Показаны сообщения с ярлыком легенды о математике. Показать все сообщения
Показаны сообщения с ярлыком легенды о математике. Показать все сообщения

понедельник, 7 января 2019 г.

Ахиллес и черепаха

Ахиллес и черепаха. Апории Зенона. Математика для блондинок.
Ахиллес и черепаха
В пятом веке до нашей эры древнегреческий философ Зенон Элейский сформулировал свои знаменитые апории, самой известной из которых является апория "Ахиллес и черепаха". Вот как она звучит:

Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт... Все они так или иначе рассматривали апории Зенона. Шок оказался настолько сильным, что "... дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось ... к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса..." [Википедия, "Апории Зенона"]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.

С точки зрения математики, Зенон в своей апории наглядно продемонстрировал переход от величины к обратной величине. Этот переход подразумевает применение переменных единиц измерения вместо постоянных. Насколько я понимаю, математический аппарат применения переменных единиц измерения либо ещё не разработан, либо его не применяли к апории Зенона. Применение же нашей обычной логики приводит нас в ловушку. Мы, по инерции мышления, применяем постоянные единицы измерения времени к обратной величине. С физической точки зрения это выглядит, как замедление времени до его полной остановки в момент, когда Ахиллес поравняется с черепахой. Если время останавливается, Ахиллес уже не может перегнать черепаху.

Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие "бесконечность" в этой ситуации, то правильно будет говорить "Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху".

Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:

За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.

Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию "Ахиллес и черепаха" очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.

Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:

Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.

В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто - достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела покоится в разных точках пространства, что, собственно, и является движением. Здесь нужно отметить другой момент. По одной фотографии автомобиля на дороге невозможно определить ни факт его движения, ни расстояние до него. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но по ним нельзя определить расстояние. Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, ещё нужны дополнительные данные для расчетов,  тригонометрия вам в помощь). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве - это разные вещи, которые не стоит путать, ведь они предоставляют разные возможности для исследования.

среда, 25 января 2012 г.

Замечания к истории возникновения чисел

Сергей Манулов в своей статье "Происхождение цифр" был излишне категоричен. "...они 1 с 7 уж точно никак не путают..." - путают, да ещё как путают.

8 января 2005 года три штурмана американской подводной лодки "Сан Франциско" по карте проложили подводный курс на глубине 250 метров. В результате подводная лодка врезалась в подводную гору с вершиной на глубине 135 метров. Все три штурмана посчитали, что вершина находится на глубине 735 метров. Один человек погиб, 97 были ранены.

28 мая 2008 года британская подводная лодка "Сюперб" врезалась в подводную скалу в Красном море. Капитан подводной лодки не правильно прочитал число 123 на показаниях датчика, указывавшего глубину скалы. Он посчитал, что скала находится на глубине 723 метра. Пострадавших нет.

Это только два случая, когда "они" путали 1 и 7. Мое мнение - до тех пор, покуда мы пользуемся цифрами, мы их путали, путаем и будем путать. И не только единицу с семеркой. Горизонтальная черточка или её отсутствие особого значения не имеют. Здесь вступают в игру три фактора:

- мы можем неправильно прочитать цифру - визуальная ошибка;
- мы можем неправильно запомнить прочитанную цифру - ошибка запоминания;
- мы можем неправильно записать или набрать цифру - механическая ошибка.

Так что при работе с числами от ошибок никто не застрахован. Общедоступными становятся только самые громкие случаи. А сколько людей ошибается в безобидных бытовых ситуациях? Этого никто не знает.

Второй глобальный вопрос - что такое правда в истории? Вы попробуйте сейчас узнать правду о своем президенте. Что он думает, как рассуждает, для каких целей он делает то или это? Это те вопросы, на которые мы, современники, никогда не получим ответы. Как мы можем уверенно рассуждать о мыслях древних людей? А вдруг арабские цифры кому-то из древних людей приснились, как Менделееву приснилась его знаменитая таблица? Все рассуждения о конкретном начертании цифр не более чем догадки. Наиболее логичная теория принимается за научную, остальные относятся к альтернативным или псевдонаучным. Как же было на самом деле, никто никогда не узнает. Разве что смотаться в прошлое и посмотреть.

Ноль и бесконечность ещё у древних майя обозначались одним символом. Вкладывали они в эти понятия один смысл или разный, мы можем только гадать.

Заявление о том, что абсолютно круглых объектов нет, является ложным. "Любой круг состоит из прямых бесконечно малых линий". Вот абсолютно симметричное утверждение - любая прямая состоит из кривых бесконечно больших линий. Какое из этих двух утверждений правильное? Я думаю, что наиболее правильное третье утверждение - дуракам закон не писан, какое хотите считать правильным, то и считайте.

Общее замечание к статье - не следует забывать, что существовали и другие символы для обозначения цифр у других народов. Там логика их начертания совершенно другая. Например, римские цифры мне очень напоминают счетные палочки.

Вот ещё одна статья на тему возникновения чисел "Появление натуральных чисел" от Валерия Залавина.

пятница, 30 декабря 2011 г.

Теория флогистона и комплексные числа

В начале XVIII века теория флогистона появилась в химии и объясняла процесс горения присутствием "огненной субстанции" в горючем веществе. Считалось, что когда вещество сжигается, из него улетучивается флогистон. Для своего времени это была передовая теория, первая теория в истории химии, благодаря которой химия превратилась в науку.

В процессе развития этой теории возник такой парадокс: при химических опытах по прокаливанию стали было обнаружено, что окалина весит больше, чем сам металл. Вместо того, что бы уменьшаться, масса окалины увеличивается, когда из металла выделяется флогистон. Вот здесь на помощь физике пришла математика со своими отрицательными числами. Логика была очевидной - если есть положительные и отрицательные числа, значит есть положительная и отрицательная масса. В теорию флогистона записали, что флогистон обладает отрицательной массой, что подтверждается экспериментами - отрицательная масса флогистона покидает металл и переходит в воздух, в результате чего положительная масса окалины увеличивается.

Благодаря работам Антуана Лавуазье была отрыта роль кислорода в процессе горения и на смену флогистонной теории пришла кислородная теория горения. В новой теории увеличение массы окалины объяснялось в рамках положительных чисел: к массе металла прибавляется масса кислорода из воздуха, в результате чего масса окалины увеличивается. Вот так просто и эффективно из химии были изгнаны отрицательные числа. Благодаря этому, сегодня мы пользуемся плодами химии в том виде, в каком они есть.

