среда, 11 июля 2012 г.

Прямоугольный параллелепипед

Вновь поступил вопрос про прямоугольный параллелепипед. И вопрос этот не простой, смотрите сами:

Рёбра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2, 3. Найдите площадь его поверхности. Подскажите, как это переварить?

Прямоугольный параллелепипед площадь поверхности. Задача по геометрии. Математика для блондинок.
Вопрос, конечно, не простой - что такое прямоугольный параллелепипед, как и с чем его едят? В частности, как найти рецепт приготовления площади поверхности этого то ли фрукта, то ли овоща? Так, для начала давайте посмотрим, что это вообще такое - прямоугольный параллелепипед? Вот картинка прямоугольного параллелепипеда.

Прямоугольный параллелепипед. Как выглядит прямоугольный параллелепипед. Вершина, грань, диагональ прямоугольного параллелепипеда. Математика для блондинок.
Как видите, прямоугольный параллелепипед - это, собственно, обыкновенный кирпич. Кстати, если бы Ньютону на голову упала не сфера в виде яблока, а прямоугольный параллелепипед в виде кирпича, то в школе мы вряд ли бы учили его законы. Прямоугольная комната - это тоже прямоугольный параллелепипед, который позволяет вам совершить обзорную экскурсию по его достопримечательностям прямо изнутри. Если вы хотите произвести внешний осмотр достопримечательностей сего математического чуда, тогда возьмите в руки коробку из-под обуви и можете вертеть её, сколько душе угодно.

И так, прямоугольный параллелепипед на картинке дает нам возможность увидеть вершины, ребра и диагонали. Вершины мы можем потрогать пальцем, ребра мы можем измерять, диагональ можем высчитать. Нам сейчас диагональ не нужна. Закон движения учеников в классе знаете? Если леди-учитель покидает класс, класс движется быстрее. Закон решения задач очень похож: чем меньше всякой ерунды нам нужно искать, тем проще задача.

Первая проблема, с которой мы сталкиваемся в задаче, это проблема сленга. Задача сформулирована на бытовом сленге, а все формулы и определения в математике формулируются на математическом сленге. Поэтому нам самим предстоит выполнить перевод. Приступаем к поэтапному переводу, по фразам.

"Рёбра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины ..." - собственно, здесь говорится о тех ребрах, которые позволяют нам определить размеры прямоугольного параллелепипеда и на основании этих размеров выполнить все необходимые вычисления. На картинке это ребра a, b и c. Кто бы сомневался, что именно эти три ребра нам дадут по условию, но только не я. Ни один математик вам этого не скажет (не потому, что они этого не знают, а из боязни нарваться на очень неудобные вопросы), но если в условии задачи дать две длины параллельных ребер и одного перпендикулярного им, то нашу задачу в принципе решить будет невозможно. В прямоугольном параллелепипеде из любой вершины всегда выходит три взаимно перпендикулярных ребра. Вот по этому в нашей задаче прямо говорится об этом. Если верить Священным Писаниям разных религий, то именно из одного такого ребра сотворены все прямоугольные параллелепипеды, задачи о которых решает вся прекрасная половина человечества.

Следующая фраза "... равны 1, 2, 3" обозначает, что нам не нужно искать этот злополучный прямоугольный параллелепипед и свою линейку, чтобы измерить длины его граней, как это показано на рисунке. Тот, кто эту задачу придумал, уже сам всё измерил (или выдумал эти размеры, что в данном случае принципиального значения не имеет). Кто есть кто в этом списке чисел? Где длина, ширина, высота нашего параллелепипеда? Нам это без разницы. Как бы мы этот прямоугольный параллелепипед не крутили, площадь его поверхности всегда будет оставаться неизменной. Предыдущие поколения математиков этот факт не единожды проверили. Когда мы доберемся до решения, мы сами в этом убедимся.

Теперь вопрос, в чём же конкретно измеряется наш прямоугольный параллелепипед и площадь его поверхности? В каких единицах измерения? Ответ довольно прост - в любых единицах измерения длины. Англичане и американцы любят дюймы, футы, мили. Мы предпочитаем сантиметры, метры, километры. В чем измеряют длину инопланетяне? Мы вообще не знаем. Да нам эти единицы измерения и не важны. В чем бы мы не измеряли длину граней, циферки возле длин и площади будут одинаковыми. Циферки остаются, единицы измерения меняются. Вот два способа получения результата в математике.

разные числа + одинаковые единицы измерения = разный результат

одинаковые числа + разные единицы измерения = разный результат


Приблизительно, как в этом счетчике. Крутим одно колесико - меняются числа. Крутим другое колесико - меняются единицы измерения. Так устроена настоящая математика, маленький кусочек которой мы сейчас рассматриваем.

Математика. Как выглядит настоящая математика. Математика для блондинок.
Это уже не детская математика, придуманная специально для того, чтобы мучить нас задачками. Это взрослая математика, одинаковая для всех.

В нашей задаче мы измеряем всё в абстрактных единицах измерения длины. Соответственно, полученная нами площадь будет измеряться в этих же единицах измерения, возведенных в квадрат.

Теперь нам осталось только достать из глубокого кармана шпаргалку с формулами для прямоугольного параллелепипеда и посмотреть, чего полезного для нас там имеется.

Прямоугольный параллелепипед формулы. Вершина, ребро, грань. Формула диагонали, площадь поверхности полная, боковая, основания. Объем прямоугольного параллелепипеда. Математика для блондинок.
Что вообще есть в этой шпаргалке? Формула диагонали прямоугольного параллелепипеда, формула объема. Есть несколько формул для площади поверхности: полная, основания, боковая. Вот одна из этих формул нам как раз нужна. Разберемся в площадях на примере коробки для обуви. Площадь основания - это площадь донышка или крышки коробки. Площадь боковой поверхности - это боковые стеночки коробки без донышка и крышки. Полная площадь - это боковые стеночки вместе с донышком и крышкой.

Теперь смотрим в условие задачи и определяем, "чё тебе надобно, старче?". А надобно ему (ей, им) "площадь поверхности". Если уточнений типа "боковой" или "основания" нет, значит искать нужно полную площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда. Длины трех граней у нас есть, формула тоже, можно произвести расчет. Заморачиваться с основаниями и боками нам нет смысла.

Прямоугольный параллелепипед решение задачи. Полная площадь поверхности. Математика для блондинок.
Как видим, полная площадь поверхности нашего прямоугольного параллелепипеда получилась равной 22 единицы в квадрате. Какие именно единицы? А какие вам не жалко или какие вы больше всего любите.

По просьбе учащихся добавляю картинку про сумму длин ребер прямоугольного параллелепипеда.

Сумма ребер прямоугольного параллелепипеда. Формула, кртинка. Прямоугольный параллелепипед периметр. Математика для блондинок.
Сумма ребер прямоугольного параллелепипеда
Сумму длин всех ребер параллелепипеда я обозначил через букву "P", поскольку она очень похожа на периметр прямоугольника. Кстати, в формуле длин всех ребер я этого не записал, но если мы возьмем три фигурообразующие грани прямоугольного параллелепипеда, которыми являются прямоугольники, то сумма длин всех ребер параллелепипеда будет равна сумме периметров этих прямоугольников.

Спонсор страницы: был, да сплыл.

290 комментариев:

  1. Анонимный12 июля 2012 г., 3:02

    Найдите площадь поверхности прямой призмы с боковым ребром , равным 5 , в основании которой лежит ромб с диагоналями , равными 3 и 4 .
    помогите пожалуйста понять !

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. На листочке рисуем ромб. В вершинах вертикально ставим четыре спички. Сверху мысленно дорисовываем такой же ром. Это наша призма - коробочка для подарка в виде ромбика.

      Площадь поверхности этого создания равна, как и у всех призм, двум площадям оснований плюс площадь боковых граней (их четыре).

      В основании ромб. Его площадь равна половине произведения диагоналей.

      3*4/2=6

      Площадь боковой грани равна произведению бокового ребра (5) на сторону ромба (?). Теперь нужно найти сторону ромба.

      Диагонали ромба всегда расположены под прямым углом. Точка пересечения диагоналей делит их пополам. Имеем четыре одинаковых прямоугольных треугольника, у которых гипотенуза - это сторона ромба. Теорема Пифагора - это то, что доктор прописал при подобных симптомах. Делим диагонали пополам, возводим половинки в квадрат, складываем в кучку и выковыриваем из этого квадратный корень.

      sqrt(1,5^2+2^2)=sqrt(2,25+4)=sqrt6,25=2,5

      Теперь ищем площадь боковой поверхности.

