие им значения синуса и косинуса, то мы получим тригонометрический круг синуса и косинуса.

Теперь о том фокусе, который мы будем проделывать во время формулирования определений тригонометрических функций. Здесь мы радиус окружности заменили на единицу, а там мы будем поступать наоборот - будем единицу заменять радиусом окружности. То есть, от тригонометрической окружности переходить к окружности произвольного радиуса, как того требует учебник по математике.

среда, 1 июня 2011 г.

Тригонометрические функции определение через треугольник

Тригонометрические функции можно определять на прямоугольном треугольнике. На картинке вы можете видеть определения всех тригонометрических функций через элементы прямоугольного треугольника.

Тригонометрические функции определение на треугольнике. Тригонометрия для блондинок. Синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс в треугольнике. Математика для блондинок.
Это ещё одна икона для вывешивания на стену и заучивания текста. Мы этим заниматься не будем. Лучше посмотрим, как можно совместить прямоугольный треугольник и окружность. Для этого совместим две картинки: окружность из классического определения тригонометрических функций и наш треугольник. Поместим треугольник рядом с окружностью. Вот как это выглядит.

Тригонометрические функции треугольник и окружность. Математика для блондинок.
Как видите, картинки практически одинаковые, а вот составные элементы в них называются по-разному. Одинаково обозначены только угол альфа и точка "В". Теперь наложим треугольник прямо на окружность. Все графические изображения, принятые для окружности, мы сохраним, а прямоугольный треугольник подчеркнем красными линиями с внутренней стороны (типа обведем контур треугольника губной помадой).

Треугольник в окружности. Тригонометрические функции. Математика для блондинок.
Как видно из рисунка, гипотенуза прямоугольного треугольника превращается в радиус окружности, катеты становятся равными координатам точки. Это как в человеческом языке - одно и то же понятие в разных языках обозначается разными словами. Это различие в произношении не дает нам понимать иностранные языки. Приблизительно то же самое происходит в математике. Некоторые считают определение тригонометрических функций на прямоугольном треугольнике примитивным. Если вы хотите понимать математику, запомните следующее: в математике не бывает примитивных вещей. Бывают примитивные существа, считающие себя очень умными. Именно желание казаться умнее других, привело к тому, что математики сами почти ничего не понимают в математике.

Специально процитирую фразу из Википедии, где говорится об определении тригонометрических функций на треугольнике: "Данное определение имеет некоторое педагогическое преимущество, так как не требует введения понятия системы координат, но также и такой крупный недостаток, что невозможно определить тригонометрические функции даже для тупых углов, которые необходимо знать при решении элементарных задач про тупоугольные треугольники". Честно говоря, подобное дремучее невежество математиков меня просто шокирует. Для какого треугольника определяются тригонометрические функции? Правильно, для ПРЯМОУГОЛЬНОГО. Пусть хоть один математик покажет мне ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК С ТУПЫМ УГЛОМ. Клянусь вам, как только я увижу это геометрическое чудо, я тут же переверну портрет тангенса вверх ногами и повешусь на косинусе. Неужели ни один математик не понимает, что решение "элементарных задач про тупоугольные треугольники" при помощи тригонометрических функций ВСЕГДА сводится к разбиению одного тупоугольного треугольника на два прямоугольных треугольника?

Сейчас я вам покажу самый примитивный пример существования тригонометрии в жизни. Примитивнее, наверное, уже не бывает.

Тригонометрия в жизни. Математика для блондинок.
Посмотрите на фото - сколько человеческих тел безмятежно расположилось на горизонтальной плоскости скалы, в то же время на вертикальной плоскости нет ни одного человека. Почему? Да потому, что тригонометрические функции для перпендикулярного направления имеют совсем другие значения. Для нас с вами основным смыслом тригонометрических функций является то, что именно тригонометрические функции определяют наши возможности.