Физику же подстерегала другая участь. Буйной плесенью комплексных пространств в неё проросли комплексные числа. Откуда взялись комплексные числа? Оттуда же, откуда появилась масса флогистона - из отрицательных чисел. Это общий родитель этих двух теорий, здесь даже анализ ДНК проводить не надо. Почему так произошло? Что бы понять это, нужно посмотреть на историю развития математики.

четверг, 27 октября 2011 г.

Умножение и деление на ноль

Поскольку ноль не является числом, все математические операции по умножению и делению на ноль происходят в области единиц измерения. По отношению к операции деления на ноль единицы измерения могут быть реальные и виртуальные. К реальным единицам измерения относятся единицы измерения длины. Все остальные единицы измерения, предположительно, являются виртуальными. Деление на ноль виртуальных единиц измерения невозможно, поскольку результат деления на ноль таких единиц измерения не имеет смысла.

В особую группу следует выделить природную единицу измерения скоростей (скорость света) и математическую единицу измерения углов (угол в 45 градусов). Эти единицы измерения выводятся при помощи математических методов и их математические свойства требуют дальнейшего изучения. Более детального изучения требуют так же единицы измерения времени.

Виртуальные единицы измерения появляются в результате процесса, который математически можно записать как деление нуля на ноль.

0/0=1а

где а – виртуальная единица измерения.

Описанные математические свойства виртуальных единиц измерения позволяют нам вводить любые единицы измерения и пользоваться ими без влияния на окружающий мир. Эти единицы измерения применяются как для описания окружающей действительности, так и для повседневных нужд. Примерами виртуальных единиц измерения могут быть единицы измерения денег, температуры, многих физических величин или применяемые в технике и коммерции. Процесс выхода из обихода виртуальных единиц измерения можно математически отобразить как умножение на ноль. Математические свойства подобных единиц измерения проверены практикой их использования на протяжении многих тысячелетий.

В многомерном пространстве деление на ноль увеличивает количество пространственных измерений, умножение на ноль уменьшает это количество.

В прямоугольных декартовых координатах это будет выглядеть так:

x/0 = xy
xy/0 = (x/0)y = x(y/0) = xyz


При умножении на ноль следует принимать во внимание проективные свойства пространства, поскольку результат такого умножения зависит от того, какой именно компонент умножается на ноль.

xyz*0 = 0 и xy или xz или yz
xy*0 = 0 и x или y

В физических уравнениях деление на ноль требует введения новой единицы измерения в рассматриваемое уравнением физическое взаимодействие, выражаемое математическим действием умножением (предположительно, ещё одной единицы измерения длины). Например, при делении на ноль длины получается площадь, при делении на ноль площади получается объем и так далее.

м/0 = м²
м²/0 = м³


Алгебраически это можно представить в следующем виде

a/0 = ab
ab/0 = abc


где а, b, c – взаимно перпендикулярные единицы измерения длины.

При умножении на ноль один из компонентов взаимодействия, описываемых физическим уравнением, из взаимодействия исключается. Первоначальный результат взаимодействия превращается в ноль. Оставшиеся компоненты продолжают взаимодействовать.

м³*0 = 0 и м²
м²*0 = 0 и м

Алгебраически это можно представить в следующем виде

abc*0 = 0 и ab или ac или bc
ab*0 = 0 и a или b

где а, b, c – взаимно перпендикулярные единицы измерения длины.

Пояснение для блондинок: Это только начало деления и умножения на ноль. Более детально мы во всём этом пальчиками поковыряемся и по полочкам разложим как нибудь в другой раз.

Примечание для Манула: Здесь, конечно, нет геометрии. Но мне просто лень было рисовать. Да и надоело уже всё это. Позже покажу, а сейчас есть дела поважнее:)))

среда, 26 октября 2011 г.

Эволюция пространства

Вероятно, в процессе своей эволюции, пространство порождает различные многомерные вселенные с четным количеством измерений. Развитие происходит от пространств с меньшим количеством измерений к пространствам с большим количеством измерений. За основу существования пространства можно принять принцип существования скоростей. Наша шестимерная Вселенная в цепи эволюции пространства будет выглядеть следующим образом.

Эволюция пространства. Эволюция Вселенной. Как и откуда появилась наша Вселенная. Черные дыры и Большой Взрыв. Математика для блондинок. Николай Хижняк.
Вполне возможно, что до Большого Взрыва, положившего начало нашей Вселенной, существовала четырехмерная вселенная, в которой энергия имела одно измерение длины, а материя два измерения длины в той части вселенной, которая соответствует нашей досветовой. В процессе эволюции этой четырехмерной вселенной образовалась черная дыра, последствием которой в шестимерном пространстве был Большой Взрыв, давший начало нашей Вселенной. Материя с двумя измерениями длины в нашей Вселенной превратилась в двухмерную энергию. Вопрос о трансформации одномерной по длине энергии в процессе перехода через черную дыру, остается открытым.

В процессе эволюции нашей Вселенной энергия с двумя измерениями длины частично переходит в материю с тремя измерениями длины. Материя порождает в нашей Вселенной черные дыры, которые дают начало новым вселенным в восьмимерном пространстве. После Большого Взрыва в восьмимерном пространстве наша материя с тремя измерениями длины превращается в энергию восьмимерной вселенной. И так далее. Процесс эволюции пространства может развиваться до бесконечности.

В ходе эволюции одна четырехмерная вселенная порождает множество шестимерных вселенных. В свою очередь каждая шестимерная вселенная порождает множество восьмимерных вселенных. Это похоже на процесс метания икры. Все шестимерные все-ленные, порождаемые одной четырехмерной вселенной, могут находиться во взаимно перпендикулярных измерениях, что исключает их взаимное влияние друг на друга. Каждая из вселенных проецируется на все другие вселенные в виде точки. Точно так же могут формироваться восьмимерные вселенные.

В отношении сверхсветовой части вселенных любого типа заслуживает внимания теория симметричности относительно скорости света. Энергия и материя досветовой части свободно перемещается в трех измерениях длины и жестко фиксирована в непрерывном потоке трех измерений времени. Темная энергия и темная материя свободно перемещаются в трех измерениях времени и жестко фиксированы в непрерывном потоке трех измерений длины. Даже если это не так, возможность существования вселенных подобного типа не стоит сбрасывать со счетов.

