четверг, 29 марта 2012 г.

Почему умножение первое?

Вот какой интересный вопрос о порядке выполнения математических действий мне задали:

меня зовут Александр. меня подруга замучала вопросом почему умножение делается раньше сложения? например почему 1+2*3=7 а не 9 я просто не знаю как объяснить, просто знаю что 7 и всё!!))))

Традиционный ответ на этот вопрос будет звучать приблизительно так: правила математики гласят - сперва выполняется умножение, потом сложение. Нам нужно просто делать то, чему нас учат наши учителя, соблюдать математические правила и мы получим правильный результат. В математике абстрагирование от конкретных условий приводит к потере смысла выполняемых действий.

Так всё же почему умножение выполняется первое, а только потом сложение? Ответ довольно прост. При умножении двух разных единиц измерения получается новая единица измерения, при сложении единицы измерения не меняются. При умножении мы получаем эту самую новую единицу измерения. Если она такая же, как и у первого слагаемого, тогда мы можем выполнить сложение.

Вот задача, которая хорошо иллюстрирует сказанное. У нас имеется геометрическая фигура площадью 1 квадратный сантиметр. К ней прибавили прямоугольник размером 2 на 3 сантиметра. Какая общая площадь двух фигур? Если вы захотите к одному квадратному сантиметру прибавить два сантиметра стороны прямоугольника, то у вас ничего не получится. Нельзя сложить две величины с разными единицами измерения. Если вы умножите стороны прямоугольника, тогда вы получите его площадь. Площадь с площадью можно сложить и получить результат - 7 квадратных сантиметров составляет общая площадь двух фигур.

По умолчанию, в математике считается, что если между числами записан знак математического действия, значит это действие можно выполнять. Отсутствие единиц измерения превращает математику в бессмысленную детскую игру в числа.

30 комментариев:

  1. Хорошое объяснение.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Другого объяснения я не вижу))) Кстати, здесь ещё нужно сказать, что математики выбрали анархию в записи математических действий (в угоду законам коммутативности) с использованием правил выполнения математических действий и разного вида скобок. Возможен и другой вариант - запись всех математических действий строго в том порядке, в каком они выполняются (в угоду логике). Только в этом случае нужно понимать, что ты делаешь и зачем)))

      Удалить
  2. Ответы
    1. Написание весьма двусмысленное:
      6/(2(1+2))=6/(2*3)=1
      6:2*(1+2)=6:2*3=3*3=9
      Как видите, все зависит от того, что именно входит в состав знаменателя. Горизонтальная дробная черта четко отделяет числитель от знаменателя. При использовании косой дробной черточки могут возникнуть разночтения, если сложный знаменатель дополнительно не выделить скобками.

      Удалить
    2. Сначало выполняется действие в скобках... затем деление и умножение, затем вычитание и сложение...

      Удалить
  3. А мне объяснение не понравилось. Когда речь идёт об абстрактных цифрах не ясно почему же сначала нужно умножать или делить а потом прибавлять или вычитать. Например 1+1+5*5+1+1+1=30 это по правилу сначала умножаем потом складываем. Но тогда данный пример должен выглядеть так: 5*5+1+1+1+1+1=30

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Нравится объяснение или не нравится - это личное дело каждого. Я другого вразумительного объяснения не вижу. Возможно, древние математики могли объяснить это лучше, но их знания давно утрачены. До нас правило дошло в виде Божьей заповеди без всяких объяснений. Вспомните, что современная математика формировалась в средневековой Европе, озаренной кострами инквизиции. В те времена свободомыслие древних математиков было выжжено каленым железом и математика из науки превратилась в религию. Есть определения, в которые все должны тупо верить.

      Вы правильно подметили, что в порядке выполнения математических действий может быть два подхода - произвольный порядок записи действий и установление правил их выполнения и строгий порядок записи действий в той последовательности, в которой они выполняются, без дополнительных правил. Кто-то когда-то выбрал первый вариант, скорее всего из-за компактности записи.

      Что же касается действий с абстрактными числами, то я считаю это не больше, чем детской игрой. Как объяснить голой обезьяне, почему нельзя надевать штаны через голову? Если она вообще понятия не имеет, что такое одежда. Приблизительно такая же ситуация получается и с порядком выполнения математических действия с абстрактными числами.

