среда, 23 ноября 2011 г.

Матрицы в математике

Матрицы в математике выполняют довольно видную роль. Скорую математическую помощь для решения матриц онлайн я уже оказал. С теорией матричной магии покуда разбирайтесь сами по учебникам. Я же хочу сейчас порассуждать о смысле матричного счисления. То, что матрицы применяют для решения систем линейных уравнений, знают многие и пользуются матрицами именно для этих целей. Я не буду повторять учебники, а предлагаю вам отправиться в детский садик и там поискать смысл математических операций с матрицами.

И так, придумаем самую простую детскую задачу про ваших любимых собачек и кошек: "В зоосалоне zoo-art.ru сейчас стригутся 2 кошечки и 3 собачки. В очереди к мастерам-грумерам (так называют этих парикмахеров) сидят 4 кошечки и 5 собачек. Сколько кошечек и собачек хотят изменить свой имидж?". Не сложная детская задачка на два независимых математических действия: кошечек складываем с кошечками, к собачкам прибавляем собачек и получаем результат - два числа, одно из которых обозначает количество кошечек, второе - количество собачек. Вот как просто. А теперь эту же задачу решим с применением матричного счисления на калькуляторе матриц (ссылка в начале статьи).

Матрицы в математике. Решение детской задачи матричным методом. Сложение матриц онлайн. Математика для блондинок.
Вот что получилось. Поскольку создатели калькулятора считают, что операции с вектор-строками и вектор-столбцами слишком примитивны для математических знаний такого высокого уровня, мне пришлось пойти на хитрость. Недостающие элементы квадратной матрицы второго порядка (а это минимальный размер для калькулятора матриц) я заменил нулями.

Как вы можете видеть на картинке, эту задачу я решил двумя способами: сперва значения стояли в первом столбце матриц, потом я эти же значения подставил в первую строчку матриц. Оба варианта дали правильный результат. Из этого можно сделать вывод, что математические операции с матрицами по смыслу означают одновременное выполнение математического действия с величинами, имеющими разные единицы измерения.

При составлении матриц для решения системы линейных уравнений в качестве единиц измерения принимаются неизвестные. Например, единица десятичной системы счисления (просто число, свободный член уравнения), х, у, z, ХХL... Ой! Это не отсюда, эта единица измерения для измерения кофточек применяется. Кстати, если вы запишете в матрицу число своих кофточек, то матрица от этого нисколько не пострадает - ей безразлично, что и куда вы пишите. А вот правильно решить систему уравнений при помощи матрицы в кофточке у вас уже не получится.

Принцип составления матрицы для уравнений - вы берете числовые коэффициенты перед неизвестными и вписываете их каждый на свое место. Вот здесь уже имеет значение, что и куда именно вы в матрицу вписываете. Потом полученную матрицу решаете.

Где ещё применяется принцип математических действий с матрицами? Когда вы считаете целую кучу денег в бумажных купюрах и металлических монетах. Раскладываете купюры и монеты на кучки по достоинству и пересчитываете количество в каждой кучке. На этом матричный метод заканчивается, дальше вы приводите полученные результаты к одной единице измерения. Естественно, выполняя подобные действия в повседневной жизни, мы никогда не задумываемся над тем, как это можно описать математически.

Помните, мы с вами говорили о метрах и дециметрах? О бантиках и рюшках, о многоядерном процессоре? Там тоже можно применять матричные методы сложения и вычитания. Выполняете все действия с одной единицей измерения, потом все действия с другой единицей измерения. В самом конце, при необходимости, делаете преобразования одних единиц измерения в другие.

Этот метод очень хорошо применять в геодезии, когда нужно складывать или вычитать большое количество углов в градусах, минутах, секундах. Делаете все действия с градусами, потом с минутами, после этого с секундами. А потом все полученные секунды преобразовываете в минуты и секунды. К полученным в результате матричных вычислений минутам прибавляете или отнимаете те минуты, которые получились после преобразования секунд. Результат преобразуете в градусы и минуты. К общему количеству градусов прибавляете градусы от минут. Всё, у вас получился один угол в градусах, минутах, секундах.

Надеюсь, эта статья будет вам полезна и вы на практике будете применять методы матричных вычислений уже с полным осознанием того, что вы делаете и какой результат получите.

