среда, 29 октября 2014 г.

Математические основы

Традиционно, вся математика для каждого из нас начинается с натуральных чисел. Математики все свои рассуждения базируют на теории множеств. А что на самом деле является математическими основами? Какие они, первичные математические кирпичики, из которых состоит вся математика? Можно ли в математике обнаружить атомы, из которых будут состоять все математические теории? Да, можно. Было бы желание.

В первом приближении это выглядит как основы математики. Сергей Говорушко в комментариях высказал свою точку зрения на мои рассуждения. Сейчас я попытаюсь прояснить некоторые моменты. Текст комментария выделен курсивом.

Да, за сложное дело вы взялись. И это похвально. Правильно, что нужно начинать с Основ. Но я не вижу, чтобы вы их действительно разработали. Фактически вы принимаете сложившееся положение вещей в математике и констатируете, что нужно ввести понятие о единицах измерения (ЕИ). А потом вдруг переходите к аксиомам (аксиомы я уже, извините, раскритиковал). Текста собственных аксиом я пока касаться не буду. В то время у меня было такое мнение. Сейчас я несколько лучше научился пользоваться математикой и мои взгляды на некоторые вещи изменились. Но я ещё не созрел до пересмотра своих аксиом. И вообще, аксиомы и определения - это церковно-приходские пережитки математики. Слепая вера в подобные вещи - это религия, а не наука. Наука постоянно должна впитывать практические результаты и корректировать существующие теории. Сегодня математика является сплошной догматической теорией, которой по барабану всё то, что происходит вокруг. Любая книга по математике - это как "Библия" или "Коран", в них ничего не меняется с момента создания.

По логике ЕИ нужно вводить в результате необходимости, вытекающей из логических построений. Где-то на на этом сайте я уже писал, что там, где начинается наша логика, там заканчивается математика. В математике нет правды и лжи, правда и ложь есть только у нас. В математике есть правильный и неправильный результаты. И логика математики очень простая: либо мы делаем правильно, либо мы делаем что угодно. Например, выдумываем комплексные числа и свято в них верим.

На мой взгляд, необходимость введения ЕИ очень сомнительна. Их место в физике. Кто сказал, что математика и физика - это разные вещи? Любимый принцип безмозглых жадных обезьян "Разделяй и властвуй". Кто сформулирует хоть один физический закон без применения математики? Сложение, вычитание, умножение, деление. Они присутствуют в любом физическом законе. Все физические законы являются законами математики при данных конкретных условиях. Кто нибудь пробовал объединить физику и математику? Или этому нас не учили? Так нужно учиться.

Вы их вводите из-за подсознательного чувства, что чего-то не хватает для построения целостной картины. И берете наугад ЕИ. Нет, не наугад. Числа и единицы измерения представляют из себя единое целое. Попробуйте выразить число вне системы счисления. Даже у абстрактных чисел есть своя единица измерения - абстрактная единица в конкретной системе счисления. По умолчанию мы пользуемся десятичной системой. Благодаря умолчанию, мы об этом забываем. Единица в двоичной системе счисления и единица в десятичной системе счисления - это совершенно разные единицы, поскольку разное количество таких единиц содержится в одном разряде числа. Да, разряды это те самые: единицы, десятки, сотни, тысячи... Кстати, если поразрядно переводить двоичную систему в десятичную, при условии, что величины единичных разрядов равны, то результат будет довольно неожиданным:

0=0
1=5
10=10
11=50
100=100


Мы же наивно считаем, что единицы всегда равны, поскольку внешне они выглядят одинаково, и перевод осуществляем при условии равенства единиц:

0=0
1=1
10=2
11=3
100=4


Приведенный пример базируется на разных единицах измерения чисел. В первом случае используется единица измерения "один разряд", во втором случае - "одна абстрактная единица".

Я предлагаю вместо ЕИ взять понятие о сути вещей или сути рассматриваемых в математике объектов и сути операций над ними. Стоп. Давайте не путать грешное с праведным. Я не возвожу единицы измерения в некий абсолют, в печку, от которой все шаманята должны начинать свои пляски с бубнами. Я считаю, что единицы измерения точно такой же математический объект, как и числа. Математические свойства у них разные, но роль в математике равнозначна.

В общем-то, математика так и построена и отдадим должное поколениям мыслителей, внесших свой вклад в ее развитие. Другое дело, что объем накопленных знаний требует более глубокого проникновения в суть вещей, чем это было сделано ранее. Положим, нам ещё предстоит разобраться, что является знанием, а что тупо высосанный из пальца околонаучный мусор. Ведь чем толще учебник, тем дороже он стоит, тем больше денег на нем зарабатывают ВСЕ! От толстой книжки к многотомному изданию - вот основное направление развития современной математики.