      Удалить
  4. Анонимный19 мая 2013 г., 14:20

    Для математики важно прикладное значение. Если бы математика не использовалась для решения задач, тогда бы правила про умножение, скорее всего, не было.

    Почему десятичные дроби умножаются именно так??? Да потому что только в таком случае задачи по физике решаются правильно))))

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Решение задач по физике - это не самый веский аргумент. Результаты физических экспериментов - это более солидно. А задачи по физике можно решать в любой системе счисления.

      Если физическая задача имеет одинаковое решение в двоичной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления, если результат трех решений становится одинаковым при переходе к одной системе счисления, значит с математикой всё впорядке.

      Если задачи математического анализа решаются только в радианной мере углов, а градусной мерой углов в математическом анализе не пользуются вообще, значит в математическом анализе очень большие проблемы с математикой :)

      Удалить
  5. Анонимный19 мая 2013 г., 15:43

    Чтоб Вы знали, сообщение "Для математики важно прикладное значение. Если бы математика не..." писал Илья Смирновиный...

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Это угроза? вызов? или просто знакомство?

      Удалить
    2. За помощь в решении примера ещё раз спасибо. Рад знакомству :)

      Удалить
  6. Анонимный20 мая 2013 г., 2:05

    Илья Смирновиный.
    Чтоб не было анонимно (да, знакомство).
    Не хочу разбираться с регистрацией (влом).

    ОтветитьУдалить
  7. Хорошо, возьмем за уши притятнутую теорию и вместо разлгагольств для опровережения приветем пример:
    Маша собрала 8 яблок, а Петя принес три корзинки по 7 яблок. Сколько яблок собрали дети?
    Решение пишем в строку: 7+8*3= при таком условии, если мы сложим 7 и 8, то тоже получатся яблоки, ни о каких разных величинах тут речь не идет. Вроде тогда можно сначала сложение сделать)) В общем Вы путаете причину и следствие. Данное правило, это правило выполнения действий, то есть КАК ЧИТАТЬ ЗАПИСЬ, это все равно что запятые в русском языке, правила такие (выделять запятыми деепричастный оборот, а потом согласно правилам прочтнения читать с паузой.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Опечаталась, конечно запись будет 8+7*3, но сути это не меняет

      Удалить
    2. Как читать запись... А я о смысле записи. Пример из грамматики: "Я купил замок". Что я приобрел? Штучку, которую на дверь вешают или сооружение, где рыцари свои задницы прячут? В грамматике придумали ударение, чтобы различать слова, состоящие из одинаковых букв.

      Я к чему. Заниматься абстрактной математикой - это то же самое, что читать бессмысленный набор букв в тексте. Вот пример аналогии с математической коммутативностью:

      я купил замок = w + x*y + a*b
      комаз я пилку = b*a + w + y*x

      Все буквы остались те же самые, только смысл бесследно испарился. Вот так мы в математике и поступаем - тупо выполняем то, чему нас учили, совершенно не задаваясь вопросом, что мы делаем и зачем.

      Удалить
    3. В вашем примере с яблоками вы составили математическое выражение, глядя на единицы измерения. При этом вы их располагали в таком порядке, чтобы можно было сложить первые два числа, сохраняя смысл выполняемых действий. Только полный идиот может уверять, что вы руководствовались принадлежностью чисел к определенным математическим множествам, а не единицами измерения чисел.

      Удалить
  8. Насчет примера, то это опровержение, как Вы знаете, для опровержения достаточно одного примера. Естественно, пример составляется, так сказать, "в пику".
    А по существу:
    Вы вообще о чем :) ей Богу не понять)) есть правила записи выражений. То есть у человека есть цель: решить задачу, ее решение он записывает по действиям либо же, если знает правила записи, то выражением и начинает считать, используя правила, получает ответ. Либо человеку дано кем-то уже написанное выражение и он, зная правила записи, делает расшифровку. Правила записи - это договоренность людей делать "так-то". Так же как алфавит или любые другие обозначения.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. А вы свой пример "в пике" просчитывать не пробовали? Сложите яблоки с яблоками и умножьте на три корзины. Вы даете решение совсем другой задачи, чем та, что записана: "Маша собрала 3 корзины по 8 яблок, а Петя принес три корзинки по 7 яблок. Сколько яблок собрали дети?".