Процесс перехода от черной дыры к Большому Взрыву требует дополнительного изучения. Математически он может быть описан операциями умножения и деления на ноль. Есть основания полагать, что спусковым механизмом гравитационного коллапса, приводящим к появлению черной дыры, является геометрия пространства. Этот вопрос будет рассмотрен дополнительно.

Тригонометрические зависимости угла масштаба

Рассмотрим тригонометрические зависимости угла масштаба в двух прямоугольных треугольниках – при увеличении масштаба и при уменьшении масштаба.

Треугольники угла масштаба. Математика для блондинок. Николай Хижняк.
Тригонометрические соотношения сторон полученных прямоугольных треугольников для уменьшения и увеличения масштаба сведем в таблицу.

Тригонометрические зависимости угла масштаба. Уменьшение и увеличение масштаба в формулах. Николай Хижняк, математика для блондинок.
Полученные результаты можно сравнить с релятивистским радикалом из теории относительности Эйнштейна.

Теория относительности Эйнштейна. Математика для блондинок.
Не трудно заметить, что приведенные в уравнениях радикалы очень похожи на синус и секанс уменьшения угла масштаба. Если выполнить не сложные преобразования, можно получить единицу измерения.

Математические преобразования уравнений теории относительности Эйнштейна. Математика для блондинок. Николай Хижняк.
Проведенные преобразования указывают на то, что природной единицей измерения скоростей является скорость света. Нет никаких оснований полагать, что при прохождении через точку симметрии коэффициента масштаба происходит изменение тригонометрических зависимостей. По этому, можно предположить, что для сверхсветовых скоростей релятивистский радикал принимает следующие значения.

Теория относительности Эйнштейна для сверхсветовых скоростей. Математика для блондинок. Николай Хижняк.
На основании вышеизложенного можно выдвинуть следующую гипотезу о строении нашей Вселенной. Скорость сета является естественным барьером, отделяющим досветовою часть Вселенной от сверхсветовой части. Досветовую часть Вселенной мы имеем возможность наблюдать. В силу специфических свойств скорости света, сверхсветовая часть Вселенной не может наблюдаться непосредственно. Можно предположить, что скорость света является осью симметрии распределения вещества во Вселенной. Темная материя и темная энергия, которые оказывают воздействие на нашу часть Вселенной, могут находиться в сверхсветовой части Вселенной.

Если во Вселенной есть высокоразвитые разумные цивилизации, которые овладели сверхсветовыми технологиями, то для передачи информации они будут использовать не электромагнитные волны, обладающие скоростью света, а твердые носители информации на основе темной материи, передающиеся со скоростями, значительно превосходящими скорость света.

Если приравнять тригонометрические зависимости угла масштаба к значениям тригонометрических функций при 90° (это 1; 0 и 1/0), то для уменьшения масштаба они сводятся к равенству 0=1, для увеличения масштаба – к равенству k=0.

Наша Вселенная имеет три ограничения. В пространстве границей вселенной явля-ется область, где скорость света равняется нулю. Внешне наша Вселенная является точкой в пространстве. Математическим уравнением вселенной является равенство 0=1 – любая физическая величина со своей единицей измерения в масштабах Вселенной равняется нулю. Этот закон сохранения подтверждается некоторыми исследованиями физиков, в частности, об этом говорится в докладе Андрея Линде.

Кроме пространственного ограничения, существую ограничения скорости. В досветовой части Вселенной это выражается в ограничении длинны – расстояние между двумя положениями любой точки пространства во времени не может равняться нулю. В физике это ограничение принято называть абсолютным нулем температуры. Сверхсветовая часть Вселенной имеет ограничение по времени – время между двумя положениями любой точки в пространстве не может равняться нулю. Мгновенное перемещение в пространстве без перемещения во времени невозможно. Геометрически это можно выразить так: проекция скорости на длину и на время не может равняться нулю. Выполнение этих условий обеспечивается присутствием вращения на самых разных уровнях: атомарном, планетарном, галактическом. Можно предположить, что наша Вселенная так же вращается в пространстве.

Более точное представление о принципах существования Вселенной можно получить после детального изучения скорости света как физического процесса. За основу можно принять положение о том, что скорость света в нашей Вселенной является результатом взаимодействия трех измерений длинны с тремя измерениями времени. Математически это взаимодействие описывается умножением. Физически наша Вселенная имеет шесть измерений – три измерения длины и три измерения времени.

Пояснение для блондинок: Теперь самое время нарисовать нашу Вселенную и посмотреть, какое место она занимает в эволюции пространства.

вторник, 25 октября 2011 г.

Изменение угла масштаба

Увеличение угла масштаба можно представить как изменение величины при неизменной единице измерения. Уменьшение угла масштаба можно представить как изменение единицы измерения при неизменной величине. Геометрически в системе прямоугольного треугольника это будет выглядеть следующим образом.

Изменение угла масштаба. Основы математики. Математика для блондинок. Николай Хижняк.
Увеличение и уменьшение масштаба в одинаковое количество раз соответствует одному значению угла масштаба. На этом свойстве углов масштаба основаны тригонометрические зависимости в прямоугольном треугольнике.

С точки зрения математического результата не имеет значения, как описывается изменение величины относительно единицы измерения. Переменная величина при постоянной единице измерения и переменная единица измерения при постоянной величине дадут одинаковое значение угла масштаба.

В общем виде изменение масштаба величины можно представить как поворот единицы измерения на величину угла масштаба. Увеличение или уменьшение масштаба зависит от того, какое положение единицы измерения принято за основу при сравнении и от вида проекции. Увеличение масштаба можно представить как лучевую проекцию на числовой луч, перпендикулярный единице измерения, взятой за основу при сравнении. Уменьшение масштаба можно представить как перпендикулярную проекцию сравниваемой единицы измерения на единицу измерения, взятую за основу.

Поворот единицы измерения. Основы математики. Николай Хижняк. Математика для блондинок.
Пояснение для блондинок: Дальше заканчивается нудное вступление и начинается самое интересное - тригонометрические зависимости угла масштаба.

вторник, 16 августа 2011 г.

Величина как основа математики

Взаимодействие чисел и единиц измерения происходит в точке «единица» и выражается математическим действием умножением. Геометрически единица измерения перпендикулярна числовому лучу. Результат умножения чисел на единицу измерения в дальнейшем будет называться «величина». Все величины изначально имеют одинаковые математические свойства.

Геометрическое изображение любой величины. Единица измерения и числовой луч. Математика для блондинок.