      4*2,5*5=50

      Полная площадь поверхности призмы равна:

      6*2+50=12+50=62

      Всё. Блюдо готово, прошу к столу. Кушайте, только не обляпайтесь:)

      Удалить
    2. Анонимный12 июля 2012 г., 13:18

      спасибо большущее , очень помогли !

      Удалить
  2. Ребро куба равно а м. от этого куба отрезан прямоугольный параллелепипеда, высота которого равна h м. Найдите обьём оставшейся части.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Объем параллелепипеда равен h*a^2
      Объем огрызка куба будет равен
      (a-h)*a^2 что равно a^3-h*a^2

      Удалить
  3. Боковая поверхность прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием равна 12 см2. Найдите диагональ боковой грани,учитывая,что диагональ основания равна корень из 2 см.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Из теоремы Пифагора находим, что диагональ квадрата равна корню из двух умноженному на длину стороны. Отсюда сторона квадрата равна диагонали, деленной на корень из двух. В нашем случае сторона квадрата равна 1 см.

      Площадь боковой поверхности равна периметру, умноженному на высоту прямоугольного параллелепипеда. Периметр у нас 1*4=4 см, тогда высота равна 12/4=3 см.

      По теореме Пифагора квадрат диагонали боковой грани равен сумме квадратов стороны основания и высоты 1*1+3*3=10

      Сама диагональ боковой грани равна корню квадратному из 10.

      Удалить
  4. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания относятся как 2:3, а диагональное сечение есть квадрат с площадью 169. Найдите объем параллелепипеда.
    Ответ 1014. Интересно было бы решение. Спасибо большое!

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Методом научного тыка удалось выяснить, что диагональное сечение образовано диагональю основания и высотой. Высоту прямоугольного параллелепипеда определяем как корень квадратный из 169 и равна она 13. Диагональ основания так же равна 13.

      Зная соотношения сторон основания и диагональ основания, запишем теорему Пифагора, обозначив стороны основания 2х и 3х:

      4x^2 + 9x^2 = 13^2
      13x^2 = 13^2
      x^2 = 13

      Икс равняется корню квадратному из 13. Считаем объем параллелепипеда. Два корня из 13 умножаем на три корня из 13 - это площадь основания. Она равна 2*3*13=78

      Теперь умножаем на высоту 78*13=1014

      Удалить
  5. сторона основания и диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 8 дм, 9 дм и 17 дм чему равна площадь диагонального сечения этого параллелепипеда

    ОтветитьУдалить
  6. Даны основания прямого параллелепипеда 3дм и 5 дм острый угол равен 60 градусов . Найдите высоту параллелепипеда, если его большая диагональ равна 25 дм.

    ОтветитьУдалить
  7. стороны основания прямого параллелепипеда равны 3 дм и 5 дм, острый угол равен 60 градусов.Найдите высоту параллелепипеда, если его большая диагональ равна 25 дм.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Здесь много рисовать надо. Расскажу на пальцах. В основании лежит параллелограмм со сторонами 3 и 5 дм и углом 60 градусов. Нужно найти его длинную диагональ (формул не нашел, юзаем теорему Пифагора).
      Корень из {(5 + 3cos60)^2 + (3sin60)^2} = 7 дм
      Диагональ параллелограмма, диагональ параллелепипеда и высота образуют прямоугольный треугольник. Теперь по теореме Пифагора находим высоту.
      Корень из (25^2 - 7^2) = 24 дм

      Удалить
  8. дан прямоугольный параллелепипед где АВ=3,ВС=2,ВВ1=4.Задайте прямоугольную систему координат Oxyz и определите сумму координат точки пересечения диагоналей грани DD1C1C.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Задача рассчитана на тупых дрессированных обезьян. Как я подозреваю, прочитав задание, мы должны поместить центр системы координат в вершину В, оси совместить с тремя гранями АВ, ВС, ВВ1 и приступить к вычислениям координат указанной точки, применяя теорему Пифагора. Наверное, именно такого решения ждут учитель и составители задачи. В таком случае, они вообще не представляют, что такое система координат, как и для чего нею можно пользоваться.

      Любое разумное существо центр системы координат поместит в точку пересечения диагоналей грани DD1C1C и сумма координат этой точки будет равняться нулю. В какую бы сторону мы не направили оси. Нам вычислять ничего не нужно. Задача по правильному размещению системы координат именно так и должна решаться. (Система координат принадлежит нам - куда хотим, туда и помещаем). Но за такое решение, скорее всего, вам поставят двойку. Дело в том, что учителя сами вынуждены выступать в роли дрессированных обезьян и выполнять то, что от них требуют. Таковы правила бюрократических игр в образование.

      Удалить
  9. здравствуйте,помогите пожалуйста с решением задачи.
    В прямом парпалелепипеде рёбра, выходящие из одной вершины, равны 1м 2м и 3м, причём два меньших образуют угол 60 градусов.Опредилить диагонали этого паралелепипеда.

    ОтветитьУдалить
  10. Даны основания прямого параллелепипеда 3дм и 5 дм острый угол равен 60 градусов. Найдите высоту параллелепипеда, если его большая диагональ равна 25 дм. как это решается?

    ОтветитьУдалить
  11. основанием прямой призмы служит ромб,диагонали призмы 8 и 5,высота 2. Найти сторону основания

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Нужно пользоваться теоремой Пифагора. Диагональ призмы, диагональ ромба в основании и высота призмы образуют прямоугольные треугольники. Находим длины диагоналей ромба:

      корень (8^2-2^2)= корень (64-4)= корень из 60
      корень (5^2-2^2)= корень (25-4)= корень из 21

      Две половинки диагоналей и сторона ромба образуют прямоугольный треугольник. Рецепт тот же - теорема Пифагора:

      корень ((60-21)/4)= корень (39/4) = 3.1225

      Удалить
  12. найти объём прямоугольного параллепипеда, если извесны его длина 3дм,ширина 3дм и высата 3дм. памагите решить

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. А формулу объема записать забыл... Нужно умножить длину на ширину и высоту:

      3*3*3=9*3=27 дм^3

      Так как все размеры заданы в дециметрах, то в результате получается 27 кубических дециметров.

      Удалить
  13. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб с диагоналями в 6 см и 8 см; диагональ боковой грани равна 13 см. Определить площадь основания, площадь всех боковых граней параллелепипеда.

    ОтветитьУдалить
  14. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 диагональ AC1=17, ребра AB=9, BC=8. Найти BB1.

    ОтветитьУдалить
  15. Николай, добрый вечер! Хотела спросить про формулу боковой поверхности параллелепипеда - как объясняется связь между суммой двух ребер и произведением высоты???!(( как это объяснить ребенку? или эта формула не выводится? она принимается, как факт? спасибо!!!

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. В математике выводится всё. Раскройте скобки и вы получите удвоенную сумму произведения ребер на высоту. Произведение ребра основания на высоту - это площадь одной прямоугольной боковой грани. В основании у нас прямоугольник, значит мы имеем четыре боковых грани. При этом противоположные боковые грани являются прямоугольниками и они равны.

      Можно посмотреть с другой стороны. Удвоенная сумма ребер основания - это периметр прямоугольника, лежащего в основании. Если этот периметр умножить на высоту параллелепипеда, мы сразу получим площадь четырех боковых граней.

      В математическом виде все эти рассуждения сводятся к простому равенству:

      2*c*(a+b)=a*c+b*c+a*c+b*c

      Удалить
    2. Кстати, рекомендую попросить ребенка самого раскрыть скобки и довести выражение до четырех слагаемых. Потом показать ему, что каждое из этих слагаемых является площадью бокового прямоугольника. Потом предложите ему выполнить преобразования четырех слагаемых в обратном порядке, чтобы получилась исходная формула.

      Удалить
  16. Объём прямоугольного параллелепипеда равен 16. Боковое ребро равно 4. Найти острый угол между диагоналями основания параллелепипеда, если его диагональное сечение имеет имеет форму квадрата.

