Показаны сообщения с ярлыком геометрия. Показать все сообщения
Показаны сообщения с ярлыком геометрия. Показать все сообщения

понедельник, 18 июля 2016 г.

Правильные многоугольники

По просьбе милой посетительницы публикую формулы правильных многоугольников. От себя я ничего не выдумываю, тупо сканирую математический справочник.

Правильные многоугольники формулы. Математика для блондинок.
Правильные многоугольники формулы

пятница, 12 июня 2015 г.

Как найти площадь прямоугольника?

Вот такая вот задача про площадь прямоугольника из учебника по алгебре за 7 класс:

Если ширину прямоугольника увеличить на 2 дм, а длину уменьшить на 0,5 м, то получим квадрат, площадь которого на 50 дм² меньше, чем площадь прямоугольника. Найдите площадь прямоугольника.

Интересно, в 7 классе изучают системы линейных уравнений с двумя неизвестными? Судя по тому, что задача из учебника по алгебре, именно так нужно решать эту задачу. Тупо составляем систему уравнений, тупо решаем - тоска смертная. Если я здесь просто напишу решение, а вы его просто спишите, то умнее вы от этого не станете. Предлагаю решить эту задачу, а систему уравнений с решением мы в конце состряпаем.

Что такое квадрат? Это такой прямоугольник, у которого стороны равны. Что такое прямоугольник? Это квадрат, у которого стороны разные. Своим преподавателям математики это говорить не советую — для них это прозвучит как осквернение святынь. Лично я подобными "определениями" пользуюсь постоянно, очень даже помогает. Ведь математические свойства геометрических объектов они передают очень точно.

Для решения задачи, обозначим стороны прямоугольника: a — это длина, b — это ширина. Теперь начинаем заново читать условие задачи.

«Если ширину прямоугольника увеличить на 2 дм...». На языке математики это можно записать так: b+2.

«… а длину уменьшить на 0,5 м...» Вот здесь прошу обратить особое внимание — только абсолютно безграмотные люди в одной задаче используют разные единицы измерения длины. Например, метры и дециметры. Мы люди образованные, в отличие от автора учебника, и переведем всё в дециметры. Почему в дециметры? Потому, что площадь у нас измеряется в дециметрах квадратных. Сколько дециметров в одном метре? Правильно, десять. А 0,5 метра — это сколько дециметров? Ну да, 0,5*10=5 дециметров. Вот теперь мы можем перевести нашу фразу на язык математики: а-5.

«… то получим квадрат...» Ну, с квадратом мы уже разобрались — у него стороны равны. Вот этот геометрический феномен мы запишем математическими иероглифами:

a-5=b+2

Что это нам дает? Пожонглировав этим выражением, мы можем длину одной стороны выразить через длину другой стороны. В будущем это нам пригодится. Лично мне не нравится знак «минус». Сейчас мы от него избавимся.

a-5=b+2
a=b+2+5
a=b+7


Что-то мы отвлеклись от условия задачи. Включаем обратную перемотку и читаем фразу целиком: «… то получим квадрат, площадь которого на 50 дм² меньше, чем площадь прямоугольника».

Как найти площадь прямоугольника. Как найти периметр прямоугольника. Формулы прямоугольника. Математика для блондинок.
Как найти площадь прямоугольника
Площади квадрата и прямоугольника определяются абсолютно одинаково — длина умножается на ширину. Ну и что, что у квадрата длина и ширина равны? Площадь нашего прямоугольника равна a*b, площадь нашего квадрата равна (a-5)*(b+2). Если от первой площади отнять вторую, то останется ещё 50 квадратных дециметров. Записываем это выражение, раскрываем скобки и жонглируем.

a*b-(a-5)*(b+2)=50
a*b-(a*b-5b+2a-10)=50
a*b-a*b+5b-2a+10=50
5b-2a+10=50
5b-2a=50-10
5b-2a=40


Что дальше? А вот теперь мы можем вместо стороны а подставить результат первоначального жонглирования a=b+7.

