четверг, 29 января 2015 г.

Два угла треугольника

Рассмотрим очень простенькую задачу про два угла треугольника, которые известны. Звучит эта задача так:

Два угла треугольника равны 53 градуса и 57 градусов. Найдите его третий угол треугольника.

У любого треугольника всего три угла. Именно поэтому треугольник так и называется. Величина двух углов из трех нам известна. Теперь я задам вам всего пару вопросов, которые помогут решить эту задачу.

Вопрос первый. Чему равна сумма углов треугольника? Это сакральное знание математики дразнят "Теорема о сумме углов треугольника". Как бы они не называли этот закон природы, суть его не изменится. Кстати, сумма углов треугольника относится к разряду тех математических знаний, которые запоминаются легко и надолго, но которыми вы никогда больше пользоваться не будите в своей повседневной жизни. Бесполезное знание? Нет, но пользуются им люди весьма ограниченного круга профессий, например, геодезисты.

Сумма углов треугольника. Сумма трех углов в треугольнике составляет 180 градусов. Математика для блондинок.
Сумма углов треугольника

Вопрос второй. Если вы знаете, что сумма всех углов треугольника равна 180 градусов, с арифметикой сами справитесь? Здесь всё просто. От суммы углов треугольника в 180 градусов отнимаем два известных угла и получаем значение третьего угла треугольника.

180 - 53 - 57 = 70 градусов

Не хотел приводить здесь готовое решение, но... Во-первых, у калькулятора много разных кнопочек и их случайно можно перепутать. В подобных случаях у ученых исчезают спутники на Марсе. Так что готовое решение, для контроля, не помешает. Просто проверите себя.

Во-вторых, это очень удобный случай проделать то, что математики настоятельно нам делать не рекомендуют. Нас учат выполнять задания с минимальными затратами времени, и по возможности без записи промежуточных результатов. Собственно, я так и сделал. С одной стороны, это правильно. С другой стороны, это не дает нам возможности понять, а что же мы, собственно, делаем?

Лично мне очень нравится рассматривать решения математических задач под микроскопом в замедленной съемке. Иногда впечатление такое, что наблюдаешь за фокусом в исполнении иллюзиониста и все секреты фокуса тут же вылезают наружу. Давайте рассмотрим подробное решение этой задачи о двух известных углах треугольника и одном неизвестном. Вот как это выглядит.

Задача про два угла треугольника. Решение задачи. Математика для блондинок.
Задача про два угла треугольника

И так. Кто-то измерял углы в каком-то реальном треугольнике. Измерения выполнили только для двух углов. Человек учился в школе и знает, что третий угол можно просто вычислить. Это и есть условие задачи. Теперь подробное решение и описание смысла выполняемых нами действий.

1. Записываем закон, который устанавливает связь между углами треугольника, в алгебраической форме. Я уже говорил, что в математике он называется "Теорема о сумме углов треугольника". Геометрическая форма этого закона представлена на первой картинке.

2. Преобразуем алгебраическую форму закона об углах треугольника под решение нашей конкретной задачи.

3. Вводим в полученную формулу данные из поставленной перед нами задачи. Переходим от алгебраической формы к физической.

4.Анализируем физическую модель решения задачи. Математический аппарат представлен десятичной системой счисления чисел, другие системы счисления отсутствуют. Физический аппарат представлен градусной мерой углов, другие единицы измерения углов отсутствуют. Только при этих условиях мы можем выполнять сложение и вычитание.

5. Переходим к математической модели физической задачи и выполняем математические действия с числами при помощи калькулятора, листа бумаги или в уме.

6. Получаем готовое решение задачи в физической форме.

Вот такой роман почти в стихах у меня получился для одной очень простой задачи. На точность описания сей литературный опус не претендует, поскольку в школе меня такому не учили, выдумывать пришлось на ходу. Все описанные действия мы выполняем автоматически, не вдаваясь в подробные объяснения. Я согласен с математиками в том, что глупо каждое решение задачи расписывать так подробно. Но ещё глупее тупо выполнять те действия, которым тебя учат. В этом случае образование превращается в обычную дрессировку животных.

суббота, 17 января 2015 г.

Тригонометрия прямоугольного треугольника.


Я не буду вам вдалбливать в голову правила и определения тригонометрических функций на прямоугольном треугольнике. Математики это с удовольствием сделают без меня. Вам я просто покажу картинку, на которой изображена тригонометрия прямоугольного треугольника.

Тригонометрия прямоугольного треугольника. Решение задач про треугольник. Математика для блондинок.
Тригонометрия прямоугольного треугольника
В верхнем ряду показано, кто есть кто в тригонометрическом зоопарке. Синус и косинус угла альфа - это отношения катетов к гипотенузе. Тангенс и котангенс - это отношения катетов. С гипотенузой обычно проблем не возникает, она одна и расположена напротив прямого угла. А вот катетов аж два и они разные. Один расположен напротив угла альфа и называется противолежащим (на картинке сторона а). Другой нежно прижимается к углу альфа и называется прилежащим (на картинке сторона b). Теперь, глядя на картинку, вы без труда сформулируете определения тригонометрических функций на прямоугольном треугольнике.

Нижний ряд картинок показывает, как найти стороны прямоугольного треугольника, если нам известна одна сторона и угол альфа. Известная сторона выделена зеленым цветом. Используя эту сторону и тригонометрические функции, без труда можно найти две другие стороны прямоугольного треугольника.

Крутить картинку можно как угодно, переворачивать лицом вниз и смотреть на просвет - тригонометрические зависимости в прямоугольном треугольнике от этого не изменяются.

