Основы математики — это цикл моих статей. Главная задача «Основ математики» — дополнить математику отсутствующими фрагментами математических знаний и установить взаимосвязи между некоторыми уже известными нам прописными истинами.
Самыми полезными нововведениями в математику будут единицы измерения и деление на ноль. Понятно, что объяснить это будет не просто. Для понимания придется досконально разобраться в некоторых общепринятых математических понятиях и установить, что в них есть правда, а что есть ложь.
Зачем в математике нужны единицы измерения? Вот представьте себе такую ситуацию. К вам подходит ребенок, вручает вам предмет и спрашивает: «Что произойдет, если этот предмет уронить?» Пользуясь принципами современной математики, вам нужно взять список всех множеств предметов и найти, к какому множеству из существующих этот предмет принадлежит. Если это множество разбивающихся предметов, то данный конкретный предмет разобьется. Если это множество подпрыгивающих предметов, то этот предмет подпрыгнет. В существующих перечнях множеств предметов вам придется долго и нудно копаться, прежде, чем вы сможете найти ответ на вопрос.
Можно ли решить проблему проще? Можно. Если визуально определять материал, из которого сделан предмет и знать свойства этого материала — тогда никаких проблем. Стеклянный предмет разобьется, резиновый мячик подскочит, железное колечко сделает «дзинь!» а желе сделает «шмяк!».
Точно так же в математике обстоит дело с единицами измерения. Если вы знаете математические свойства единицы измерения, вы без труда скажете, что можно ожидать а чего нельзя от того физического параметра, которому эта единица измерения принадлежит.
Введение в математику единиц измерения как математического элемента, равнозначного числам, позволяет определять математическими методами многие фундаментальные свойства окружающего мира.
Если вы думаете, что в результате таких нововведений математика станет ещё запутаннее, вы ошибаетесь. Она будет проще, стройнее, понятнее. Посмотрите на основные аксиомы математики.
Больше о новых взглядах на математику и её проблемах смотрите на странице «Новая математика«
Да, за сложное дело вы взялись. И это похвально. Правильно, что нужно начинать с Основ. Но я не вижу, чтобы вы их действительно разработали. Фактически вы принимаете сложившееся положение вещей в математике и констатируете, что нужно ввести понятие о единицах измерения (ЕИ). А потом вдруг переходите к аксиомам (аксиомы я уже, извините, раскритиковал). По логике ЕИ нужно вводить в результате необходимости, вытекающей из логических построений. На мой взгляд, необходимость введения ЕИ очень сомнительна. Их место в физике. Вы их вводите из-за подсознательного чувства, что чего-то не хватает для построения целостной картины. И берете наугад ЕИ. Я предлагаю вместо ЕИ взять понятие о сути вещей или сути рассматриваемых в математике объектов и сути операций над ними. В общем-то, математика так и построена и отдадим должное поколениям мыслителей, внесших свой вклад в ее развитие. Другое дело, что объем накопленных знаний требует более глубокого проникновения в суть вещей, чем это было сделано ранее. Объектами в элементарной математике являются числа, но не только. Так вот, эти самые числа имеют разные математические или философские свойства (сущности) и именно по этим свойствам их нужно группировать. Но никак не по единицам измерения. Ниже я приведу некоторые рассуждения об основах счета и основных понятиях в свете более глубокого проникновения в суть явлений. Мне кажется, в этом направлении нужно двигаться.
Основы математики
Это, скорее, не основы, а поправки к вашим высказываниям. Математические действия могут производиться только с числами (мы говорим про арифметику). Единицы измерения к математике не имеют никакого отношения. Это сфера физики.
Умножение это не взаимодействие. Умножение это увеличение количества. Оно может быть вызвано взаимодействием, но им не является. А изменения качества происходят только в результате изменения количества (в противоположность вашему утверждению в статье о симметрии мат. действий).
Деление выглядит симметричным по отношению к умножению, но в сущности это отличная от него операция. Деление симметрично умножению только в случае, когда мы произвели умножение, а потом производим обратное деление. Во всяком случае, в операциях с целыми числами. Впрочем, при определении операций с другими объектами (не целыми числами) операции умножения, деления и другие определяют, т.е. описывают их свойства при работе с этими объектами. При этом видно, что по свойствам операции, скажем, умножения для чисел и для других объектов совершенно разные, у них только название общее. Строго подходя, для каждого типа объекта нужно определять свои операции. Т.е. для целых чисел и рациональных должны быть свои определения операций. Это связано с тем, что сущность этих чисел различная.