    ОтветитьУдалить
  17. Спасибо Вам огромное! я так и сделала. надеюсь, что ребенок мой не будет ленивой и захочет подумать сама))

    ОтветитьУдалить
  18. диагональ основания прямоугольного параллелепипеда равна 10 см а диагонали боковых граней 2 корня из 10 см и 2 корня из 17 см. найдите объем параллелепипеда.
    Помогите решить пожалуйста!

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Это решение системы трех уравнений с тремя неизвестными. Неизвестные - это ребра прямоугольного параллелепипеда. Уравнения - это теоремы Пифагора для диагоналей. Квадрат диагонали ребра равен сумме квадратов образующих эту грань ребер (a и b, b и c, c и a). Длины диагоналей у нас даны. Решив систему, найдем длины ребер.

      А с объемом совсем просто - перемножаем длины ребер между собой:

      V=a*b*c

      Удалить
    2. Спасибо!)

      Удалить
  19. А=6,3см,Б=3,5см,С=10,4

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Берем три банана и складываем в кучку
      6,3*3,5*10,4
      После этого указательным пальцем (с предварительно обгрызенными ногтями) тыкаем в кнопочки калькулятора. Если удалось выковырять число 229,32 значит можно съесть один честно заработанный банан.

      Удалить
  20. Помогите решить задачу срочно!
    Куб и прямоугольный параллелепипед имеют одинаковую сумму длин всех ребер равную 72см.Длина параллелепипеда в 3 раза больше высоты а ширина в 2 раза больше высоты.
    а)На сколько квадратных см кв. S поверхности куба больше S поверхности параллелепипеда ?
    б) На сколько кубических см объём куба больше объёма параллелепипеда?

    ОтветитьУдалить
  21. в параллелепипеде авсда1в1с1д1 ребро вв1=6 см дс=5 см угол ваа1=60 градусов.Чему ровну площать грани дд1с1с

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. в параллелепипеде авсд а1в1с1д1 сечение, проведенное через ребра ав и д1с1 является прямоугольником вд1=2ав найдите угол между диагоналями параллелепипеда

      Удалить
  22. найти наибольший объем,который может иметь прямоугольный параллелепипед,если поверхность его равна S
    помогите пожалуйста((((

    ОтветитьУдалить
  23. помогите пожалуйста решить задачу))
    Периметр основания прямоугольного параллелепипеда 8м, высота 3м. Какой длины должны быть стороны основания, чтобы объем параллелепипеда был наибольшим?

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Насколько понимаю я, стороны основания должны быть равны. Как нужно записывать такое решение для математиков, я не знаю.

      Удалить
  24. Николай помогите!!! В прямоугольном параллелепипеде площадь одного основания 24см2, а второго 12см2. Одно ребро у них общее. Необходимо найти длину всех рёбер... Заранее спасибо!!!

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Сорри, но я не имею понятия, как такое решается.

      Удалить
  25. Длины рёбер прямоугольного параллелепипеда равны 6см,6см и 8 см.
    1.Постройте сечение параллелепипеда плоскостью,проходящей через середины этих рёбер.
    2.Найдите периметр этого параллелепипеда.
    Пожалуйста,помогите решить данное задание.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Берем нож и отрезаем один уголок так, чтобы нож разрезал три перпендикулярных ребра ровно по середине. Отрезанная часть будет представлять из себя треугольную пирамидку.

      Периметр прямоугольного параллелепипеда определяется как сумма двух периметров основания и четырех высот. Можно в параллелепипед потыкать пальцем и высчитать, что каждое ребро встречается в этом чуде природы ровно четыре раза. То есть, сумма длин всех ребер (периметр параллелепипеда) равна сумме перпендикулярных ребер, умноженной на четыре:

      4*(6+6+8)=80 см

      Вот так.

      Удалить
  26. аквариум иммет форму прямоугольного паралеллепипеда.Его боковые стенки стеклянные.Определите площадь поверхности стекла,если длина 50см,ширина 25см,а высота 30см.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Нужно определить площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда. Она будет равна площади поверхности стекла аквариума. Для этого периметр основания (две длины плюс две ширины) нужно умножить на высоту:

      Sбок=(2a+2b)c=2c(a+b)=2*30*(50+25)=4500 см^2

      Получилось, что площадь поверхности стекла в таком аквариуме равна 4500 квадратных сантиметра.

      Удалить
  27. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 диагональ AC1=17, ребра AB=9, BC=8. Найти BB1

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Используем теорему Пифагора для прямоугольного параллелепипеда: квадрат диагонали равен сумме квадратов перпендикулярных ребер. Два ребра и диагональ у нас имеются в наличии, ищем недостающее ребро.

      289-81-64=144

      Выковыриваем квадратный корень и получаем чудненькое ребро длиной 12 не понятно чего - мой любимый размер:)

      Удалить
  28. В прямоугольном параллелепипеде периметр основания равен 16, площадь полной поверхности 142 см в кв,объем 105 см в кубе,найти диагональ

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Диагональ равна корню квадратному из суммы квадратов сторон. Вот теорема Пифагора для прямоугольного параллелепипеда:

      a^2+b^2+c^2=d^2

      Чтобы найти стороны этого чудовища, нужно решить маленькую систему из трех уравнений с тремя неизвестными.

      Первое уравнение - периметр основания параллелепипеда

      2a+2b=16
      a+b=8

      Второе уравнение - площадь полной поверхности

      2ab+2bc+2ac=142
      ab+bc+ac=71

      Третье уравнение - объем прямоугольного параллелепипеда

      abc=105

      Из первого уравнения находим b

      b=8-a

      Из третьего уравнения находим с

      c=105/(ab)=105/(a(8-a))

      Берем эти две фигни и засовываем их во второе уравнение. Приводим уравнение к общему знаменателю, решаем и находим одну сторону по кличке "a". Формулы для нахождения других сторон у нас уже есть, из них получаем значения "b" и "c".

      После этого подставить размеры сторон в теорему Пифагора и выковырять из этого квадратный корень - просто детская забава:)

      Удалить
    2. Когда я решал точно такую же задачу с другими циферками, я попал на другой сайт и нашел точно такое решение. Но там я выполнил подстановку и вывел уравнение четвертой степени. Мельнула мысль: "Это какой же идиот дает подобные решения". Как оказалось, иногда я сам выступаю в роли идиота.

      Изящное решение этой задачи написано в комментарии от 10 февраля 2013 года (вопрос от 7 февраля). Там я вывел обычное квадратное уравнение. Как всегда, дальше я не решал. Опять наступаю на те же грабли.

      Удалить
  29. Извините,помогите решить задачу:Найди объём прямоугольного параллелепипеда,измерения которого равны:4 м.,5 м.,7 м.,

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Измерения - это как раз и есть те штуки, которые нужно перемножать, чтобы получить объем прямоугольного параллелепипеда:

      V=4*5*7=140 м3

      И блондинки, и математики в слово "измерения" вкладывают одинаковый смысл - это то, что главное, а не то, что в принципе можно измерять. Кого интересует расстояние от пятки до мизинца у блондинки? Ни-ко-го. А вот 90, 60, 90 даже математики очень отчетливо представляют. Им даже единицы измерения указывать не нужно:)

      Удалить
  30. помогите пожалуйста.. Ромб задан вершинами А(0;3), В(3;1), С(4;-1),D(1;-1)найти его точки пересечения

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Вот онлайн калькулятор. В окошке поставьте цифру 4 - это количество вершин ромба. Нажмите кнопку "Ввести координаты точек". Введите координаты вершин ромба. У меня ромб не получился, какая-то каракатица вышла.

      Удалить
  31. Николай, прошу помочь мне пожалуйста. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна L и составляет с основанием параллелепипеда угол в 30 градусов, а с одной из боковой граней угол в 45 градусов. Нужно найти объем параллелепипеда.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Два ребра будут равны диагонали, умноженной на синус одного из углов. Это эль, деленная пополам и эль, деленная на корень из двух. Третью грань находим по теореме Пифагора для прямоугольного параллелепипеда: квадрат диагонали равен сумме квадратов трех ребер. Отсюда третье ребро равно эль пополам.

      Перемножив три ребра получим объем. Он равен эль в кубе, деленное на четыре корня из двух.

      Удалить
  32. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда относятся как 1:3. Найдите возможные измерения прямоугольного параллелепипеда, если высота параллелепипеда равна диагонали основания. Помогите решить)

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Я не математик и не знаю, чего хотят эти изверги:)

      Диагональ, а следовательно и высоту, можно найти по теореме Пифагора. Теперь варианты.