Объектами в элементарной математике являются числа, но не только. Так вот, эти самые числа имеют разные математические или философские свойства (сущности) и именно по этим свойствам их нужно группировать. Но никак не по единицам измерения. Ниже я приведу некоторые рассуждения об основах счета и основных понятиях в свете более глубокого проникновения в суть явлений. Мне кажется, в этом направлении нужно двигаться. Вау! Числа имеют разные математические свойства)))) Улыбнуло. Возьмите в руки математику и продемонстрируйте мне на математических примерах, чем одни числа отличаются от других. Например, целые от рациональных. Все числа мы делим исключительно по внешнему виду. Вы людей по трусам различаете? Если трусы женские, значит перед нами женщина. Если трусы мужские, значит перед нами мужчинка. И слова в трусы одеты. В женских трусах слова женского рода, в мужских - мужского. Почему мы не видим слов в трусах? Здесь нам на помощь приходит высшая математика. Как и комплексные числа, все трусы состоят из действительной и мнимой части. Люди пользуются исключительно действительной частью трусов, а вот в языке слова одеты в мнимую часть трусов, что дает нам возможность делить слова на женский род и мужской род. Во какая шикарная научная теория получилась! Про философские свойства чисел я лучше вообще ничего говорить не буду - нас дети читают.
 
Основы математики

Это, скорее, не основы, а поправки к вашим высказываниям. Математические действия могут производиться только с числами (мы говорим про арифметику). Единицы измерения к математике не имеют никакого отношения. Это сфера физики.
Физика и математика едины. Я от этого убеждения уже никогда не отступлю. "... и всё-таки она вертится!")))

Умножение это не взаимодействие. Умножение это увеличение количества. Пардон, а что такое сложение? Это увеличение количества, но не арифметическое, а детсадовское? Когда числа можно складывать? Когда учитель знак "плюс" нарисовал? Если сказали "сложите числа" - тупо складываем, если не сказали - тупо ждем очередной команды. Эту дрессировку мы называем "образование".

Оно может быть вызвано взаимодействием, но им не является. А изменения качества происходят только в результате изменения количества (в противоположность вашему утверждению в статье о симметрии мат. действий). Я вообще никогда сахар не покупаю - чай пью вприкуску со словом "халва". Да, мне достаточно один раз произнести слово "халва", как во рту тут же становится сладко. Теперь чисто математический вопрос: сколько дерьма нужно для того, чтобы получилась одна пуля? Это только в "Крымнаш" количество российских солдат определяет качество жизни местных аборигенов, в том числе и у керченской переправы.

Деление выглядит симметричным по отношению к умножению, но в сущности это отличная от него операция. Деление симметрично умножению только в случае, когда мы произвели умножение, а потом производим обратное деление. Во всяком случае, в операциях с целыми числами. Впрочем, при определении операций с другими объектами (не целыми числами) операции умножения, деления и другие определяют, т.е. описывают их свойства при работе с этими объектами. При этом видно, что по свойствам операции, скажем, умножения для чисел и для других объектов совершенно разные, у них только название общее. Строго подходя, для каждого типа объекта нужно определять свои операции. Т.е. для целых чисел и рациональных должны быть свои определения операций. Это связано с тем, что сущность этих чисел различная. Почему в математике царит бардак? Да потому, что одинаковые вещи имеют разные имена, а одно и то же имя может обозначать совершенно разные вещи. Умножение матриц. Берем одно число и умножаем на другое, затем берем третье число и умножаем на четвертое, после этого результаты складываем... Это не математическое действие "умножение", это сценарий танца шамана с бубном. Но мы "обобщаем, расширяем" и приходим к глубоко научному выводу, что умножение не коммутативно. 

Точки симметрии, на которые вы обращаете внимание, 0 и 1, хорошо показывают сущность операций, центрами симметрий которых они являются. Сущность самих этих цифр: для 0 – "ничто", для 1 – "что-то". Все остальные цифры символизируют количество единиц, т.е количество этого чего-то. Строго говоря, 0 числом не является. И единица тоже. У нуля, единицы и совокупности остальных цифр разные сути, это разные понятия не одной природы. У цифр от 2 до 9 и далее – у двузначных и многозначных цифр до бесконечности – природа, т.е. суть, одна – это числа. 0 можно назвать числом, но в этом случае мы должны указать причину, почему мы хотим его так назвать, условия, когда можно так говорить, и впоследствии строго следить за соблюдением этих условий. То же относится и к единице. То, что мы до сих пор без этого обходились, еще не повод считать 0 и 1 числами. Есть один очень хороший способ отделять числа от не чисел - сложение. Если в результате сложения число не изменяется, значит математической операции сложения не происходит и мы имеем дело не с числом либо два числа имеют разные единицы измерения. Единица - это число, поскольку её можно прибавить к любому другому числу. Ноль числом не является - тупо учим и запоминаем на всю оставшуюся жизнь, без всяких "строго говоря".

