понедельник, 21 апреля 2014 г.

Деление дробей

Математика - это жизнь. Изучать деление дробей мы начнем с истории, произошедшей со знаменитой британской группой Muse. Как я уже говорил в статье про умножение дробей, музыканты всегда играют в живую. На итальянском телевидении их заставили выступать под фонограмму. Музыканты группы Muse решили выразить свой протест, поменявшись перед выступлением инструментами: солист и гитарист сел за ударную установку, ударник встал с бас-гитарой за микрофон, а бас-гитарист взял гитару и встал за клавишные. После выступления ударник дал интервью в качестве фронтмена. Во время съемок никто из телевизионных продюсеров не заподозрил неладное. Понятно, что продюсеры были самими крутыми и самыми умными, как они о себе думали. В таком виде передача вышла в эфир.



Европа - территория сравнительно свободная от бюрократического маразма. Там мало кто из телевизионщиков заглядывает в рот (чтобы знать, кого хвалить) и в попу (чтобы знать, кого какашками забрасывать) своих правителей. Даже телевидение соседней Испании прокатилось по такому очевидному ляпу.



К чему это я? Деление дробей - это умножение под фанеру. Судите сами. Для того, чтобы разделить одну дробь на вторую, нужно вторую дробь перевернуть вверх ногами и умножить на первую. Что значит перевернуть вверх ногами? Попенять местами числитель и знаменатель. Чем не группа Muse, выступающая под фанеру? Вот и получается, что при делении дробей мы фактически выполняем умножение под фанеру математиков: "Деление, деление, деление..."

Давайте посмотрим формулы деления дробей с одинаковыми и с разными знаменателями.

Деление дробей. Дедение дробей с одинаковыми и с разными знаменателями. Математика для блондинок.
Деление дробей
Естественно, у меня не может не возникнуть наивный детский вопрос: "А деление - это что такое? Самостоятельное математическое действие или переворачивание вверх ногами?" Если верить математикам - это самостоятельное математическое действие. Если смотреть фактам в глаза - это переворачивание вверх ногами. Если число перевернуть вверх тормашками, то мы получим обратное число. Помните, как древние вавилоняне изображали дробь? Как число, умноженное на обратное число.

Если перевернуть вверх ногами первую дробь и умножить на вторую, то мы получим деление второй дроби на первую.

Неправильное деление дробей. Математика для блондинок.
Неправильное деление дробей

С пониманием смысла того, что мы обычно называем делением, нам ещё предстоит разбираться. Деление дробей - это ещё один гвоздь в крышку гроба моей веры в мудрость современных математиков. Тупые безмозглые калькуляторы, которые умеют решать те задачи, которые их научили решать - вот кто такие современные математики. Что такое деление? Чем число отличается от обратного числа? Чем единица измерения в числителе отличается от такой же единицы измерения в знаменателе? Это те вопросы, которые лежат в основе наших представлений об окружающем мире. Если мы не знаем на их ответов, то наши представления об окружающем мире ничем не отличаются от представления пещерных людей.

Если у вас есть пожелания или вопросы по поводу деления дробей, пишите в комментариях. А мы рассмотрим задачи на дроби.

20 комментариев:

  1. Анонимный16 июня 2014 г., 23:18

    Не кажется ли вам, что операция деления в математике не логична и вообще противоречит биологии, то есть жизни.
    Пример: Возьмем 8 яблок. Поделим их на 2. Что получится? С точки зрения математики получится 4. А в реальности получается 4 яблока и 4 яблока. Чтобы получить правильный математический ответ мы должны оставить 4 яблока, а остальные умножить на 0. То есть уничтожить. Ну с яблоками ладно. А если нам надо поделить 8 щенков на 2? Ладно, щенков тоже не будем уничтожать. А вот клетки в организме. При делении 1 клетки получаются 2. А по математической логике при делении 1 клетки должна получится 1 клетка меньше исходной в 2 раза. Эта клетка тоже должна разделиться на 1 клетку еще меньшую. То есть деление в математике отрицает возможность жизни!

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Математика как раз всё и спасает. Есть в ней более простое математическое действие - сложение. Берем одну клетку. Потом прибавляем к ней питание - клетка увеличилась. Делим увеличенную клетку пополам. Получаем две маленькие клетки. Дальше опять сложение - маленькие клетки питаются, растут и снова делятся. Всё логично.

      Удалить
  2. Спасибо, всё же правило просто, а вот визуализировать зачем нужно переворачивать дробь, для полного осознания, не получается. поможите с этим?

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Древняя Месопотамия... Там жили гениальные математики. Их способ представления дробей как нельзя лучше иллюстрирует необходимость переворачивания дроби. Сейчас уже поздно, как нибудь позже я добавлю картинку в текст.

      Удалить
    2. Спасибо, было бы здорово. и если можно подкиньте названий книг которые дают знание через понимание а не зубрёжку формул. Спасибо.

      Удалить
    3. Лично я таких книг не знаю. До всего дохожу собственным умом. Интернет помогает обилием самых разных материалов. Для начала, попытайтесь разобраться в том, что вам действительно интересно, а не в том, что "нужно сдавать". Если с наскока не получается, разматывайте клубок шаг за шагом.

      Заглядывайте чаще на этот сайт. Надеюсь, скоро здесь появится много очень интересного материала.

      Удалить
    4. Я для себя разбираюсь, учёбу уже закончил. в качесвте хобби через понимание так сказать.