      Принимаем за "а" первую сторону основания. а=1 Тогда измерения равны "а", "3а" и корень из 10, умноженный на "а".

      Принимаем за "а" вторую сторону основания. а=3 В этом случае измерения равны 1/3 от "а", "а" и корень из 10, деленный на 3 и умноженный на "а".

      Наверное, так.

      Удалить
  33. Известно, что в прямоугольном параллепипеде ABCDA1B1C1D1 диагональ DB1=15, AB=2, B1C1=5.Найдите объем параллепипеда

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Объем равен произведению трех измерений (ребер). Два нам известны из условия. Третье можно найти по теореме Пифагора - квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех измерений (ребер). Размер диагонали известен по условию.

      Должно получиться: третье измерение (высота АА1 или ВВ1 или...) 14 единиц, объем прямоугольного параллелепипеда равен 700 единиц в кубе.

      Удалить
  34. стороны основания и диагональ прямоугольного параллелепипеда 8 дм,8 дм и 9 дм. найти S диагонального сечения.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Такого прямоугольного параллелепипеда быть не может. Проверку теоремой Пифагора этот набор цифр не проходит:

      9*9=81
      8*8+8*8*=64+64=128 а ведь нужно ещё квадрат третьей стороны прибавить.

      Удалить
  35. Дан прямоугольный параллелепипед АВСДА1В1С1Д1, где основанием АВСД является ромб, угол ВАД=30 грдусов, АВ=18, ВВ1=12, найти площадь АВСД1
    Николай попробуйте это решить, пожалуйста!

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. А площадь действительно нужно найти той фиги, которая скручивается из буковок АВСД1. Это два треугольника, расположенные в разных плоскостях.

      Удалить
  36. Три измерения прямоугольного параллелепипеда равны 1м, 2м, 3м. Найдите: а) Сумму длин всех его ребер; б)Сумму S всех его граней - площадь поверхности; в) Длины его диагоналей.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. а=1м, b=2м, с=3м

      а) Р=4(а+b+c)=4(1+2+3)=4*6=24м

      б) Формула полной площади поверхности есть в статье на картинке. Подставляем, решаем, получаем 22 м2.

      в) Формула для диагонали написана выше предыдущей формулы. Все диагонали одинаковые и равны корню квадратному из 14.

      Удалить
    2. Спасибо вам большое!

      Удалить
  37. Три ребра параллелепипеда имеющие общую вершину равны 2м, 3м и 5м, а одна из диагоналей равна 6м. Является ли этот параллелепипед прямоугольным?

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Юзаем теорему деда Пифагора. Если сумма квадратов ребер равна квадрату диагонали, значит параллелепипед прямоугольный. Если равенство не сходится, значит вас в магазине обманули.

      2*2+3*3+5*5=4+9+25=38
      6*6=36

      Таки, обманули.

      Удалить
  38. диагональ одной из граней прямоугольного параллепипеда равна 15 см, а ребро, перпендикулярное к этой грани, имеет длину 8 см. найдите диагональ параллепипеда.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. По теореме Пифагора для банального прямоугольного треугольника

      d^2=15*15+8*8=225+64=289

      Извлекаем квадратный корень и получаем приз в виде диагонали длиной 17 сантиметров.

      Удалить
  39. Ответы
    1. Рисунок за отдельную плату!!!

      Удалить
    2. а без рисунка?

      Удалить
    3. Рисунки будут к решению другой задачи, там разных рисунков целая куча. Сегодня будет опубликовано, по-позже. Заглянете и всё увидите, как из диагонали грани и ребра получается диагональ.

      Удалить
  40. Диагональ прямоугольного параллелепипеда образует с меньшей гранью угол B. Через большие стороны верхнего и нижнего основания проведено сечение, образующее с плоскостью основания угол a. Зная, что пириметр основания равен p, найдите измерение параллелепипеда.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Интересно, найдется в этом мире человек, который научит математиков разговаривать по человечески? "Через большие стороны верхнего и нижнего основания проведено сечение, образующее с плоскостью основания угол a" - что бы переварить это, мне нужно время. Я догадываюсь, что этим пытались сказать, но уровень чужого маразма всегда непредсказуем.

      Удалить
    2. Объясняю по человечески. Угол между диагональю прямоугольного параллелепипеда d и диагональю меньшей грани d1 равняется В. Сечение проходит через эту же диагональ d1 и образует угол с измерением "а" равный А. Фактически наши диагонали являются диагоналями двух перпендикулярных прямоугольников - сечение и малая грань. Стороны прямоугольного сечения равны "с" и d1, диагональ d. Стороны прямоугольной малой грани равны "а" и "b", диагональ d1. Сторона любого прямоугольника равна произведению диагонали на синус или косинус угла между одной из сторон и диагональю.Теперь тригонометрия. Выражаем измерения "a", "b" и "c" через диагональ прямоугольного параллелепипеда.

      d1=dcosB
      a=d1cosA=dcosBcosA
      b=d1sinA=dcosBsinA
      c=dsinB

      Выражаем периметр через диагональ прямоугольного параллелепипеда. Отсюда находим, чему равна диагональ.

      p=4(a+b+c)=4d(cosBcosA+cosBsinA+sinB)
      d=p/[4(cosBcosA+cosBsinA+sinB)]

      Теперь выражаем измерения через периметр.

      a=pcosBcosA/[4(cosBcosA+cosBsinA+sinB)]
      b=pcosBsinA/[4(cosBcosA+cosBsinA+sinB)]
      c=psinB/[4(cosBcosA+cosBsinA+sinB)]

      Приблизительно так.

      Удалить
  41. БУДЬТЕ ТАК ДОБРЫ, помогите решить задачку с развернутым ходом решения.
    В прямоугольном параллелепипеде стороны основания относятся как 3:4, а площадь боковой поверхности равна 28. Тогда площадь диагонального сечения АА1СС1
    равна ...

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Обозначим через икс одну часть отношения сторон. Тогда размеры основания равны 3х и 4х. По теореме дедушки Пифагора находим диагональ - она равна 5х. Пусть высота прямоугольного параллелепипеда равна h. В этом случае площадь боковой поверхности равна периметру основания (удвоенная сумма сторон) умноженному на высоту:

      Sбок=2(3х+4х)h=14хh

      Площадь диагонального сечения будет равна произведению диагонали основания на высоту:

      Sсеч=5хh

      Отношение диагонального сечения к площади боковой поверхности равно:

      Sсеч/Sбок=5хh/(14хh)=5/14 (икс и высота сокращаются)

      Отсюда находим площадь диагонального сечения:

      Sсеч=5Sбок/14=5*28/14=5*2=10

      Вот, готово.

      Удалить
    2. Спасибо, Николай! Ни за что бы не додумалась соотнести Sсеч с Sбок, а про х мысли были.

      Удалить
    3. Сам в шоке:) Кстати, очень интересный способ решения, в смысле избавления от любого количества неизвестных.

      Удалить
  42. ABCDA1B1D1C1 - прямоугольный параллелепипед. Стороны основания: 12см и 5 см. Диагональ параллелепипеда с основанием образует угол 45 градусов. Найти боковое ребро.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Смотрим <a href="http://www.webstaratel.ru/2013/02/diagonali-prjamougolnogo-parallelepipeda.html>сюда</a>, вторая картинка, средний ряд с зелеными треугольниками. По правой картинке находим диагональ основания по теореме Пифагора. А дальше детский сад.

      По левой картинке видим, что 45 градусов дают равнобедренный треугольник, значит боковое ребро равно диагонали основания. В математике это мудрое заключение описывается так.

      Тангенс 45 градусов равен единице. А сам тангенс - это отношение бокового ребра к диагонали основания. Отсюда боковое ребро равно диагонали основания, умноженной на тангенс угла между диагональю параллелепипеда и основанием. Вот и получается, что боковое ребро равно диагонали.

      Удалить
    2. Огромное спасибо.

      Удалить
    3. Огромное пожалуйста:) Только ссылка у меня не получилась, прошу прощения:)

      Удалить
  43. Николай, помогите пожалуйста решить следующую задачу.
    В правильной треугольной пирамиде SABC М - середина ребра АВ, S - вершина. Известно, что ВС=3, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 45. Найдите длину отрезка SМ. Заранее Вам спасибо!