5b-2a=40
5b-2(b+7)=40
5b-2b-14=40
3b=40+14
3b=54
b=18


Ширину прямоугольника мы уже знаем — 18 дециметров. Ищем длину.

a=b+7
а=18+7
а=25


Теперь мы без труда можем определить площадь прямоугольника: 25*18=450 дм². В тетрадке можно записать всё это как систему двух уравнений с двумя неизвестными. Я приведу сразу две системы уравнений, выбирайте любую.

Как найти площадь прямоугольника. Решение системы уравнений. Математика для блондинок.
Как найти площадь прямоугольника. Решение.
В левой части мы выразили площадь квадрата через длину прямоугольника, в правой части - через ширину. По ходу решения задачи мы рассмотрели третий вариант - площадь квадрата представлена как произведение длины на ширину. Все три варианта решения дают одинаковый результат. Вот по этому математики используют системы уравнений для решения задач.

среда, 8 апреля 2015 г.

Аксиомы геометрии

Не научные, но фантастические приключения блондинок с элементами реализма. Продолжение рассказа о необходимости математики.

Библейская иерархия начинается с фразы "В начале было...". Аксиомы - это то, из чего математики решили начать свое священное писание под названием "геометрия", тупо подражая библейской структуре. Давайте посмотрим на эти "священные тексты".

Аксиомы геометрии. Аксиомы евклидовой геометрии. Аксиомы принадлежности.
Аксиомы геометрии
Первая аксиома евклидовой геометрии гласит: "Через каждые две различные точки проходит прямая и притом одна". Подчеркиваю, аксиома утверждает, что через две точки проходит всего одна прямая. Возможно, две тысячи лет назад это утверждение и было прогрессивным, но сегодня...

Через несколько страниц учебника или через несколько уроков в школе мы добираемся до темы "Взаимное расположение прямых на плоскости". Там мы узнаем, что прямые могут совпадать, могут быть параллельными и могут иметь одну общую точку. Применяем наше новое знание и переписываем первую аксиому: "Через каждые две разные точки проходит бесконечное множество совпадающих прямых". Вся "святость" аксиомы сразу испаряется.

Следующая аксиома: "На каждой плоскости имеется по крайней мере одна точка". Интересно, как себе математики представляют плоскость, состоящую из одной точки? Или прямую,  состоящую из двух точек? Такое впечатление, что в пространственных измерениях математики вообще не ориентируются.

Что такое точка? Это математический объект с количеством измерений, равным нулю. Алгебра точки выглядит вот так:
0=1

Что такое прямая? Это бесконечное количество точек, образующих одно измерение: длину.
L=a

Что такое плоскость? Это бесконечное количество прямых, образующих два измерения: длину и ширину.
S=L*b=a*b

Что такое объем? Это бесконечное количество плоскостей, образующих три измерения: длину, ширину и высоту.
V=S*c=a*b*c

Если точка - это самый простой математический объект, то прямая - это уже более сложный объект. Увеличение количества измерений у пространственного объекта требует более сложной алгебры для его описания. Не на аксиомах должна строиться геометрия, а на алгебре и физике. Алгебра должна строиться на геометрии и физике, а физика - на алгебре и геометрии. Здесь мы имеем дело с триединством алгебры, геометрии и физики. Как видите, я в своих рассуждениях тоже уперся лбом в библейские истины. Уж очень сильно математика напоминает мне религию. Если у вас, девочки, есть более эффективная концепция построения геометрии, без аксиом или измерений, то будет очень интересно на неё взглянуть.

Теперь о пересечениях. Две одномерных прямых могут пересекаться только в двухмерном пространстве и результатом такого пересечения является точка. Две плоскости могут пересекаться только в трехмерном пространстве, а результатом такого пересечения будет одномерный объект - прямая. Хотя аксиома под номером семь пытается нас уверить несколько в ином результате, запутывая нам мозги двумя точками.

А вот теперь уже более интересное - два объема могут пересекаться только в четырехмерном пространстве. Результатом пересечения будет двухмерная плоскость. Представить себе я это не могу, но алгебра нам в помощь. Кто желает, может проверить. Какие алгебраические уравнения и как именно при этом использовать? Спросите что-нибудь полегче, я этим вопросом не занимался. Ведь то, что вы сейчас слышите - это мысли вслух, а не проповедь математических знаний.