Все единицы измерения в окружающем нас мире можно изобразить двумя способами: с общей точкой «единица» и с общей точкой «ноль». Способ изображения не влияет на свойства составляющих элементов.

Если принять за общую точку единицу, тогда это будет окружность с числовым лучом, выходящим из центра окружности. Радиусами окружности будут являться единицы измерения.

Вселенная. Геометрическое изображение величин с общей единицей. Портрет математики. Математика для блондинок.


Приблизительно так можно изобразить любую вселенную со всеми имеющимися в ней единицами измерения. Изображение всех единиц измерения в виде радиусов окружности подчеркивает то обстоятельство, что все единицы измерения изначально имеют одинаковые математические свойства. (Пояснение для блондинок: А вам не кажется, что этот портрет математики очень напоминает древнее изобретение человека - колесо? Вы точно уверены, что колесо изобрел именно человек? Может, кто-то пытался объяснить человеку, что такое математика, но он так ничего и не понял? На память о встрече с неизвестными учителями математики нам история оставила только колесо... Почему неизвестные учителя начали свой рассказ именно с этого? Потому, что не зная и не понимая таких элементарных вещей, понять математику практически невозможно. Что нам блестяще демонстрировали предыдущие поколения математиков.)

Большой взрыв. Единицы измерения в математике. Математика для блондинок.


Приблизительно так можно изобразить момент появления вселенной, который принято называть «Большой Взрыв». В этом случае числовой луч графически можно представить в виде числового конуса.


В алгебраическом виде любая величина может быть представлена умножением коэффициента масштаба на единицу измерения. В качестве коэффициента масштаба выступают числа.

Уравнение величины. Коэффициент масштаба, единица измерения. Математика для блондинок.


Геометрически любую величину, которая является результатом умножения коэффициента масштаба на единицу измерения, можно представить в виде гипотенузы прямоугольного треугольника, катетами которого являются единица измерения и часть числового луча.

Геометрическое изображение любой величины вида ka. Величина, числовой луч, единица измерения. Математика для блондинок.


Если коэффициент масштаба равен единице, тогда величина равна единице измерения.

Пояснение для блондинок: Вот теперь мы добрались до одного из видов математических углов и дальше мы рассмотрим, что такое угол масштаба и как происходит изменение угла масштаба.

суббота, 13 августа 2011 г.

Единицы измерения и математические действия

Симметричность сложения и вычитания относительно точки ноль свидетельствует о том, что эти математические действия могут выполняться только с одной единицей измерения. Фактически, сложение и вычитание отражают сравнение трех чисел – двух имеющихся и результата. Для разных единиц измерения результат этих математических действий получить не возможно, поскольку числа имеют различные основания, и их сравнение не представляется возможным. Геометрическое отображение сложения и вычитания будет рассмотрено дополнительно.

Симметричность умножения и деления относительно точки «единица» позволяют представить деление как умножение на число, обратное любому числу:

а : b = a x 1/b

Точно так же, умножение на число, обратное любому числу, можно представить как деление на любое число:

а х 1/b = a : b

Традиционное определение простого дробного числа как результата деления двух целых чисел p и q равнозначно результату умножения целого числа p на число, обратное целому числу q:

p : q = p x 1/q

В дальнейшем изложении термин «умножение» будет подразумевать умножение и деление в общепринятом смысле ввиду их полной симметрии и относительности этих понятий.

Умножение – это взаимодействие двух различных единиц измерения под прямым углом в точке «ноль». В результате взаимодействия образуется новая единица измерения с началом в точке «ноль», что приводит к качественному изменению взаимодействующих единиц измерения. Математическим действием, противоположным по смыслу умножению, является разложение на сомножители. Разложение выполняется при помощи тригонометрических функций, которые могут иметь числовые и не числовые (0 и 1/0) значения. Простейшее подобие разложения под углом в 45 градусов – это извлечение квадратного корня. Более подробно разложение и тригонометрические функции будут рассмотрены дополнительно.

Площадь (например, площадь прямоугольника) – это результат взаимодействия двух перпендикулярных единиц измерения длины. Умножение параллельных единиц измерения не возможно (при умножении длин двух параллельных сторон прямоугольника, измеренных в метрах, можно получить метры квадратные, но нельзя получить площадь). Математические свойства единиц измерения будут рассмотрены дополнительно.

Поскольку в математике принято выделять отдельные множества чисел, которые частично входят в понятие «любое число», при желании можно сформулировать математически точные определения для некоторых из них. Например:

единица и все числа, которые можно получить сложением единиц, называются натуральными;

все числа, которые можно получить сложением или вычитанием единиц, называются целыми числами (при вычитании такого же количества единиц, которое имеется, числа обращаются в нуль);

числа, не являющиеся целыми, называются дробными.

Пояснение для блондинок: Теперь настала очередь посмотреть, как в математике взаимодействуют числа и единицы измерения. Эту штучку я назвал величина.

пятница, 12 августа 2011 г.

Относительность понятия «любое число»

Для получения числовой оси не имеет значения, какие из чисел приняты за любое число: положительные больше единицы, положительные меньше единицы, отрицательные больше минус единицы или отрицательные меньше минус единицы. Наложение обратной и зеркальной симметрий на любую из этих групп чисел приводит к получению всего ряда действительных чисел.

От выбора группы чисел в качестве любого числа будут зависеть результаты математических действий – это различные комбинации увеличения или уменьшения любого числа в результате конкретного математического действия. В таблице ниже возможные варианты понятия «любое число» обозначены точно так же, как соответствующие им фрагменты числовой оси в традиционно принятом виде. Для наглядности увеличение любого числа продублировано знаком «+», уменьшение – знаком «-», соответствующие ячейки выделены разным цветом.

Относительность понятия любое число в математике. Математика для блондинок.
Как видно из таблицы, сложение и вычитание зеркально симметричны относительно точки «ноль». Умножение и деление зеркально симметричны относительно двух точек – точки «единица» и точки «ноль», при этом обратная симметрия зеркально симметрична относительно точки «ноль». Все рассуждения о первичности и вторичности математических действий являются заблуждением. Симметрия математических действий рассмотрена в отдельной статье.

Пояснение для блондинок: Дальше мы рассмотрим единицы измерения и математические действия.

четверг, 11 августа 2011 г.

Числовая ось

В математике принято изображать числа в виде числовой оси. Рассмотрим преобразование числового луча в числовую ось.

