понедельник, 1 августа 2011 г.

О числах и не только

инженер-исследователь: О принципиальном различии рациональных и иррациональных чисел можно составить представление взглянув на кривые заданные параметрически по формуле:

x=sin(a*t); y=cos(t), где x и y-абсцисса и ордината , t -параметр.

Если a - число рациональное, то у нас всегда выйдет либо замкнутая, либо конечная кривая, если a - иррационально, то кривая будет незамкнутой и при стремящемся к бесконечности t, будет пытаться заполнить некоторую плоскую фигуру. При создании сложных математических моделей наблюдается подобная чувствительность к рациональности или иррациональности начальных параметров, причём часто эту чувствительность не удаётся устранить выбором соответствующих единиц измерения (скажем, невозможно подобрать такие единицы длины, в которых и радиус и диаметр одной и той же окружности были бы числами рациональными - хоть одна величина будет иррациональной), т.е. здесь ситуация аналогична закону Бенфорда. При этом, как правило, математическая модель оказывается столь сложной, что без ЭВМ к ней подойти невозможно, а ЭВМ воспринимает только рациональные числа (теоретически можно разработать схемы кодировки и иррациональных чисел, но к сожалению, кодируемые ими числа будут скорее исключениями, в мире иррациональных чисел и не любое число так закодируешь), поэтому ошибки счёта в таких случаях демонстрируют явление GIGO - мусор на входе - мусор на выходе. Для борьбы с этим явлением используются приближённые формулы, которые хотя и не столь точно отображают реальность, но не так чувствительны к округлению величин на входе.

В моём случае из-за округления всех входящих величин до рациональных чисел в ряде знаменателей образовались нули. Если бы не это округление, в знаменателях у меня образовались бы числа, по модулю очень маленькие, но не нули! Также деления на нуль мне удалось бы избежать, если бы я воспользовался бы приближённой моделью, где вообще действия деления отсутствуют. Здесь можно увидеть парадоксальное явление - более приближённая модель отображает мир более адекватно,чем более точная!

Николай Хижняк: Парадокс приближенной модели, на мой взгляд, заключается в том, что мы не знаем математики и не умеем математикой пользоваться. Давайте оглянемся на историю наших представлений о числах. Всё, как в школьной программе: сперва мы освоили натуральные числа, потом рациональные, затем иррациональные… И сегодня мы продолжаем делить числа по каким-то признакам.

Давайте я вам объясню, как числа вижу я. Наиболее наглядным аналогом чисел будет электромагнитное излучение. Белый свет, при прохождении через треугольную призму, образует цветовой спектр. Это электромагнитные волны, которые разделены в зависимости от длины волны. Определенной длине волны соответствует определенный цвет, при этом цветовой спектр является НЕПРЕРЫВНЫМ. Вся совокупность волн разной длины образует белый свет. В световом спектре мы не выделяем натуральные волны, рациональные или иррациональные волны. Для меня число в общем виде – это белый свет, то есть все числа не зависимо от их вида. Конкретные числа я вижу как непрерывный спектр после разложения через треугольную призму.

Все волны электромагнитного излучения имеют одинаковые свойства, не зависимо от длины волны. Точно так же происходит и в области чисел – не зависимо от способа получения, все числа обладают одинаковыми свойствами. Изменяя скорость движения источника света, мы изменяем длину волны электромагнитного излучения (красное или фиолетовое смещение), при этом весь спектр по-прежнему остается непрерывным. То, что было излучением одной длины волны, стало излучением с другим значением длины волны. Место этого излучения заняло излучение с другими параметрами. Подобный процесс происходит и при математических действиях – рациональные числа превращаются в иррациональные, иррациональные числа могут превращаться в целые числа, но вся совокупность чисел по-прежнему остается неизменной.

Продолжу аналогию между числами и электромагнитными волнами. Точность вычислений в числах – это расстояние от призмы до конкретной точки, в которой мы измеряем длину волны излучения. Все наши потуги определить миллион-миллиардный знак после запятой у конкретного иррационального числа – это похоже на измерение длины волны в точке на бесконечном расстоянии от призмы. Со стороны это выглядит полным идиотизмом – мы очень долго тащимся со своими измерительными приборами, тащимся, тащимся, потом в изнеможении падаем и бросаем вперед приборы со словами: «Там еще никто не измерял!». В известном анекдоте при этом была брошена вперед шапка и было сказано: «… а вот там я бурячки посажу!».