      Удалить
    5. Странное хобби по нынешним временам))) Но это радует.

      Десять лет назад я ничего не пытался понять. Я просто хотел увидеть одну картинку и математическое описание к ней. Всё. Я бы никогда больше не совал свой нос в математику. Картинка, Карл! Всего одна картинка!!! Одна-единственная картинка в книжке по геометрии могла спасти затхлое болото математиков от моего вторжения))) Но случилось то, что случилось.

      Я сам её нарисовал. Я сам составил алгебраическое описание. После этого я впервые испытал наслаждение от математики - изменение условий приводит к самым неожиданным изменениям формул. Я всё понимаю и всё вижу. Это непередаваемые ощущения.

      Удалить
    6. Вот я к этому и стермлюсь это и провляется через хобби. но пока только попытки осознать "визуализировать" те простые вещи которые зазубривались когда-то без понимания. вернёмся к намшим "блондинкам" где эта мозговырывающая картинка которая чётко показывает почему при делении нужно переворачивать дробь ?)

      Удалить
    7. Такой картинки не будет. Я, как математик, до этого уровня ещё не дорос. Могу только на пальцах рассказать)))

      Удалить
    8. Да и вообще хочется изучать через понимание, видеть зависимости, связи итд итп. так что подкидывайте если есть что. Спасибо.

      Удалить
    9. Сейчас у меня нет времени даже статью для журнала дописать((( Но ничего, прорвемся...

      Удалить
    10. Картинка уже есть (ссылка выше по тексту))) В ней ничего особенного.
      2/5 * 2/3 выглядит точно так же, как 2/5 : 3/2. Мы сами тупо рисуем картинку в том порядке, какой считаем правильным.

      Разрыв мозга скрывается в арифметике. Точнее, в правилах раскрытия и закрывания скобок. Минус на минус дает плюс, деление на деление дает умножение. Если перед скобкой стоит знак минус, то при раскрытии скобок плюсы меняются на минусы, минусы - на плюсы. Это все знают. Если перед скобкой стоит знак деления, то при раскрытии скобок умножение меняется на деление, деление - на умножение. А это в школе проходили? Рассмотрим пример.

      Если число разделить на такое же число, получится единица. Данное правило справедливо для всех без исключения чисел. Дробь, деленная на такую же дробь, в результате даст единицу. Теперь самый интересный момент. Как правильно записывать деление двух дробей при переходе к строчечной записи выражения? Вот здесь и зарыта собака. Ведь дробная черта - это аналог деления.

      1/2 : 1/2 = ???
      1:2 : 1:2 По правилам умножение и деление выполняются слева направо в той последовательности, в которой они записаны. Делим последовательно и записываем результаты.

      1:2 : 1:2 = 1:2:1:2 = (1/2):1:2 = (1/2):2 = 1/4

      Упс((( Выражение записано неправильно. Заключим обе дроби в скобки, для выявления всех знаков перед скобками используем нейтральный элемент, применим правило "деление на деление равно умножение".

      (1:2):(1:2) = 1*(1:2):(1:2) = 1*1:2:1*2 = 1:2:1*2 = (1/2):1*2 = (1/2)*2 = 1

      Вот теперь всё сошлось, следовательно, запись выражения с применением скобок и правило раскрытия скобок полностью соответствуют законам математики.

      Проверим на наших примерах.

      (2/5)*(2/3) = 2:5*(2:3) = 2:5*2:3 = (2/5)*2:3 = (4/5):3 = 4/15

      (2/5):(3/2) = 2:5:(3:2) = 2:5:3*2 = (2/5):3*2 = (2/15)*2 = 4/15

      Неправильным будет (именно так я рисовал картинку) такое выражение

      2:5:3:2 = (2/5):3:2 = (2/15):2 = 1/15

      Вот так.

      Удалить
  3. Наглядно об умножении дробей
    http://www.cpalms.org/Uploads/resources/38004/1/4/graphics/area%20model%20factor%20example.JPG

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Хорошая иллюстрация умножения дробей. Откуда взята картинка? Сайт университета Флориды?

      Удалить
    2. Да, учебники западные + хожу по их курсам и программам. Достаточно интересный подход подачи материала.

      Удалить
    3. По хорошему завидую))) Их страницы в Википедии я тоже иногда с интересом изучаю.

      Удалить
  4. Спасибо за ответ, завидовать нечего, у вас так же есть интернет, ни кто не запрещает учиться :)

    > Минус на минус дает плюс,
    Вот это тоже классная тема, как-то пытался разобрать, закопался до истоков алгебры. Альзарезми приводит пример двух колонок

    ДОЛГИ--------ТОВАРЫ
    - +

    Если нам должны, и ещё раз должны то мы переносим из долгов в товары. что-то в этом роде но лично мне не ясно.
    И простые примеры решения уравнений с перносом в левую правую стороны, от куда и укрепились отрицательные числа.

    или же на числовой прямой "itegers"

    -3 - 3
    сдвинулись по шкале в -3 и ещё раз сдвинулись в -3 получается -6
    но почему -3 * -3 == 9. как это осознать не принимая правило на веру?

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Для начала, нужно понимать, что такое знак "минус" в математике. Давно собираюсь написать статью по этой теме, но всё времени нет. С уравнениями проще - телепортацию в математике я уже написал.

      Удалить