Показаны сообщения с ярлыком единицы измерения. Показать все сообщения
Показаны сообщения с ярлыком единицы измерения. Показать все сообщения

среда, 20 июля 2016 г.

Переменные единицы измерения

Тема занятий:
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ
Темой прошлого урока была
Величина

Урок 7

Переменные единицы измерения


Примером переменных единиц измерения являются курсы валют разных стран. Основные мировые валюты находятся в постоянном колебании. Связаны они законами обратной симметрии – удорожание одной валюты означает удешевление другой валюты.

Ещё один пример. Почему люди никогда не отмечают такой знаменательный день, как «середина жизни»? Потому, что никто не знает точной продолжительности собственной жизни. После смерти такой важный параметр, как «продолжительность жизни», перестает изменяться. Подобная неопределенность характерна для всех живых существ.

Если продолжительность существования живого организма принять за единицу, тогда наиболее точным математическим описанием любой жизни будет описание в переменных единицах измерения. Началом этой единицы измерения следует считать момент зачатия (при половом размножении), концом является смерть. Следует заметить, что увеличение продолжительности жизни конкретных организмов не является приоритетом в естественном отборе.

Величиной, обратно симметричной продолжительности жизни, является возраст. Возраст позволяет выразить переменную величину, характеризующую жизнь, в постоянных единицах измерения времени.

С точки зрения математики, возникновение жизни можно рассматривать как переход от постоянных единиц измерения (неживая природа) к переменным (живая природа).

На следующем уроке мы рассмотрим
Умножение

Величина

Тема занятий:
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ
На прошлом уроке мы начали рассматривать
Бесконечные тригонометрические функции

Урок 6

Величина


Тангенс и котангенс. Математика для блондинок.
Тангенс и котангенс

Математическая интерпретация приведенного выше рисунка будет выглядеть следующим образом.

Величина. Изображение величины в прямоугольнике. Единица измерения и число. Математика для блондинок.
Величина

Оба варианта представления величины абсолютно равноправны и дают одинаковый результат. На числовой оси паритет чисел и единиц измерения выглядит так.

Числа на прямой. Математика для блондинок.
Числа на прямой

В данном случае ноль и единица, деленная на ноль, выступают в качестве горизонтов, достичь которых при помощи чисел невозможно. Для дальнейшего преобразования величины в привычный нам вид, в абстрактные математические понятия необходимо вводить элементы хомоцентризма.

Если мы считаем, что по горизонтали располагаются единицы измерения, а числа перпендикулярны им, тогда величина будет иметь два варианта представления.

Два варианта величины. Постоянные и переменные числа. Постоянные и переменные единицы измерения. Математика для блондинок.
Два варианта величины


Числовая ось принимает следующий вид.

Числовая ось с единицами измерения. Математика для блондинок.
Числовая ось с единицами измерения

Введение следующего элемента хомоцентризма позволяет перейти к привычному представлению величины. Если мы считаем, что единица измерения всегда остается постоянной, то для адекватного описания величины необходимо ввести обратные числа. Обратная симметрия чисел является результатом перехода от переменных единиц измерения к постоянным.

Величина в постоянных единицах измерения. Числа и обратные числа.
Величина в постоянных единицах измерения

Числовая ось преобразуется следующим образом.

Числа и обратные числа. Постоянная единица измерения. Математика для блондинок.
Числа и обратные числа

В данном случае числовая ось изображена без наложения зеркальной симметрии. В качестве точки обратной симметрии выступает единица. Обратной симметрией связаны числа и единицы измерения в любой величине. При неизменной величине, уменьшение числа приводит к увеличению единицы измерения, увеличение числа – к уменьшению единицы измерения. Алгебра подобных преобразований выглядит следующим образом.

Числа и единицы измерения. Уменьшение числа, увеличение числа. Математика для блондинок.
Числа и единицы измерения

Здесь элементы, относящиеся к области чисел, изображены в круглых скобках. Элементы, относящиеся к области единиц измерения, изображены в квадратных скобках.

На следующем уроке мы рассмотрим
Переменные единицы измерения

среда, 10 декабря 2014 г.

Сумма всех ребер параллелепипеда

Вот такая вот задача у нас имеется:

Сумма всех ребер параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равна 120 см. Найдите длины ребер, если AB:BC:AA1=4:5:6.

Для начала, посмотрим, что это за зверь такой - параллелепипед и где именно у него расположены ребра.
Сумма всех ребер параллелепипеда. Математика для блондинок.
Сумма всех ребер параллелепипеда


Этот зверек из геометрического зоопарка хоть и кривоват слегка, но всё равно симпатичный. А имеется у него три группы ребер, по четыре ребра одинаковой длины в каждой группе. Сумма длин всех этих ребер по своему смыслу является периметром параллелепипеда. По аналогии с периметром четырехугольников. Ну, да ладно, не нам математиков учить.

Решить эту задачу можно при помощи пропорций, выражая одну сторону через другую. Вот пример решения задачи про сумму всех ребер параллелепипеда, где через икс обозначена одна из сторон.

Сумма всех ребер параллелепипеда решение. Математика для блондинок.
Сумма всех ребер параллелепипеда решение

Отношения сторон в этом варианте задачи выражены двумя пропорциями. За икс принята самая длинная сторона, чтобы дроби в решении получались правильные, то есть меньше единицы.

