воскресенье, 3 февраля 2013 г.

Диагонали прямоугольного параллелепипеда

Вот какой интересный вопрос мне задали: как найти объем прямоугольного параллелепипеда, зная три его диагонали, выходящие из одной вершины? Первая мысль - порыться в математическом справочнике. Но мой любимый справочник молчит. Есть другой кладезь мудрости - Википедия. Русскоязычная страница, посвященная прямоугольному параллелепипеду, поражает своим убожеством. Даже теоремы Пифагора для трехмерного пространства там нет. Обычно в таких случаях я перехожу на точно такую же страницу на английском языке. Ведь математика - это такая штука, которая в переводчиках не нуждается. Чаще всего там гораздо больше разных формул. В этот раз меня ждало великое разочарование. Да, я увидел там теорему Пифагора для прямоугольного параллелепипеда. И всё. Всякой математической фигни в Википедии навалом, а вот самого интересного нет. Печалька.

Попробуем рассуждать логически. Если кому-то задали такую задачу, значит решение этой задачи есть. Наши математики ещё не доросли до того уровня, когда признаются своим ученикам в своем незнании чего-то. Разве что самые смелые. Остальные тупо повторяют то, чему учили когда-то их. Само собой напрашивается решение: составляем теоремы Пифагора для трех диагоналей граней, объединяем их в систему трех уравнений с тремя неизвестными, решаем и находим размеры прямоугольного параллелепипеда. Брррр! Ужас.

Теперь порассуждаем с другой стороны. Объем - это результат умножения трех измерений длины. У нас есть три длины диагоналей. Теоретически, из них можно получить объем. Давайте нарисуем наши диагонали прямоугольного параллелепипеда и посмотрим, что можно с ними сделать. Смотрим с разных сторон, чтоб понятнее было.

Диагонали прямоугольного параллелепипеда. Картинка диагонали граней. Математика для блондинок.


На картинке синим цветом выделены те элементы прямоугольного параллелепипеда, которые нам известны. Это диагонали граней. Красным цветом выделено то, что нам не известно. Это диагональ прямоугольного параллелепипеда и его линейные размеры (математики любят еще называть их измерениями параллелепипеда). Ну, и сам объем нам тоже не известен.

Теперь вооружимся древней теоремой дедушки Пифагора и запишем формулы размеров и диагоналей. Параллелепипед у нас прямоугольный, значит все углы между линейными размерами и гранями прямые. Не забываем также, что наша главная цель - найти объем.

Диагонали прямоугольного параллелепипеда. Картинки и формулы ребер и диагоналей граней. Математика для блондинок.


Картинки несколько отвлекают от формул. Выписываем формулы отдельной кучкой. Математики в это случае с умным видом бы изрекли: "математическое множество формул". Смотрим на формулы и пытаемся хоть что-то соображать. Нам нужно избавиться от измерений и диагонали прямоугольного параллелепипеда, ведь они нам не известны. Вот если бы диагональ параллелепипеда выразить через диагонали боковых граней... Уж очень формулы в правой половине кучки похожи друг на друга.

Диагонали прямоугольного параллелепипеда. Формулы граней и диагоналей. Математика для блондинок.


Есть! Квадраты диагоналей граней равны двум квадратам диагонали параллелепипеда. Теперь совсем просто. Как кубики в детском садике. Скобочки убираем, скобочки добавляем... И получаем формулу.

Диагонали прямоугольного параллелепипеда. Формула диагонали, выраженная через диагонали граней. Математика для блондинок.


После этого полученную формулу подставляем в формулы с линейными размерами и получаем выражение линейных размеров через диагонали граней. Потом записываем формулу объема.

Диагонали прямоугольного параллелепипеда. Формула объема параллелепипеда, выраженная через диагонали граней. Математика для блондинок.


Всё. Задача решена. Получилась очень красивая и изящная формула. Из суммы  квадратов двух диагоналей граней вычитается квадрат третьей грани. Потом это перемножается, делится на восемь и получается квадрат объема прямоугольного параллелепипеда. Насколько понимаю я, это одно из основных свойств пространства. Используя принцип перегруппировки сомножителей и слагаемых, можно выводить подобные формулы для многомерных пространств с любым количеством измерений. Любой многомерный объем можно выразить через элементы с меньшим количеством измерений. К сожалению, нам математики об этом ничего не рассказывают. То ли сами ничего не знают, то ли стесняются. А ведь перед нами красота математики в первозданном виде, лишенная всяких заморочек, которые так любят наши учителя.

P.S.  Разбираться с диагоналями прямоугольного параллелепипеда нам помогала компания "Регарт" из Санкт-Петербурга. Компания торгует световозвращающими лентами Регарт и разными товарами, которые обеспечивают безопасность людей на дорогах. Среди таких товаров имеются браслеты, шевроны, значки, наклейки, подвески.

2 комментария:

  1. В условие не уточняется, что три диагонали - это диагонали граней. Есть же ещё четвёртая диагональ. А формула, действительно, получилась красивая.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Подмечено правильно. Не научились мы ещё грамотно излагать свои мысли. Есть у математиков такое скользкое понятие "по умолчанию предполагается, что...", которое каждый может трактовать, как душе угодно. По умолчанию предполагается, что задача должна решаться теми математическими инструментами, которые изучаются в данный момент. Ученики, просящие в Интернете решить за них задачу, такими мелочами не заморачиваются)))

      Удалить