среда, 14 мая 2014 г.

Икс плюс икс равно

Просматривая комментарии, приходишь к неутешительному выводу: некоторые математики не в состоянии объяснить своим ученикам самых элементарных вещей. Как и что можно делать с иксами? С этим мы попытаемся разобраться. А для любителей быстрых ответов скажу сразу: икс плюс икс равно два икс. Это типа сапог плюс сапог - два сапога пара. Если к одному иксу прибавить другой икс получится чудненькая парочка иксов.

Икс плюс икс равно два икс. Икс плюс два икс равно три икс. Икс умножить на икс равно икс в квадрате. Математика для блондинок.
Икс плюс икс равно два икс
Первая проблема, с которой сталкиваются обучаемые математике - это отсутствие чисел возле букв. В грамматике буквы просто читают. В математике с буквами что-то нужно делать, типа складывать или умножать. Но ведь до этого складывать и умножать учили только числа.

Вторая проблема - что можно делать с буквами, а что нельзя? Четкий ответ на этот вопрос вы вряд ли найдете у математиков.

Начнем по порядку. Почему математики не всегда пишут числа возле букв? Врать не буду, я не путин, но версия появления букв в математике у меня есть. Как любят говорить политики, "так исторически сложилось". Если изменить математические правила и всегда писать количество букв перед самой буквой, тогда проблем будет гораздо меньше. Но вы представляете, что означает "изменить математические правила"? Это всё равно, что Библию изменить.

Буквы с числами. Один икс плюс один икс равно два икс. Математика для блондинок.
Буквы с числами
Как видите, с циферками всё гораздо понятнее: если к одному иксу прибавить ещё один икс, то у нас получится два икса. Никто из математиков вам этого не скажет, но вспомните детский садик. Там вас учили отрывать числа от их содержания и тупо выполнять действия с числами: один плюс один равно два. Когда вы начинаете выполнять математические действия с буквами, вам нужно прилепить содержание к числам. Идиотизм ситуации в том, что не перед всеми буковками есть число. Теперь вам нужно не отрывать числа, а наоборот - прилеплять их к буквам, хотя бы мысленно, поскольку правилами математической грамматики это не предусмотрено.

Математики, как черт ладана, боятся детского садика. Никогда никто о нем не вспоминает. И есть чего бояться. Давайте вернемся в детский садик и посмотрим, что получается.

Сложение в детском садике. Зайчик плюс зайчик равно два зайчика, икс плюс икс равно два икса. Математика для блондинок.
Сложение в детском садике

Зайчик плюс зайчик равно два зайчика, икс плюс икс равно два икса. То, что вы делаете в детском садике со зверушками, на уроках алгебры можно делать с буквами - ашками, бешками, иксами, игреками... Чуть-чуть усложним задачу и добавим циферок в каждый из примеров.

Пример сложения. Зайчик плюс три зайчика равно четыре зайчика, икс плюс три икса равно четыре икса. Математика для блондинок.
Пример сложения
Зайчик плюс три зайчика равно четыре зайчика, икс плюс три икса равно четыре икса. Буквы в математике можно складывать и вычитать точно так же, как вы складывали и вычитали зверушек или счетные палочки в детском садике. Рассмотрим более сложные примеры.
  
Пример с иксами. Сложение и вычитание иксов. Математика для блондинок.
Пример с иксами
То, что здесь проделано с иксами, можно сделать с любыми зверушками из детского садика или с любыми буквами из алгебры. По своим математическим свойствам детсадовские зверушки ничем не отличаются от алгебраических букв. Наш пример решен двумя способами - без скобок и со скобками. Получается, что когда в детском садике нас учат отрывать числа от содержания, мы практически учимся выполнять математические действия с числами в скобках. В начале мы отрываем числа от названий зверушек, выполняем математические действия с числами и в конце решения прикрепляем название зверушки к результату.

Названия зверушек в детском садике выполняют роль единиц измерения чисел. В алгебре буквы выполняют  ту же самую роль. Когда в одном примере встречаются разные зверушки, мы по их названиям выполняем сложение или вычитание: зайчики с зайчиками, уточки с уточками. Когда в одном алгебраическом примере встречаются разные буквы, поступать нужно точно так же - ашки с ашками, бешки с бешками, иксы с иксами, игреки с игреками.

Пример с двумя буквами. Математика для блондинок.
Пример с двумя буквами
Как видите, что в детском садике, что в алгебре, математика абсолютно одинакова. И эта математика не зависит от того, что математики рассказывают вам о своих буквах - известные, неизвестные, коэффициенты или просто погулять вышли. Надеюсь, со сложением и вычитанием иксов мы разобрались.