Точность вычислений – это тот инструмент, который должен стирать все различия между числами. К любому целому числу можно приписать бесконечное количество нулей после запятой, но у нас хватает ума не делать этого. Если наши программисты не умеют решать проблему рациональных и иррациональных чисел при математических действиях, то это проблемы программистов и математиков, а не проблемы чисел. Вот маленький пример нашего идиотизма. Фирма снимала комнату под офис на четвертом этаже. Эта комната имела номер 407. Затем они переехали в другую комнату под номером 308 на третий этаж. Но переехали они вместе С НОМЕРОМ КОМНАТЫ. Эти вундеркинды сидят в новой комнате, а на дверях прицепили старый номер 407. Естественно, нормальным посетителям в голову не приходит искать эту фирму по всем этажам, когда они видят на четвертом этаже закрытую дверь без опознавательных знаков между комнатами 406 и 408 (все остальные номера комнат никуда не исчезали).

Поскольку я начал рассуждать о сходстве свойств чисел и электромагнитного магнитного излучения, попутно выведу один физический закон. Пусть физики проверяют его правильность. Особо хочу подчеркнуть тот факт, что при изменении скорости движения источника света изменяется длина волны излучения, скорость света при этом не меняется.

Как известно, числа имеют одно свойство, общее для всех чисел:

при умножении числа на обратное число результат остается неизменным и равняется единице (за исключением числа ноль);
при сложении положительного и отрицательного числа результат остается неизменным и равняется нулю (за исключением числа ноль, которое не имеет знака).

Особо хочу подчеркнуть, что в данных законах речь идет не о двух разных числах имеющих разные значения по модулю, а об одном числе, имеющем одно значение.

В переложении на физику этот закон можно сформулировать так:

произведение скорости источника света на длину волны электромагнитного излучения – величина постоянная и равняется скорости света.

Если этот закон справедлив, то это позволит нам определять абсолютную скорость движения любого источника электромагнитного излучения в нашей Вселенной. Что это нам даст? Мы сможем перейти от относительной геоцентрической модели Вселенной к абсолютной. Лично меня интересует только один вопрос: наша Вселенная вертится? Как вы помните, с вопросом о вращении Земли в нашей истории тоже были проблемы.

Естественно, мой экспромт вызывает гораздо больше вопросов, чем дает ответов. Но вопросы эти довольно интересные:

1. Применимо ли понятие «абсолютная система координат» к нашей Вселенной?
2. В каких единицах измерения необходимо измерять указанные физические величины?
3. Что такое скорость света – где, как и почему она возникает? Чем определяется именно такая величина скорости света?
4. Существует ли такая длина волны электромагнитного излучения, которая отличается от всех остальных? Если да, то чем именно она отличается?

Я не задаю вопрос «Может ли равняться нулю скорость источника электромагнитного излучения и, следовательно, скорости света?», поскольку я могу дать на него математически обоснованный ответ.

Если удастся получить правильные ответы на поставленные вопросы, то сам факт существования или отсутствия в природе сформулированного мною закона нам будет уже безразличен. Об окружающем мире мы будем знать гораздо больше, чем знаем сегодня.

7 комментариев:

  1. Цитата: "Математическим действием, противоположным по смыслу умножению, является разложение на сомножители. Разложение выполняется при помощи тригонометрических функций, которые могут иметь числовые и не числовые (0 и 1/0) значения. Простейшее подобие разложения под углом в 45 градусов – это извлечение квадратного корня. Более подробно разложение и тригонометрические функции будут рассмотрены дополнительно." конец цитаты,
    Николай, есть ли продолжение темы? Меня интересует геометрическая интерпретация разложения чисел на множители.
    С уважением, Дмитрий.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Дмитрий, продолжение темы будет. После публикации в научном журнале, материал размещу на этом сайте. Там будет алгебра, геометрия и физика разложения.

      Удалить
  2. Кажется я страницей ошибся. Если так, то мой вопрос относится к этой :
    http://www.webstaratel.ru/2011_08_01_archive.html

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Ну, как сказать... Разложение на множители, разложение на слагаемые - это два неразрывно связанных действия. На картинках всё будет показано.

      Удалить
    2. Спасибо, Николай. Буду ждать. Мне близко Ваше понимание математики.Украинский физик из Запорожья Сергей Владимирович Богун утверждает, что : "Природа устроена не просто, а очень просто." Уверен, что к математике это утверждение относится в полной мере. Просто стереотипы нашего мышления не позволяют посмотреть на окружающий нас мир под другим углом зрения.
      С уважением, Дмитрий.

      Удалить
    3. Дмитрий, спасибо за поддержку)))

      Удалить