Тригонометрия прямоугольного треугольника. Вращение картинки. Математика для блондинок.
Вращение картинки
Данная картинка вам может пригодиться в будущем, при изучении физики, теоретической механики, при выполнении инженерных расчетов. К тому времени вы уже прочно забудете, как определять и использовать тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике.

И самое печальное в конце. Если бы математики учили вас пользоваться математикой, то такие картинки вы рисовали бы сами в течении нескольких минут, без всяких учебников. Ведь делается это элементарно просто.

воскресенье, 11 января 2015 г.

Шестая проблема Гильберта

Тут у меня в комментариях появилась одна скромная просьба:

Помогите решить проблему связанную с распространением теоремы Кронекера об абелевых полях на произвольную алгебраическую область рациональности.

Столько умных слов в одном предложении я давненько не встречал. У меня сразу закрались смутные сомнения, что не из домашнего задания всё это взято, а из какого-то другого места. Набираю в поисковике Википедии фразу "теорема Кронекера" и смотрю. Так и есть, мне подсунули двенадцатую проблему Гильберта, не решенную до сих пор. Типа, а вдруг дядька, с дуру, возьмет да и решит - во смеху-то будет!

Зря надеетесь. Для меня "абелевы поля","алгебраическая область рациональности" не больше, чем наборы букв. По высшей математике я дрессировку не проходил и понятия не имею, что нужно делать, услышав эти фразы. Более того, я даже не имею понятия, чем корень из единицы n-ой степени отличается от самой единицы. Я догадываюсь, что у математиков всё обстоит почти по Жванецкому: "Резолюция "ВЫПОЛНИТЬ" имеет самый широкий смысл - от "НЕ СМЕЙТЕ ВЫПОЛНЯТЬ" до "РЕШАЙТЕ САМИ". В математике одна и та же вещь может иметь разные названия, одно и то же название может обозначать самые разные вещи. Отсюда и проблемы.

Более ста лет назад Давид Гильберт сформулировал 23 кардинальные проблемы математики. Некоторые проблемы решены, некоторые решены частично, две проблемы остаются нерешенными до сего времени. Есть так же целый ряд проблем, которые просто замяли для ясности: "Слишком расплывчатая" или "Требует уточнения формулировки". Среди таких "замятых" проблем мое внимание привлекла шестая проблема Гильберта, которая звучит так: математическое изложение аксиом физики. Математики спрыгнули с решения этой проблемы с формулировкой "Слишком расплывчатая". Вот тут я с ними не согласен.

Формулировка Гильберта предельно четкая, вот только излагать нечего - не прижились в физике идеи математиков об аксиомах, как в свое время в химии не прижилась идея отрицательных чисел. Это математики все свои теории сверяют с аксиомами, физики же свои теории сверяют с результатами опытов. Есть в физике постулаты, но это всего лишь временные заплатки на белых пятнах наших знаний. Рано или поздно постулаты заменяются физическими законами. Временные постулаты физиков не идут ни в какое сравнение с монументальной незыблемостью аксиом математиков.

А вот здесь и появляется весьма неожиданное решение шестой проблемы Гильберта - на языке математики гораздо проще изложить "аксиомы" религии, чем аксиомы физики. Выглядит математическое изложение основ религии приблизительно так:

- священные тексты в религии - аксиомы и определения в математике;

- всё, что есть в этом мире, создал Бог - в математике фраза "Пусть нам дано..." по умолчанию подразумевает, что всё нам дает Бог;

- история о Ное, ковчеге и "каждой твари по паре" - теория множеств;

- человек состоит из тела и души - комплексные числа состоят из действительной и мнимой частей;

- Царство Небесное - комплексное пространство;

- Бог и дьявол, добро и зло - положительные и отрицательные числа;

- священный крест - декартова система координат.

При желании, можно досконально изучить священные тексты религии и священные тексты математиков (аксиомы и определения) в поисках других соответствий. На языке религии математика довольно хорошо излагается.

На мой взгляд, проблемы у современных математиков и у верующих одинаковы - аутизм. Они живут в воображаемом мире и не обращают внимания на окружающую действительность. Преподавание математики очень напоминает миссионерские проповеди - нам нужно учить и делать то, что говорят проповедники. Все попытки обратить внимание проповедников на окружающую действительность заканчиваются отсыланием к священным текстам: "Читайте Библию", "Читайте определение".

пятница, 2 января 2015 г.

С Новым Годом!

С Новым Годом. Математика для блондинок.
С Новым Годом!

С Новым Годом вас всех! Не смотрите на циферки 2015, они могут выглядеть гораздо красивее. Всё зависит от того, какими мы хотим их видеть.

2015 год в двоичной системе. Математика для блондинок.
2015 год


Число 2015 в двоичной системе счисления выглядит гораздо красивее и имеет почти идеальную симметрию. А вот так будет выглядеть календарь на 2015 год всё в той же двоичной системе.

Календарь на 2015 год в двоичой системе счисления. Математика для блондинок.
Календарь на 2015 год
И новогоднее письмо к Деду Морозу. К русскому Деду Морозу от украинской девочки, у которой отец погиб на русско-украинском фронте. Без комментариев.

Новогоднее пожелание Левчук Марии. Математика для блондинок.
Новогоднее пожелание
"Добрый день, Дедушка Мороз!
У меня есть две больших мечты.
Моя первая мечта, чтобы закончилась война и не погибали наши папы!
Вторая, я хочу ноутбук, чтобы общаться с детьми, которые тоже остались без папы и которые тоже хотят мира.
Спасибо за понимание.
Помогите мне, пожалуйста, в моих мечтах.
От Левчук Марии"