Теперь наступает самый интересный момент - умножение в детском садике. Такое математикам может присниться только в самом страшном сне. Смотрите сами. Берем сложение в детском садике и заменяем его умножением.

Умножение в детском садике. Зайчик, умноженный на зайчика равняется зайчику в квадрате. Икс умноженный на икс равняется иксу в квадрате. Математика для блондинок.
Умножение в детском садике
Зайчик, умноженный на зайчика, равен зайчику в квадрате. Бред получился. Вот почему в детском садике умножение никогда не изучают. Икс, умноженный на икс, равен иксу в квадрате. Вроде как и ничего страшного, к иксу без шапочки добавляется шапочка со степенью. А вот метр, умноженный на метр, равняется метру квадратному. Длина, умноженная на ширину, дает площадь. Здесь совсем всё понятно.

Как видим, не все единицы измерения имеют одинаковые математические свойства. Сегодня ни один математик вам ничего толком не объяснит - не изучают в математике единицы измерения. Мы с вами рассмотрим математические свойства единиц измерения немного позже. Здесь нужен уровень чуть выше, чем в детском садике или на первых уроках алгебры. Собственно, высшую математику специально для того и придумали, чтобы математики могли с умным видом вам объяснять, почему они не понимают самых элементарных вещей.

Когда математики вам рассказывают, что умножение можно заменить сложением - не верьте им, они врут, как путин. Только умножение числа на число можно представить в виде сложения. Во всех остальных остальных случаях, когда речь идет о единицах измерения, сложение и умножение - это совершенно разные вещи. Получается, что математика без единиц измерения - это детская игра в числа для взрослых дядек и тёток.

Но продолжим дальше. Как быть, если в одном примере единицы измерения или буквы разные? Единицы измерения перемножаются между собой, а буквы... То же правило, что и при сложении: ашки с ашками, бешки с бешками, иксы с иксами... Только теперь не складываются, а перемножаются. Числа перемножаете отдельно с числами.

Умножение двух букв. Зайчик, умноженный на уточку, равен зайко-уточке. Математика для блондинок.
Умножение двух букв
Да, зайко-уточка - это, конечно, жесть. Но... Таковы законы математики. Надеюсь, со сложением и умножением иксов мы разобрались.

Теперь второй вопрос - что можно делать с иксами? Да что угодно, хоть ногами пинайте, но только не нарушайте равенство. Как это? А вот так - икс плюс икс равно...

Икс плюс икс. Различные варианты преобразования равенства. Математика для блондинок.
Икс плюс икс
Вариантов преобразования равенства может быть бесконечное множество. Математики, без особой нужды, такими штучками не балуются. Но и относиться к иксам, как к святыне - тоже не правильно. Буквы в математике - это самые обычные рабочие инструменты, которыми нужно грамотно пользоваться.

Что ещё можно отметить? Если раньше, в примерах с числами, учителя вам писали, какие действия нужно выполнять, ну, там, типа, сложение или умножение, то в алгебраических выражениях с буквами вы уже сами, как Боги, определяете, что делать можно, а что нельзя.

Коль мы уже затронули тему умножения и получили зайко-уточку, то уместно будет дать ответ на самый популярный детский вопрос.

28 комментариев:

  1. "Когда математики вам рассказывают, что умножение можно заменить сложением - не верьте им, они врут, как путин."
    Во-первых, задам вопрос, который уже был в каком-то комментарии: "Зачем писать о политике не к месту?".
    Во-вторых, с какой это стати врут? Что такое умножение произвольного числа a на произвольное число b? Это суммирование числа a определенное количество раз, а именно - b раз.
    То есть a*b = a+a+a+...+a } b раз. Или же наоборот:
    b+b+b+...+b } a раз. Если хотите конкретики:
    2*4=2+2+2+2. Из этих равенств ясно, что умножение заменяется сложением.
    Далее: "Врать не буду, я не путин, но версия появления букв в математике у меня есть. Как любят говорить политики, "так исторически сложилось"."
    Хоть я и не последняя инстанция в этом вопросе, но даже я знаю, что буква или же переменная - это величина, характеризующаяся множеством значений, которые она может принимать. И не могу понять, чего вы так неравнодушны к Путину? Путин и политика в целом - это настолько неважно в сравнении с математикой, что меня даже задевает то, что о них говорят в одном контексте. А насчет учителей в школе: уж не знаю, где вы таких учителей видели, которые бы перед использованием переменных на уроках, не говорили бы о том, что это вообще такое и зачем это нужно. И уж тем более, всем объясняют, что 1*x = x. Сразу хочу отметить то, что в математике нет каких-то запретов по поводу 1 перед иксом. Запись без "1" просто короче. Но вы можете всегда писать "1x" или даже "1*x", если вам так нравится.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. "Путин и политика в целом - это настолько неважно в сравнении с математикой..." - с этим я полностью согласен, но... Сто лет назад началась первая мировая война. Потом была вторая. Сегодня Россия ведет войну против Украины. Людей миллионами убивали тогда, продолжают убивать и сейчас. Никто не знает, сколько гениальных математиков было убито за последнюю сотню лет. В этом мире всё взаимосвязано. Я не хочу быть динозавром на этой плате. Миллионы лет динозавры молчали и природа их уничтожила. Будем молчать мы - и нас уничтожат, не важно, кто: гитлеры, путины или природа. Для полного вымирания динозавров понадобился метеорит около километра в диаметре. Для полного вымирания человечества достаточно одного идиота. Когда путинцы меня убьют, Вам уже не будет с кем спорить)))