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Пирамида правильная - проекция вершины совпадает с центром основания. Пирамида правильная треугольная - в основании лежит правильный, он же равносторонний треугольник. В этом случае площадь боковой грани равна 45/3=15, а её высота 2*15/3=10 Боковая грань представляет собой равнобедренный треугольник. У такого треугольника высота делит основание треугольника пополам. Так что найденная нами высота является искомой длиной отрезка SM.

      Удалить
  44. 1)В прямой треугольной призме стороны основания равны 3 , 4, 5см. Полная поверхность равна 84 см². Найдите боковую поверхность призмы и высоту.

    2)Стороны основания прямоегольного параллелепипеда равна 3 и 4см,а его полная поверхность равна 66 см2.Найти обьем параллепипеда

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. 1) По теореме Пифагора треугольник в основании прямоугольный. Тогда площадь основания 3*4/2=6 см2. Площадь боковой поверхности 84-2*6=72 см2.
      Высота призмы - это площадь боковой поверхности, деленная на периметр основания 72/(3+4+5)=6 см.

      2) Два размера у нас есть, нужно найти высоту, чтобы определить объем. Площадь основания 3*4=12 см2. Площадь боковой поверхности 66-2*12=42 см2. Высота прямоугольной призмы 42/(2*3+2*4)=3 см. Объем равен 3*4*3=36 см3.

      Удалить
  45. Спасибо но вторую задачу я так и не понила

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Записал решение двух задач. Решения очень похожи, хотя фигуры дразнятся по-разному. В одной основанием является треугольник, во второй - прямоугольник. Форма основания на принципы решения задач не влияет. Просто по разным формулам находят площадь и периметр основания для разных геометрических фигур - треугольник, четырехугольник, круг, шестиугольник...

      Удалить
  46. здравствуйте.помогите пожалуйста решить задачу,если не трудно.найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда,если периметр его основания равен 26 см,площадь полной пов-ти -112,и объем-80

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Не могу решить. У меня корни квадратного уравнения почему-то в комплексных числах получаются. А этого быть не может.

      Удалить
    2. Нэ мала баба клопоту, купыла гэомэтрию... Вот пример решения этой задачи. Но я попытался решить подобным способом и залез в уравнение четвертой степени. Решением таких уравнений я не занимаюсь.

      У меня решение другое. Вот оно.

      2(a+b)=26 это периметр основания
      a+b=13
      2(ab+ac+bc)=112 это полная площадь
      ab+ac+bc=56
      ab+(a+b)c=56
      ab+13c=56
      ab=56-13c
      abc=80 это объем
      (56-13с)с=80
      13с^2-56c+80=0
      Это квадратное уравнение не имеет действительных корней. Печалька.

      Вот Геометрия, 11 класс. Задачник (Е. В. Потоскуев, Л. И. Звавич) 2004 год. Страница 54, задача 2.149 периметр 16 см, площадь 168 см2, объем 108 см3. Эта задача сводится к квадратному уравнению

      8c^2-84c+108=0

      Это уравнение имеет корни 9 и 3/2, задача решается.

      Удалить
    3. Кстати, методом научного тыка удалось установить, что прямоугольный параллелепипед с основанием 3 см и 10 см, высотой 2 см будет иметь периметр основания 26 см, площадь поверхности 112 см2, только объем его составляет не 80, а 60 см3.

      Удалить
  47. Здравствуйте.Помогите пожалуйста решить задачу.
    Основание параллелепипеда-квадрат с диагональю 8 корней из 2 см.Одна из сторон нижнего основания является проекцией ребра параллелепипеда,составляющего угол 45 градусов.Найдите объем параллелепипеда

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. По теореме Пифагора находим стороны квадрата основания, они равны 8 см.

      a^2+a^2=2*8^2
      2a^2=2*8^2
      a^2=8^2
      a=8

      Площадь основания параллелепипеда равна 8*8=64 см2.

      Параллелепипед является разновидностью призмы, а у призмы объем равен произведению площади основания на высоту. Ребро со стороной основания образуют угол в 45 градусов, следовательно высота, сторона основания и ребро образуют равнобедренный треугольник. Отсюда высота параллелепипеда равна стороне основания и составляет 8 см. Объем параллелепипеда равен 64*8=512 см3.

      Удалить
  48. Спасибо большое!!!

    ОтветитьУдалить
  49. Здрвствуйте! Кричу о помощи, завтра контрольнаяяя(( помогите с задачами:
    Задача 1.
    Диагональ куба равна 6см. Найдите:
    а) ребро куба;
    б) косинус угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней.

    Задача 2.
    Сторона АВ ромба АВСD равна а, один из углов равен 60градусов. Через сторону АВ проведена плоскость альфа на расстоянии а:2 от точки D.
    а) Найдите расстояние от точки С до плоскости альфа.
    б) Покажите на рисунке линейный угол двугранного угла DАМВ, М принадлежит альфа.
    в) Найдите синус угла между плоскостями ромба и плоскостью альфа.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Задача 1. Зная диагональ, ребро можно найти по теореме Пифагора для куба - квадрат диагонали равен трем квадратам ребра.

      3a^2=36
      a^2=12

      Ребро равно двум корням из трех.

      Косинус угла определяется как отношение диагонали грани к диагонали куба (вместе с ребром они образуют прямоугольный треугольник). Диагональ грани находим по теореме Пифагора, она равна двум корням из шести. Косинус угла равен корню квадратному из двух третьих.

      Задача 2. Я об первую задачу чуть мозги не сломал. Сорри, но я не хочу её решать. Мне не интересно.

      Удалить
  50. как найти площадь боковой поверхности прямой призмы с боковым ребром 4 см , в основании которого лежит ромб с диагоналями 6 см и 8 см

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна периметру основания (у нас периметру ромба) умноженному на боковое ребро (у нас оно дано). Диагонали ромба у нас есть. Они расположены под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. По теореме Пифагора можем найти сторону ромба 5 см, периметр составляет четыре стороны, т. е. 20 см. Площадь боковой поверхности 80 см в квадрате.

      Удалить
  51. Здравствуйте! пожалуйста помогите с задачей.
    В пятиугольнике с вершинами А(-4;2) В(2;5)С(5;-1)Д(1;-5)Е(-3;-3)имеют равные длины стороны

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Вопрос от 16 января 2013 года, там в ответе есть ссылка на сервис, который нарисует пятиугольник по координатам. А что в задаче найти-то нужно?

      Удалить
  52. Помогите пожалуйста, очень срочно нужно!!
    Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат диагональ параллелепипеда равна 2 корень 6, а его измерения относятся как 1:1:2. Найдите: а) измерения параллелепипеда
    б)синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Советую прочесть первую задачу с решением от 11 февраля 2013 года, они очень похожи и расположены выше в комментариях.

      По теореме Пифагора находим стороны квадрата основания, они равны два корня из трех см.

      a^2+a^2=6*2^2
      2a^2=6*2^2
      a^2=3*2^2
      a=2*sqrt3

      Третья сторона, она же высота прямоугольного параллелепипеда, равна четырем корням из трех из заданного по условию соотношения сторон.

      Глядя на эмблему своего сайта, я вспоминаю, что синус - это вертикальная палочка, то есть вверх-вниз. Вертикально у нас располагается высота. Из проповедей математиков я помню, что:

      1) синус - это отношение чего-то к чему-то в прямоугольном треугольнике;
      2) синус не бывает больше единицы.

      Идем на эту страницу с диагоналями прямоугольного параллелепипеда и смотрим вторую картинку, зеленый треугольник справа - это наш случай. У прямоугольного треугольника есть два катета и гипотенуза. Как уверяет нас дедушка Пифагор, гипотенуза всегда больше любого из катетов. Синус меньше единицы, значит это отношение одного из катетов к гипотенузе. Следовательно, синус - это отношение вертикального катета (высота параллелепипеда) к гипотенузе (диагональ параллелепипеда). Записуем циферки и получаем, что синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания равен корню из двух на два (если я не ошибся в вычислениях).

      Удалить
  53. Сторона квадрата АВСD равна а. Через сторону AD проведена плоскость альфа на расстоянии а/2 от точки В.
    Найдите :
    а)расстояние от точки С до плоскости альфа
    б) покажите на рисунке линейный угол двугранного угла ВАDM, М принадлужит альфа.
    в)найдите синус угла между плоскостью квадрата и плоскостью альфа.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Нет, в стереометрии я не хочу ковыряться. Мне это не интересно. Не сомневаюсь, там есть красивые задачи. Но переворачивать горы математического мусора ради нескольких изящных решений - это не разумно. Я ещё ценю свое собственное время.