Возьмем чего-то, например, 4 штуки и будем считать его единым целым. Это одно, но состоящее из четырех элементарных единиц этого чего-то. Они как-то связаны, поэтому их в каких-то случаях можно считать единицей, особенно, если есть другие такие же "единицы". И вот с этой "единицей" начинаем работать, как с обычной единицей. Если в наших операциях дело не дойдет до раздела этой "единицы", то мы, скорее всего, и не заметим, что она из чего-то состоит. А если дойдет, то мы должны будем признать, что эта "единица" не обычная, а рациональная, т.е. дробная – ее можно дробить. На сколько частей ее можно дробить, мы указываем в знаменателе или в количестве знаков после запятой. Приведенный пример описывает процесс изменения единицы измерения.

Понимая, что количество элементарных единиц, из которых состоит рациональное число, может доходить до бесконечности, и в принципе любая единица, с которой мы сталкиваемся в реальности, дробная, мы, записывая рациональное число, всегда имеем в виду, что количество его элементарных единиц также бесконечно. Но для удобства записи, мы пишем, скажем, не 200/3000, а 2/30, не 2,270000, а 2, 27 и даже не 3,1415926535, а 3,14. Последнее, как раз, яркий пример того, что, за исключением редких случаев, нам даже не важно, какой глубины структура "единицы". А потом удивляемся появлению "квантовых" свойств. Разделите 3,1415926535 на 3,14 и получите частоту квантования объекта, который мы записали как 3,14.
В такие дебри я ещё не влезал.

Почему мы до сих пор считаем 0 и 1 числами? Потому что, во-первых, никогда не задумываемся об их сути, а, во-вторых, потому что фактически в наших расчетах 1 – это та самая составная "единица", которая единицей является условно, а 0 на самом деле вовсе не ноль, а – "глубина" истинной единицы, находящейся в глубине составной "единицы", т.е. 0,00…01. Число нулей в этой цифре бесконечно или, по-другому, 1/∞ . Это есть истинная элементарная единица, которая дальше уже не делится и которую мы записываем как 0.
Теперь, надеюсь, понятно, почему мы можем производить некоторые операции с нулем. Только потому, что он на самом деле нулем не является. С настоящим нулем операций произвести нельзя. Любые операции можно производить только с чем-то. Если нет ничего, то и никаких операций с "ним" мы произвести не можем. Я взял в кавычки потому, что попытался назвать то, чего нет. Нельзя назвать то, чего нет. При этом само понятие "ничего" или "отсутствия чего-либо" существует. Его символизирует цифра 0. Попытка назвать "то, чего нет" приводит к тому, что "оно" как-будто есть. То есть, раз мы что-то назвали, значит оно есть. И дальше начинаем оперировать с "ним" как с прочими сущими объектами. В этом наша ошибка, которая приводит к искажению смысла и, соответственно, искажению результата.
Нуууу... В общем, рассуждения правильные. В некоторых местах мы сами не хотим понимать очевидных вещей. Как нас учили, так и мы учим других - церковно-приходской подход к образованию.

На числовой прямой единица это не та точка, над которой стоит цифра 1. Единица – это отрезок от точки, над которой стоит 0 до точки, над которой стоит 1. 2 это не точка, над которой стоит цифра 2, а отрезок от 0 до 2. На самом деле на числовой прямой отрезок 0 – 1 это растянутая точка, если мы говорим о целых числах, и – ряд точек, если мы говорим о рациональных числах. Между числами на числовой прямой разрывов нет: одно число сразу переходит в другое. Справа от 1 стоит 2, а слева – (-1). Нулю места на числовой прямой нет. 0 показывает границу между числом 1 и числом (-1). Эта граница не имеет никакой ширины. Так же, как прямая в геометрии не имеет ширины. Так же, как точка не имеет диаметра. Но, еще раз отметим, 0 это не точка даже. 0 это граница между точками.
Истинная элементарная числовая прямая на самом деле должна выглядеть как луч, начинающийся с точки 1, за которой следует точка 2, и уходящий в бесконечность. И все операции с целыми числами должны производиться только на этом луче.
Любая линейка начинается с нуля, а не с единицы. Тысячами лет она используется в неизменном виде. И у меня нет оснований сомневаться в мудрости наших древних предков. Кстати, любая линейка - это и есть луч. Так что истинную числовую прямую изобрели не я и не вы, а наши далекие предки. Это наши математики всех запутали))))

Теперь вернемся к 0 и 1 как центрам симметрии названных вами операций.
0 не имеет ширины, так как это граница между точками. 1 имеет элементарную ширину равную 1/∞, поскольку это какая-то элементарная сущность. В математике центры, как и все точки, не имеют ширины. Поэтому один из ваших центров лежит слева от 1, другой – в центре единицы.