      Площадь откуда появляется? Метры раз берем метры и получаются метры квадратные? Сколько нужно сложить отрезков, чтобы получить площадь прямоугольника? Математика чисел - это крохотная часть математики вообще.

      Удалить
    2. Строго говоря, речь шла о переменных, а не об единицах измерения. По поводу площади: пусть дан прямоугольник со сторонами 2 и 3. Площадь=2*3= 2+2+2. Могу ошибаться, так как я сейчас оперирую только своим здравым смыслом. Но что такое площадь? Это кол-во квадратов размером 1х1 (метр, сантиметр или любая другая единица измерения) Если одна сторона равна 2, а другая 3, то мы берем по 2 таких квадрата и складываем 3 раза. Или же по 3 квадрата 2 раза. По-моему, это очевидно.

      Удалить
    3. Подход колхозного кладовщика - у нас всё есть, мы только пересчитываем. Откуда всё в кладовке берется? Об этом у местного дьячка спрашивайте. Приблизительно так выглядит наша пещерная математика)))) Хотя всё,что мы видим вокруг - это и есть математика в действии.

      Удалить
    4. Не представляю, как вы связываете то, что написано мною, и свой ответ. Но факт остается фактом - умножение можно заменить сложением. Так что математики вам не врут. Или вы еще не уверены в этом?

      Удалить
    5. Замена умножения сложением - это частный случай. Я же говорю об умножении в целом. В математике я не верю доказательствам, я смотрю на результат:

      2а+2а=4а
      2а*2а=4а²
      4а не равно 4а²

      Это не я придумал, это элементарная алгебра. Вот и возникает у меня естественный вопрос - сколько буковок "а" нужно сложить, чтобы получилась одна буковка "а" в квадрате?

      Удалить
    6. Чтобы получить число a^2 нужно a*a или a+a+a...} a раз. (прибавлять к числу a число a определенное кол-во раз, а именно - а раз.) Чтобы получить b^2 нужно b+b+b...} b раз. Можете проверить с конкретными числами, если не верите. Насчет ваших примеров:
      2a+2a не равно 2a*2a потому что:
      2a*2a = 2a+2a+2a...} 2a раз.
      А потому и не равны 4a^2 и 4a.

      Удалить
    7. Кстати, самое прямое отношение к предмету нашего разговора имеет философский закон о переходе количества в качество. Народная мудрость явно противоречит умозаключениям философов:

      1. Сколько не повторяй слово "халва", во рту сладко не станет.
      2. Из какашек пулю сделать.
      3. Работа не волк, в лес... Ой, это не надо)))

      Удалить
    8. Проверять с конкретными числами - это каменный век. Я математику проверяю единицами измерения - метод гораздо эффективнее и позволяет отсеивать математический мусор от действительно осмысленных вещей.

      Удалить
    9. Ваше дело. Но пока могу сказать, что процесс отсеивания не очень-то у вас идет. Вы так и не поверили про замену сложением? А что тогда вообще для вас "умножение"?

      Удалить
    10. Просеять всю математику? Это же свихнуться можно! Тысячи людей столетиями огород городили!

      Для меня умножение - вполне конкретная и понятная вещь. Только объяснять долго нужно. Как-нибудь выложу на этот сайт все свои соображения.

      Удалить
    11. Тогда я отвечу. Строго говоря, нет вообще никакого умножения. Есть бинарные операции, которые принимают два аргумента и переводят их в третий по определенному правилу. В данном случае мы говорим об умножении в арифметике. А под "умножением" в арифметике подразумевается бинарная операция, являющаяся краткой записью сложения. И правила перевода у нее такое: первый аргумент складывается сам с собой столько раз, сколько показывает второй. Вот и все.

      Удалить
    12. А у меня всё по-другому, без всяких бинарных операций и до безобразия просто.

