Показаны сообщения с ярлыком дроби. Показать все сообщения
Показаны сообщения с ярлыком дроби. Показать все сообщения

вторник, 18 апреля 2017 г.

Неизвестное число

Задача звучит так:

"Если неизвестное число разделить на 7 и частное сложить с делимым и делителем, то получится 263. Найти неизвестное число."

Главная трудность этой задачи - это использование специфического языка, на котором разговаривают шаманы от математики и не разговаривают нормальные люди. Скажу честно, я не помню, когда последний раз в разговоре с обычными людьми я слышал слова "частное", "делимое", "делитель". Вот по этому маме, уже давно закончившей школу, тяжело понять задачу из учебника ребенка. Для ребенка - это просто новые слова, смысл которых он ещё не усвоил.

Попробуем перевести условие задачи на человеческий язык. Неизвестное число разделили на 7. К результату деления прибавили это же неизвестное число и число 7. В результате сложения получилось 263. Думаю, вот так гораздо понятнее. Согласен, букв больше потрачено. Но сколько умственных усилий человечество тратит на расшифровку языка шаманов? Не удивительно, что большинство людей ненавидят математику.

Есть ещё один вариант представления условия этой задачи - с использованием дроби. В этом случае условие будет звучать так. Неизвестное число разделили на 7. К этой дроби прибавили числитель и знаменатель, в результате получилось 263.

Для решения задачи нужно составить уравнение и решить его. Вариант с дробью как нельзя лучше подходит для решения. Составляем уравнение и решаем его.

Неизвестное число. Уравнение с дробью. Математика для блондинок.
Неизвестное число
Ответ звучит так: неизвестное число равно 224. Специально для мам я подробно расписал решение. Я не математик, по этому стараюсь всегда делать проверку. Кстати, первый раз у меня в результате получилось дробное число. Задача на целые числа, а у меня - дробь. Что-то здесь не так. Я проверил свое решение и да, действительно, я не умею складывать числа: 7+1=9. Я же говорю, что я не математик.

вторник, 10 января 2017 г.

Смешанные дроби

Вот такой вот крик души:

Весь день вожусь с примером со смешанными дробями и десятичными дробями! Никак не могу понять, как такой решить?!?

Пример на смешанные дроби. Математика для блондинок.
Пример на смешанные дроби
Да, этот пример на смешанные дроби действительно выглядит как тираннозавр Рекс (он же Тирекс) в глазах млекопитающих. Ничего, наши предки пережили динозавров, и мы, как-нибудь, математиков переживем. Для этого достаточно уметь пользоваться своими знаниями.

Начнем с третьего слагаемого. Что такое дробная черта? Это один из вариантов записи математической операции деления. Значит, дробную черту на двоеточие (или наоборот) мы можем менять так, как нам захочется. Что ещё полезного мы знаем о дробях? Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй дроби. Если говорить по-человечески, то вторую дробь необходимо перевернуть вверх ногами и можно выполнять умножение. А ещё мы знаем, что любую десятичную дробь можно записать в виде дроби обычной. Что ещё полезного можно делать с дробями? Дроби можно сокращать, уменьшая числитель и знаменатель в одинаковое количество раз. Ну, и основное правило дробных выражений - сперва выполняются действия в числителе и знаменателе, только после этого числитель делится на знаменатель. А теперь смотрите, как мы воспользуемся этими знаниями.

Большая дробь. Дробь с дробями. Математика для блондинок.
Большая дробь
Вот так просто (или сложно - кому как) наша большая дробь с дробями превратилась в одно число. Весь смысл этих плясок шаманов с бубнами под названием "действия с дробями" - получить максимально простое число, дробь или алгебраическое выражение.

Вот теперь настало время сложить смешанные дроби. Для этого смешанные дроби нужно превратить в неправильные дроби и выполнить сложение дробей. Как мы знаем, дроби можно складывать только тогда, когда знаменатели дробей равны. А значит, дроби нужно привести к общему знаменателю. Вот этим мы и займемся.

Смешанные дроби. Сложение и вычитание смешанных дробей. Математика для блондинок.
Смешанные дроби
Вот. Пример на смешанные дроби мы решили. Могу вам предложить и другой вариант решения. Достаточно вспомнить, что любую смешанную дробь можно представить как сумму целого числа и дроби. Математические действия можно выполнять отдельно для целых чисел и отдельно для дробных чисел. Сейчас мы под микроскопом рассмотрим этот вариант решения.

Смешанные дроби как сумма. Сложение и вычитание смешанных дробей. Математика для блондинок.
Смешанные дроби как сумма
Честно признаюсь, я понятия не имею, какой из способов вычисления смешанных дробей математики считают правильным. Но с точки зрения математики, не имеет никакого значения, как вы будете складывать и вычитать эти дроби - результат всегда будет одним и тем же.

суббота, 9 апреля 2016 г.

Уравнение с дробью

Что делать, если уравнение с дробью, а икс спрятан в знаменателе дроби? Кулинарный рецепт очень простой - нужно избавиться от знаменателя. А что будет с иксом? Не переживайте. Если делать всё правильно, он сам из знаменателя в числитель перелезет. Здесь можно порекомендовать два способа приготовления блюда, то есть решения уравнения.

Первый способ заключается в приведении выражения к обычной пропорции. Дальше по свойству пропорции - произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов пропорции. Знаменатели дроби волшебным образом исчезают и у нас появляется банальное уравнение, которое мы должны легко решить. Во всяком случае, так думают учителя и тупые бюрократические функции из министерства образования. Рассмотрим пример. Решения я записываю подробно: с чувством, с толком, с расстановкой :))) Математики рекомендуют сокращать записи. Для экономии бумаги в тетрадках это очень полезно, но... Записать условие задачи и тупо переписать ответ из решебника - это тоже сокращенный вариант записи решения. С другой стороны, при сокращенной записи решения у меня всегда возникают подозрения, что меня хотят обмануть. Ведь математика - наука точная: два раза соври, получится правда.  