Обратная симметрия позволяет получить числа меньше единицы. Поскольку точкой обратной симметрии является единица, эта симметрия не зависит от единиц измерения. Обратная симметрия отражает относительность понятий «больше единицы» и «меньше единицы» при сравнении двух чисел. В случае сравнения двух чисел в обязательном порядке нужно принять одно из этих чисел в качестве единицы измерения.

После введения единицы измерения мы получаем абсолютную систему координат для любой единицы измерения. Единица измерения на рисунке изображена в традиционно принятом варианте – с наложением на область обратных чисел. При наложении зеркальной симметрии, точкой которой является ноль, мы вводим отрицательные числа и получаем относительную систему координат. Все перечисленные преобразования изображены на рисунке ниже, где знаком бесконечности обозначено любое число.

Числовая ось. Математика для блондинок.
Пояснение для блондинок: Дальше мы рассмотрим относительность понятия "любое число".

среда, 10 августа 2011 г.

Относительность в математике

Все различия между двумя числами или двумя единицами измерения выявляются только при сравнении двух чисел или двух единиц измерения. Все результаты сравнения являются относительными, поскольку зависят от того, какой из двух элементов берется за основу при сравнении. Относительность результатов сравнения отображается различного вида симметриями. Если за основу симметрии берется точка «ноль», то в результате получается зеркальная симметрия. Если за основу симметрии берется точка «единица» - в результате получается обратная симметрия. Для единиц измерения углов обратная симметрия трансформируется в перпендикулярную симметрию, которой обладают значения тригонометрических функций.

Сравнение двух любых чисел не возможно без наличия общего основания, в качестве которого выступает единица измерения. Для расположения любых чисел в порядке возрастания в современной математике в качестве единицы измерения чисел используются системы счисления: двоичная, троичная, восьмеричная, десятичная, шестнадцатеричная и другие. Сравнение двух чисел с различными основаниями не возможно без приведения их к общему основанию.

Сравнение двух чисел при разных единицах измерения становится возможным при использовании третьей единицы измерения – одной из систем счисления, например, десятичной.

Результат сравнения двух чисел описывается понятиями «больше» и «меньше». Относительность сравнения чисел выражается в том, что результат сравнения зависит от того, какое число берется за основу при сравнении. Например, если сравнивать числа 2 и 3, мы получим два результата:

2 меньше 3
3 больше 2


На первом месте принято записывать число, которое берется за основу при сравнении, на втором - то число, с которым оно сравнивается. Результаты сравнения обладают свойством зеркальной симметрии – при изменении основания результат изменяется на противоположный. Точкой зеркальной симметрии является равенство двух сравниваемых чисел. Результаты сравнения двух чисел аналогичны относительной системе координат:

меньше – равно – больше
минус – ноль – плюс


Сравнение двух единиц измерения возможно при наличии общей точки «ноль». Результатом сравнения двух различных единиц измерения может быть заключение о перпендикулярности или параллельности этих единиц измерения. Параллельность или перпендикулярность одной единицы измерения относительно другой – это понятия относительные.

Пояснение для блондинок: Дальше мы посмотрим, как и откуда появилась числовая ось.

вторник, 9 августа 2011 г.

Некоторые понятия математики - продолжение

Точка – это замкнутое пространство с радиусом кривизны равным нулю (Пояснение для блондинок: Я сам толком не понимаю, что означает эта фраза. Но я знаю точно, что она правильная и очень пригодится нам, когда мы начнем рассматривать математические принципы телепортации. Ездить на собственной тачке, даже самой крутой - это не так уже и круто. Ведь вы всё равно дальше этой планеты не уедите. А здесь с вами, даже с блондинками, рано или поздно случится то же самое, что случилось с динозаврами - природа вас убьет. Куда вы денетесь с подводной лодки, даже если эта лодка размером с планету?). Любое пространство состоит из бесконечного количества точек. Через любую точку пространства можно провести бесконечное количество взаимно перпендикулярных прямых. Все точки пространства обладают свойствами как нуля, так и единицы, что позволяет беспрепятственно и произвольно налагать любую относительную систему координат и применять любой вид симметрии в любой точке пространства. В любой точке пространства выполняется равенство: ноль равен единице. Уравнение точки 0 = 1. Свойства нуля и единицы для одной точки пространства не могут проявляться одновременно в одной системе координат.

Прямая – это открытое пространство с радиусом кривизны равным единице деленной на ноль, состоящее из отдельных точек.

В математике необходимо различать следующие виды углов: угол масштаба, тригонометрический угол, угол поворота.

Угол масштаба – угол в пределах от 0 до 90 градусов. Угол масштаба может равняться нулю, но не может равняться 90 градусов. Этот угол отражает количественные изменения в пределах одной единицы измерения. Любые изменения угла масштаба не могут привести к качественному изменению единицы измерения.

Тригонометрический угол – угол в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрический угол может равняться как нулю, так и 90 градусов. Этот угол отражает зависимости между единицами измерения (проективные свойства пространства) и условия качественных изменений единиц измерения. Зависимость количественных изменений единиц измерения от тригонометрического угла выражается тригонометрическими функциями. Качественные изменения единиц измерения происходят при значениях тригонометрических функций равных нулю и единице, деленной на ноль.

Угол вращения – угол, который может иметь любые значения. В диапазоне от 0 до 90 градусов угол вращения численно может совпадать с тригонометрическим углом или углом масштаба. Угол вращения отражает круговое перемещение без изменения количественных или качественных характеристик единицы измерения.

Прямой угол отличается от всех остальных углов тем, что взаимной проекцией двух пересекающихся прямых является точка. Для всех других значений угла проекцией одной прямой на другую является прямая. При угле, равном нулю, прямые совпадают. Математической единицей измерения углов является угол, равный 45 градусов. Эта единица измерения углов подчиняется правилам двоичной системы счисления.

Пояснение для блондинок: На этом набор умных математических слов заканчивается и мы переходим к рассмотрению математического механизма - что, как и почему работает в математике. Начнем мы нашу экскурсию с относительности в математике.

Некоторые понятия математики

Пояснение для блондинок: "Некоторые понятия математики" - это моя шпаргалка для себя, любимого. Решая какой-либо математический вопрос, мне часто приходилось вспоминать собственные нестандартные решения других вопросов. Что бы долго не рыться в своем склерозе, я все самые важные моменты собрал в начале цикла статей "Основы математики". Некоторые статьи из цикла будут нас приводить к выводам, которые уже записаны здесь.

