вторник, 10 сентября 2013 г.

Математика и совершенство

За что я люблю математику? За её симметрию и могущество. К чему это я? У меня невольно возник вопрос: математика и совершенство - как это выглядит? Вот в комментариях к странице об объеме прямоугольного параллелепипеда попросили решить такую задачу: диагонали граней прямоугольного параллелепипеда равны 7, 8 и 9 сантиметров. Нужно найти объем и полную поверхность той штучки. Задачу эту я не решил - мне не интересно.

Для решения я предложил составить систему трех уравнений с тремя неизвестными и найти длины ребер. По-началу меня увлекло и я написал решение системы. Но в значениях длин диагоналей появились числа под знаком квадратного корня. А мне это не понравилось. Я даже начал ругаться, что составили задачи являются олухами,которые даже красивую задачу составить не умеют. Вот если бы они задали длины диагоналей граней равными корням квадратным из 52, 65 и 85 сантиметров, тогда мне решать эту задачу было бы гораздо приятнее. Я бы получил ребра длиной в 4, 6 и 7 сантиметров, то есть целые числа.

Но потом до меня начало доходить. А при чем здесь математики? За что их ругать? Если мы задаем диагонали граней красивыми целыми числами, тогда длина ребер получается не красив - числа под знаком квадратного корня. Если мы длину ребер прямоугольного параллелепипеда зададим целыми числами, то диагонали граней будут представлять из себя числа под знаком радикала (насколько я помню, знак радикала и квадратный корень - это одно и то же произведение дизайнерского искусства). Получается математическая симметрия - целыми числами можно выразить либо то, либо другое. И все математики мира здесь бессильны. Как бы сильно мы не хотели втюхать свои собственные представления о красоте, у математики свои законы.

Естественно, у меня не мог не возникнуть вопрос: существует ли такой прямоугольный параллелепипед, у которого длины всех ребер и всех диагоналей выражаются целыми числами? Я думаю, что такого совершенства не существует.

Я не Альфред Нобель и учреждать премию своего имени за решение этой задачи не собираюсь. Я не Пьер Ферма и доказательство отсутствия таких целых чисел меня не интересует. Я просто любопытная обезьяна, которой будет интересно посмотреть на набор из семи целых чисел: три длины ребер, три длины диагоналей граней и одна длина диагонали прямоугольного параллелепипеда. Для решения задачи можно применять любые системы счисления: двоичную, троичную, десятеричную... Я не жадный:)))

Мне кажется, что уже сам по себе прямоугольный параллелепипед является совершенством с точки зрения математики. Тогда куб - это идеальное совершенство.

Для куба решение сводится к поиску всего трех чисел, а не семи, как у прямоугольного параллелепипеда. Если длина ребра куба равна единице, тогда диагональ грани равняется корню квадратному из 2, длина диагонали куба - корню квадратному из 3. Для ребра длиной 2 получаем 2 корня из двух и 2 корня из трех. Для ребра размером с тройку имеем 3 корня из двух и 3 корня из трех.

Как видите, квадрат (в кубе любая грань является квадратом) и куб жестко увязаны тем, что математики называют иррациональностью. С прямоугольником другая история. Существуют такие наборы целых чисел, которые могут являться значениями длин двух сторон и диагонали прямоугольника. Они называются "пифагорова тройка". Числа 3, 4, 5 составляют пифагорову тройку. А как насчет "пифагоровой семерки"? Ведь прямоугольный параллелепипед - это владения теоремы Пифагора.

И последний, чисто математический, вопрос: можно ли создать такую систему счисления, в которой "пифагорова семерка" будет представлять из себя целые числа?

Специально для математиков поясню, что под применяемым мною термином "целые числа" следует понимать ортодоксальные натуральные числа. Ведь отрицательной длины не бывает.

Комментариев нет:

Отправить комментарий