Уравнение с дробью. Математика для блондинок.
Уравнение с дробью
Что-то число у меня не сильно красивое получилось. Обычно математики любят, чтобы в результате всё сокращалось, упрощалось, а здесь - нет. Ладно, сделаем проверку и посмотрим на результат. Подставляем в первоначальное выражение вместо икса его значение.

Проверка уравнения. Уравнение с дробью. Математика для блондинок.
Проверка уравнения
Проверка показала, что блюдо получилось превосходного качества и полностью готово для подачи на стол учителя.

Второй способ заключается в приведении выражения к общему знаменателю. Знаменатель должен быть общим для левой и правой частей равенства. В этом случае мы с чистой совестью можем выбросить знаменатель в мусор. Ведь как гласит математика, которую мы никогда не должны забывать (как наивно полагают учителя), если две дроби равны и имеют равные знаменатели, то числители этих дробей так же равны. Может, в учебниках по математике так не написано, но смысл равенства дробей в этом и заключается. Я-то уже давно забыл, чему меня там учителя учили. Смотрим пример приведения к общему знаменателю.

Уравнение с дробью. Икс в знаменателе, что делать. Математика для блондинок.
Уравнение с дробью
Результат получился таким же, как и в первом случае. В этом и заключается прелесть математики - мы можем делать так, как нам нравится, но результат всегда будет один и тот же. Кстати, это правило касается только свободных разумных существ. Ученики должны делать так, как требуют учителя. Иначе у учеников возникнут большие проблемы - тупые бюрократические функции очень не любят, когда им не подчиняются.

воскресенье, 1 июня 2014 г.

Когда дроби равны?

При подготовке очередной публикации о пропорциях столкнулся с вопросом в лоб, который так старательно игнорируют математики: когда дроби равны? Математический справочник молчит, Википедия молчит. Все рассматривают только варианты больше или меньше. А равно? Если из трех вариантов рассматриваются только два, то это уже не наука, а псевдонаучная проповедь.

Внятный ответ на вопрос "Когда дроби являются равными?" никто сформулировать не удосужился. Можно сказать, что дроби равны тогда, когда числитель и знаменатель одной дроби равны числителю и знаменателю другой дроби. Но это утверждение справедливо только для несократимых дробей. А ведь есть еще дроби и расширенные, когда числитель и знаменатель одной дроби не равен числителю и знаменателю другой дроби, хотя сами дроби являются равными. На этом основаны пропорции.

Почему математики обходят вопрос о равенстве дробей? Попытки ответить на него приводят к ещё более страшным для математиков вопросам. Вот смотрите. Дроби можно считать равными, если результаты выполнения математической операции деления для одной и другой дроби равны. Под это правило подпадают как несократимые дроби, так и расширенные. На этом правиле основаны пропорции. Но... Здесь возникает вопрос: дробь - это число или математическое действие деление? Ну вот такие мы ленивые, что не захотели делить одно число на другое, а просто записали делимое (числитель) и делитель (знаменатель). Кому сильно нужно, пусть берет и сам делит.

А вот теперь начинаются интересные варианты рассуждений. Если дробь - это число, то почему в числе нужно выполнять математическое действие? Если дробь - это математические действие, то что оно делает среди чисел? Почему для для обозначения числа используется только деление и не используются умножение, сложение или вычитание?  Подобные вопросы математиками расцениваются не иначе, как покушение на святая святых - теорию чисел. В этой теории математики столько всякой ерунды придумали, что я уже не верю ни единому ихнему слову.

На мой взгляд, наиболее приемлемой (на данном этапе развития математики) формулировкой будет такая: две дроби являются равными, если равны числители этих дробей при условии равенства знаменателей. А там делайте, что хотите - можете сокращать расширенную дробь, можете расширять несократимую дробь. Все счастливы и довольны))) Лично мне с пропорциями помогло разобраться расширение дроби. После расширения я с чистой совестью сравнивал отдельно числители, отдельно знаменатели. Получались симпатичные формулы, которые помогали буквенный бред пропорций перевести в числовые примеры.

среда, 7 мая 2014 г.

Задача про велосипедиста

В давние-предавние времена, когда легендарный город Вавилон ещё не начинали строить, среди древних математиков уже была известна задача о путешественнике. А гласила эта задача следующее: "Путешественник был в дороге 14 дней. По грязи он прошел 3/7 пути, а остальную часть по сухой тропе. Сколько дней путешественник шел по сухому?"

Про Россию врать не буду, я не путин (я помню правила грамматики и то, что ругательные слова с большой буквы не пишутся). Но для Украины эта задача актуальна и сегодня. Так вот, передаваемая из уст в уста, переписываемая из учебника в учебник, задача про путешественника дожила до наших дней. Сейчас она звучит так:


Велосипедист проехал 14 километров. По просёлочной дороге он проехал 3/7 всего расстояния, а остальную часть - по шоссейной дороге. Сколько километров велосипедист проехал по шоссе?

Решается эта задачи на дроби довольно просто. Весь путь принимаем за единицу. Дальше вычисляем, сколько велосипедист проехал по шоссейной дороге. Для этого из единицы вычитаем три седьмых. Полученный результат умножаем на длину всего веломаршрута и узнаем такие желанные километры.