Знак равенства отражает причинно-следственные зависимости окружающего мира. (Пояснение для блондинок: - это пример применения первой основной аксиомы математики.) Если 2 х 2 = 4, это совсем не означает, что 4 = 2 х 2. Существует бесконечное множество решений, приводящих к точно такому же результату – четыре. 2 х 2 – лишь одно из них.

В математике существует три основных равенства:

0 = 0
1 = 1
0 = 1


Все физические законы и математические уравнения сводятся к одному из этих равенств. (Пояснение для блондинок: Вы думаете, почему мне так легко удалось найти решение нерешаемых уравнений? Потому, что я заранее знаю ответ - решение любого математического уравнения сводится к одному из этих равенств. Если знаешь условие задачи и правильный ответ, решение найти гораздо проще. Кстати, вот одна из реплик физиков, о которой я писал в статье "Ноль равен единице": "Сумма энергии вещества и гравитационной энергии сохраняется, но этот закон сохранения необычен: эта сумма равна НУЛЮ!". Больше всего меня поражает тот факт, что физики тянут за собой математику, как старую клячу! А ведь должно быть совсем наоборот - это математики должны объяснять физикам: что, как и почему работает в этом мире. Физика - это экспериментальная база математики. Если физики найдут какие-то исключения из математических правил, значит математикам нужно будет подправлять математику.)

В математике можно выделить такие основные элементы: ноль, единица, любое число и единица измерения.

Числа отражают количественную характеристику чего-либо. Любое число равно любому числу – это свойство чисел позволяет выделить их в особую группу, которую принято обозначать словом «число». Все отдельно взятые числа обладают одинаковыми математическими свойствами. (Пояснение для блондинок: Не удивляйтесь, самый страшный сон любого математика (все числа равны) - это жестокая математическая реальность. Не бойтесь, я не собираюсь отнимать у математиков их любимую игрушку - числа. Я просто хочу сказать очевидную вещь: все вы знаете массу самых разных игрушек (и детских, и взрослых), но все их объединяет одно свойство - ими можно играть.)

Любым числом является положительное действительное число больше единицы. Если к одному любому числу прибавить другое любое число первое число увеличится. Точно так же любое число увеличится при умножении его на другое любое число. Если из любого числа вычесть другое любое число, первое число уменьшится. Если одно любое число разделить на другое любое число, первое число уменьшится.

Единица является числом, но не является любым числом, поскольку при умножении и делении на единицу любое число остается неизменным. Единица является нейтральным элементом при умножении и делении.

Геометрически любое число изображается точкой. Все числа образуют числовой луч с началом в точке «единица». Числовой луч не имеет конца. Любое число можно обозначить знаком «бесконечность», поскольку любое число может быть как угодно большим.

Единицы измерения отражают качественную характеристику чего-либо. Любая единица измерения равна любой единице измерения. Все единицы измерения обладают одинаковыми математическими свойствами. (Пояснение для блондинок: В математике единицы измерения симметричны числам, вспомните аксиому о симметрии.) Универсальными единицами измерения чисел являются системы счисления: двоичная, десятеричная, шестнадцатеричная и др. (Пояснение для блондинок: Думаю, для математиков это будет настоящим открытием. Я сам никак не могу привыкнуть к тому, что любое записанное число имеет хвостик единицы измерения - "абстрактная единица".)

Геометрически любая единица измерения изображается отрезком (двумя точками): точка «ноль» – это начало единицы измерения, точка «единица» – это конец единицы измерения.

Ноль не является числом, поскольку при прибавлении нуля к любому числу и вычитании нуля из любого числа это число остается неизменным. (Пояснение для блондинок: Это и есть то простое и изящное решение проблемы с нулем, о котором я говорил раньше. Согласен, это ещё один акт глумления над математическими святынями. Но, ничего не поделаешь - красота математики требует жертв. Вы только представьте, сколько энергии и бумаги мы сэкономим, если не будем в каждом примере на деление писать "знаменатель не равняется нулю". Вот экологи обрадуются!) Ноль является нейтральным элементом при сложении и вычитании. Ноль является началом абсолютной системы координат. В относительной системе координат ноль является точкой зеркальной симметрии.

В точке «единица» происходит связь единицы измерения с любыми числами. Единица является точкой обратной симметрии в абсолютных и относительных системах координат.

Пояснение для блондинок: Это ещё не конец. В следующей статье мы продолжим рассматривать некоторые математические понятия.

понедельник, 8 августа 2011 г.

Основные аксиомы математики

Математика – это законы, по которым существует окружающий мир. Законы математики одинаковы для любых вселенных с любым количеством измерений.

Математика – это правила без исключений. Если в математическом правиле появляется исключение – это правило необходимо изменять. Данное утверждение является универсальной формулой научных открытий в математике.

Математика – это абстракция. Абстрактность математики заключается в том, что законы математики действуют всегда и везде одинаково.

Математика – это замкнутая система. Если получен правильный математический результат, то существует бесконечное количество путей, приводящих к точно такому же результату.

Математика – это симметрия. Абсолютная симметрия в математике – это предел развития математики как науки.

Математика – это относительность. Положительных и отрицательных чисел в природе не существует. Положительные и отрицательные числа – это отражение нашего личного мнения в математике. Отрицательное число – признак относительной системы координат, положение которой зависит исключительно от нашего выбора её центра. Одна и та же точка может иметь разные знаки и разные числовые значения в различных относительных системах координат.

Математика – это основа общения и взаимопонимания разумных существ из разных цивилизаций. Геометрия в переводчиках не нуждается. Математика заканчивается там, где начинается человеческая логика.

Пояснение для блондинок: Более подробно мы рассмотрим каждую из этих аксиом немного позже, а пока продолжим знакомство с математикой и краешком глаза взглянем на некоторые понятия, которые будут использоваться в дальнейшем.

Основы математики

Основы математики - это цикл моих статей. Главная задача "Основ математики" - дополнить математику отсутствующими фрагментами математических знаний и установить взаимосвязи между некоторыми уже известными нам прописными истинами.

Самыми полезными нововведениями в математику будут единицы измерения и деление на ноль. Понятно, что объяснить это будет не просто. Для понимания придется досконально разобраться в некоторых общепринятых математических понятиях и установить, что в них есть правда, а что есть ложь.