Точки симметрии, на которые вы обращаете внимание, 0 и 1, хорошо показывают сущность операций, центрами симметрий которых они являются. Сущность самих этих цифр: для 0 – "ничто", для 1 – "что-то". Все остальные цифры символизируют количество единиц, т.е количество этого чего-то. Строго говоря, 0 числом не является. И единица тоже. У нуля, единицы и совокупности остальных цифр разные сути, это разные понятия не одной природы. У цифр от 2 до 9 и далее – у двузначных и многозначных цифр до бесконечности – природа, т.е. суть, одна – это числа. 0 можно назвать числом, но в этом случае мы должны указать причину, почему мы хотим его так назвать, условия, когда можно так говорить, и впоследствии строго следить за соблюдением этих условий. То же относится и к единице. То, что мы до сих пор без этого обходились, еще не повод считать 0 и 1 числами.
Возьмем чего-то, например, 4 штуки и будем считать его единым целым. Это одно, но состоящее из четырех элементарных единиц этого чего-то. Они как-то связаны, поэтому их в каких-то случаях можно считать единицей, особенно, если есть другие такие же "единицы". И вот с этой "единицей" начинаем работать, как с обычной единицей. Если в наших операциях дело не дойдет до раздела этой "единицы", то мы, скорее всего, и не заметим, что она из чего-то состоит. А если дойдет, то мы должны будем признать, что эта "единица" не обычная, а рациональная, т.е. дробная – ее можно дробить. На сколько частей ее можно дробить, мы указываем в знаменателе или в количестве знаков после запятой.
Понимая, что количество элементарных единиц, из которых состоит рациональное число, может доходить до бесконечности, и в принципе любая единица, с которой мы сталкиваемся в реальности, дробная, мы, записывая рациональное число, всегда имеем в виду, что количество его элементарных единиц также бесконечно. Но для удобства записи, мы пишем, скажем, не 200/3000, а 2/30, не 2,270000, а 2, 27 и даже не 3,1415926535, а 3,14. Последнее, как раз, яркий пример того, что, за исключением редких случаев, нам даже не важно, какой глубины структура "единицы". А потом удивляемся появлению "квантовых" свойств. Разделите 3,1415926535 на 3,14 и получите частоту квантования объекта, который мы записали как 3,14.
Почему мы до сих пор считаем 0 и 1 числами? Потому что, во-первых, никогда не задумываемся об их сути, а, во-вторых, потому что фактически в наших расчетах 1 – это та самая составная "единица", которая единицей является условно, а 0 на самом деле вовсе не ноль, а – "глубина" истинной единицы, находящейся в глубине составной "единицы", т.е. 0,00…01. Число нулей в этой цифре бесконечно или, по-другому, 1/∞ . Это есть истинная элементарная единица, которая дальше уже не делится и которую мы записываем как 0.
Теперь, надеюсь, понятно, почему мы можем производить некоторые операции с нулем. Только потому, что он на самом деле нулем не является. С настоящим нулем операций произвести нельзя. Любые операции можно производить только с чем-то. Если нет ничего, то и никаких операций с "ним" мы произвести не можем. Я взял в кавычки потому, что попытался назвать то, чего нет. Нельзя назвать то, чего нет. При этом само понятие "ничего" или "отсутствия чего-либо" существует. Его символизирует цифра 0. Попытка назвать "то, чего нет" приводит к тому, что "оно" как-будто есть. То есть, раз мы что-то назвали, значит оно есть. И дальше начинаем оперировать с "ним" как с прочими сущими объектами. В этом наша ошибка, которая приводит к искажению смысла и, соответственно, искажению результата.
На числовой прямой единица это не та точка, над которой стоит цифра 1. Единица – это отрезок от точки, над которой стоит 0 до точки, над которой стоит 1. 2 это не точка, над которой стоит цифра 2, а отрезок от 0 до 2. На самом деле на числовой прямой отрезок 0 – 1 это растянутая точка, если мы говорим о целых числах, и – ряд точек, если мы говорим о рациональных числах. Между числами на числовой прямой разрывов нет: одно число сразу переходит в другое. Справа от 1 стоит 2, а слева – (-1). Нулю места на числовой прямой нет. 0 показывает границу между числом 1 и числом (-1). Эта граница не имеет никакой ширины. Так же, как прямая в геометрии не имеет ширины. Так же, как точка не имеет диаметра. Но, еще раз отметим, 0 это не точка даже. 0 это граница между точками.