Задача про велосипедиста. Велосипедист проехал 14 километров. По просёлочной дороге он проехал 3/7 всего расстояния, а остальную часть - по шоссейной дороге. Сколько километров велосипедист проехал по шоссе? Математика для блондинок.
Задача про велосипедиста
Ответ: 8 километров велосипедист проехал по шоссе. А древний путешественник 8 дней шел по сухой тропе. Как видите, за много тысячелетий решение задачи нисколько не изменилось. Вот вам и "современная математика".

среда, 30 апреля 2014 г.

Задача про маляров

Задача про маляров. Математика для блондинок.
Задача про маляров
Сейчас мы с вами решим задачу про маляров. Звучит эта задача так:

Один маляр может покрасить зал за 6 дней. Двое маляров смогут этот же зал покрасить за 2 дня. За сколько дней покрасит зал второй маляр?

Предупреждаю сразу - я не знаю, как правильно решать эту задачу. Кроме преподавателя, этого никто не знает. Решение зависит от того, какую тему вы сейчас проходите. Я могу в принципе решить эту задачу. Первый вариант решения задачи про маляров я выполню по действиям.

1. Какую часть зала красит первый маляр за один день?

1:6=1/6

2. Какую часть зала первый маляр покрасит за два дня?

2*1/6=2/6=1/3

3. Какую часть зала за два дня покрасит второй маляр?

1-(1/3)=(3-1)/3=2/3

4. Какую часть зала покрасит второй маляр за один день?

(2/3):2=(2/3):(2/1)=(2/3)*(1/2)=(2*1)/(3*2)=2/6=1/3

5. За сколько дней второй маляр покрасит покрасит зал?

1:(1/3)=1*(3/1)=(1*3)/1=3/1=3

Ответ: Второй маляр покрасит зал за 3 дня.

Эту же задачу можно решить через икс или через систему уравнений с двумя неизвестными. Но я сомневаюсь, что взрослым дядькам и теткам из старших классов преподаватели будут задавать такие простые задачки про маляров.

Здесь самое интересное не ход решения, а смысл решения этой задачи. Решать задачу ради оценки - это глупо. Сама математика возникла из практических потребностей человека. Вот практическое применение полученного решения - это уже гораздо интереснее. Какие же практические выводы можно сделать из решения этой задачи про маляров? А вот какие.

1. Второй маляр должен получать зарплату в два раза большую, чем первый маляр. Ведь он работает в два раза лучше.

2. В шею нужно гнать таких работников, как первый маляр. Лучше иметь одного хорошего работника, чем двух плохих. Помните народную мудрость: "За одного битого двух не битых дают"?

среда, 23 апреля 2014 г.

Пропорции

Наконец-то мы добрались до пропорций. В математике пропорции - это самые настоящие пляски шаманов с бубнами. Это нам так говорят, что шаман своими плясками может вызывать дождь. На самом деле шаман смотрит на приметы и только тогда решает, плясать ему или не плясать. Но давайте посмотрим, что математики пишут о пропорциях.

Пропорции. Определение. Крайние и средние члены пропорции. Математика для блондинок.
Пропорции
И так, пропорцией математики называют равенство двух отношений. Это Святое Определение пропорции. Тупо учим и говорим его математикам. А теперь отодвинем проповедников математики в сторону и попробуем сами разобраться, что же это такое - пропорции?

Еще раз. Пропорция - это равенство двух отношений. А что такое отношение? Отношение - это простая дробь. Простая дробь - это рациональное число. Рациональное число - это деление. Деление - это отношение... Короче. Получается, что Маша - это Ксюша, Ксюша - это Люба, Люба - это Таня... Как зовут девочку? А фиг вас поймешь. Вот теперь пора вывести мошенников от математики на чистую воду.

Берем математическую библию и внимательно читаем.

Рациональные числа. Дроби и рациональные числа. Математика для блондинок.
Рациональные числа
Одно и то же рациональное число может быть записано разными вариантами одной дроби. Математики нас учат сокращать дроби. Как заправские шулеры, в этот момент они прячут туз в рукав. Сокращение дроби - это туз в рукаве. Когда математики достают свой туз из рукава? Когда начинают нам рассказывать о пропорциях.

Пропорция - это одно и то же рациональное число, записанное дважды со знаком равенства.

Пропорция - это банальное расширение дроби. Что такое расширение дроби? Это умножение числителя и знаменателя на одно и то же число.

Дальше у нас будут курсы кройки и шитья. Видите на картинке рядочек дробей? Сейчас мы их запишем чуточку по другому. Дальше берем ножницы, вырезаем две дроби и один знак равенства. Сшиваем это в кучку - всё, пропорция готова.

Расширение дроби и пропорция. Математика для блондинок.
Расширение дроби и пропорция
Что мы делаем дальше? В старину брали гусиное перо, обмакивали его в чернила и ставили кляксу на одном из чисел в пропорции. Всё, классическая задача на пропорции готова, можно переписывать в учебник. Сейчас аэрозольные баллончики гораздо легче найти, чем гусиные перья и чернила.

Задачи на пропорции. Математика для блондинок.
Задачи на пропорции
Но в Святом Математическом Писании есть четыре буквы, обозначающие пропорции. Как быть с ними? Возьмем и мы в руки любимые цацки математиков и посмотрим, как из одной дроби получаются две.

Пропорция. Математика для блондинок.
Пропорция
Как видите, для наведения тени на плетень математики тупо подменяют две понятные буковки одной непонятной. На этом и держатся страх учеников перед неведомым и могущество пропорций в руках математиков. Ну чем не шаманы?

Что такое буква "k" в наших формулах? Это коэффициент пропорциональности. Именно он превращает одну дробь в пропорцию. Для числителя и знаменателя этот коэффициент пропорциональности одинаковый. Если эти коэффициенты будут разными - никакой пропорции не получится. Это и есть главный секрет математических пропорций.