Сейчас уже можно задать наивный детский вопрос: не является ли наш трехмерный мир результатом пересечения двух четырехмерных объемов в пятимерном пространстве? На мой взгляд, это более математически точная модель, чем пространство Минковского с его вектором времени. В пятимерном пространстве телепортацию гораздо проще представить и описать математически. Если человечество хочет выжить как вид, то осваивать планеты в других звездных системах придется обязательно. Челябинский метеорит нам лишний раз напомнил, что случилось с динозаврами.

Здесь, правда, есть одно "но". Как только мы выйдем за пределы Солнечной системы, нас ждет неизбежная встреча с инопланетянами. Нас либо примут, как равных, либо уничтожат, как диких зверей, вырвавшихся из вольера. Третий Рейх, Русский Мир или Исламскую Республику размером с галактику никто нам строить не позволит. По этому, все свои внутренние проблемы мы должны решить до того, как начнем освоение других планет. Считайте, что это инопланетяне через меня нас всех предупредили.

Что-то я отвлекся. Давайте продолжим наш разговор об аксиомах геометрии. Самая интересная история связана с пятой аксиомой Евклида.

понедельник, 26 сентября 2011 г.

Задача про углы равнобедренного треугольника

Как найти углы равнобедренного треугольника, если задали такую вот задачу: высоты равнобедренного треугольника проведены из вершин при основании треугольника, эти вершины при пересечении образуют угол 140 градусов, найдите углы равнобедренного треугольника.

Для тех, кто просто хочет получить готовое домашнее задание, я публикую картинку с решением этой задачи про равнобедренный треугольник. Здесь представлены три варианта решения, все они правильные. Выбирайте, какой вариант решения задачи вам больше нравится и переписывайте себе в тетрадку. Всё! Если же вы действительно хотите знать, как эта задача про высоты равнобедренного треугольника решается, читайте дальше.

Как найти углы равнобедренного треугольника. Задача про равнобедренный треугольник и высоту. Решение задачи по геометрии. Математика для блондинок.

Для решения этой задачи нарисуем равнобедренный треугольник ABC. Основанием этого равнобедренного треугольника в моем изображении является сторона AB (а обозначить стороны треугольника можно как угодно, вот поворачивать треугольник на бок не советую, задача составлена именно для такого варианта расположения равных сторон). Высота треугольника всегда перпендикулярна одной из сторон. Вот мы и проведем перпендикуляры к сторонам треугольника через точки A и B. На рисунке эти высоты выделены красным цветом и обозначены h1 и h2. Находить значения этих высот не нужно, нам главное увидеть их и посмотреть, где именно находится этот угол между высотами треугольника в 140 градусов, который дан нам по условию задачи. Пересекающиеся высоты образуют два таких угла в полном соответствии со свойствами пересекающихся прямых. На третьем рисунке треугольника эти углы показаны красненькими стрелочками и обозначены красными цифрами - 140 градусов. Расположены эти углы вертикально.

Условие задачи про углы равнобедренного треугольника. Высоты равнобедренного треугольника, проведенные через вершины у снования треугольника. Угол между высотами равнобедренного треугольника. Математика и геометрия для блондинок.
Теперь приступим к решению этой геометрической задачи. Прежде всего, посмотрим на картинке ниже, какие углы в треугольнике нам нужно найти. По условию задачи наш треугольник равнобедренный, а значит углы при основании такого треугольника равны. На один угол нам меньше работы - вот в чем заключается сила математических знаний!

Теперь определимся, какую формулу будем использовать для решения этой задачи. По условию, нам дан всего один угол между высотами треугольника. А формула, в которой используются только углы - это сумма углов треугольника. Для всех треугольников, не зависимо от вида треугольника, сумма углов равна 180 градусов. Вот эту формулу мы и будем использовать для решения задачи. А треугольники, к которым мы будем её применять, выделены зеленым цветом. Вычисления записаны под каждым треугольником.

Решение задачи про углы равнобедренного треугольника. Сумма углов треугольника формула. Ход решения геометрической задачи. Математика и геометрия для блондинок.
В начале рассмотрим маленький равнобедренный треугольник, который образован пересекающимися высотами и основанием большого равнобедренного треугольника. Здесь нам известен угол между высотами и то, что два других угла равны. Так мы найдем вспомогательный угол, который является ключом к решению задачи.