      Удалить
    13. Ключевое слово здесь именно "у меня". Вот именно - у вас. Но едва ли ваша система и понятия каким-либо образом относятся к математике.

      Удалить
    14. Ну, если считать, что ни терема косинусов, ни релятивистский радикал к математике никакого отношения не имеют, пусть будет так. Тогда я просто изложу свои собственные взгляды на мною же придуманную религию)))

      Удалить
    15. Анонимный20 июня 2014 г., 7:03

      Обратите внимание, что ваши ответы (начиная с третьего в этой цепочке) могут служить отличной иллюстрацией к ехидным чапековским (см, например, url=http://www.ellf.ru/cognitive/23406-karel-chapek-o-pravilakh-vedenija-diskussii.html) "правилам ведения дискуссии". Пункты 1,6,11 и 12. То есть, собственно, вы даже не излагаете постулаты логически связной религии, а занимаетесь полемическими приёмами...

      Удалить
    16. Логика... Между выражением "1+1" и числом "2" Бертран Рассел и Альфред Уайтхед разместили 362 страницы строго логических обоснований, доказывающих правильность выражения "1+1=2". Интересно, сколько понадобится страниц текста, чтобы логически увязать самую примитивную религию? Это не дискуссия, а размышления в слух.

      Удалить
    17. Сейчас, на современном уровне разграничения - нисколько. Дело в том, что религиозный способ мышления и способ научный имеют свои характерные черты - они, в общем-то, выделены и отличие между ними сформулировано. Рационализация религиозной в основе системы (как, например, многие вопросы католического богословия), упорядочивание и структурирование религиозного знания (тут образцов полно практически во всех мировых религиях) и построение научной теории - это три разных процесса, они весьма чётко отличаются методологически. Точно так же как от религии и науки отличается искусство, к примеру.

      А ваше возмущение, как я понял, связано с контринтутивностью - точно так же, как статья выше, где вы пытаетесь идти строго против течения математики - пытаться давать наглядные объяснения математическим терминам, привязывая их к объектам реального мира. Это хорошо для частных примеров, но плохо в глобальном итоге - дело в том, что объект математики как раз математические же структуры и их свойства, а нахождение аналогий с объектами реального мира это уже математическое моделирование, а не "чистая" математика. Именно за счёт этого математика так универсальна - то есть, скажем, парабола описывает не только сечение конуса плоскостью, но и траекторию снаряда дальнобойной пушки, и график роста колонии бактерий на малых промежутках времени и много чего ещё. Именно за счёт абстрагирования.

      А расплатой за такую универсальность является как контринтуитивность - именно поэтому строгое обоснование того, что при данных положениях переход легален и занимает столько места. Ну и ложность переноса интуитивных положений зачастую - самый затёртый пример тут, конечно, неевклидовы геометрии, где как раз интуитивное представление о параллельности прямых оказывается ложным. Именно потому "зайчико-уточные" примеры могут быть удобны для формирования представления - но не являются строгими и (ничего личного) вредны для человека, который хочет заниматься математикой, а не натаскиваться на решение примеров.

      Удалить
    18. Всегда пожалуйста. Читайте, осознавайте, принимайте к сведению... Если хотите - критикуйте. Для этого и пишется.

      Удалить
    19. Анонимный21 мая 2015 г., 15:34

      "Когда путинцы меня убьют, Вам уже не будет с кем спорить"

      Кому ты нужен нахер. Гордыня грех, слишком много мнишь о себе. Давай дальше уточек с зайчиками складывай.

      Удалить
    20. Гордыня - это грех, который придумали проповедники для подавления инакомыслия. Вот очень хороший пример 2+2=5

      Удалить
  2. Анонимный11 мая 2015 г., 11:22

    А мне понравились Ваши объяснения, то что надо для блондинок))) Хотя, с Вашими политическими взглядами я не согласна. Но ничего, время всё расставит по своим местам.
    з.ы. никогда не понимала математику, читаю с интересом и рекомендую таким же как и я.
    Вы не против?

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Спасибо, значит я не зря стараюсь))) За рекомендации буду Вам только благодарен. Что касается наших политических взглядов, то они у нас правильные, хотя и разные. Разумные существа всегда смогут договориться друг с другом, это только дикие звери убивают)))

      Удалить
  3. Ответы
    1. — Есть еще ал-гебра. Это вроде когда к цифрам еще буквы всякие пишутся. Для тех, кто цифры плохо понимает.

      Удалить
    2. Всякие буковки, приписанные к числам, в корне меняют свойства самих чисел))):
      2+2=2*2
      2х+2х не равно 2х*2х

      Удалить