Коэффициент пропорциональности. Пропорции. Математика для блондинок.
Коэффициент пропорциональности
Почему в математическом справочнике нет ни слова о коэффициенте пропорциональности? Либо математики сами об этом не знают, либо шаманы свято хранят свои тайны. Ведь с коэффициентом пропорциональности все волшебные свойства пропорций испаряются, как дым. Дым над водой - "Smoke On The Water" группа Deep Purple


вторник, 22 апреля 2014 г.

Два в минус второй степени это

Иногда я подглядываю, что именно вы ищете в интернете и, в частности, на этом сайте. Один из вопросов звучит так: два в минус второй степени это... это одна четвертая. Вот какой я умный. Сейчас. А ещё десять минут назад я прочитал этот вопрос и подумал: "Блин, а это скоко?" Дробные показатели степени, отрицательные... Так сразу и не вспомнить. Десять минут изучения математического справочника - и вот я уже весь такой умный....

Знак минус в показателе степени означает обратное число, то есть дробь, у которой в числителе единичка, а в знаменателе само число. Ну, сейчас у математиков мода такая - лепить, что не попадя, в показатель степени.

Два в минус второй второй степени это одна четвертая. Математика для блондинок.
Два в минус второй степени это...
 Как видите, всё довольно просто. Если в показателе степени нет никаких знаков, значит это хорошая степень и прятать ничего никуда не надо. Если в показателе степени стоит знак минус - это плохая степень и число нужно спрятать, куда подальше. Дальше знаменателя в математике ничего нет. Вот туда число и опускаем. В числителе всё это маскируем единичкой. Поскольку наше число надежно спрятано в знаменателе, знак из показателя степени можно выбросить. Если знак минус не выбросить, число обратно вылезет из знаменателя. Кому это нужно? А никому не нужно. Пусть число сидит там, куда его Родина послала. Уточнять вопрос о том, чья это Родина, мы здесь не будем. Герои-подпольщики и вражеская подпольная агентура - это другая тема в учебниках математики.

понедельник, 21 апреля 2014 г.

Задачи на дроби

Сейчас мы посмотрим, какие задачи на дроби нам предлагает математический справочник.

Задачи на дроби. Найти число, часто которого составляет, найти дробь от числа, найти часть числа в долях целого. Математика для блондинок.
Задачи на дроби
И так, нам показывают, как найти целое число по величине его части, как найти часть числа по его целому, как найти часть числа в долях целого. Решение этих задач описано на картинке. Лично я не зубрю всю эту галиматью про числа, части, числители и знаменатели. Я включаю логику и решаю задачу. Потом обязательно делаю проверку. Ведь моя логика может и ошибаться.

Что можно сказать о задачах на дроби? Очень актуальные задачи. Были. Несколько тысяч лет назад. В Библии и сегодня присутствует десятина - одна десятая часть, на которую тысячелетиями существуют посредники между Всемогущим и простыми смертными. Естественно, возникает вопрос: какой же Он Всемогущий, если без посредников обойтись не может? Но это так, к слову.

Безмозглые составители учебников по математике совсем не замечают, что сегодня правители для обдирания своих подданных уже давно не пользуются дробями, а применяют проценты. Но тупое переписывание учебников из поколения в поколение делает задачи на дроби очень популярными среди учеников и их мам. Если бы нас лечили так же, как учат математике, то лечение любой болезни начиналось бы с прижигания каленым железом. Ведь именно так лечили в древности.

Гораздо полезнее нам будет разобраться в пропорциях, которые остаются в тренде всегда.

Деление дробей

Математика - это жизнь. Изучать деление дробей мы начнем с истории, произошедшей со знаменитой британской группой Muse. Как я уже говорил в статье про умножение дробей, музыканты всегда играют в живую. На итальянском телевидении их заставили выступать под фонограмму. Музыканты группы Muse решили выразить свой протест, поменявшись перед выступлением инструментами: солист и гитарист сел за ударную установку, ударник встал с бас-гитарой за микрофон, а бас-гитарист взял гитару и встал за клавишные. После выступления ударник дал интервью в качестве фронтмена. Во время съемок никто из телевизионных продюсеров не заподозрил неладное. Понятно, что продюсеры были самими крутыми и самыми умными, как они о себе думали. В таком виде передача вышла в эфир.



Европа - территория сравнительно свободная от бюрократического маразма. Там мало кто из телевизионщиков заглядывает в рот (чтобы знать, кого хвалить) и в попу (чтобы знать, кого какашками забрасывать) своих правителей. Даже телевидение соседней Испании прокатилось по такому очевидному ляпу.



К чему это я? Деление дробей - это умножение под фанеру. Судите сами. Для того, чтобы разделить одну дробь на вторую, нужно вторую дробь перевернуть вверх ногами и умножить на первую. Что значит перевернуть вверх ногами? Попенять местами числитель и знаменатель. Чем не группа Muse, выступающая под фанеру? Вот и получается, что при делении дробей мы фактически выполняем умножение под фанеру математиков: "Деление, деление, деление..."

Давайте посмотрим формулы деления дробей с одинаковыми и с разными знаменателями.

Деление дробей. Дедение дробей с одинаковыми и с разными знаменателями. Математика для блондинок.
Деление дробей
Естественно, у меня не может не возникнуть наивный детский вопрос: "А деление - это что такое? Самостоятельное математическое действие или переворачивание вверх ногами?" Если верить математикам - это самостоятельное математическое действие. Если смотреть фактам в глаза - это переворачивание вверх ногами. Если число перевернуть вверх тормашками, то мы получим обратное число. Помните, как древние вавилоняне изображали дробь? Как число, умноженное на обратное число.