Зная этот угол, мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный высотой, основанием большого равнобедренного треугольника и частью его боковой стороны. Высота и боковая сторона образуют угол в 90 градусов, угол между высотой и основанием треугольника мы только что нашли, третий угол найти теперь очень просто. Это и будет один из углов нашего большого равнобедренного треугольника. С противоположной стороны основания находится точно такой же угол - ведь наш треугольник равнобедренный.

Теперь мы без труда можем найти третий угол большого равнобедренного треугольника. Задача по геометрии решена. Некоторые возможные варианты такой задачи с готовыми ответами представлены в таблице решений задачи про углы равнобедренного треугольника.

Таблица решений задачи про углы равнобедренного треугольника. Геометрия и математика для блондинок.

В таблице решений углы между высотами равнобедренного треугольника указаны от 100 до 170 градусов. Для школьных задач этого вполне достаточно. А вот решение этой геометрической задачи в полном объеме мы рассмотрим как нибудь в другой раз.

вторник, 14 июня 2011 г.

Как найти объем прямоугольного параллелепипеда

Найдите объем прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если AC1=24см, угол C1AA1=45 градусам, AC1 составляет угол в 30 градусов с плоскостью боковой грани. Таково условие задачи. На картинке это выглядит так.

Как найти объем параллелепипеда. Условие задачи. Математика для блондинок.
Картинка немного неудачная получилась - на скорую руку делалась.

Для нахождения объема нам нужно знать длину, ширину и высоту параллелепипеда и перемножить их между собой. Используя тригонометрические функции, по углу 45 градусов можно найти высоту АА1 и длину диагонали А1С1 основания, по углу 30 градусов можно найти ширину C1D1. Дальше применяем теорему Пифагора - ведь у нас параллелепипед, у которого все углы прямые. Из треугольника А1C1D1 находим длину А1D1.

Как найти объем параллелепипеда. Ход решения задачи. Математика для блондинок.
Находим высоту параллелепипеда. Диагональ - это гипотенуза прямоугольного треугольника АА1С1, длинна которой нам известна. Угол между гипотенузой и прилежащим катетом нам так же известен - 45 градусов. Отношение прилежащего катета к гипотенузе - это косинус. Всё необходимое для нахождения высоты параллелепипеда у нас имеется:

АА1 = 24 х cos45 = 24 x 0,7071 = 16,97 см

Теперь нам нужно найти длину диагонали верхнего основания параллелепипеда. Угол в 45 градусов говорит нам о том, что мы имеем дело с равнобедренным прямоугольным треугольником, катеты которого равны. Можно просто переписать полученное выше значение высоты, но я себе не доверяю, я верю только математике. Поэтому проверим полученный результат. Отношение гипотенузы к противолежащему катету - это синус. Находим длину диагонали верхнего основания:

А1C1 = 24 х sin45 = 24 x 0,7071 = 16,97 см

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник AD1C1. Нам известна длина гипотенузы 24 см и угол 30 градусов. Нам нужно найти противолежащий катет этого треугольника, который одновременно является шириной параллелепипеда. Нужную нам длину находим через синус угла 30 градусов:

C1D1 = 24 х sin30 = 24 x 0,5 = 12 см

Теперь нам осталось найти длину параллелограмма. Из треугольника A1D1C1, у которого нам известны длина гипотенузы и длина одного катета, находим длину второго катета по теореме Пифагора:

A1D1 = корень квадратный из (16,97^2 - 12^2) = корень квадратный из (287,98 - 144) = 12

Все необходимые данные для вычисления объема прямоугольного параллелепипеда у нас есть, и нам остается только перемножить между собой длину, ширину и высоту этого геометрического чуда:

Объем = 16,97 х 12 х 12 = 2443,68 см^3

Всё, эту задачу по геометрии мы решили. Какой вывод можно сделать из полученного результата? Между нами, блондинками, говоря, до стандартных параметров красоты, 90 х 60 х 90 = 486000 сантиметров кубических, этому параллелепипеду ещё очень далеко, даже не смотря на то, что он прямоугольный.