суббота, 11 февраля 2017 г.

Что такое аксиома?

Встретил в Интернете вот такой интересный вопрос Математика - что такое аксиома? и не менее интересный ответ на него. Решил сохранить это себе на сайт. Чтоб и вы прочли. И так, вопрос.

Если в стереометрии я скажу, что плоскости пересекаются только по 4 прямым, а после буду строить свою математику на этом... никто не скажет, что я дурак? Я же назвал аксиому! Аксиомы не доказываются. Что, если в математике существуют неверные аксиомы? Отличить верную аксиому от неверной невозможно с помощью математики, так как математика строится на аксиомах. Как ставить свои аксиомы? Как другие люди ставили аксиомы? Почему они были уверенны в своих аксиомах? Были ли случаи, когда математики были неверны в своих аксиомах? Что, если аксиомы одного раздела математики противоречат аксиомам другого раздела?

Ответ мне очень понравился. В концентрированном виде выражен взгляд на современную математику. Читаем.

Здесь есть две концепции.

Первая: математика что-то изучает (например, геометрические или числовые закономерности). При этом мы какие-то истины познаём из опыта, принимая их за аксиомы, то есть положения, не требующие доказательства. В том, что они "верны", мы уверены из сказанных выше соображений. Далее из них логическим путём выводятся новые утверждения -- теоремы.

Вторая концепция, более современная, состоит в следующем. Аксиомы - это всего лишь "правила игры". Они могут быть любыми, в том числе нелепыми. Вопрос в том, получится ли при этом какая-либо содержательная и интересная "игра". С этой точки зрения, математика есть "комбинаторная игра в символы" (с). При таком подходе, аксиоматическая теория может быть совершенно любой. Вопрос в том, описывает ли она при этом хоть что-то содержательное. Оказалось, что если система аксиом логически непротиворечива, то у неё всегда есть хотя бы одна модель (и обычно даже много моделей). Это одна из важных теорем математической логики, теорема Гёделя о полноте. Её не следует путать с другой знаменитой теоремой Гёделя -- о неполноте. Второй результат состоит в том, что никакая явно заданная система аксиом не может полно описать все истинные утверждения даже такой теории как арифметика натуральных чисел.

Аксиомы одной теории вполне могут противоречить аксиомам другой теории. Классический пример: аксиомы геометрии Евклида и геометрии Лобачевского. В первом случае, через точку вне прямой можно провести только одну параллельную. Во втором - сразу много параллельных. Эти два положения являются отрицаниями друг друга. В первом случае получается обычная школьная геометрия, в которой верна теорема Пифагора, где сумма углов треугольника равна 180 градусам, и так далее. Во втором случае ничего этого нет. В геометрии Лобачевского нет даже такой фигуры как прямоугольник.

В таком положении дел нет ничего плохого, потому что обе теории описывают разные объекты: неевклидова геометрия описывает другой тип плоскостей. Известны примеры искривлённых поверхностей, на которых выполняются именно эти законы. Евклидова геометрия возникает при этом как предельный случай, и её законы верны для обычной евклидовой плоскости.

Иногда задавались вопросом, а какая геометрия верна для нашего реального пространства? Ответ в своё время дал Пуанкаре, указав на то, что в таком виде вопрос ставить бессмысленно. Это примерно как спрашивать, какая система координат "верна": декартова или полярная? Экспериментальной проверке подлежит лишь пара "геометрия + физика". Грубо говоря, можно считать, что прямая - это световая траектория в "идеальных" условиях. Тогда эксперименты показывают, что под действием тяготения происходит искривление траектории, и геометрия пространства оказывается неевклидовой. Если же от тяготения "абстрагироваться", считая его "помехой" и "искажением", то пространство становится обычным евклидовым. Поэтому возникает два равноправных взгляда на вещи, две равноправных картины, два "инструмента" для изучения реальности. Обе картины пригодны к использованию, и "противоречие" здесь лишь кажущееся. Его нет, как нет противоречия между рубанком и отвёрткой.


И так, современная математика - это виртуальные игры взрослых детей, основанные на религиозных принципах. При чем здесь религия? Об этом я уже говорил. Давайте поговорим ещё раз.

Комментариев нет:

Отправить комментарий