Если перевернуть вверх ногами первую дробь и умножить на вторую, то мы получим деление второй дроби на первую.

Неправильное деление дробей. Математика для блондинок.
Неправильное деление дробей

С пониманием смысла того, что мы обычно называем делением, нам ещё предстоит разбираться. Деление дробей - это ещё один гвоздь в крышку гроба моей веры в мудрость современных математиков. Тупые безмозглые калькуляторы, которые умеют решать те задачи, которые их научили решать - вот кто такие современные математики. Что такое деление? Чем число отличается от обратного числа? Чем единица измерения в числителе отличается от такой же единицы измерения в знаменателе? Это те вопросы, которые лежат в основе наших представлений об окружающем мире. Если мы не знаем на их ответов, то наши представления об окружающем мире ничем не отличаются от представления пещерных людей.

Если у вас есть пожелания или вопросы по поводу деления дробей, пишите в комментариях. А мы рассмотрим задачи на дроби.

воскресенье, 20 апреля 2014 г.

Умножение дробей

С умножением дробей вообще всё просто. Никаких "знаменательных" правил, как при сложении и вычитании дробей. Тупо берем числители и перемножаем, результат записываем в числитель. Затем так же тупо берем знаменатели и снова перемножаем, результат записываем в знаменатель. Вот и вся премудрость умножения дробей.

Если у перемножаемых дробей одинаковые знаменатели, это ничего не значит. Тупо возводим знаменатель в квадрат, то есть умножаем число само на себя. Такой себе математический ... (не буду писать это неприличное слово, которое означает "тихо сам с собою"). Кстати, девочки, вот вам прикольный математический статус: "Мальчики, не занимайтесь возведением себя в квадрат, обратите внимание на девочек!"

Кстати, замечание совсем не пошлое, как может показаться на первый взгляд. Если вы попытаетесь выразить математическими действиями принципы размножения живых существ и понять причины их эволюции, вы неизбежно упретесь в вопрос "А что же такое возведение в квадрат?" И вы с удивлением обнаружите, что "сами с собою" могут только проповедники математики, в самой математике это в принципе не возможно. Возведение в квадрат - это не умножение числа само на себя, а перемножение совершенно разных чисел, имеющих одинаковую величину в данной конкретной ситуации. Это замечание будет вам особо полезно за пределами математики, например, в физике или технике. Даже в геометрии квадрат можно представить как прямоугольник с одинаковыми сторонами, а прямоугольник - как квадрат с разными сторонами. Математические свойства и квадрата, и прямоугольника абсолютно одинаковы.

Теперь мы посмотрим формулы умножения дробей с разными и с одинаковыми знаменателями.

Умножение дробей. Умножение дробей с разными и с одинаковыми знаменателями. Математика для блондинок.
Умножение дробей
Естественно, у вас возникнет вопрос, почему при умножении дробей одинаковые знаменатели перемножаются, а при сложении знаменатель просто переписывается. Я уже писал, что при выполнении математических действий с дробями, их знаменатели выполняют ту же роль, которую выполняют единицы измерения при целых числах. Сложение и вычитание выполняются в пределах одной единицы измерения. Сама единица измерения не меняется. Бестолковые математики никогда не пишут единицы измерения. При умножении две разные единицы измерения превращаются в новую единицу измерения. То же самое происходит при перемножении знаменателей дробей. Если математики не объясняют вам таких элементарных вещей, значит они сами в этом ничего не понимают.

Что может быть проще умножения дробей? Только умножение целых чисел. Если в знаменателях дробей будут единички, наши формулы умножения дробей превратятся в формулы умножения целых чисел. Собственно, умножение дробей можно разбить на два умножения простых чисел - верх перемножается с верхом, результат записывается вверху (в числителе), низ перемножается с низом и результат записывается внизу (в знаменателе).

Думаю, этого будет достаточно. Если у вас остались ещё какие-то вопросы по умножению дробей, задавайте их в комментариях. Если смогу, отвечу.

Дальше мы рассмотрим деление дробей. А поможет нам в этом знаменитая британская группа Muse. На концертах они всегда выступают вживую. Живое выступление можно сравнить с умножением дробей. Давайте посмотрим, как выглядит песня Muse "Muscle Museum" на концерте.

Сложение и вычитание дробей

Какие действия над дробями можно выполнять? Сложение дробей, вычитание дробей, умножение дробей, деление дробей. Да и вообще, с дробями можно делать всё, что вы делаете с другими числами. Сравнивать дроби мы уже научились. Лично мне кажется, что математические действия не признают нашего числового расизма, для них все числа одинаковы.

Действия над дробями. Сложение, вычитание, умножение, деление дробей. Обратная дробь. Математика для блондинок.
Действия над дробями
При сложении и вычитании дробей действует "знаменательное" правило - складывать и вычитать дроби можно только с одинаковыми знаменателями. Так сказать, слияние знаменателей. Сложение и вычитание дробей возможно только при условии слияния знаменателей. А условием слияния знаменателей является их абсолютное равенство. Кстати, в термоядерном синтезе, по уверению наших ученых, сливаются только ядра одинаковых элементов: синтез водорода, синтез гелия и так далее. Почему не происходит слияние ядер различных элементов? Неужели термоядерный синтез в физике подчиняется законам сложения дробей??? Но это так, только что мне в голову пришло. Записал здесь, чтобы не забыть такой интересный вопрос.

Сложение дробей


Обычно я тупо перемножаю знаменатели и получаю общий знаменатель, не заморачиваясь со всякими там наименьшими общими кратными (НОК). После сложения всё лишнее сократится. Выглядит это приблизительно так.

