понедельник, 11 июля 2016 г.

Измерение плоских углов

Опубликовано 7 июля 2016 года
"Доклады независимых авторов"
Выпуск 36, стр. 43-45

Аннотация

Плоские углы необходимо разделять на тригонометрические углы и углы вращения.

Измерение углов в стереометрии

В стереометрии «углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и её проекцией (ортогональной) на плоскость. Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между ней и плоскостью считается (курсив мой – Н.Г.Хижняк) равным 90°, а между параллельными прямой и плоскостью – равным 0°». [1, стр. 308].

Как следует из определения, угол между прямой и плоскостью не может быть больше 90°. Углы больше 90° относятся к углам вращения [2, стр. 81], а в стереометрии не принято при помощи углов описывать вращение прямой вокруг точки её пересечения с плоскостью.

Если прямая параллельна плоскости (или принадлежит плоскости), то считается, что величина угла имеет нулевое значение. Фактически отсутствует вершина угла – точка пересечения прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна плоскости, то проекция линии превращается в точку, которая совпадает с точкой пересечения прямой и плоскости. Фактически отсутствует второй луч, образующий угол. В этом случае угол считается прямым.

Измерение углов в планиметрии

По аналогии со стереометрией, плоский угол между двумя прямыми (лучами, отрезками) должен измеряться как угол между точкой на одной прямой и её проекцией на другой прямой с вершиной угла в точке пересечения этих прямых.

Данное правило позволяет разделить плоские углы на тригонометрические углы (величиной от 0° до 90°) и углы вращения. Принципиальное отличие между этими углами заключается в количестве объектов на двухмерной плоскости, образующих угол. Тригонометрический угол измеряется между двумя разными объектами, угол вращения измеряется между двумя положениями (начальным и конечным) одного объекта. Для тригонометрических углов фактор времени отсутствует, для углов вращения фактор времени обязателен: первоначальное положение, время вращения, конечное положение.

При измерении углов между двумя параллельными прямыми угол определить невозможно, поскольку отсутствует точка пересечения прямых. При измерении угла между двумя перпендикулярными прямыми угол так же невозможно определить, поскольку проекция точки совпадает с точкой пересечения этих прямых.

Вывод: нулевой и прямой углы не могут иметь точно такие же математические свойства, как остальные углы. Подробнее эти различия будут описаны при рассмотрении тригонометрических функций.

Углы и расстояния

Тригонометрический угол по своим свойствам аналогичен расстоянию между двумя точками, угол вращения аналогичен пройденному пути между этими же точками. Если движение осуществляется по прямой линии, тогда пройденный путь равен расстоянию между начальной и конечной точками пути. Если вращение осуществляется на угол до 90° градусов, тогда угол вращения равен тригонометрическому углу. Угол вращения не может быть меньше тригонометрического угла, пройденный путь не может быть меньше расстояния между точками начала и конца этого пути. Расстояние между двумя точками может быть в числовом диапазоне от нуля до бесконечности. Соответствие между углами от 0° до 90° и числами от нуля до бесконечности устанавливается тригонометрической функцией тангенса этих углов.

Пройденный путь так же выражается в числовом диапазоне от нуля до бесконечности, даже если расстояние между начальной и конечной точкой пройденного пути равно нулю. Точно так же угол вращения может достигать бесконечно больших значений, при этом тригонометрический угол между началом и окончанием вращения может быть равным нулю. В этом случае можно установить прямую аналогию между числом и величиной угла, как это принято в математическом анализе.

Для вычисления расстояния между начальной и конечной точками пройденного пути применяются различные математические инструменты, например, теорема Пифагора. Для определения угла между началом и окончанием вращения применяются формулы приведения углов.

Заключение: плоские углы по своим свойствам аналогичны расстояниям на плоскости.

Список литературы

1. Забелышинская М.Я. «Математика. Учебно-практический справочник» Харьков, Ранок, 2010 г.
2. Хижняк Н.Г. «Основы математики», Доклады Независимых Авторов, вып. 19, 2011 г.

P.S. Эта статья опубликована для разогрева. Хедлайнером новой работы является статья о тригонометрических функциях в прямоугольнике. Надеюсь, из неё вы узнаете очень много нового и интересного.

Комментариев нет:

Отправить комментарий