понедельник, 7 января 2013 г.

Площадь ромба и параллелепипед

Предисловие к решению задачи про площадь ромба и параллелепипед: Чтобы вам, красивым и пушистым, всегда дарили роскошные букеты, а вашим милым деткам тыкали холодное лакомство, нужно найти себе спутника жизни. Пусть и не принц, пусть и без коня, главное - чтобы человек был хороший. А помогут вам в этом серьезные знакомства на серьезном сайте. Приятных вам знакомств, удачного замужества и поменьше трудных задач.

Однажды давным-давно, за лесами широкими, за морями глубокими... На опушке дремучего леса, в избушке на курьих ножках... Злая крикливая тётка (а вы как думали? даже Баба Яга была когда-то молодой) сочиняла задачки для учебника математики. Придумала она задачку про параллелепипед, но ей показалось этого мало. Не сильно трудной задачка получилась. Захотелось молодой карге сильнее над детишками поиздеваться. И придумала она ещё одну задачку про этот же параллелепипед, у которого в основании ромб...

Давно это было, но раскопали археологи развалины древней избушки, извлекли человеческие косточки и на них обнаружили древние задачи. (А на чем ещё Баба Яга могла писать? Бумажной промышленности тогда не было, вот и лес дремучий нетронутым стоял.) Наши доблестные математики повертели косточки в руках и добросовестно переписали эти задачи в свои учебники, чтобы детишек просвещать. С тех самых пор по учебникам математики гуляет следующая задача:

Основа прямого параллелепипеда - ромб с площадью 32 корня из трех сантиметра квадратных и острым углом 60 градусов. Большая диагональ параллелепипеда создает с площадью основания угол 30 градусов. Найдите объем параллелепипеда.

Я понимаю, что изучать женский портал "Ledy" http://ledy2009.ru/ гораздо интереснее, чем решать какие-то задачи, но... наука, как и красота, требует жертв. Берем картинки с прошлой задачи и разрисовываем под новые условия.

Площадь ромба и параллелепипед. Условие задачи, объем прямого параллелепипеда. Математика для блондинок.

Казалось бы, найти объем такого прямого параллелепипеда не сложно, достаточно площадь основания умножить на высоту. Но, вместо высоты, злая Баба Яга придумала два угла. Один угол в 60 градусов между сторонами ромба (ромб у нас желтый, угол красным обозначен на верхней картинке), второй угол между основанием и большой диагональю параллелепипеда (эта диагональ и угол синеньким нарисованы). Нижним основанием второго угла является большая диагональ ромба, ведь высота перпендикулярна основанию у всех прямых параллелепипедов.

Зарисуем зеленым прямоугольный треугольник, из которого мы попытаемся найти катет, который одновременно является высотой параллелепипеда (обозначена красным на втором рисунке). Гипотенузу этого треугольника нам найти не удастся, а вот со вторым катетом можно повозиться.Он является длинной диагональю ромба, у которого нам известна площадь и острый угол в вершине. Открываем коробочку и смотрим на донышко.

Площадь ромба и параллелепипед. Площадь ромба, длина стороны и диагонали ромба. Математика для блондинок.

Вспоминаем формулу площади ромба. Площадь ромба равна квадрату стороны, умноженному на синус угла в вершине. Отсюда мы без труда выковыряем длину стороны ромба. Дальше на диагоналях рисуем прямоугольный треугольник (гламурненького цвета), применяем портрет тангенса и без особого труда соображаем,что длинная диагональ равна двум произведениям стороны на косинус половины угла в вершине.

Теперь самый интересный момент. Как найти высоту параллелепипеда, не роясь в тригонометрии? Очень просто. Пользуясь портретом тангенса, это можно сделать на уровне детского садика. Достаточно нарисовать картинки и разукрасить их надписями.Сперва рисуем наш треугольник и обозначаем на нем угол, высоту параллелепипеда и диагональ ромба. Затем рисуем второй треугольник и при помощи портрета тангенса выражаем его катеты через длину гипотенузы. А дальше совсем чуть-чуть элементарной математики...

Сравниваем картинки и записываем, чему равны нужные нам высота и диагональ. Смотрим на портрет тангенса и вспоминаем, что тангенс - это синус на косинус. И что в тригонометрии везде дроби. Записываем формулу тангенса. Потом числитель и знаменатель нашей дроби умножаем на диагональ. Дробь не поменялась, но в ней появилось что-то очень знакомое. Смотрим на верхние равенства и выражаем тангенс через высоту и диагональ. Теперь остается только записать формулу высоты из полученного выражения тангенса. Смотрите, как всё чудненько получилось.

Площадь ромба и параллелепипед. Прямоугольный треугольник. Тригонометрия для блондинок. Как найти катет треугольника без гипотенузы. Чему равен тангенс угла. Математика для блондинок.

Всё, задачу мы практически решили. Можно на низать все формулы на одно выражение и получить большого динозавра. Можно каждую формулу вычислить отдельно. Я поленился писать большую общую формулу и значения подставлял в каждую формулу отдельно.

Площадь ромба и параллелепипед. Решение задачи. Как найти объем прямого параллелепипеда. Математика для блондинок.

Остается только добавить, что в данном решении одни и те же числовые значения соответствуют разным величинам. Будьте внимательны! Математики часто на такие мелочи не обращают внимания, отсюда и все проблемы в математике. У нас длина стороны ромба и высота прямого параллелепипеда равняются 8 сантиметров. Половина угла в острой вершине ромба численно равна углу при большой диагонали параллелепипеда и составляет 30 градусов. Если в условии вашей задачи другие числа, тогда ничего не перепутайте: "бабе - цветы, дитям - мороженое".

P.S. Чтобы вам, красивым и пушистым, всегда дарили роскошные букеты ... Возвращаемся к предисловию и начинаем читать заново:)

Комментариев нет:

Отправить комментарий