Сложение дробей неправильно. Математика для блондинок.
Сложение дробей неправильно
Естественно, для тупых бюрократических функций правильность выполнения всех действий имеет принципиальное значение. Какой же это шаман, который даже танец с бубном правильно станцевать не может? Математике-то по барабану - делайте, как хотите, лишь бы результат был правильным. Вот как нас нас математики учат правильно складывать дроби.

Сложение дробей правильно. Математика для блондинок.
Сложение дробей правильно
Как видите, в конце нам ничего сокращать не нужно. Но зато со знаменателями возиться приходится - искать наименьшее общее кратное. Школьникам нужно делать так, как учителя требуют. Иначе хороших оценок не видать. Взрослым можно делать как угодно. Им плохие оценки не угрожают.

Это ещё не всё про сложение дробей. Теперь возьмем любимые цацки математиков - буковки - и посмотрим, как сложение дробей выглядит в буквах. Сами математики почему-то стесняются нам показывать этот фокус. Сперва складываем две дроби с одинаковыми знаменателями.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Формула. Математика для блондинок.
Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
Вот такая простая формула сложения дробей с одинаковыми знаменателями. Если знаменатели у складываемых дробей разные, формула по интереснее будет.

Сложение дробей с разными знаменателями. Формула. Математика для блондинок.
Сложение дробей с разными знаменателями
Вот какая крутая формула сложения дробей с разными знаменателями. Ну, и как из двух разных буковок выковырять наименьшее общее кратное? Математики, ау! Такая фигня, как НОК, математической формулой не предусмотрена. Это всё тупые бюрократические функции из министерства учебников придумали. С точки зрения математики, поиск наименьшего общего кратного не является обязательным элементом сложения дробей.

Ради математической справедливости нужно рассмотреть сложение дробей в древневавилонском отображении, то есть, заменить дробь умножением числа на обратное число.

Сложение дробей в древнем Вавилоне. Математика для блондинок.
Сложение дробей в древнем Вавилоне
В первой строчке сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Дальше - сложение дробей с разными знаменателями. Как видите, всё чудненько работает, только грамматика записи чуть-чуть другая. Впрочем, эта грамматика нисколько не противоречит современным формам записи математических выражений. Приведенные формулы можно считать доказательством того, что в древнем Вавилоне могли легко складывать дроби. Я не думаю, что тогда люди были глупее нас. Судя по нашим школьным учебникам математики - гораздо умнее. За пять тысяч лет можно не только поумнеть, но значительно поглупеть. Особенно, если постоянно забивать мозги всякой дрянью.

Естественно, я буду не я, если к формулам сложения дробей не притяну за уши убогое определение рациональных чисел. То, в котором буквы "пэ" и "кью".

Формулы сложения дробей. Мтематика для блондинок.
Формулы сложения дробей
Что такое число "ка"? Это число, которое исчезает в результате сокращения дроби. Если при сложении дробей получилась несократимая дробь, значит у нас k=1, если в результате сложения дробей получилось целое число, значит у нас k=1, q=1.

В формулы сложения дробей вместо буковок a, b, c, d можно подставлять всё, что угодно - целые числа, дробные, квадратные корни, математические выражения... Эти формулы будут работать всегда. Это настоящая математика, которая не зависит ни от научной моды, ни от маразма научных правителей. С буковками p и q более печальная история. Маразм современных математиков разрешает подставлять вместо них только целые числа с целью получения рационального числа. Но это только в теории чисел. В других разделах математики в числителе и знаменателе дроби можно встретить всё, что угодно.

Вычитание дробей


Вычитание дробей выполняется точно так же, как и сложение, только знак плюс заменяется на знак минус. Я не стану полоскать вам мозги диссертацией про вычитание дробей с целью начитывания учебных часов. Если вы поняли принципы сложения дробей, то с вычитанием у вас проблем не будет. Формулы вычитания дробей могу показать, с тем же рациональным маразмом в конце, который нам напоминает о необходимости сокращения дроби в конце. Математиков тошнит от не сокращенных дробей.

Формула вычитания дробей. Математика для блондинок.
Формула вычитания дробей
  
И это ещё не конец. Теперь мы запишем формулы сложения и вычитания дробей в чистом виде, без всякого рационального маразма.

Сложение и вычитание дробей. Формулы. Математика для блондинок.
Сложение и вычитание дробей
Верхние формулы показывают сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, нижние формулы для дробей с разными знаменателями.

А в заключение мы возьмем формулу сложения и вычитания дробей с разными знаменателями и посмотрим, как она превращается в сложение и вычитание целых чисел. То простое сложение, которому учат ещё в детском садике.

Дроби и целые числа. Преобразование сложения и вычитания дробей в сложение и вычитание целых чисел. Математика для блондинок.
Дроби и целые числа
Вот так выглядит преобразование сложения и вычитания дробей в сложение и вычитание целых чисел. Если математики вам таких преобразований не показывают, значит они не хотят, чтобы вы что-то понимали в математике. Но чаще всего математики сами ничего не понимают в математике, а тупо повторяют то, чему их научили.

После сложения и вычитания дробей мы рассмотрим умножение дробей.

воскресенье, 13 апреля 2014 г.

Сравнение дробей

Вот теперь можно рассмотреть сравнение дробей. Умный математический справочник по этому поводу пишет следующее.

Сравнение дробей. Приведение дробей к общему знаменателю. Математика для блондинок.
Сравнение дробей
Для того, чтобы сравнить две дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Это если знаменатели у дробей разные. Если знаменатели одинаковые, тогда просто сравниваем числители дробей. Чем больше числитель, тем больше дробь. Если числители равны, то равны и дроби. Всё очень просто. После этого можно смело проставлять знаки больше, меньше или равно.

