среда, 11 июня 2014 г.

Наименьшая полная площадь поверхности цилиндра

Роясь в Интернете, наткнулся на задачу про наименьшую полную площадь поверхности цилиндра. Про наименьшую полную площадь прямоугольного параллелепипеда меня часто просят решить задачи. Я просто хотел посмотреть, как решаются подобные задачи. Через производные функций, которые я не люблю до ужаса. Привожу решение полностью.

Наименьшая полная площадь поверхности цилиндра 1. Математика для блондинок.Наименьшая полная площадь поверхности цилиндра 2. Математика для блондинок.
Наименьшая полная площадь поверхности цилиндра 3. Математика для блондинок.
Наименьшая полная площадь поверхности цилиндра
Задача звучит так: какой из цилиндров с объемом 128 пи сантиметров кубических имеет наименьшую полную поверхность? Решение этой задачи вы видите. Только в ходе решения допущена детская ошибка - при вынесении за скобки 4 пи эр, один радиус взят из числителя, второй радиус взят из знаменателя. Даже детки в школе знают свойства дробей: чтобы дробь осталась неизменной, нужно числитель и знаменатель умножить на одинаковое число. В нашем случае это радиус. Из числителя радиус выносится за скобки, а вот в знаменателе остается радиус в кубе. Красным цветом я всё поправил и пересчитал. 

Теперь делаем проверку - подставляем полученные результаты в формулу полной поверхности цилиндра. В исправленном варианте наименьшая площадь полной поверхности цилиндра будет равняться 301,584 сантиметра квадратных. Без исправления ошибки получается 25747,734 сантиметра квадратных. первоначальное решение было явно ошибочным.

12 комментариев:

  1. Этот комментарий был удален автором.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Теперь я вижу здесь приведенное решение, которое раньше почему-то не было доступно. Сначала разберем его, а потом ответим на вопрос: "Но - позор джунглям! Правильное решение этой задачи должно давать результат ещё меньше того, что получилось у меня."
      Вторая же строка: h=(128pi)^(1/2)
      Что?! Откуда?! h в этом случае будет равным (128*pi/pi*r^2) = 128/r^2
      Но ладно, сформулируем так: мы предположили, что h=(128*pi)^(1/2). Тогда проверим, существует ли цилиндр с заданными объемом и высотой - выражаем r, если это возможно:
      r = (2*2^(3/4))/pi^(1/4) (У вас есть ошибка при возведении дроби в степень)
      Подставляем полученные h и r в формулу полной поверхности цилиндра, получаем:
      S=64*2^(1/4)*pi^(5/4)+16*sqrt(2pi), а это примерно равно 358,5
      Решение через производную дает результат меньший, чем ваш.
      По поводу самого решения: оно имеет место, если не знаешь, как решать такие задачи через производную - но так можно бесконечно подставлять разные значения, что не очень-то продуктивно.
      Не знаю, чем вас так не устраивает производная, может, вы просто не понимаете геометрический смысл решения с ее помощью?
      P.S. комментарий все не хотел корректироваться, пришлось переписать.

      Удалить
    2. Правка комментариев не предусмотрена сервисом. Даже мне приходится копировать комментарий, вставлять в новое окошко и править до повторной публикации. Единственное, что я могу - это бесследно удалить комментарий.

      Предположение,что мы сами задаем значение высоты - правильное. Да, про куб для радиуса я совсем забыл. Вот что значит тупо переписывать со старого черновика, написанного до исправления ошибки. Сейчас что-то ничего не соображаю, буду вникать в решение ещё раз.

      Геометрический смысл производной я действительно не понимаю, там ещё есть над чем математикам голову ломать)))

      Удалить
    3. Благодарю за помощь и приношу свои извинения за беспокойство - Вы оказались абсолютно правы. Текст решения я уже переделал. Лишний раз убеждаюсь, что калькулятор из меня ни-ка-кой)))

      Удалить
    4. В данном случае все тривиально. Вот смотрите: у нас есть функция площади f(r)=2*pi*r^2+256/pi. При разных r она выдает разные площади поверхности. Нам нужно найти минимальную. Как это сделать? Известно, что в точке экстремума (экстремум - точка, в которой функция достигает своего минимального или максимального значения) производная функции равна 0. (Или вовсе не существует, но это не наш случай) Не буду вдаваться в подробности, говоря о теоремах Ролля и Ферма, дабы не тратить время. Потом мы берем производную и приравниваем ее к 0. Находим точку экстремума. Делаем проверку, максимум это или минимум. (А также проверку значений на концах области определения) И, собственно, все. Значения меньше этого быть не может, так как это минимальное значение, которое может быть в принципе. В этом можно убедиться, рассмотрев график функции.

      Удалить
    5. Спасибо за разъяснение. Про необходимость делать проверки я уже давно забыл)))

      Удалить
  2. Вместо "п" и "пи" можно бы использовать предназначенный для этого знак.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Можно, но... Бумажный текст и текст в электронном виде - это разные вещи. Поиск в интернете происходит по электронным текстам. Лично я, как и большинство людей, не знаю, как значек "пи" ввести в поисковую строку. По этой причине специальный значек заменяется буквами. Какой смысл публиковать в интернете материал, который заведомо никто не сможет найти через поиск? Кстати, одна из рекомендаций поискового продвижения сайтов - писать в тексте поисковую фразу с ошибкой, как это часто делают пользователи. Например, не только "2 пи", но и "2пи", "2 ип", "2ип". Такова суровая правда современной жизни, когда интернет вносит существенные коррективы в академические догмы доинтернетовского периода.

      Удалить
    2. Что за бред. Если человек ищет что-либо про число "пи", он вводит в гугл "пи" и открывает первую ссылку - Википедию. В тексте статьи Википедии символ "пи" используется везде, но это не помешало вам найти статью. Под ссылкой на Википедию есть еще много ссылок. Но вот что интересно, какой идиот станет искать эту статью в интернете по запросу "2пи" и т. п.? Слово "пи" не может являться ключевым для этой "статьи". А тем временем, подобное написание выглядит совсем не презентабельно, и человек, привыкший к порядку в научных текстах, сразу закроет страницу.
      Ну да ладно. Теперь. К производным функций математик относится лишь как к инструменту, "не любить до ужаса" их может лишь человек, который совершенно не понимает их сути и совсем не смыслит в высшей математике. И еще кое-что. Математики вовсе не делают сложной математику, они с помощью математику делают решение многих задач простым. Собственно для того математика и изучается.

      Артем

      Удалить
    3. В высшей математике я ничего не смыслю - это точно. Согласен, гордиться не чем, но и стыдиться не собираюсь.

      Удалить
    4. Стыдиться или нет - это вы для себя сами решите. Но абсолютно точно то, что вы не можете писать о том, чего не знаете.

      Удалить
    5. А критиковать Вы что будете, блистая собственными знаниями? Не боитесь от тоски умереть?)))

      Удалить