Но есть и более простое решение. Я бы назвал его "метод произвольных единиц измерения". Думаю, такого в учебнике вы не найдете. В чем смысл метода произвольных единиц измерения? Для начала давайте посмотрим, как появилась подобная задача.

Кто-то измерил длины трех разных граней параллелепипеда и высчитал по формуле сумму всех ребер. Дальше, от нечего делать, он начал смотреть на соотношение длин сторон этого параллелепипеда. Будучи фанатиком математики, этот кто-то взял и тупо сократил дроби. При этом сократились не только числа, но сантиметры. Вместо размеров параллелепипеда в сантиметрах у нас остались только числа 4; 5; 6. Да, это пропорции сторон параллелепипеда, которые останутся неизменными, в каких бы единицах измерения мы этого зверя не измеряли: в сантиметрах, в метрах, в дюймах, в попугаях или мартышках. Кстати, очень поучительный мультфильм о единицах измерения длины, называется "38 попугаев".



Вот и у нас получается, что заданные в пропорциях размеры параллелепипеда не понятно в чем измерялись. Если эту неизвестную единицу измерения мы обозначим через икс, то мы легко можем подсчитать сумму всех ребер параллелепипеда, только выраженную в иксах:

4(4х+5х+6х)=4*15х=60х

У нас периметр получился равным 60 непонятных (или произвольных) единиц измерения. По условию задачи известно, что этот же периметр равен 120 сантиметров. Составляем уравнение и находим величину произвольной единицы измерения. Это просто, как в первом классе.

60х=120см
х=(120/60)см
х=2см


Теперь остается только пересчитать размеры параллелепипеда в сантиметрах.

a=4х=4*2см=8см
b=5х=5*2см=10см
c=6х=6*2см=12см

Вот еще подобная задача:

Измерения прямоугольного параллелепипеда относиться как 9:13:7. Найдите сумму ребер прямоугольного параллелепипеда, если длина меньшей стороны 18 см.

Обозначаем через икс произвольную единицу измерения и находим сумму ребер прямоугольного параллелепипеда

Р=4(9х+13х+7х)=4*29х=116х

Длина наименьшей стороны нам известна и в произвольных единицах измерения, и в сантиметрах. Отсюда найдем величину произвольной единицы измерения.

7х=18см
х=(18/7)см

Теперь мы можем определить сумму ребер.

Р=116х=116*(18/7)см=(2088/7)см

Когда можно применять метод произвольных единиц измерения? Когда нам заданы размеры какой-либо геометрической фигуры в виде пропорции сторон и что-нибудь ещё (одни сторона, периметр, площадь или объем) в человеческих единицах измерения (сантиметрах, метрах или попугаях))).

понедельник, 10 февраля 2014 г.

Сравни, поставь знак больше, меньше или равно

Задача на единицы измерения и сравнение чисел с разными единицами измерения. Звучит она так:

Сравни. Поставь знак больше, меньше или равно.
80 см2 ... 8 дм2
236 см2 ... 2 дм2
40 дм2 ... 4000 см2
754 дм2 ... 7540 см2
15000 см2 ... 15 дм2
25600 см2 ... 256 дм2


Здесь сравниваются единицы измерения площадей, точнее сантиметры квадратные и дециметры квадратные. Для сравнения двух разных величин, их нужно привести к одной единице измерения. К какой именно? Не имеет значения. Главное, чтобы и возле одного числа, и возле другого числа единицы измерения были одинаковы.

Для перехода от одной единицы измерения к другой, необходимо выполнить определенные вычисления. Как учат нас математики? Точно не помню, но,  кажется, они пользуются таблицами перевода одних единиц измерения в другие. Для нужных нам сантиметров квадратных и дециметров квадратных выглядит это так:

1 см² = 0,01 дм²
1 дм² = 100 см²


Теперь берем одно наше значение, применяем к нему переводной коэффициент и можем смело сравнивать с другим значением.

80 см² = 80*0,01 дм² = 0,8 дм² меньше 8 дм²
236 см² = 236*0,01 дм² = 2,36 дм² больше 2 дм²
40 дм² = 40*100 см² = 4000 см² равно 4000 см²
754 дм² = 754*100 см² = 75400 см² больше 7540 см²
15000 см² = 15000*0,01 дм² = 150 дм² больше 15 дм²
25600 см² = 25600*0,01 дм² = 256 дм² равно 256 дм²


Как выглядят знаки  больше и меньше можно посмотреть на отдельной странице. Со знаком равно всё гораздо проще - две палочки "Твикс".

суббота, 11 августа 2012 г.

Управление числами

Не научные, но фантастические приключения блондинок с элементами реализма. Продолжение рассказа о связи чисел и единиц измерения.

- Какие параметры ваших стройных фигурок?

- Что, опять мерить?! – дружно возмутились блондинки, - Сколько можно?

- Помню, помню, - улыбнулся я, - 90, 60, 90. Обхват груди, обхват талии, обхват бедер. Всё это измеряется в сантиметрах. А вот я хочу, чтобы обхват вашей талии равнялся единице.

- Нет, лучше не надо, - испуганно пробормотала одна из блондинок.

- Вот видите?! – это вырвалось у меня само собой, - Вы мыслите, как все остальные люди. Если нужно уменьшить параметры своей фигуры, значит, либо диета, либо пластический хирург. Вы живете в плену пещерной математики, точнее, в плену математического действия вычитания: по чуть-чуть уменьшая размер, вы получите нужный результат. При этом вы всегда остаетесь в первоначальных единицах измерения размеров – сантиметрах.