Еще раз повторим пройденный материал. Когда перед нами, на препараторском столе, находятся две дроби для сравнения, первым делом смотрим ниже пояса - в знаменатель. Если знаменатели одинаковые, переводим взгляд вверх, в числитель, и сравниваем "фейс ту фейс" (лицом к лицу, не путать с процедурой "фейс ин тейбл" - мордой об доску). Если портреты совпадают, то есть числители равны, значит дроби равны. Это кто-то пытается нам дважды втюхать одно и то же.

Если знаменатели разные, немедленно направляем пациентов в реанимацию, где их нужно привести к общему знаменателю. Только после выполнения всех "знаменательных" процедур, можно переходить к процедуре "фейс ту фейс".

Век живи - век учись. С удивлением сейчас обнаружил, что знаменатели в дробях играют ту же самую роль, которую играют единицы измерения в обычных числах или физических величинах. Нельзя сравнить два числа или две физические величины с разными единицами измерения. Что больше, две секунды или два метра? Идиотский вопрос. Но идиотский он именно потому, что невозможно сравнить время и длину. Даже числа можно сравнивать только тогда, когда они в одинаковой системе счисления. Мы на полном автомате всегда пользуемся десятичной системой счисления. Но бывают и другие. Двоичная, например. 11 в двоичной системе счисления не равно 11 в десятичной системе счисления. Двоичная 11 - это 3 в десятичной системе счисления.

Математике по барабану, в какой системе счисления или с какими единицами измерения мы работаем. Фундаментальный математический закон всегда один: при сравнении единицы измерения должны быть одинаковы. Это правило вам пригодится на всю оставшуюся жизнь.

Кстати, мой вам дружеский совет - учитесь понимать математику через единицы измерения. Тогда вам не будет равных. Ведь сегодня для математиков единицы измерения то же самое, что для пещерных людей - огонь из газовой зажигалки. Они знают, что это есть, но не имеют ни малейшего представления, как это работает.

Правда, в понимании математики есть один подвох. Избрав математику своей профессией, вам придется бороться со всей мощью бюрократической системы, которая со времен инквизиции обрастает буйной плесенью "высшей" математики. Если же вы своей профессией изберете, например, физику, тогда вы сможете гонять математиков пинком под зад: "Мне всё равно, чему тебя учили в институте. Делай так, как говорю я!". Надеюсь, вас не съедят тупые бюрократические функции на долгом пути к знаниям. Ведь умных никто не любит.

Вот теперь мы готовы рассмотреть действия над дробями и начнем мы со сложения и вычитания дробей.  

Дроби и свойства дробей

Тут недавно, в комментариях к интересной математике, меня попросили объяснить, что такое пропорция и отношение. Я так полагаю, что ни один математик сегодня не в состоянии толком объяснить пропорции. Почему? Во-первых, их этому не учили. Во-вторых, у них нет собственных мозгов, думают математики только определениями. Но начать нам нужно с темы "дроби и свойства дробей". Есть там один очень примечательный фрагмент, который нам и покажет, где рождаются пропорции.

Возьмем математический справочник и почитаем. Почему справочник? Там нет мусора, который так любят совать в учебники их авторы. Всё коротко, не совсем ясно, но пригодно для широкого употребления. Справочник рассчитан на учащихся средних специальных заведений. То есть, на тех, кто школу уже закончил и всё давно забыл, а учебники выбросил. А тут под рукой справочник - всё самое основное для быстрого восстановления памяти.

Дроби и свойства дробей. Рациональные числа. Отношение. Математика для блондинок.
Дроби и свойства дробей
Начинается этот раздел из грозного определения рациональных чисел. Они же дроби. Лично я ничего не имею против дробей, но я против несокрушимой тупости определений. Буквы в определение можно вписать любые и смысл его от этого не изменится.

Варианты обозначения дробей. Обозначение дробей разными буквами. Математика для блондинок.
Варианты обозначения дробей
Я так же против деления чисел на натуральные, целые, рациональные и так далее. Этот числовой расизм - бытовой пережиток каменного века. Разделяй и властвуй - вот какой принцип заложен в основу деления чисел по внешнему виду. О чем это я? А вот о чём.

Вы внимательно прочитали текст на первой картинке? А теперь попробуйте ответить на вопрос "Что такое единица?". Что бы вы не сказали, я всегда могу возразить, что ваш ответ не правильный. Фокус в том, что однозначно правильного ответа не существует. Есть множество правильных ответов, из которых я всегда могу выбрать не тот, что сказали вы. Что бы поставить вам двойку. Или назвать ваш ответ правильным, что бы поставить отлично.

Смотрите. Любая дробь, у которой числитель равен знаменателю, всегда равна единице и называется это неправильной дробью. Так что такое единица? Это и натуральное число, и целое число, и рациональное число, и неправильная дробь... Теперь попробуйте угадать с трех раз, какой ответ хочет от вас услышать учитель? А ведь у учителя в запасе есть и четвертый вариант.

Но дробь ещё можно называть отношением. Хотя, по другим источникам, отношением двух чисел называется частное этих чисел. То есть не само обозначение деления, а его результат. Но в таком случае и простая дробь, она же обыкновенная дробь - это не что иное, как недоделанное деление. Так сказать, "протокол о намерениях". Ведь в числите и знаменателе могут стоять натуральные числа (иррациональное число), одинокие буквы (простая дробь), математические выражения (алгебраическая дробь).

Вам ещё не страшно? Добавим к этому гаданию на кофейной гуще ещё один рецепт. Из древнего Вавилона. Дело в том, что у древних вавилонян не было понятия дробного числа. Дробь они изображали как умножение числа (натуральное число больше единицы) на обратное число (единица, деленная на число). Вот как это выглядит в классическом обозначении дроби.