13 комментариев:

  1. Значит матрицы признаёте а комплексные числа нет.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Лично мне это не мешает, поскольку я в них мало что понимаю))) Наша Вселенная - это большая матрица, в которой одни элементы взаимодействуют между собой, другие - нет. Вот математика и должна объяснять, почему в одних случаях взаимодействие происходит, а в других не происходит. Почему метр квадратный площади можно получить только при умножении длины на длину и нельзя получить путем сложения длин?

      Удалить
    2. Тогда для вас будет интересно узнать что произведение матриц не коммутативно: A * B != B * A;

      Удалить
    3. Умножение коммутативно всегда. Почему не коммутативно умножение матриц? Что нужно сделать для того, чтобы умножение матриц стало коммутативным?

      Если в результате добавления этого маленького штриха рухнет вся математика, тогда что это за наука такая? Свод ошибок и заблуждений, из которых методом научного тыка удалось получить правильные результаты?

      Удалить
  2. Анонимный4 июня 2012 г., 3:18

    Интересно и общедоступным языком изложено.
    Меня немного смущает надпись - матрица для блондинок,но аналогию(пусть и не совсем уместную по-моему скромному мнению) признаю логичной на стереотипном основании)))

    подпись: Itenerant Der'w'ish

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Математику нужно пробовать на зуб, если это действительно наука))) К священным религиозным текстам вообще прикасаться запрещено)))

      Удалить
  3. Подскажите, как объяснить ребенку 8 лет что такое матрица. У меня высшее образование и я рыжая, но ему необходимо написать по этой теме контрольное задание, а я для объяснения этого материала слов пока не могу найти. С ув. Наталья

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Бедные дети... Я не готов сейчас так быстро это объяснить - самому вникать нужно. Попробуйте применить аналогию с ситом - берем систему уравнений, просеиваем её через сито. В результате все иксы высыпаются, а числовые коэффициенты остаются. Вот эти числовые коэффициенты математики дразнят матрицей. Выполняя определенные действия с матрицами, можно получить какие-то нужные результаты.

      Удалить
  4. Ох... Выше я прочитал утверждение, что умножение коммутативно всегда... Ну не смешите меня, пожалуйста :)
    Если что-то выполняется на действительной оси, то это не значит, что оно будет выполнятся и в произвольном поле или, тем более, кольце :)
    Для начала нужно взять две матрицы. Вспомнить как они перемножаются и ручками перемножить их, потом переставить и снова ручками умножить... вуаля! Получим разные ответы. И смею Вас заверить, это никак не противоречит теории групп. В группах нет коммутативности умножения.
    -----------------------
    А теперь насчёт утверждения: Вселенная -- это большая матрица...
    С таким же оптимизмом я могу утверждать, что Вселенная -- это швейцарский сыр. А те, кто не видит этого -- слепы...
    Можно спросить у Вас? Вы философ? Просто, если Вы в университете не любили/не учили/ненавидели математику или Вам её не преподавали, то тогда понятно откуда берётся всё вышенаписанное.
    А.Н.Оним

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. По поводу коммутативности умножения я, возможно, и погорячился. Была такая мысль, деталей уже не помню.

      Мне математику преподавали, но я её не учил. О чем нисколько не жалею. Иначе мы просто не имели бы повода для беседы:) О чём могут разговаривать два верующих во время молитвы?:)

      Удалить
  5. Николай, не могли бы Вы мне помочь - не могу понять, как изобрели матричный способ решения систем уравнений, не говоря уже о матричном исчислении?
    Я вижу насколько логичен ход Гаусса при решении систем уравнений, а решение систем уравнений через матрицы в ощущениях соответствует магии, неким пассам руками. Эти пассы были выведены логически или обнаружены алхимически, если так можно выразиться. Как я помню этот способ был известен древним математикам. Можно ли сейчас восстановить логику возникновения матриц, даже, если она и была магией?

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Я всегда говорю, что современная математика - это пляски шаманов с бубнами. Я не вникал в метод решения Гаусса или в историю возникновения матричного исчисления.

      Решение систем уравнений при помощи матриц - это всего лишь маленький пример применения матриц. Полагаю, что эта магия была отработана методом проб и ошибок.

      Я пытался понять логику матриц. Очень мощный инструмент, о возможностях которого мы даже не догадываемся. Решение простой детской задачки - это вынос мозга. Мне дороги мои мозги и по этому я отложил матрицы в сторону, до лучших времен))) Кстати, если матрицы правильно умножать, тогда с коммутативностью умножения матриц никаких проблем не возникает.

      Удалить
  6. Спасибо, было интересно!

    ОтветитьУдалить