среда, 11 июня 2014 г.

Наименьшая полная площадь поверхности цилиндра

Роясь в Интернете, наткнулся на задачу про наименьшую полную площадь поверхности цилиндра. Про наименьшую полную площадь прямоугольного параллелепипеда меня часто просят решить задачи. Я просто хотел посмотреть, как решаются подобные задачи. Через производные функций, которые я не люблю до ужаса. Привожу решение полностью.

Наименьшая полная площадь поверхности цилиндра 1. Математика для блондинок.Наименьшая полная площадь поверхности цилиндра 2. Математика для блондинок.
Наименьшая полная площадь поверхности цилиндра 3. Математика для блондинок.
Наименьшая полная площадь поверхности цилиндра
Задача звучит так: какой из цилиндров с объемом 128 пи сантиметров кубических имеет наименьшую полную поверхность? Решение этой задачи вы видите. Только в ходе решения допущена детская ошибка - при вынесении за скобки 4 пи эр, один радиус взят из числителя, второй радиус взят из знаменателя. Даже детки в школе знают свойства дробей: чтобы дробь осталась неизменной, нужно числитель и знаменатель умножить на одинаковое число. В нашем случае это радиус. Из числителя радиус выносится за скобки, а вот в знаменателе остается радиус в кубе. Красным цветом я всё поправил и пересчитал. 

Теперь делаем проверку - подставляем полученные результаты в формулу полной поверхности цилиндра. В исправленном варианте наименьшая площадь полной поверхности цилиндра будет равняться 301,584 сантиметра квадратных. Без исправления ошибки получается 25747,734 сантиметра квадратных. первоначальное решение было явно ошибочным.

воскресенье, 1 июня 2014 г.

Когда дроби равны?

При подготовке очередной публикации о пропорциях столкнулся с вопросом в лоб, который так старательно игнорируют математики: когда дроби равны? Математический справочник молчит, Википедия молчит. Все рассматривают только варианты больше или меньше. А равно? Если из трех вариантов рассматриваются только два, то это уже не наука, а псевдонаучная проповедь.

Внятный ответ на вопрос "Когда дроби являются равными?" никто сформулировать не удосужился. Можно сказать, что дроби равны тогда, когда числитель и знаменатель одной дроби равны числителю и знаменателю другой дроби. Но это утверждение справедливо только для несократимых дробей. А ведь есть еще дроби и расширенные, когда числитель и знаменатель одной дроби не равен числителю и знаменателю другой дроби, хотя сами дроби являются равными. На этом основаны пропорции.

Почему математики обходят вопрос о равенстве дробей? Попытки ответить на него приводят к ещё более страшным для математиков вопросам. Вот смотрите. Дроби можно считать равными, если результаты выполнения математической операции деления для одной и другой дроби равны. Под это правило подпадают как несократимые дроби, так и расширенные. На этом правиле основаны пропорции. Но... Здесь возникает вопрос: дробь - это число или математическое действие деление? Ну вот такие мы ленивые, что не захотели делить одно число на другое, а просто записали делимое (числитель) и делитель (знаменатель). Кому сильно нужно, пусть берет и сам делит.

А вот теперь начинаются интересные варианты рассуждений. Если дробь - это число, то почему в числе нужно выполнять математическое действие? Если дробь - это математические действие, то что оно делает среди чисел? Почему для для обозначения числа используется только деление и не используются умножение, сложение или вычитание?  Подобные вопросы математиками расцениваются не иначе, как покушение на святая святых - теорию чисел. В этой теории математики столько всякой ерунды придумали, что я уже не верю ни единому ихнему слову.

На мой взгляд, наиболее приемлемой (на данном этапе развития математики) формулировкой будет такая: две дроби являются равными, если равны числители этих дробей при условии равенства знаменателей. А там делайте, что хотите - можете сокращать расширенную дробь, можете расширять несократимую дробь. Все счастливы и довольны))) Лично мне с пропорциями помогло разобраться расширение дроби. После расширения я с чистой совестью сравнивал отдельно числители, отдельно знаменатели. Получались симпатичные формулы, которые помогали буквенный бред пропорций перевести в числовые примеры.