Вавилонский вариант дроби. Умножение числа на обратное число. Математика для блондинок.
Вавилонский вариант дроби
Наши математики такое развитие сюжета тупо игнорируют. Ведь здесь мы лицом к лицу сталкиваемся с вопросом: "А что такое умножение и деление?". Судя по всему, современные математики не способны внятно ответить на этот вопрос.

Лично я древним математикам верю гораздо больше, чем современным. Ведь математика в современном супермаркете отличается от математики на базаре древнего Вавилона только тем, что на современных ценниках присутствуют нули, которых пять тысяч лет назад не было. Числа, сложение, вычитание, умножение, деление, измерение длины, времени, углов, вычисление площади, объема, квадратного корня... Всё, чем мы ежедневно пользуемся сегодня в быту, и даже больше, появилось ещё в те незапамятные времена.

Современные математики подарили нам ноль и никому не понятные толстые учебники. А ещё они здорово (или не очень) умеют решать те задачи, которые их заставляют решать. Но все эти решения больше похожи на пляски шаманов с бубнами, чем на осмысленные действия.

Но это всё так, старческое брюзжание. Для общего развития. Что делать вам? Тупо учите то, что вас заставляют учить, и отвечайте то, что от вас хотят услышать. Свое мнение оставляйте при себе. Может быть, когда-нибудь, вы сможете его высказать без вреда для себя. А пока... Если вы понимаете больше, чем окружающие, это уже ваш плюс в борьбе за место под солнцем.

Теперь вернемся к математике и рассмотрим сравнение дробей.

пятница, 7 февраля 2014 г.

Корни квадратные, корни благородные

Упрощение выражений в математике бывает разное. Вот пример выражения, в котором фигурируют корни квадратные, корни благородные. Почему эти корни благородные? Они без всяких прибамбасов и наворотов, скромненькие такие.

Корни квадратные, корни благородные. Упрощение дробного выражения с квадратными корнями. Математика для блондинок.
Корни квадратные, корни благородные
Упрощение дробного выражения с квадратными корнями не такое страшное, как может показаться. Не нужно сразу вдаваться во все подробности и в уже прятаться под кровать. Прищурьте один глаз и посмотрите на выражение издалека. Ну, дробь. Ну, две дроби. Нужно их сложить. Как складываются дроби? Вспоминаем далекое детство и правило сложения дробей. Чтобы сложить две дроби, нужно их привести к общему знаменателю. После этого два числителя складываются и остаются под одним общим знаменателем.

После этой детской процедуры, которая даже в высшей математике выполняется точно так же, у нас получились фрагменты выражения, которые очень смутно напоминают о формулах сокращенного умножения. Открываем формулы, открываем второй глаз и смотрим в оба.

Вау! Да ведь это же они, родимые, и есть! Квадрат разности, квадрат суммы, разность квадратов даже чья-то добрая душа уже на сомножители разложила. Что делать теперь? Вместо одной половинки формулы нужно записать в наше выражение вторую половинку. Но вот разность квадратов уже записана в виде второй половинки формулы. Ни-фи-га! Возвращаем всё на Родину! В знаменателе записываем разность квадратов в первозданном виде. Это математики нас специально запутывают, чтобы посмеяться над нами, когда мы из калькулятора начнем корни выковыривать.

Посмотрите, как всё чудненько получается! Все наши квадратные корни возводятся в квадрат и волшебным образом исчезают. А те, что возводиться не хотят, скромненько вычитаются и превращаются в ноль. В результате упрощения такого страшного дробного выражения у нас получилась детская дробь с самыми обычными числами. Складываем числа в кучку, сокращаем дробь и получаем результат без всякого калькулятора. Собственно, для этого упрощение выражений и применяется.

пятница, 19 февраля 2010 г.

Делимое дроби как называется?

Делимое дроби называется числитель. Числитель всегда пишется над дробной чертой. В поисках числителя дроби не нужно никуда заглядывать, типа под кровать. Числитель дроби всегда на самом видном месте, сверху дробной черты, как принц на горошине. В качестве числителя могут быть числа или математические выражения.

Числитель как пишется? Само слово "числитель" пишется так, как вы видите. В математических выражениях числитель записывается над дробной чертой. При записи выражения в строчку часто используют косую черту для отделения числителя от знаменателя. Тогда эта запись выглядит так

числитель/знаменатель

Например, запись дробного числа в виде 1/2 означает, что числителем этой дроби является число "один", знаменателем дроби является число "два".

Спонсор страницы: Школьный процесс обучения сегодня трудно представить без специального оборудования. Для оборудования классов применяются различные стенды. Стенды Уфа купить для школ и детских садов. Оформление школы и отдельных классов будет выдержано в едином стиле. Для каждого предмета есть специальный набор стендов, в том числе и для класса математики. На сайте рекламно-производственной компании "Калипсо" представлены фотографии стендов различных тематик.

Как называется делимое, что под чертой?

В дроби под чертой пишется делитель. Называется он знаменатель. Если вам необходимо найти знаменатель дроби, нужно искать его под дробной чертой. Типа, как под кровать заглянуть. Все знаменатели всегда прячутся под дробной чертой, как под кроватью. В качестве знаменателя могут быть как числа, так и целые математические выражения, иногда очень большие.

Маленький анекдот для взрослых. Разъярённый аргумент, внезапно вернувшийся из командировки, спрашивает свою функцию, томно возлежащую в постели:

- Что делает этот знаменатель под твоей кроватью?!!

- Не знаю... Но если бы ты видел, что он делает в числителе...