- А что, можно по-другому? – удивление было написано на лице блондинок.

- Можно. Используя умножение и деление, без диет и пластических хирургов, я могу сделать так, чтобы обхват вашей талии равнялся единице. При этом я не буду к вам прикасаться и даже результат перемерять не стану.

- Это как? – ещё больше удивились блондинки.

- Я использую математику. Мы уже знаем, что числа живут в единицах измерения, и достать оттуда мы можем любое число или спрятать любое число в единицу измерения.
Что нужно сделать для того, чтобы число 60 превратилось в единицу? – обалдевшие блондинки внимательно смотрели на меня, - Достаточно это число разделить на 60.
Если мы уменьшаем число на 60, значит, наша единица измерения увеличатся на такое же число. Назовем нашу новую единицу измерения «талия». Просчитаем параметры ваших фигур в новой единице измерения. В одном столбце запишем прямые преобразования сантиметров в «талии», в другом столбце – обратные.

Управление числами. Преобразование длины. Математика для блондинок.
- Теперь я с гордостью могу заявить, что у моих подруг параметры фигуры составляют 3/2, 1 и 3/2 «талии».

- Прикольно, - задумчиво сказала одна из блондинок, - А так делать можно?

- Согласен, так никто не делает. Но это совсем не означает, что так делать нельзя. За время существования человечества длину измеряли в самых разных единицах измерения. Наша новая единица измерения ваших фигур ничем не хуже и не лучше, чем все остальные единицы измерения длины. Те единицы измерения, которыми мы пользуемся повседневно – просто дело привычки. Если «талия» понравится людям, они будут ею пользоваться. Если не понравится – над нею посмеются и забудут. Это было простенькое преобразование. Теперь немножко усложним задачу. Я хочу, чтобы обхват вашей груди и бедер равнялся «пи». Для этого нужно ввести новую единицу измерения длины, например «бюстик». Уменьшим обхват груди на 90 и увеличим на «пи». Соответственно, новая единица измерения увеличится на 90 и уменьшится на «пи» по сравнению с сантиметром.

Управление числами. Преобразование длины. Математика для блондинок.
- Видите, циферки меняются, а ваши фигуры остаются неизменными. Вот так при помощи математики можно управлять числами.

- И что это нам дает? – недоверчиво спросила одна из блондинок.

- В повседневной жизни – почти ничего, - честно признался я, - Придумывать новые единицы измерения у нас получается очень хорошо. А вот с преобразованием уже имеющихся единиц измерения могут возникнуть трудности: для этого нужно точно знать их соотношение. Но принцип обратной симметрии будет работать для всех единиц измерения. Например, если в одном километре содержится 1000 метров, то в одном метре будет 1/1000 километров.

- Понятно, опять учить нужно, - грустно констатировала одна из блондинок.

- А вот в плане мировоззрения это может существенно изменить наши убеждения. Давайте рассмотрим простенький пример с абсолютным нулем температуры.

пятница, 10 августа 2012 г.

Связь чисел и единиц измерения

Не научные, но фантастические приключения блондинок с элементами реализма. Продолжение рассказа Где живут числа?

- Давайте обозначим любое число, которое обычно стоит перед единицей измерения, буквой «k», а саму единицу измерения обозначим буквой «U». Буквой «a» обозначим то число, на которое мы хотим изменить число перед единицей измерения. Это число тоже может быть любым.

- Ой, как всё запутано, – сказала одна из блондинок.

- Ничего, на картинке всё прояснится. Теперь вспомним пару простых математических правил. Если что-то умножить на единицу, то это «что-то» не изменится. Если число разделить само на себя, то мы получим единицу. На единицу мы можем умножить как число, так и саму единицу измерения. Я единичку поставлю на нейтральной территории и выделю её красным цветом. Смотрим, какой математический процесс происходит дальше. Мы в равной степени можем как увеличить число перед единицей измерения, так и уменьшить.

Связь чисел и единиц измерения. Числа и единицы измерения это математика. Изменение чисел и единиц измерения. Математика для блондинок.
- Хм, симпатично получилось, – вынесли свой вердикт блондинки.

- Как видите, мы получили неопровержимое доказательство того, что без единиц измерения математики не бывает. Эта формула может служить универсальным индикатором для проверки чисел. Если то, что мы считаем числом, не раскладывается по приведенной схеме, значит это не число.

- А разве такое бывает?! – удивились блондинки.

- Да. Ноль не является числом – его нельзя разложить подобным образом. Комплексные числа так же не являются числами. Что бы там не утверждали математики, а результат говорит сам за себя.

- Так что, математики нам врут?

- Ну, я бы так не сказал. Просто математиков так учили, а они учат нас. Посмотрите, математика состоит из двух равных половинок: чисел и единиц измерения. Нас же учат математике, которая в большинстве случаев применима только к одной единице измерения. Получается, что половины математики наши математики не знают вообще. В другой половине, которую они знают, есть целая куча ошибок, которые легко выявляются при помощи единиц измерения. Давайте сперва запишем выражения с единицами измерения, а затем отбросим единицы измерения, но сохраним первоначальные знаки в выражениях. Вот смотрите.

