пятница, 12 июня 2015 г.

Как найти площадь прямоугольника?

Вот такая вот задача про площадь прямоугольника из учебника по алгебре за 7 класс:

Если ширину прямоугольника увеличить на 2 дм, а длину уменьшить на 0,5 м, то получим квадрат, площадь которого на 50 дм² меньше, чем площадь прямоугольника. Найдите площадь прямоугольника.

Интересно, в 7 классе изучают системы линейных уравнений с двумя неизвестными? Судя по тому, что задача из учебника по алгебре, именно так нужно решать эту задачу. Тупо составляем систему уравнений, тупо решаем - тоска смертная. Если я здесь просто напишу решение, а вы его просто спишите, то умнее вы от этого не станете. Предлагаю решить эту задачу, а систему уравнений с решением мы в конце состряпаем.

Что такое квадрат? Это такой прямоугольник, у которого стороны равны. Что такое прямоугольник? Это квадрат, у которого стороны разные. Своим преподавателям математики это говорить не советую — для них это прозвучит как осквернение святынь. Лично я подобными "определениями" пользуюсь постоянно, очень даже помогает. Ведь математические свойства геометрических объектов они передают очень точно.

Для решения задачи, обозначим стороны прямоугольника: a — это длина, b — это ширина. Теперь начинаем заново читать условие задачи.

«Если ширину прямоугольника увеличить на 2 дм...». На языке математики это можно записать так: b+2.

«… а длину уменьшить на 0,5 м...» Вот здесь прошу обратить особое внимание — только абсолютно безграмотные люди в одной задаче используют разные единицы измерения длины. Например, метры и дециметры. Мы люди образованные, в отличие от автора учебника, и переведем всё в дециметры. Почему в дециметры? Потому, что площадь у нас измеряется в дециметрах квадратных. Сколько дециметров в одном метре? Правильно, десять. А 0,5 метра — это сколько дециметров? Ну да, 0,5*10=5 дециметров. Вот теперь мы можем перевести нашу фразу на язык математики: а-5.

«… то получим квадрат...» Ну, с квадратом мы уже разобрались — у него стороны равны. Вот этот геометрический феномен мы запишем математическими иероглифами:

a-5=b+2

Что это нам дает? Пожонглировав этим выражением, мы можем длину одной стороны выразить через длину другой стороны. В будущем это нам пригодится. Лично мне не нравится знак «минус». Сейчас мы от него избавимся.

a-5=b+2
a=b+2+5
a=b+7


Что-то мы отвлеклись от условия задачи. Включаем обратную перемотку и читаем фразу целиком: «… то получим квадрат, площадь которого на 50 дм² меньше, чем площадь прямоугольника».

Как найти площадь прямоугольника. Как найти периметр прямоугольника. Формулы прямоугольника. Математика для блондинок.
Как найти площадь прямоугольника
Площади квадрата и прямоугольника определяются абсолютно одинаково — длина умножается на ширину. Ну и что, что у квадрата длина и ширина равны? Площадь нашего прямоугольника равна a*b, площадь нашего квадрата равна (a-5)*(b+2). Если от первой площади отнять вторую, то останется ещё 50 квадратных дециметров. Записываем это выражение, раскрываем скобки и жонглируем.

a*b-(a-5)*(b+2)=50
a*b-(a*b-5b+2a-10)=50
a*b-a*b+5b-2a+10=50
5b-2a+10=50
5b-2a=50-10
5b-2a=40


Что дальше? А вот теперь мы можем вместо стороны а подставить результат первоначального жонглирования a=b+7.

5b-2a=40
5b-2(b+7)=40
5b-2b-14=40
3b=40+14
3b=54
b=18


Ширину прямоугольника мы уже знаем — 18 дециметров. Ищем длину.

a=b+7
а=18+7
а=25


Теперь мы без труда можем определить площадь прямоугольника: 25*18=450 дм². В тетрадке можно записать всё это как систему двух уравнений с двумя неизвестными. Я приведу сразу две системы уравнений, выбирайте любую.

Как найти площадь прямоугольника. Решение системы уравнений. Математика для блондинок.
Как найти площадь прямоугольника. Решение.
В левой части мы выразили площадь квадрата через длину прямоугольника, в правой части - через ширину. По ходу решения задачи мы рассмотрели третий вариант - площадь квадрата представлена как произведение длины на ширину. Все три варианта решения дают одинаковый результат. Вот по этому математики используют системы уравнений для решения задач.

4 комментария:

  1. Анонимный29 июня 2015 г., 16:44

    "...только абсолютно безграмотные люди в одной задаче используют разные единицы измерения длины."
    Могу поспорить, что это было сделано намеренно, чтобы семиклассников к внимательности приучить и лишний раз напомнить про перевод метров в дециметры и т.д.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Спорить не буду, я и сам это знаю. Но...

      Учебники по языку написаны грамотно и без ошибок. Визуальная, слуховая, моторная память - в процессе обучения все они работают на закрепление правописания. Ошибок мы сами наделаем.

      А теперь представьте, что какое-нибудь руководящее быдло (а всё руководящее быдло когда-то в школе училось) заставит своих подчиненных делать так, как его "учили" и "как в учебнике было написано". У некоторых людей визуальная память очень хорошо развита. Если приучать к внимательности подобными методами, то учебники превратятся в дикую смесь систем счисления, единиц измерений, условных обозначений. Вам же мама по комнате никогда мусор не разбрасывала, чтобы приучить Вас к чистоте?)))

      Удалить
  2. Добрый день Николай Хижняк. Помогите пжл решить задачу за 5 кл. Никак не могу справиться,многое подзабыла,скорее всего потому что блондинка)))).Измерения прямоугольного параллелепипеда выражаются простыми числами.Его объем равен 1)30см в куб. 2)42см в куб. 3)105см в куб.. Найдите длину,ширину,и высоту прямоугольного параллелепипеда. заранее огромное спасибо.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Добрый день, Наталья! Нужно взять таблицу простых чисел и выбрать из этой таблицы три числа, при перемножении дающие нужный результат.

      2*3*5=30
      2*3*7=42
      3*5*7=105

      Это взрослое решение))) Теперь решение для детей. Какую тему изучают по математике сейчас? Вот так и нужно решать. Скорее всего, детишек учат раскладывать число на простые множители. 30 делим на 5, получаем 6. 6 делим на 3, получаем 2. И так далее.

      Какой из трех сомножителей вы обзовете длиной, какой шириной, а какой высотой, для математики принципиального значения не имеет. А вот для преподавателя математики... Поройтесь в книге и поищите примеры порядка обзывания чисел измерениями параллелепипеда)))

      Удалить