Зачем в математике нужны единицы измерения? Вот представьте себе такую ситуацию. К вам подходит ребенок, вручает вам предмет и спрашивает: "Что произойдет, если этот предмет уронить?" Пользуясь принципами современной математики, вам нужно взять список всех множеств предметов и найти, к какому множеству из существующих этот предмет принадлежит. Если это множество разбивающихся предметов, то данный конкретный предмет разобьется. Если это множество подпрыгивающих предметов, то этот предмет подпрыгнет. В существующих перечнях множеств предметов вам придется долго и нудно копаться, прежде, чем вы сможете найти ответ на вопрос.

Можно ли решить проблему проще? Можно. Если визуально определять материал, из которого сделан предмет и знать свойства этого материала - тогда никаких проблем. Стеклянный предмет разобьется, резиновый мячик подскочит, железное колечко сделает "дзинь!" а желе сделает "шмяк!".

Точно так же в математике обстоит дело с единицами измерения. Если вы знаете математические свойства единицы измерения, вы без труда скажете, что можно ожидать а чего нельзя от того физического параметра, которому эта единица измерения принадлежит.

Введение в математику единиц измерения как математического элемента, равнозначного числам, позволяет определять математическими методами многие фундаментальные свойства окружающего мира.

Если вы думаете, что в результате таких нововведений математика станет ещё запутаннее, вы ошибаетесь. Она будет проще, стройнее, понятнее. Посмотрите на основные аксиомы математики.

пятница, 5 августа 2011 г.

Решение нерешаемых уравнений

Не научная фантастика. Тупо бред на заданную тему.

В комментариях к статье "Вундеркинды и кретин с блондинками" мне предложили решить несколько уравнений из разряда "известно, что решения нет". Эти уравнения выглядят следующим образом:

1) x + 2 = x

2) √x = -1

3) x/0 = x


Скорее всего, на математиков эти нерешаемые уравнения действуют, как удав на кроликов и вселяют в их математически не определимые души благоговейный трепет. Я лишен таких суеверий. Тем более, автор этой идеи, Vag, сам подкинул мне волшебную палочку-выручалочку:

"Решений не имеет" означает, что ДОКАЗАНО, что НЕ СУЩЕСТВУЕТ таких обстоятельств, в которых условия задачи соблюдаются.

Сегодня мы рассмотрим обстоятельства, при которых условия по меньшей мере одного из уравнений соблюдаются. Следовательно, по меньшей мере одно нерешаемое уравнение мы сейчас решим.

Но начать я бы хотел не с решения, а с ответа на вопрос: "Откуда взялись эти нерешаемые уравнения?" Мне кажется, вот откуда...

...Мама купила своему ребенку новую игрушку - кубики с азбукой. Сама собрала несколько слов, прочитала их и дала ребенку играться. Сама занялась своими делами.


Ребенок увлеченно начал складывать кубики. Завершив выкладывать рядок из случайно взятых кубиков, он задал маме вопрос:

- А что здесь написано?

- Ничего. Ты неправильно сложил буквы, - пояснила мама, - вот когда выучишь буковки, тогда ты сможешь правильно складывать кубики.

Ребенок очень обиделся и разревелся. Чем больше пыталась мама его успокоить, тем сильнее он ревел. Тогда мама сказала:

- Хорошо, попробуй ещё раз, я обязательно тебе прочту.

Шмыгая носом, ребенок наугад взял несколько кубиков и сложил их в рядочек.

- Что я написал? - со слезами спросил он.

Что бы и дальше не расстраивать ребенка, мама ответила:

- В математике так обозначается определенный интеграл в пределах от Ветхого Завета до девяти вечера, взятый по поверхности асинхронной точки.

Ребенок озадаченно притих. Он ничего не понял, но что-то его беспокоило в этой фразе. Немного поразмыслив, он спросил:

- А сказка в девять часов вечера будет?

- Конечно будет. Куда же она денется? - очень уверенно ответила мама.

Очень внимательно глядя маме в глаза, ребенок на ощупь взял несколько кубиков и сложил еще одну абракадабру.

- А это что я написал? - недоверчиво спросил он, не отрывая взгляда от маминых глаз.

Если мама не посмотрит на кубики и скажет, что там написано, значит она его обманывает. Если посмотрит - значит она действительно читает то, что там написано.

Мама посмотрела на кубики и выдала еще одну порцию бессвязных слов. Ребенок был счастлив. У него самая умная мама! Дальше эта игра продолжалась до тех пор, пока ребенку не надоело. У него действительно была умная мама, которая знала много умных слов.

Потом ребенок подрос, выучил буквы, начал самостоятельно складывать слова из кубиков. Когда он стал взрослым, он забыл игру в кубики, но вера в то, что у него самая умная мама, осталась...

Точно так же, как ребенок составлял кубики, математики составили нерешаемые уравнения из математических символов. Ребенок вырос и стал взрослым, математики так и остались в памперсах своих определений.

Теперь приступим непосредственно к делу.

Решение первого нерешаемого уравнения

x + 2 = x

Это уравнение традиционно можно свести к следующему равенству

2 = 0

Как бы дико не выглядело это равенство, но в математике такое вполне возможно. Скажу больше, первое уравнение является только одним уравнением из системы двух уравнений, которая имеет одно общее решение. Второе уравнение выглядит так:

2 + х = 2

Это уравнение обычно сводится к равенству

х = 0

Решение этой системы уравнений выглядит так:

х ⊥ 2

Это означает, что взятые вами числа находятся на перпендикулярных числовых осях, поэтому правила обычной арифметики приводят к таким результатам.

Решение нерешаемых уравнений. Николай Хижняк 5 августа 2011 года. Математика для блондинок.
Особо хочу подчеркнуть, что всем известное правило "от перестановки слагаемых сумма не меняется" в этом случае перестает работать. Результат зависит от того, какое число вы принимаете за основу при выполнении действия сложения.

Более детально данная ситуация будет рассмотрена на этом сайте в одной из статей о математике.

Дальнейшее решение этой системы уравнений возможно двумя способами, приводящими к разным результатам.

Первый способ. Поворот одной из числовых осей на 90 градусов и переход к правилам обычного сложения. В результате получится неоспоримое равенство:

x + 2 = x + 2

В этом случае начинают работать законы симметрии математических действий.