Связь чисел и единиц измерения. Разные числа равны, одинаковые числа не равны. Математика для блондинок.
- То, что мы считаем не равным, может быть равно. То, что мы считаем равным, может быть не равно. Разные числа могут быть равными, одинаковые числа могут быть не равными при определенных условиях. Или ещё пример. Математики нас уверяют, что умножение – это краткая запись сложения. Так ли это?

Связь чисел и единиц измерения. Дважды два равно четыре. Умножение и сложение. 2+2, 2*2. Математика для блондинок.
- Видите, математическая операция умножения распространяется и на единицы измерения, сложение же происходит только в пределах одной единицы измерения.

- Вынос мозга, – обреченно сказала одна из блондинок.

- Нет, до выноса мозга мы ещё не дошли, - я улыбнулся – Вспомните историю развития человека. Когда-то люди жили в пещерах. Весь их мир ограничивался этой пещерой и мировоззрение было у них пещерным: земля держится на трех китах и тому подобные умозаключения. Наша математика одной единицы измерения является пещерной математикой, имеющей мало общего с окружающей действительностью. И наше мировоззрение сегодня мало чем отличается от мировоззрения пещерных людей.

- Как это? А Вселенная, звезды, планеты? Пещерные люди о Вселенной ничего не знали, - возмутилась одна из блондинок.

- А что мы можем знать о Вселенной с такой математикой? Давайте я вам на математических примерах покажу, насколько ограниченными являются наши представления об окружающем мире.

- Аж интересно посмотреть, - скептически заявила одна из блондинок.

- Но сначала мы ещё раз посмотрим, как можно управлять числами.

воскресенье, 11 марта 2012 г.

Теорема Пифагора

Здесь мы не будем рассматривать доказательство теоремы Пифагора. Доказательств много и вы их без труда найдете. Сегодня мы рассмотрим преобразование теоремы Пифагора из тригонометрического вида в другие виды с применением различных единиц измерения. Такие исследования математических свойств разных единиц измерения должны быть неотъемлемой частью математики. К сожалению, никто нас этому не учат. Но если вы хотите понимать математику, вы должны это знать.

Прежде всего, отметим те существенные моменты, которые влияют на применение теоремы Пифагора к окружающей действительности:

1. Две единицы измерения должны быть перпендикулярны.
2. Перпендикулярные единицы измерения должны быть одинаковыми.


Если две перпендикулярные единицы измерения будут разными, мы не сможем выполнить их сложение. Таковы правила сложения, которым нас учат в самом раннем возрасте и которые потом нас учат напрочь забывать. По умолчанию принято считать, что если между числами мы поставили знак плюс или минус, то эти числа имеют одинаковые единицы измерения. Весь окружающий мир не превращается в бесформенную серую массу потому, что даже одно число может иметь бесконечное множество единиц измерения. Именно единицы измерения удерживают разные величины от сложения в одно целое.

Тригонометрическая форма теоремы Пифагора, которую мы называем основным тригонометрическим тождеством, является формой записи теоремы Пифагора без единиц измерения. Это один из основных математических законов, который при введении разных единиц измерения превращается в разные физические законы.

Произведем преобразования основного тригонометрического тождества так, что бы мы могли потом подставлять любые единицы измерения и получать результат. Для этого введем нейтральные элементы в эту формулу.

Теорема Пифагора. Тригонометрический вид теоремы пифагора. Основное тригонометрическое тождество. Математика для блондинок.
Почему единица возведена в квадрат? Потому, что в математике так писать не принято, но это объясняет смысл того, что будет происходить дальше. Теперь мы приравниваем нашу единицу к длине гипотенузы прямоугольного треугольника и получаем теорему Пифагора в классическом виде - сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Теорема Пифагора. Превращение основного тригонометрического тождества в теорему Пифагора для треугольника. Геометрия теорема Пифагора формула. Математика для блондинок.
Заметьте, не имеет значения, что мы будем называть синусом, а что косинусом. Не имеет значения, какой из двух острых углов мы возьмем - теорема Пифагора работает для двух этих углов одинаково. Главным является то, что сумма квадратов отношений гипотенузы к катетам равна квадрату самой гипотенузы, всё остальное - это проявления относительности тригонометрических функций. Теорему Пифагора можно рассматривать как математическое доказательство переместительного закона (математики называют это коммутативностью) сложения - от перестановки слагаемых сумма не меняется. Коммутативность - ещё одно проявление относительности в математике.

Теперь посмотрим, что получится, если вместо единицы мы подставим радиус окружности.

Теорема Пифагора. Математика теорема Пифагора для радиуса окружности. Математика для блондинок.
Получается, что сумма квадратов координат точек окружности равна квадрату радиуса. Но, не нужно при этом забывать главное условие - центр окружности должен совпадать с центром декартовой системы координат. Если центр окружности и центр системы координат не совпадают, тогда это утверждение рассыпается, как карточный домик. Окружность и декартовы координаты - это две абсолютно независимые системы, которые могут располагаться, как угодно. Кто сказал, что центр окружности всегда должен совпадать с центром системы координат? Математики? Они пошутили.

Нужно обратить внимание ещё на один момент - знаки чисел. Теорема Пифагора их полностью игнорирует даже при наложении на окружность декартовой системы координат в классическом виде - с положительными и отрицательными направлениями. Возведение любого числа в квадрат полностью лишает это число знаковых признаков. Это свидетельствует о том, что в математике главным является само число, а не тот знак, который мы этому числу приписываем.

