суббота, 30 марта 2013 г.

Прямоугольный параллелепипед и плоскость

Вот такая вот задача по геометрии про прямоугольный параллелепипед и плоскость:

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны ребра AA1 = 6,  AB = 6, AD = 3 корня из 13. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью AMK, где точки М и К делят ребра BB1 и CC1 в отношении 1:2, считая от прямой ВС.

Для её решения этой задачи нужно просто представить то, что нам дано по условию и понять, что нужно найти. Рекомендую условие разбивать на части и каждую часть рассматривать отдельно. Сейчас я покажу, как это делается.

Читаем с самого начала: "В прямоугольном параллелепипеде..." - всё, достаточно. И так, у нас есть прямоугольный параллелепипед - трехмерная геометрическая фигура, которую лучше всего нарисовать на листочке бумаги. Вот как выглядит прямоугольный параллелепипед на рисунке. В жизни это обычная коробка для обуви.

Прямоугольный параллелепипед. Как выглядит прямоугольный параллелепипед. Математика для блондинок.
Прямоугольный параллелепипед
Дальше написано "...ABCDA1B1C1D1..." - это так обозначаются вершины прямоугольного параллелепипеда. Если показывать условие задачи на коробке из-под обуви, то можно обойтись и без обозначений. Но ни один фокусник не вылезет к вам из задачника с коробкой под мышкой. Вот и приходится вводить обозначения вершин, чтоб можно было понятно написать о том, что у нас есть и что нужно найти. Донышко коробки, оно же основание параллелепипеда, обозначаются буквами без цифр, крышка обозначается буквами с цифрами. Одинаковые буквы располагаем друг над другом.

Прямоугольный параллелепипед с обозначениями. Математика для блондинок.
Прямоугольный параллелепипед с обозначениями
"...известны ребра AA1 = 6,  AB = 6, AD = 3 корня из 13." Вот теперь мы можем прямо на рисунке подписать длину этих ребер. Смотрим на буквы, я выделил эти три ребра синим цветом.

Прямоугольный параллелепипед с размерами. Математика для блондинок.
Прямоугольный параллелепипед с размерами
Фактически нам даны размеры параллелепипеда. И хотя на рисунке длина ребер не совсем соответствует условию, ничего страшного. На алгебру решения это нисколько не влияет. Мы не используем рисунок для графического решения задачи. Он нам нужен только для того, чтобы понять ход решения. Одинаковые задачи для параллелепипедов самых разных размеров будут иметь одинаковый ход решения. В конце только числа разные будут получаться.

"Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью AMK..." Ничего не понятно. Откуда взялись точки М и К? После этих слов в условии задачи ещё что-то написано. По этому пропускаем этот фрагмент и читаем дальше.

"...где точки М и К делят ребра BB1 и CC1 в отношении 1:2..." Ага, вот и точки появились. Ребра на рисунке мы можем найти, но как их разделить "... в отношении 1:2..."? Всё очень просто. Вспоминаем детский сад. "Разделите отрезок на три равные части и возьмите одну часть" - это очень простая задача, с которой справится даже ребенок. А мы уже взрослые. Как узнать, на сколько частей нужно делить? Выражение "Разделить в отношении 1:2" равнозначно выражению "Разделить на 3 части". Ведь 1+2=3. Длина всех вертикальных ребер равна 6 см. Одна часть будет равна 6/3=2 см. Нам нужно взять одну часть. Но какую? Нижнюю, верхнюю или среднюю? Читаем дальше условие задачи: "...считая от прямой ВС". Почему ребро ВС вдруг превратилось в прямую? Математики, как заправские карточные шулеры, очень любят подменять одни понятия другими, превращая простую задачу в настоящий ребус. Вот из-за таких ребусов многие ненавидят математику. Прямая ВС совпадает с ребром ВС и находится они на нижнем основании прямоугольного параллелепипеда, на донышке коробки. По этому мы берем нижнюю треть вертикальных граней. Обозначаем нужные точки на рисунке.

Прямоугольный параллелепипед с точками. Точки делят вертикальные ребра в отношении один к двум. Математика для блондинок.
Прямоугольный параллелепипед с точками
 Всё условие задачи мы разобрали до конца и теперь самое время вернуться к пропущенному фрагменту: "Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью AMK...". Через точки М и К можно провести целое море плоскостей. Все они будут вращаться на отрезке МК, как шашлык на шампуре.

Прямоугольный параллелепипед и плоскости. Математика для блондинок.
Прямоугольный параллелепипед и плоскости
Нас же интересует только та плоскость, которая проходит через точку А. Такая плоскость всего одна. Поскольку отрезок МК параллелен ребру ВС, а тот в свою очередь параллелен ребру АD, значит наша плоскость проходит через это ребро. В сечении у нас получается прямоугольник АDМК, расположенный под углом к основанию.

Прямоугольный параллелепипед и плоскость. Решение задачи. Математика для блондинок.
Прямоугольный параллелепипед и плоскость
Нам нужно найти площадь этого прямоугольника (на рисунке он закрашен голубеньким). Одна сторона у нас есть, нужно найти длину другой стороны. Если посмотреть на зелененький треугольник, то вторая сторона прямоугольника окажется гипотенузой прямоугольного треугольника АВМ. По теореме дедушки Пифагора мы без труда найдем длину этой гипотенузы. Как видите, детская задачка на два действия.


Вот только меня терзают смутные сомнения, что кто-то где-то запутался. Если для точек М и К брать не одну часть от ребер ВВ1 и СС1, а две части, тогда длина гипотенузы получается равной двум корням из тринадцати. При вычислении площади сечения число тринадцать вылезает из-под корня и площадь получается равной 78 сантиметров в квадрате. Явно кто-то ошибся. Либо математики при составлении своего ребуса, либо я не правильно расшифровал изящную словесность этого ребуса. Вот видите к чему могут приводить бездарные попытки казаться умнее, чем ты есть на самом деле. Это относится как ко мне, так и к математикам. Кстати, если бы в условии было указано соотношение 2:1, то и я бы правильно решил эту задачу и получил ответ без квадратного корня.

Для секущей плоскости А1МК решение получается очень даже красивое. Та же теорема Пифагора для зеленого треугольничка, та же площадь прямоугольника.

Прямоугольный параллелепипед. Решение задачи для другой секущей плоскости. Математика для блондинок.
Решение для другой секущей плоскости


P.S. Рисовать картинки можно на бумаге. Я картинки рисую на компьютере для того, чтобы и вам их показывать. Вы тоже можете так делать. Берете заготовку прямоугольного параллелепипеда и разрисовываете её под условия своей задачи. Тогда находить решение вам будет гораздо проще. Если у вас есть ноутбук и он перегревается от вашего чрезмерного усердия, тогда охлаждающая подставка поможет вам избавиться от проблем. Работает такая подставка от самого ноутбука и подключается к нему через USB разъем. Никаких розеток с собою носить не нужно. Очень удобно и практично.

Комментариев нет:

Отправить комментарий