      Удалить
  54. найти площадь боковой поверхности прямой призмы с боковым ребром 4 см в основании которого лежит правильный шестиугольник с меньшей диагональю 8 см.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Если посмотреть на правильный шестиугольник, то это обычная гайка. Меньшая диагональ - это размер гаечного ключа, который аккуратненько скользит вдоль граней от одной меньшей диагонали до параллельной в конце граней. При скольжении вдоль граней меньшая диагональ проходит через центр шестиугольника. Не трудно заметить, что одна меньшая диагональ равна двум радиусам вписанной окружности. От этой печки можно начинать свою пляску с бубнами.

      Радиус вписанной окружности равен половине длины меньшей диагонали шестиугольника и составляет 4 см. Сторона правильного шестиугольника равна два корня из трех, деленные на три от радиуса вписанной окружности. Получается восемь корней из трех, деленных на три сантиметров.

      Площадь боковой поверхности прямой призмы равна периметру геометрической фигуры основания, умноженному на высоту призмы, она же боковое ребро. Периметр правильной шестиугольной призмы равен шести длинам стороны, что составляет шестнадцать корней из трех сантиметров. Площадь боковой поверхности равна шестьдесят четыре корня из трех квадратных сантиметра.

      Удалить
  55. С ДНЕМ СВЯТОГО ВАЛЕНТИНА ВАС

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. И Вас с Днем Святого Влентина! Море любви Вам и океан счастья!

      Удалить
  56. Дан прямой параллелепипед.В основании ромб.Диагонали ромба 20 и 8 см.Угол между меньшей диагональю параллелепипеда и плоскостью основания 45°. Найти объем и длину большей диагонали параллелепипеда

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Вверху справа есть перечень "Математика по темам" и там "ромб (2)" Перейдите по этой ссылке и увидите две задачи про прямой параллелепипед с ромбом в основании. Задачи похожие, вывод формул есть. Если возникнут затруднения - пишите.

      Удалить
  57. в основании прямоугольного параллелепипеда лежит квадрат со стороной а. Боковое ребро равно b. Точка К принадлежит А1В1 и А1К:КВ1=3:1.Через середины ребер AD и CD и точку К проведено сечение. Найти площадь сечения

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Нет, я не соображаю, кокой формы сечение получится. Это нужно быть математиком-хирургом, чтоб точно определять геометрию пересечения фигуры и плоскости.

      Удалить
    2. жаль,а я надеялась на вас..

      Удалить
    3. Мне картинки к этой задаче неделю рисовать нужно, чтоб всё понятно объяснить.

      Удалить
  58. Помогите пожалуйста
    Дана правильная треугольная пирамида.Сторона основания 12 см.Угол между плоскостями основания и боковой грани 60градусов.Найти объем и боковое ребро пирамиды.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Используем свойства правильной пирамиды, свойства равностороннего треугольника основания, теорему Пифагора, тригонометрию. Вершина пирамиды расположена над каким-то центром треугольника основания. Боковые грани - равнобедренные треугольники.

      Удалить
  59. Дана прямая треугольная призма.Основание треугольник АВС: АС=ВС=12см АВ=10см. Через АВ и точку С проведена плоскость сечения.Угол между плоскостью основания и плоскостью сечения 60 градусов.Найти объем призмы и площадь сечения

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. В основании равнобедренный треугольник. Призма АВСА1В1С1. Сечение - это треугольник АВС1. Используем тригонометрию и теорему Пифагора.

      Удалить
  60. Основанием параллелепипеда служит ромб со стороной b и острым углом альфа, а боковые грани-параллелограммы с острым углом бетта. Вычислите площадь большего диагонального сечения и площадь боковой поверхности параллелепипеда.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Решение сильно длинное, не хочу морочить себе голову. Да и вопрос возникает: чему равно боковое ребро? Высоту параллелограмма и параллелепипеда как находить? В общем случае высота параллелепипеда никак не зависит от его основания.

      Удалить
  61. В прямом параллелепипеде стороны основания длиной 3см и 4 см составляют угол 60гр., а боковое ребро есть средняя пропорциональная между сторонами основания. Определить диагональ этого параллелепипеда.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Среднее пропорциональное, оно же среднее геометрическое, оно же корень квадратный из произведения чисел, оно же... Блин, математика действительно точная наука??? Что-то я сильно сомневаюсь...

      Из библейского учения о среднем пропорциональном следует, что боковое ребро равно двум корням из трех.

      У такого прямого параллелепипеда будут две диагонали - малая и большая. По теореме Пифагора квадрат каждой из них равен сумме квадратов диагонали основания и бокового ребра. В основании находится параллелограмм, у которого нужно найти малую и большую диагонали. Мне лень их расписывать.

      Удалить
  62. Основанием прямоугольного параллелепипеда является квадрат со стороной а . Диагональ боковой грани образует угол α с плоскостью основания. Найдите объем параллелепипеда

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. По тригонометрии диагональ равна a/cosa Высота прямоугольного параллелепипеда равна (a/cosa)*sina=a*sina/cosa=a*tga

      Тогда объем равен V=a^3*tga

      Удалить
  63. Здравствуйте, помогите пожалуйста с задачей, не могу решить. Известно, что в прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 диагональ АС1 равна 9, С1D1=1, А1D1=4. Найдите длину ребра DD1. Заранее спасибо! :)))

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. По теореме Пифагора квадрат диагонали параллелепипеда равен сумме квадратов трех ребер. Два ребра и диагональ у нас в наличии, осталось найти третье ребро. Оно должно равняться 8 чего-то там, типа абстрактных единиц.

      Удалить
  64. Здраствуйте,помогите с задачей
    Ромб задан вершинами A (0;3) В (3;1) С (4;-1),D (1.-1) Найти точку пересечения его диагоналей

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Бред, конечно. Никогда не занимался подобной ерундой. Если привлечь на помощь настоящую математику, а не проповеди верующих в определения, то... Ромб - это такая штука, у которой диагонали пересекаются в центре конструкции, не зависимо от выбранной кем-то системы координат (декартова, геодезическая, рай или ад..) Противоположные вершины ромба - это А и С, B и D. Так всех и всегда учили обозначать вершины ромба. Координаты точки пересечения диагоналей ромба расположены ровно по середине между координатами этих точек.

      Икс первой пары точек A (!0!;3) С (!4!;-1) . (0+4)/2=2
      Иксы второй пары пары точек В (!3!;1) D (!1!.-1). (3+1)/2=2
      Два результата одинаковы, значит диагонали действительно пересекаются в точке 2 по иксам.

      Игреки первой пары точек A (0;!3!) С (4;!-1!) . (3-1)/2=1
      Игреки второй пары пары точек В (3;!1!) D (1.!-1!). (1-1)/2=0
      Результаты разные. У ромба диагонали не могут пересекаться в одной точке с двумя разными координатами. Или в двух разных точках одновременно. Это не ромб, а каракатица какая-то.

      Деда Пифагора я тревожить не стану, пусть себе отдыхает. Вопрос от 16 января 2013 года, в ответе ссылка. Идем по ссылке, вводим наши координаты точек и смотрим. Это похоже на что угодно, только не на ромб. Вывод - координаты вершин ромба заданы не правильно.

      Удалить
    2. Правильные координаты должны быть A (0;3) В (3;2) С (4;-1),D (1.0)

      Тогда по игрекам (3-1)/2=1 и (2+0)/2=1

      Точка пересечения диагоналей ромба имеет координаты (2;1). Вот так вот просто можно проверить всё, что понавыдумывали математики.

      Удалить
  65. В прямом параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AD=2, CD=3, угол ADC = 120 градусов, А1С = корень 35. Найдите площади боковой и полной поверхностей параллелепипеда.

    у меня ответы такие получаются: Sбок = 40
    Sосн = 40 + 3*корень 3

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Боковая площадь посчитана правильно, а полная - нет. У прямого параллелепипеда две площади основания - донышко и крышка. Получится 46 корней из 3.

      Удалить
  66. В прямом параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины ребер ав=24
    аd=10,аа1=22,найдите площать сечения,проходящего через вершины а,а1,с

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Находим диагональ основания по теореме Пифагора и умножаем её на высоту - ребро аа1. Это и будет площадь искомого сечения, которое ещё называют диагональным.