Дальше мы подставим вместо единицы длину отрезка.

Теорема Пифагора. Геометрия теорема Пифагора для отрезка. Математика для блондинок.
У нас получилось, что сумма квадратов проекций отрезка на оси прямоугольной системы координат равна квадрату длины отрезка. Я не зря подчеркнул, что система координат должна быть прямоугольной. Для косоугольной (аффинной) системы координат теорема Пифагора будет выглядеть по-другому. Взаимное положение отрезка и системы координат значения не имеет. Так же не имеет никакого значения, есть в системе координат отрицательные направления или нет. Проективные свойства пространства проявляются уже в момент возникновения самого пространства, до того, как в этом пространстве появляемся мы со своими знаками чисел. Кстати, в момент появления пространства возникает и симметрия, которая заставляет нас применять отрицательные числа, что бы мы могли различать симметричные явления. Есть ли у инопланетян отрицательные числа? Понятия не имею. Но знаю точно, что у них обязательно есть что-то, что помогает им адекватно отображать свое отношение к симметрии. Поэтому, когда встретитесь с ними, не сильно удивляйтесь, что они не понимают ваших рассказов о плюсах и минусах.

Теперь подведем маленький итог. Всё то, что мы с вами рассмотрели - гипотенуза треугольника, радиус окружности, отрезок - это различные названия одной и той же единицы измерения длины. Все перечисленные геометрические объекты измеряются в сантиметрах, метрах, километрах и так далее. Просто в разных ситуациях нас научили называть длину по-разному. В повседневной жизни это удобно, в математических операциях эти различия в названиях не имеют никакого значения, вы всегда имеете дело с длиной. Все рассмотренные нами разновидности теоремы Пифагора - это различные варианты записи одного и того же математического закона для двух перпендикулярных измерений длины.

В качестве следующей единицы измерения возьмем единицу измерения времени. Для времени теорема Пифагора будет выглядеть так:

Теорема Пифагора. Применение теоремы Пифагора для времени. Единицы измерения времени и теорема Пифагора. Математика для блондинок.
Сумма квадратов проекций времени на перпендикулярные направления равна квадрату самого времени. Естественно, здесь возникает целый ряд вопросов.

Существуют ли у времени перпендикулярные направления? Мы этого не знаем, но это совсем не означает, что у времени не может быть перпендикулярных направлений. Точно нам смогут ответить только физики. Думаю, на ближайшее тысячелетие им работы хватит.

Сколько измерений имеет время? Некоторые уверены, что одно. Некоторые высказывают предположение, что больше. Лично я рассуждаю так. У длины имеется минимум три пространственных измерения, в которых мы живем - длина, ширина, высота. У времени должно быть такое же количество измерений, как и у длины, иначе нарушаются основные математические принципы - симметрии и относительности.

Можно ли применить теорему Пифагора для времени? Да, можно. Совсем скоро я вам покажу то место, где разложение времени по теореме Пифагора будет смотреться очень естественно и логично.

Дальше рассмотрим другие единицы измерения. Для примера возьмем единицы измерения температуры и единицы измерения денег. Это точно такие же математические объекты, как и длина, но приметить теорему Пифагора к ним не возможно - эти единицы измерения не имеют точно таких же перпендикулярных единиц измерения. Посмотрите, что получается для температуры.

Теорема Пифагора. Применение теоремы Пифагора к единицам измерения температуры. Математика для блондинок.
И для денег. В качестве примера единиц измерения денег возьмем доллар.

Теорема Пифагора. Применение теоремы Пифагора к единицам измерения денег. Математика для блондинок.
Точно такая же картина вырисовывается, если мы будем пробовать подставлять в теорему Пифагора все другие, известные нам, единицы измерения. К ним теорема Пифагора не применима из-за отсутствия перпендикуляра у каждой из них. Следовательно, все эти единицы измерения обладают несколько иными математическими свойствами, чем длина и время - к ним нельзя применить тригонометрические зависимости, в том числе и теорему Пифагора.

В завершение наших исследований рассмотрим обратный процесс - превращение теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника в основное тригонометрическое тождество. Для этого разделим все элементы математического выражения на квадрат длины гипотенузы и выполним преобразования.

Теорема Пифагора. Преобразование теоремы Пифагора в основное тригонометрическое тождество. Тригонометрический вид теоремы Пифагора. Математика для блондинок.
Мы снова вернулись к тригонометрической форме теоремы Пифагора, с которой мы начинали.

В заключение хочу признаться, что совсем недавно я встречался с инопланетянами. Так вот, в процессе общения они нарисовали мне довольно странный рисунок. Вот он.

Теорема Пифагора. Инопланетяне рисуют теорему Пифагора. Математика для блондинок.
Что инопланетяне хотели этим сказать? Что они умеют рисовать палочки и кружочки? Как-то примитивно для них. Наверное, что-то другое. Инопланетяне умнее меня, ведь это они прилетели ко мне в гости, а не я к ним. Может быть, так выглядит их планета в комплексом пространстве двенадцати переменных? Знаете, наша планета в трех реальных измерениях длины выглядит гораздо красивее.

среда, 7 марта 2012 г.

Единицы измерения длины

В честь восьмого марта хочу сделать блондинкам маленький подарок (и не только им, все желающие могут пользоваться чужим подарком, надеюсь, блондинки возражать не будут). Подарок этот математический - таблица единиц измерения длины. О единицах измерения длины я уже писал и там то же есть таблица. Но проблемы с переводом одних единиц измерения в другие не исчезают сами по себе. Отдельно мы рассматривали, сколько будет метров и дециметров в задачах, которые задают учителя.