Истинная элементарная числовая прямая на самом деле должна выглядеть как луч, начинающийся с точки 1, за которой следует точка 2, и уходящий в бесконечность. И все операции с целыми числами должны производиться только на этом луче.
Теперь вернемся к 0 и 1 как центрам симметрии названных вами операций.
0 не имеет ширины, так как это граница между точками. 1 имеет элементарную ширину равную 1/∞, поскольку это какая-то элементарная сущность. В математике центры, как и все точки, не имеют ширины. Поэтому один из ваших центров лежит слева от 1, другой – в центре единицы.
Теперь попробуйте рассмотреть их сущность с точки зрения операций.
Я тут еще немного поразмышлял над вашими текстами о ЕИ. И пришел к выводу, что вчера несколько поспешил со своим отношением к этому вопросу. Поэтому приношу свои извинения за излишнюю категоричность. В ваших утверждениях есть смысл, причем тот же, который я вкладываю в относительный размер единиц. В моих представлениях это разный масштаб единиц, не учитывая которого, можно придти к ошибкам. Я еще над этим поразмышляю и, может быть, даже интегрирую ваши формулировки в свои представления.
Я не вижу математического выражения сути((( Это как поиск хирургического способа отделения души от тела)))
У-у-у-у-у… сколько букв… Больше я только на работе читал, совсем недавно))) Нет, это я чуть позже внимательно прочту и постараюсь осмыслить.
Сути чего? Любое математическое выражение выражает суть какого-то явления. Если говорить об элементарных понятиях, их не выражают, а обозначают. Например, "ничего нет" или "ничто" можно обозначить нулем. "Что-то неделимое" можно обозначить единицей. Кстати, я на это раньше не обращал внимания, а это хорошая формулировка для единицы.
Ну вот. Я немного поразмышлял и сделал такую формулировку для ЕИ. Единица измерения – это набор качеств, которые мы выделяем в некоей сущности для целей сравнения с другими сущностями.
Я хотел еще пример привести, но пожалел ваше время. Если спросите, то приведу.
Интересно будет посмотреть на пример. Сейчас я на отдельной странице сформулирую свое мнение по поводу ваших комментариев. Ссылку добавлю, когда всё будет готово.
Пример. Поставлена задача посчитать количество желтых предметов на столе. В этой задаче выделено такое качество как желтый цвет. Мы посчитали и получили цифру 3. Можно ли разделить это количество, например, на 6? Казалось бы, взяв ножовку и распилив желтые предметы на части, мы получим 1/2 или 0,5. Но! Мы говорим о конкретных предметах на столе. Распилив их на части, мы получим уже другие предметы. Если мы признаем половину распиленного предмета за отдельный предмет, то мы должны были посчитать его изначально. Получается, что мы неправильно сделали подсчет и предметов было не 3, а 6.
Я уже обратил внимание на то, что даже вам, пишущему для блондинок, сложно понять мою логику. Что уж говорить про профессоров математики! Не хочу совершенно предстать неким гением, с меня довольно будет хвастаться перед соседями, если хоть какие-то мои мысли будут восприняты математиками. Поэтому мне очень хочется найти такие формулировки, которые были бы понятны хотя бы профессорам, а если их поймет хоть несколько блондинок, я буду на седьмом небе от счастья. Так вот, чтобы отточить свои формулировки, я начал писать статью, где пытаюсь изложить свои мысли в логической последовательности. Я назвал ее "Числа.Основы математики". Если на нее обратят внимание, вы всегда сможете сказать, что именно ваш сайт подвиг меня на это. Если хотите, давайте вместе писать новую математику!
Наш Великий Правитель очень милостив! Он запретил рубить людям головы! Он приказал отрубывать только половину головы))))
Математика предполагает наличие разума. А разумное существо не будет формулировать подобных задач. Здесь типичное мошенничество. Мы сформулировали условие задачи. Мы нашли решение этой задачи. Потом мы МЕНЯЕМ УСЛОВИЯ ЗАДАЧИ. Получается совершенно новая задача. Но мы тупо пытаемся натянуть решение первой задачи на другую задачу. Отсюда и появляются, так любимые многими, "логические парадоксы".
"Нет, уж лучше вы к нам"))) Когда будете получать Нобелевскую премию, не забудьте сказать, что это мой сайт подвиг вас на столь великий научный подвиг)))))))
Интересно будет взглянуть на статью, хоть одним глазом. Впрочем, я на все вещи именно так и смотрю)))
Вот более подробный анализ комментариев.