      Удалить
  67. Здравствуйте! Помогите пожалуйста решить задачки,дали контрольную работу на дом,а я полный 0 в геометрии(((
    1.Дан прямоугольные параллелепипед АВСDА1В1С1D1.Найдите двугренный угол В1АDВ,если АС= 6 корней из 2, АВ1=4 корня из 3, АВСD-квадрат.
    2. Основание тетраэдра DАВС-треугольник со сторонами 13 см,14см,15 см. Расстояние от точки D до сторон треугольника равны 5 см. Найдите расстояние от точки D до плоскости АВС.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Нет, не хочу я всякой ерундой заниматься в угоду бюрократам от образования. Это сперва контрольные делаются при помощи знаний, потом уже применяются другие методы:)

      Удалить
  68. В ПРЯМОУГОЛЬНОМ параллелепипеде измерения равны 5см,12 см, и 16 см. Концы трех ребер,выходящих из одной вершины,соединены.Вычислить периметр образовавшейся фигуры

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Концы ребер соединяются по диагоналям трех граней. Берем в руки теорему Пифагора и складываем три диагонали на гранях 5 и 12, 5 и16, 12 и 16 см, три ребра 5, 12 и 16 см. Это и будет искомый периметр.

      Удалить
  69. Диагональ куба равна 80, найти ребро и косинус угла между диагональю и плоскостью одной из его граней?

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Диагональ куба равна трем квадратам ребра. Теперь тупо цитирую и бубню себе под нос, как молитву. "Косинус угла между диагональю и плоскостью одной из его граней" равняется отношению между диагональю и проекцией диагонали на эту грань. Фух! Проекция диагонали куба на грань равна диагонали этой грани. Аминь.

      Тупо применяем теорему дедушки Пифагора - вот и всё решение. Плюс кусочек тригонометрии для прямоугольного треугольника... Надеюсь, к детсадовскими действиями над числами проблем не будет. Ну, там типа корень квадратный выковырять или разделить чего-нибудь:)

      Удалить
  70. Стороны основания и диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 8 дм и 9 дм. Чему ровна площадь диагонального сечения

    ОтветитьУдалить
  71. Диаганали трёх граней прямоугольного параллепипеда сходящихся в одной вершине , равны 8 10 12 м . Найдите линейные размеры этого параллепипеда!)))

    ОтветитьУдалить
  72. Здравствуйте Николай. Помогите решить задачи:
    1.В прямоугольном параллелепипеде АВСДА1В1С1Д1 ребро АВ=b ВС=b, АА1=m.Найти площадь сечения, проходящего, через вершину А и перпендикулярного диагонали ВД1.
    2. Найти угол между смежными боковыми гранями правильной треугольной пирамиды, если отрезок прямой, соединяющий центр основания с серединой бокового ребра, равен стороне основания.

    ОтветитьУдалить
  73. Помогите пожалуйста.Стороны основания прямого параллелепипеда равны 2 и 4 см Sin угла между ними= корень из 7 делённый на 4. Найти полную поверхность параллелепипеда если диагональ меньшей боковой грани = 4 * на корень из 2.

    ОтветитьУдалить
  74. В основании прямой призмы лежит ромб с диагоналями 10см и 24 см.меньшая диагональ призмы равна 26см.вычислите площадь полной поверхности призмы помогите пожалуйста

    ОтветитьУдалить
  75. В основании прямого параллелепипеда лежит ромб, диагонали которого равны 6см и 8 см. Плоскость сечения, проходящего через два противоположных ребра верхнего и нижнего оснований, составляет с основанием угол A. Найдите объём параллелепипеда.

    ОтветитьУдалить
  76. Здравствуйте!Помогите,пожалуйста с задачей.Точка Е-середина ребра АА1 куба ABCDA1B1C1D1.Найдите угол между прямыми DE и BD1.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Мозги вывихнуть можно. Теперь год буду думать, как эти математики такие углы высчитывают.

      Удалить
  77. Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат,диагональ параллелепипеда равна 2(корень)из 6 см,а его измерения относятся как 1:1:2 .Найти: а)Измерения параллелепипеда; б) Синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Берем деда Пифагора, обозначаем единицу длины через икс (в этом случае измерения х, х, 2х) и пишем формулу диагонали

      х^2 + x^2 + 4x^2 = 24

      6x^2 = 24

      x^2 = 4

      x = 2

      Отрицательной длины быть не может, значит измерения 2 см, 2 см, 4 см.

      А синус угла - это отношение диагонали параллелепипеда к его высоте и оно равно половине корня из шести. По тригонометрическим соотношениям в прямоугольном треуголнике можете проверить.

      Удалить
  78. Диагонали ромба относятся как 2:3. (см. рисунок), тогда меньшая диагональ равна:

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. И что ещё есть на этом рисунке? Сторона ромба?

      Удалить
  79. я брюнетка,но моя сестра блондинка она закончила школу с золотой медалью и дипломом
    ,но этим не пользовалась.обламались аххахах.

    ОтветитьУдалить
  80. abcda1b1c1d1 прямоугольный параллелепипед AB=8 BC=6 AA1=10. Найти растояние :(B1(A1C1D)). растояние (A1D1доAC1). найти Угол между (A1D1(AB1C)

    ОтветитьУдалить
  81. СРОЧНО, ПОМОГИТЕ, ПОЖАЛУЙСТА!!!! Гипотенуза BC равнобедренного прямоугольного треугольника ABC и плоскостью α BC лежит в плоскости α, а расстояние от вершины A до плоскости α равно 6. Найти синус между плоскостью

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Синус угла в данном случае - это отношение расстояния от вершины до плоскости к высоте равнобедренного прямоугольного треугольника.

      Удалить
  82. основание прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 является ромб,сторона которого равна a и острый угол 60 градусов. Плоскость AD1C1 составляет с плоскостью основания угол 60 градусов.Найдите: 1)высоту ромба 2)высоту параллелепипеда 3) площадь бок.

    ОтветитьУдалить
  83. Из
    всех
    прямоугольных
    параллелепипедов
    с
    полной
    поверхностью
    S
    ,
    найти
    тот
    ,
    который
    имеет
    наибольший
    объем
    .

    ОтветитьУдалить
  84. Помогите пожалуйста:)Основанием прямоугольного параллелепипеда является квадрат, диагональ параллелепипеда равна 2 корня из 6 см, а его измерения относятся как 1:1:2. Найдите: а)измерения параллелепипеда; б)синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Единицу измерения обозначим икс. Теорема Пифагора для прямоугольного параллелепипеда гласит: квадрат диагонали равен сумме квадратов трех измерений. Получаем

      24=x^2+x^2+4x^2
      24=6x^2
      x^2=4
      x=2 см

      Измерения 2 см, 2 см, 4 см.

      Синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания равен отношению высоты к диагонали и равен два, деленное на корень из шести, или корень из шести, деленный на три.

      Удалить
  85. Помогите,пожалуйста.В прямоугольном параллелепипеде диагонали соседних боковых граней, исходящие из одной вершины, образуют углы альфа и бетта с общим боковым ребром соответсвующих граней. Боковое ребро равно b, надо найти объем паралеллепипеда

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Вспоминаем тригонометрию прямоугольного треугольника (диагонали - это гипотенузы, ребро бэ- это катеты) и получаем ответ: объем прямоугольного параллелепипеда равен бэ куб умноженный на тангенс альфа и умноженный на тангенс бета.

      Удалить
  86. В прямоугольном параллепипеде ABCDA1B1C1D1 известны ребра AA1=6,AB=6,AD=3корня из13,Найдите площадь сечения параллепипеда плоскостью AMK1,где точки М и К делят ребраBB1 И CC1 в отношении 1:2,считая от прямой вс

    ОтветитьУдалить
  87. В прямоугольном параллелепипеде abcda1b1c1d1 известно что db1=sqrt(26); aa1=1; d1a1=3. Найдите длину ребра CD.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. По ссылке выше смотрим, как нужно решать подобные задачи. Делаем картинку-разукрашку к этому условию задачи. Задача на одно действие. Длину ребра можно найти по теореме Пифагора для прямоугольного параллелепипеда - квадрат диагонали равен сумме квадратов трех ребер.