Вашему вниманию предлагается специальная таблица, при помощи которой вы без особого труда сможете переводить единицы измерения длины миллиметры, сантиметры, дециметры метры и километры из одного вида в другой. В вертикальных столбцах представлены единицы измерения одного вида, в горизонтальных строках вы можете найти, как каждая из них выражается в других метрических единицах измерения длины. Например, в одном метре содержится 10 дециметров, 100 сантиметров, 1 000 миллиметров или 0,001 километров.

Единицы измерения длины. Таблица перевода миллиметры, сантиметры, дециметры, метры, километры. Сколько метров в километре. Математика для блондинок.

Единицы измерения длины. Таблица перевода миллиметры, сантиметры, дециметры, метры, километры. Сколько метров в километре. Математика для блондинок.
Но это не главное. Для вас специально оставлены пустые строчки, куда вы можете пристраивать те числа, которые у вас есть. Можно даже курсором по пустой строчке ориентироваться в поиске нужного значения требуемой единицы измерения. Потом в соседних столбцах смотреть, какое число у вас должно получиться в других единицах измерения. Вот эта же таблица с примерами, которые выделены синим цветом.

Единицы измерения длины примеры. Таблица перевода единиц измерения с примерами миллиметры, сантиметры, дециметры, метры, километры. Сколько сантиметров в дециметре. Дециметр это сколько. Математика для блондинок.

Единицы измерения длины примеры. Таблица перевода единиц измерения с примерами миллиметры, сантиметры, дециметры, метры, километры. Сколько сантиметров в дециметре. Дециметр это сколько. Математика для блондинок.
Как видите, все довольно просто. Примеров много и разных. Главный принцип - число должно быть больше верхнего и меньше нижнего. Например, нам необходимо 8 дециметров перевести в другие единицы измерения. В столбце дециметров ищем пустую строчку по заданному количеству дециметров. Необходимая нам строчка находится между 1 дм и 10 дециметров. Восемь больше одного но меньше десяти. Все другие значения длины должны вписываться в пределы, обозначенные этой строчкой. Миллиметров должно быть больше 100 но меньше 1 000, значит у нас будет 800 миллиметров. Сантиметров больше 10 но меньше 100, значит у нас есть 80 сантиметров. Метров больше 0,1 но меньше одного, следовательно мы имеем 0,8 метра. Километров получается 0,0008 или 8 десятитысячных.

Как видите, цифры в числе не меняются, необходимо только подобрать нужное количество нулей к этим цифрам или правильно определить место запятой. Например, в самом низу таблицы 725 километров мы перевели в метры и получили 725 тысяч метров. То есть добавили три нуля к нашему числу. Если вам нужно расписать подробно это действие, то зная первоначальное число и правильный результат, не трудно найти то математическое действие, которое нужно выполнить для того, что бы первое число превратилось во второе. В нашем примере нужно умножить на 1 000 (в одном километре содержится 1000 метров):

725 км = 725 * 1000 = 725000 м

Рассмотрим самый верхний пример (первые синие цифры в начале таблицы). У нас имеется 0,476 миллиметра. Нам необходимо перевести их в метры. Из таблицы видно, что после запятой необходимо добавить ещё три нуля, что бы получилось 0,000476 метра. В математических действиях это можно выразить либо умножением на 0,001 (в одном миллиметре 0,001 метра) или деление на 1000 (в одном метре 1000 миллиметров):

0,476 мм = 0,476 * 0,001 = 0,476 / 1000 = 0,000476 м

Я думаю, в этом случае с делением проще справиться, чем разбираться в сотых, тысячных и десятитысячных. Я в них сам чуть не запутался.

В заключение хочу сказать свое мнение по поводу выражения одной длины в разных единицах измерения. Например, "длина отрезка равна три дециметра и пять сантиметров". Я считаю, что это уровень церковно-приходских священников периода средневековья. Это они так учили пра-пра-пра-учителей наших современных пропагандистов математических знаний. А прилежные ученики добросовестно перетаскивают сантиметра с дециметрами из одной школьной программы в другую, потому что их так учили. Не надо повторять их глупости. Учитесь выражать одно значение длины в одной единице измерения - либо в сантиметрах (35 см), либо в дециметрах (3,5 дм), либо в любой другой единице измерения длины (0,35 м, 350 мм). Калькуляторы понимают только так, а сегодня без калькуляторов вы математику не посчитаете. Если вы этого не сделаете, когда сами будете писать школьные программы, то ещё тысячи лет вашим потомкам математики будут вдалбливать в головы, как 35 сантиметров записывать в дециметрах и сантиметрах.

вторник, 6 марта 2012 г.

Что такое дециметр?

Странно было бы, если бы при всеобщем невежестве отвечающих, спрашивающие подавляли всех своим интеллектом. Понятно, что они точно такие же люди, как и все остальные. На вопрос с делением на ноль они ответили правильно, как их и учили. А вот на следующий вопрос даже организаторы шоу не сумели найти правильный ответ. И так, довольно простой вопрос:

Что такое дециметр?

Правильный ответ:

Дециметр - это единица измерения длины.