      Удалить
    2. А вообще я о том, что нужно учить мозгами думать, а не тупо проповедовать определения. В любом Святом Писании могут быть опечатки или даже преднамеренная ложь))) Их же люди писали и для людей. Боги и Аллахи это не читают)))

      Удалить
  9. Подумав, люди решили упростить запись выражений ) вместо огромного количества скобок решили взять за правило определенный порядок (сначала умножение, деление), а если порядок иной, то лишь тогда обозначать действия скобками, вот и весь сказ. Думать, безусловно нужно и принимать сразу все на веру, все проверять и взвешивать.

    ОтветитьУдалить
  10. Анонимный3 марта 2014 г., 0:10

    А как насчёт такой идеи?

    Сложение — это элементарная операция, в то время как умножение — фактически, краткая запись сложения: вместо "3 + 3 + 3 + 3 + 3" мы пишем "3 * 5". Если посмотреть на арифметические действия с этой стороны, становится вполне очевидно, что сначала нужно "расшифровать" умножение, а уже потом производить сложение как ряд однородных операций.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Мне эта идея не нравится. Она подгоняет порядок действий под существующую догму определения умножения, с которой лично я категорически не согласен.

      Удалить
  11. Объяснение слишком сложное и несколько не верное. Умножение либо деление делается первым только что бы было понятно что в дальнейшем складывать или вычитать. Вон задачка с яблоками в комментариях была бы лучшим примером. Где наглядно показано, что если сложить яблоки собранные девочкой и яблоками из 1 корзинки, а потом умножить на 3 принесённые мальчиком корзинки, то получится полная чушь.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Трудно поспорить. Придется на досуге текст переписать, поскольку сочинялось всё на скорую руку.

      Удалить
    2. Современная математика имеет обширный раздел Абстрактной алгебры, арифметика и действия над яблоками, могут рассматриваться как счетные палочки в начальной школе, которые хоть как то могут ассоциировать(сопоставить) сложные на тот момент развития человека сложные математические понятия. Алгебра определяет множества элементов и операции над ними, причем операции должны отображать результат на это же множество. То есть любая операция и\или их последовательность порождает элемент того же множества. Так что умножение или сложение двух яблок между собой в Алгебре занятие довольно бессмысленное. Если говорить о множестве натуральных чисел, которые в подсознании "блондинок" хоть как то присутствует, то сложение и умножение и ПОРЯДОК их выполнения на этих множествах определены - множество бесконечно и результат существует всегда, а вот с делением посложнее. Складывать с нулем и делить на единицу можно всегда, а вот 2 поделить на три - никогда. Такое деление существует только на множестве вещественных чисел натуральные - это их часть или подмножество. В общем виде и умножение это не всегда последовательное сложение количества раз второго члена операции. Смысл того что я хотел сказать - в мире окружающих нас(обывателей) вещей порядок надо знать и соблюдать во всем, а скобки в выражениях,в нашем (обывательском) смысле, должны использоваться для ИЗМЕНЕНИЯ порядка операций. Ну а калькулятору/блондинке придется их указать. В программировании есть понятие - по умолчанию - это когда все знают и если не указано, то используют всегда одно и то же.

      Удалить
    3. Теория множеств - это каменный век математики. Очень похоже на алхимию. "Алгебра определяет множества элементов и операции над ними, причем операции должны отображать результат на это же множество." Множества определяет не алгебра, а шаманы. Операции над множествами тоже шаманы определяют. Эти же шаманы считают, что "операции должны отображать результат на это же множество". Алхимики считали, что золото можно получить из чего угодно. Наука подросла, повзрослела - алхимия исчезла. Только математика до сих пор барахтается в пеленках множеств.

      Удалить
  12. А кто знает почему в начале идет умножение и деление а потом сложение и вычитание ?
    Это пошло с древних времен когда математика служила торговцам для учета товаров.
    Например я торговец и вдоль меня идет караван с моим товаром - горшками, идет быстро и посчитать нужно быстро.
    на первом верблюде -2 горшка
    на втором - 2 горшка
    на третьем три ряда по 3 горшка
    на четвертом три ряда по 4 горшка
    поэтому торговец быстро записывает : 2+2+3*3+3*4
    а потом когда есть время спокойно считает и у него получается 25 горшков

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Судя по количеству горшков на одном верблюде (от 2 до 8), это горшки разной емкости и древний торговец не станет их тупо складывать в кучу. Это могут делать только современные математики :)

      Удалить