      х^2=26-1-9=16

      x=4

      Удалить
  88. Помогите,пожалуйста.Диагональ прямоугольного параллелепипеда составляет с плоскостью основания угол 45 градусов,а диагональ боковой грани - угол 60 градусов. Высота прямоугольного параллелепипеда равна 5. Найти объем.

    ОтветитьУдалить
  89. во сколько раз увеличится объём шара,еслии его радиус увеличить в два раза?

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Нужно взять отношение двух объемов. Три четверти пи сокращаются и остается отношение радиусов двух шаров в третьей степени. Радиус одного шара в два раза больше, чем второго. Имеем отношение

      V2/V1=(2R)^3/R^3=8R^3/R^3=8

      При любом значении радиуса шара увеличение его радиуса в два раза приводит к увеличению объема в 8 раз.

      Удалить
  90. Дано:АВСДА1В1С1Д1-прямоуг.парвл-д. боковые грани ДД1 СС1-квадрат
    ДС-3,ВД1-√22
    найти ВС

    ОтветитьУдалить
  91. Основание прямого параллелепипеда - параллелограмм со сторонами 13 и 14 см и диагональю 15 см. Найдите объем параллелепипеда, если его сечение, проходящее через боковое ребро и меньшую высоту основания - квадрат.

    ОтветитьУдалить
  92. основание параллелепипеда - квадрат, все боковые грани - ромбы. Две смежные боковые грани наклонены к плоскости основания параллелепипеда под углом B(бетта). Высота параллелепипеда равна H. Найдите объём параллелепипеда.
    Буду очень благодарна, если вы хотя бы подскажите.)

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Уффф... Чует мое сердце, но разум доказать не может. Короче...

      У ромба все стороны одинаковы. Значит, длина наклонного ребра будет равна стороне квадратного основания. Высота ромба равна

      h=H/sinB

      Рассматриваем грань, склонившуюся в трауре над основанием под углом бета. Проекция высоты ромба на основание равна

      a=h*cosB=(H*cosB)/sinB=H*ctgB

      Поскольку в основании параллелепипеда лежит квадрат, проекция вершины параллелепипеда, в которую упирается высота ромба, всегда будет лежать на диагонали квадрата. При взгляде сверху получается равнобедренный прямоугольный треугольник, у которого проекция ребра - это гипотенуза, а проекция высоты и расстояние от начала высоты до нижней вершины ромба равны между собой и равняются а. Знаю, что всегда будет так, но пусть математики диссертации на эту тему защищают.

      Теперь мы получили прямоугольный треугольник на боковой грани, у которого один катет равен высоте ромба h, горизонтальный катет равен а, гипотенуза равна длине ребра. По теореме дедушки Пифагора находим квадрат длины ребра

      a^2+h^2=(H/sinB)^2+(H*ctgB)^2=(H^2)*((1/(sinB)^2)+(ctgB)^2)=(H^2)*(1+(cosB)^2)/(sinB)^2

      Собственно, это и есть площадь основания, поскольку в основании лежит квадрат, сторона которого равна длине ребра. Если умножить эту площадь на высоту параллелепипеда, получим его объем. В результате будет Н в кубе, умноженное на ту тригонометрическую фигню.

      Удалить
  93. разность длин рёбер двух квадратов равна b.а разность их объёмов равна 37b в кубе.какова длина рёбер кубов?

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. У квадратов нет объема... Как я понимаю, речь идет о двух кубах. Пусть у первого куба длина ребра икс, у второго куба - игрек. Тогда имеем систему уравнений

      х - у = b
      х^3 - y^3 = 37b^3

      Потрясем второе уравнение и вытряхнем из него разность кубов (здесь кубы в смысле третьих степеней)

      (х - у)(x^2 + xy + y^2) = 37b^3
      b(x^2 + xy + y^2) = 37b^3
      x^2 + xy + y^2 = 37b^2

      Теперь это нужно как-то решить... Я пас.

      Удалить
    2. Хотя, один вист дам. Используем метод подстановки. Из первого уравнения

      х = у + b

      Получаем квадратное уравнение

      y^2 + by - 12b^2 = 0

      Теперь нужно выковырять корни этого квадратного уравнения. Лично мне проще застрелиться, чем искать дискриминант. Жаль, патроны кончились...

      у1 = 3b
      y2 = -4b

      Отрицательной длины не бывает, значит второй корень выкидываем в мусор. Длина ребер этих детских кубиков равна 3b и 4b. Проверка

      4b - 3 b = b
      64b^3 - 27b^3 = 37b^3

      Ай, да я! Ай, да молодец!

      Удалить
  94. два ребра прямоугольного параллелепипеда выходящие из одной вершины равны 3 4 площадь поверхности этого параллелепипеда равна 52 найдите третье ребро выходящие из той же вершины )помогите

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Обозначаем неизвестное ребро через икс и записываем формулу площади поверхности параллелепипеда:

      2(3*х+4*х+3*4)=52
      3х+4х+12=26
      7х=26-12
      7х=14
      х=14/7 :)
      х=2

      Всё. Простенько, как в детском садике. Правда, для этой простоты нужно с параллелепипедом быть в хороших дружеских отношениях:)

      Удалить
  95. Диагональ правильной четырехугольной призмы равна а и образует с плоскостью боковой грани угол в 30 градусов. Найдите:
    а)сторону основания призмы
    б) угол между диагональю призмы и плоскостью
    в) Sбоковой поверхности
    г) площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через диагональ основания параллельной диагонали призмы.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. С такими списками обычно либо в магазин ходят за покупками, либо в церковь - у Бога подачку клянчить. Процитирую Евангелие от Стереометрии: "Призма называется правильной, если: в её основании лежит правильный многоугольник; призма является прямой." Аминь! (Пардон, "Плюс константа!":)

      Теперь открываем Евангелие от Планиметрии: "Правильным называется многоугольник, все стороны и углы которого равны". Плюс константа!

      Кто из четырехугольников у нас правильный? Правильно, квадрат. Все остальные неправильные. И что, математикам нельзя было написать "Диагональ прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием равна а..."? Обязательно ребусы нужно загадывать. Кстати, во втором вопросе, наверное, имеется ввиду плоскость основания. Ведь эти бараны угол с боковой плоскостью (гранью) задали по условию. А четвертый вопрос я вообще не понимаю - как эта плоскость проходит?

      Это всё, чем я могу помочь. На этом сайте в разделе "Параллелепипед" есть 10 страниц, советую их просмотреть. Там разные задачи решались.

      Удалить
  96. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна корню из 6 и образует углы 30, 45, 60 с плоскостями граней параллелепипеда. найдите объем параллелепипеда.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Диагональ параллелепипеда умножаем на косинус угла и получаем диагональ грани. Три угла - три диагонали. Дальше смотрим сюда.

      Удалить
  97. В прямом параллелепипеде известны две смежных стороны 16 и 10см. и угол между ними 60градусов. Меньшая диагональ основания равна высоте параллелепипеда. Найти площадь диагонального сечения.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. В основании прямого параллелепипеда лежит параллелограмм. Площадь диагонального сечения равна длине диагонали параллелограмма, умноженной на высоту параллелепипеда. Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике помогут найти высоту параллелограмма 10*sin60=(10sqrt3)/2. По теореме Пифагора можно найти длину диагонали.

      Удалить
  98. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB=a, AA1= c. Найдите расстояние между прямыми AB1 и BC.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Расстояние равно ас деленное на корень квадратный из а в квадрате плюс с в квадрате.

      Нужно найти расстояние от диагонали передней грани до нижнего скрещивающегося ребра. Оно всегда равно перпендикуляру между двумя скрещивающимися прямыми.

      Расстояние равно одной из заданных сторон, умноженной на синус угла между этой стороной и диагональю. Синус угла равен отношению противолежащей стороны к диагонали. Длину диагонали определяем по теореме Пифагора и она равна квадратному корню из суммы квадратов сторон.

      Удалить
  99. В прямом параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 основанием служит параллелограмм ABCD, AD=2, DC= 2 корня из 3, угол A= 30 градусов. Большая диагональ составляет с плоскостью основания угол 45 градусов. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

    ОтветитьУдалить
  100. дан прямой параллелепипед в основании которого параллелограмм.Через противоположные ребра проведена плоскость под углом 60 градусов.Найти высоту основания и высоту параллелепипеда?

    ОтветитьУдалить