Тот ответ, который написали организаторы в качестве правильного, а именно "10 сантиметров", относится к другому вопросу. Звучит этот вопрос так: "Сколько сантиметров в одном дециметре?" Признаю, что я здесь умный такой только потому, что у меня было время хорошенько подумать, в отличие от тех, кто оказался перед микрофоном.

Самый честный ответ: "О, Боже! Как стыдно - я не помню..." Лучший ответ: "Это единица измерения чего-то, которая переводится из чего-то во что-то". Смотрим ролик полностью, математика в самом конце, с 8-й минуты 13-ти секунд.

суббота, 25 сентября 2010 г.

Сколько будет метров и дециметров?

"Сколько будет 22 метра 2 дециметра минус 1 метр 8 дециметра?" Трудность этой задачи заключается в том, что для обозначения одного числа используется сразу две единицы измерения: метры и дециметры. Если перевести сказанное на нормальный язык блондинок, то это почти то же самое, что фразу "Я вчера купила две кофточки и одну подарила подружке" заменить фразой "Я вчера купила две кофточки и четыре рукава, а потом одну кофточку и два рукава подарила подружке". Естественно, что последняя фраза вас сразу собьет с толку: "А рукава что, отдельно от кофточек продаются?". Конечно же, нет. Рукава пришиты к кофточкам, вот только считаем мы их отдельно. Зачем? Что бы вас запутать. Задачки в математике всегда запутываются, как клубок ниток. Вы должны их распутать и получить правильный ответ. Это развивает сообразительность, вот. А простое списывание с решебника развивает тупость. Теперь приступим к решению.

Значит, задачка у нас такая: сколько будет, если от 22 метров и 2 дециметров отнять 1 метр и 8 дециметров? Главное, что нужно знать при решении этой задачки - сколько дециметров в одном метре? Или сколько метров в одном дециметре.

1 метр = 10 дециметров

1 дециметр = 0,1 метров


Один метр равен десяти дециметрам. Один дециметр равен одной десятой метра. Вот теперь у нас есть всё, что бы решить задачку. Есть целых три способа решения этой задачи - в метрах, в дециметрах, в двух единицах измерения сразу.

Решаем задачку в метрах. Для этого дециметры уменьшаемого (это то число, из которого вычитают) и вычитаемого (это то число, которое вычитают) переводим в метры.

2 дециметра = 0,2 метра

8 дециметров = 0,8 метра


Прибавляем эти хвостики к нашим числам в метрах:

22 метра + 0,2 метра = 22,2 метра

1 метр + 0,8 метра = 1,8 метра


Теперь можно выполнить вычитание и получить разность этих самых метров. Ответ можно сразу перевести в метры и дециметры:

22,2 метра - 1,8 метра = 20,4 метра = 20 метров 4 дециметра


Второй способ - это решить эту же задачку в дециметрах. Для этого переведем метры в дециметры:

22 метра = 220 дециметров

1 метр = 10 дециметров


К полученным дециметрам прибавляем те дециметры, которые у нас есть по условию задачи:

220 дециметров + 2 дециметра = 222 дециметра

10 дециметров + 8 дециметров = 18 дециметров


Выполняем вычитание и переводим дециметры снова в метры и дециметры:

222 дециметра - 18 дециметров = 204 дециметра = 20 метров 4 дециметра


Это была математика. Теперь для блондинок. Что бы разобраться, что же мы делали, давайте заменим метры на бантики, а дециметры на рюшки. При этом условимся, что из одного бантика можно сделать десять рюшек, а из десяти рюшек можно сделать один бантик – ну сшить. Переписываем условие задачи: « У вас есть 22 бантика и 2 рюшки. 1 бантик и 8 рюшек вы должны отдать подружке». С бантиками всё просто – берем один и отдаем. А как быть с рюшками? Их нам явно не хватает. Посмотрим, как же мы решали эту задачу математически двумя способами. Со стороны это выглядит так.

Первый способ. Вы берете все бантики и развязываете их, разглаживаете все рюшки. Берете иголку с ниткой и сшиваете всё это в одну длинную ленту. После того, как вы закончили шить, отмеряете от ленты нужное количество и отрезаете ножничками. Торжественно вручаете офигевшей подруге кусок ленты. Потом вы с подругой режете свои ленты, делаете из них бантики и рюшки. В итоге вы с подругой, все в бантиках и рюшках, стоите, как две дуры на выданье.

Второй способ. Вы развязываете все бантики и режете их на рюшки. Делаете кучу рюшек и из этой кучи отбираете 18 штук для подружки. После этого торжественно вручаете офигевшей подружке кучку рюшек. Потом вдвоем принимаетесь разглаживать рюшки и шить из них бантики. При этом ваша подружка думает: «Во дура! Из-за этой уродины я теперь должна шить бантик». Вы же думаете: «Во дура! Из-за этой уродины я сперва резала, а теперь должна сшить аж двадцать бантиков». Честно говоря, вам я не завидую.