Теперь попробуйте рассмотреть их сущность с точки зрения операций.


Последние абзацы уж слишком заумны для меня. Но идея с сутью вещей мне понравилась, точнее, само слово "суть". Долго не мог найти подходящего слова для обозначения того, чем можно заменить аксиомы и определения. "Смысл", "сущность" - тоже подходят, но в этих словах много букв. И так, основная идея - выразить суть основных математических понятий и свести всё в одно целое. А уж суть каждого выражения пусть каждый понимает в меру своей образованности.

5 комментариев:

  1. Мне приятно, что мои измышления не показались вам совсем бессмысленными. Порадовало также то, что вы не стали оправдывать свои формулировки и отвергать мои. Меня немного смущает, что вы приложили труд прокомментировать все мои тексты сразу. Для начала могло хватить и нескольких замечаний. В любом случае в этом вижу готовность совместными усилиями искать истину. Со своей стороны выражаю готовность поделиться Нобелевской премией, если таковая мне достанется. Тому факту, что математикам она не присуждается, предлагаю не придавать особого значения. Это все мелочи жизни. Математики и на более значительные вещи не обращают внимания. Выдержки из моей статьи я вам чуть позже вышлю, их нужно подобрать, потому что статья только разрабатывается и текст уже не просто набран, но несколько раз менялся. И чуть позже продолжу участие в нашей полемике.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Про Нобелевскую премию и математиков мне понравилось))))))) Адрес моей электронной почты должен быть в моем профиле, жду текстов.

      Удалить
  2. Вы пишете, что аксиомы это религия, а не наука. Я бы сказал, что это религия науки и, несмотря на то, что они принимаются на веру, мы без них пока не умеем обходиться.
    Насчет моего взгляда на ЕИ я уже поправился. Теперь хочу еще раз поправиться. У меня все больше усиливается ощущение, что под этим термином вы и понимаете то, что я называю "суть". Тогда вашу фразу можно перефразировать так: числа и их суть представляют из себя единое целое.
    Согласен с вами в том, что "Мы же наивно считаем, что единицы всегда равны, поскольку внешне они выглядят одинаково". А вот с тем, что "единицы измерения точно такой же математический объект, как и числа" я не соглашусь. Даже если вы вкладываете в них несколько другой смысл, чем я представляю, из того, что вы представили я такого вывода не вижу. "Математические свойства у них разные, но роль в математике равнозначна". Я считаю, что "суть" или по-вашему ЕИ это и есть свойства тех объектов, которые мы считаем. В своей статье я пишу, что считая объекты, мы считаем присущие им одинаковые свойства. Т.е. можно сказать, что мы считаем объекты, а можно – одинаковые свойства, присущие разным объектам.
    "Возьмите в руки математику и продемонстрируйте мне на математических примерах, чем одни числа отличаются от других." Вы чуть выше сами это продемонстрировали на примере двоичных и десятичных чисел. То же самое и в сравнении целых и рациональных чисел. У них единицы коренным образом отличаются. И имеют совершенно разные свойства. Так что, выражаясь вашими образами, это мужчина и женщина, на которых одинаковые трусы.
    И сложение и умножение это увеличение. Только сложение это увеличение любым способом, а умножение – строго определенным.
    В примере "Крымнаш" очень хорошо видно, как последняя капля переводит количество в новое качество. Хотя высшая математика там сыграла, по-видимому, большую роль, чем простая арифметика.
    Почему мы считаем 0 и 1 числами, хотя они ими не являются, я объясняю в своей статье. Как вы верно заметили, несуразностей в математике очень много.
    Насчет линейки вы не правы. Всякая линейка начинается с единицы. Первый интервал на ней это единица, второй – следующая единица. Измеряя, мы считаем количество интервалов, имеющихся на линейке. А 0 только показывает место, которое мы должны совместить с точкой на объекте. На числовой прямой нуля тоже нет. Любой счет вы начинаете с единицы. Попробуйте!
    А последние абзацы уж слишком заумны и для меня. Но мы и с ними разберемся. В самых сложных вопросах блондинки с их ясным умом нам помогут. )

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Это было только моё "ква" на заданную тему. Сейчас напишу чуток серьезнее о сути, думаю, некоторые вещи прояснятся.

      Удалить
    2. Я вижу, что некоторые высказывания написаны опрометчиво. Но это не страшно. Я сам этим страдаю. Общими усилиями от шелухи очистим.

      Удалить