Как видите, математически правильные способы со стороны выглядят не совсем практично. Как поступит в этой ситуации любая блондинка? Как двухядерный процессор. Возьмет один бантик из кучки бантиков и сделает из него десять рюшек. Теперь у вас есть одна кучка из двадцати одного бантика и вторая кучка из двенадцати рюшек. Из первой кучки вы берете один бантик, восемь рюшек берете из второй кучки. Вручаете счастливой подружке один бантик и восемь рюшек. Потом вы любуетесь своими сокровищами и просто трепитесь, вместо того, чтобы пыхтеть с ножницами или иголками. Это и есть третий способ решения задачи. Возвращаясь к нашим метрам и дециметрам, математически это можно записать так:

22 метра и 2 дециметра = 21 метр и 12 дециметров

(21 метр и 12 дециметров) – (1 метр и 8 дециметров) = (21 метр – 1 метр) и (12 дециметров – 8 дециметров) = 20 метров и 4 дециметра


Мы два математических действия вычитания с двумя разными единицами измерения выполняем одновременно, точно так же, как работают двухядерные процессоры Intel для компьютеров. Думаю, после такого решения в вашей тетрадке офигевать начнут математики. Хотя именно так делаются все вычисления практически. В математике принято говорить, что нужно сперва выполнить вычитание дециметров, а уже потом вычитание метров. В принципе, математики правы. Так тяжелее запутаться. При вычитании дециметров вы всегда можете слямзить один метр из метров, если дециметров вам не хватает. Потом из оставшихся метров вычитаете метры. Только не забывайте об одном метре, если вы его уже прокутили в дециметрах.

Специальная таблица для перевода единиц измерения длины из одних в другие опубликована на отдельной странице.

Найти решение:

1000 квадратных метров сколько это будет в дециметрах - это будет 100 000 (сто тысяч) квадратных дециметров. В одном метре десять дециметров, в одном квадратном метре сто квадратных дециметров (10 х 10 = 100). В нашем примере 1000 х 10 х 10 = 1000 х 100 = 100000

Немного о повседневной жизни. Перфораторы и аккумуляторный инструмент используется при ремонте, строительстве, в производстве. Аккумуляторный инструмент хорош тем, что он не привязан к конкретной розетке с электрическим током и при его использовании безразлично, сколько до неё метров и дециметров. Перфораторы очень эффективно долбят стены не только на дециметры, но и на метры.

четверг, 4 марта 2010 г.

Единицы измерения длины

В качестве единицы измерения длины рассмотрим метр и производние этой единицы измерения. Для производных от основной единицы измерения существует система приставок, которые позволяют сокращать математическую запись числа единиц измерения путем введения новых единиц измерения.


Для величин, больших за принятую единицу измерения используются следующие приставки:

десять в первой степени - дека, например декаметр, декалитр;
десять во второй степени - гекто, например гектометр, гектолитр;
десять в третьей степени - кило, отсюда происходят километр, килограмм;
десять в шестой степени - мега, например мегаметр, мегабайт;
десять в девятой степени - гига, например гигаметр, гагабайт;
десять в двенадцатой степени - тера, это тераметр;
десять в пятнадцатой степени - пета, такая единица измерения будет называться петаметр;
десять в восемнадцатой степени - экса, получается эксаметр;
десять в двадцать первой степени - зетта, например зеттаметр;
десять в двадцать четвертой степени - йотта, например йоттаметр.

Для полученных таким образом единиц измерения переход к основной единице измерения осуществляется путем добавления указанного в показателе степени десятки (смотри таблицу) количества нулей после запятой. Например:

3,5687 километра = 3 568,7 метра
3,5687 х 103 = 3 568,7

8,63 гигаметра = 8 630 000 000 метра
8,63 х 109 = 8 630 000 000

9,045671 зеттаметра = 9 045 671 000 000 000 000 000 метров
9,045671 х 1021 = 9 045 671 000 000 000 000 000

Приставки, которые используются для единиц измерения, меньших за основную единицу измерения:

десять в минус первой степени - деци, например дециметр, децибел;
десять в минус второй степени - санти, получается сантиметр, сантилитр;
десять в минус третьей степени - милли, отсюда происходят миллиметр, миллиграмм;
десять в минус шестой степени - микро, например микрометр, микрорентген;
десять в минус девятой степени - нано, модный сейчас нанометр;
десять в минус двенадцатой степени - пико, например пикометр;
десять в минус пятнадцатой степени - фемто, получается фемтометр;
десять в минус восемнадцатой степени - атто, получается аттометр;
десять в минус двадцать первой степени - зепто, например зептометр;
десять в минус двадцать четвертой степени - йокто, например йоктометр.

Переход к основной единице измерения от производных единиц измерения осуществляется путем переноса запятой на указанное в показателе степени десятки (смотри таблицу) количество позиций влево. То есть получаемое число всегда будет меньше исходного числа. Например:

4,95 миллиметра = 0,00495 метра
4,95 х 10-3 = 0,00495

1,16 нанометра = 0,00000000116 метра
1,16 х 10-9 = 0,00000000116

4,036 зептометра = 0,000000000000000000004036 метров
4,036 х 10-21 = 0,000000000000000000004036

В прошлом веке, а точнее, в далеком теперь 1977 году, в Соединенных Штатах Америки супруги Ray и Charles Eames сняли десятиминутный фильм "Степени десяти". Это самая лучшая иллюстрация к приведенной здесь таблице. Очень наглядно показаны как большие масштабы, так и маленькие под приятную музыку. Для безлимитных блондинок объем трафика значения не имеет, а вот тарифицированных блондинок  хочу предупредить, что объем фильма равняется 22,3 мегабайта (видите, здесь приставка мега используется в реальной жизни). Надеюсь, просмотр доставит вам удовольствие и поможет зрительно представить все эти числа с большим количеством нулей.