Второй способ. Оставаясь в прямоугольной системе координат, применить методы векторной алгебры и найти сумму по теореме Пифагора, где х и 2 являются катетами прямоугольного треугольника, а результат сложения - гипотенузой. Если вы считаете, что применение средств векторной алгебры невозможно, когда на концах палочек отсутствуют наконечники стрелочек, то это уже ваши личные проблемы. В этом случае оба уравнения системы сводятся к одинаковому решению:

x + 2 = &#8730(x² + 2²)

С решением данного нерешаемого уравнения покончено. Вам остается только определиться со своими желаниями - какой результат вам нужен.

Решение второго нерешаемого уравнения.

√x = -1

Это решение вызвало наибольшие трудности из-за своей простоты. Возводим обе части уравнения в квадрат и получаем ответ:

x = 1

Это уравнение сводится к равенству:

+1 = -1

В подобных случаях математики обычно начинают рассуждать о модулях чисел. Я же скажу, что прежде, чем ставить знаки перед числами, нужно понимать смысл положительных и отрицательных чисел.

Решение третьего нерешаемого уравнения

x/0 = x

Решение этого уравнения сводится к равенству:

1 = 0

Лично для меня в этом равенстве нет ничего необычного. Это одно из основных равенств математики, без которого математика в принципе невозможна. Если наши математики до сих пор обходятся без этого равенства, то только благодаря своим памперсам. При изложении математики на страницах этого сайта я буду неоднократно обращаться к этому равенству.

Принимать предложенные мною решения или не принимать - это ваше личное дело. Обезьян тоже никто не заставлял спускаться на землю. Многие из них до сих пор по веткам скачут и вполне счастливы без памперсов))))

вторник, 2 августа 2011 г.

О смысле в математике

инженер-исследователь: У меня была очень интересная ситуация, связанная именно со спектром, а именно меня интересовало представление спектра излучения абсолютно чёрного тела в r,g,b, т.е. какова должна быть интенсивность излучений красного, зелёного и синего цветов, чтобы имитировать излучение абсолютно чёрного тела с температурой t. Когда я разобрался в этой задаче, то попытался вывести обратную формулу - нахождение цветовой температуры по спектру t(r,g,b). Рассмотрев эту формулу, я обнаружил, что цветовая температура может быть и сверхбесконечной и даже комплексной, и даже быть результатом деления на нуль при цвете вечерних сумерек! Всё дело в том, что цветовая температура имеет физический смысл только у источников тепловой природы, причём спектрально нейтральных, а у других источников она физического смысла не имеет и по этому может принимать бессмысленные значения!

Николай Хижняк: Вот, потихоньку начинаем добираться до прописной истины - бессмысленная математика не может давать осмысленный результат))) Вот простой пример того, что операция умножения, как и деление на ноль, невозможна, поскольку её результат лишен смысла: если два рубля умножить на два рубля то получим четыре рубля в квадрате. Вы умеете пользоваться рублями в квадрате?))))

Спонсор страницы: цементно песчаная стяжка

понедельник, 1 августа 2011 г.

О числах и не только

инженер-исследователь: О принципиальном различии рациональных и иррациональных чисел можно составить представление взглянув на кривые заданные параметрически по формуле:

x=sin(a*t); y=cos(t), где x и y-абсцисса и ордината , t -параметр.

Если a - число рациональное, то у нас всегда выйдет либо замкнутая, либо конечная кривая, если a - иррационально, то кривая будет незамкнутой и при стремящемся к бесконечности t, будет пытаться заполнить некоторую плоскую фигуру. При создании сложных математических моделей наблюдается подобная чувствительность к рациональности или иррациональности начальных параметров, причём часто эту чувствительность не удаётся устранить выбором соответствующих единиц измерения (скажем, невозможно подобрать такие единицы длины, в которых и радиус и диаметр одной и той же окружности были бы числами рациональными - хоть одна величина будет иррациональной), т.е. здесь ситуация аналогична закону Бенфорда. При этом, как правило, математическая модель оказывается столь сложной, что без ЭВМ к ней подойти невозможно, а ЭВМ воспринимает только рациональные числа (теоретически можно разработать схемы кодировки и иррациональных чисел, но к сожалению, кодируемые ими числа будут скорее исключениями, в мире иррациональных чисел и не любое число так закодируешь), поэтому ошибки счёта в таких случаях демонстрируют явление GIGO - мусор на входе - мусор на выходе. Для борьбы с этим явлением используются приближённые формулы, которые хотя и не столь точно отображают реальность, но не так чувствительны к округлению величин на входе.

В моём случае из-за округления всех входящих величин до рациональных чисел в ряде знаменателей образовались нули. Если бы не это округление, в знаменателях у меня образовались бы числа, по модулю очень маленькие, но не нули! Также деления на нуль мне удалось бы избежать, если бы я воспользовался бы приближённой моделью, где вообще действия деления отсутствуют. Здесь можно увидеть парадоксальное явление - более приближённая модель отображает мир более адекватно,чем более точная!

Николай Хижняк: Парадокс приближенной модели, на мой взгляд, заключается в том, что мы не знаем математики и не умеем математикой пользоваться. Давайте оглянемся на историю наших представлений о числах. Всё, как в школьной программе: сперва мы освоили натуральные числа, потом рациональные, затем иррациональные… И сегодня мы продолжаем делить числа по каким-то признакам.

Давайте я вам объясню, как числа вижу я. Наиболее наглядным аналогом чисел будет электромагнитное излучение. Белый свет, при прохождении через треугольную призму, образует цветовой спектр. Это электромагнитные волны, которые разделены в зависимости от длины волны. Определенной длине волны соответствует определенный цвет, при этом цветовой спектр является НЕПРЕРЫВНЫМ. Вся совокупность волн разной длины образует белый свет. В световом спектре мы не выделяем натуральные волны, рациональные или иррациональные волны. Для меня число в общем виде – это белый свет, то есть все числа не зависимо от их вида. Конкретные числа я вижу как непрерывный спектр после разложения через треугольную призму.

Все волны электромагнитного излучения имеют одинаковые свойства, не зависимо от длины волны. Точно так же происходит и в области чисел – не зависимо от способа получения, все числа обладают одинаковыми свойствами. Изменяя скорость движения источника света, мы изменяем длину волны электромагнитного излучения (красное или фиолетовое смещение), при этом весь спектр по-прежнему остается непрерывным. То, что было излучением одной длины волны, стало излучением с другим значением длины волны. Место этого излучения заняло излучение с другими параметрами. Подобный процесс происходит и при математических действиях – рациональные числа превращаются в иррациональные, иррациональные числа могут превращаться в целые числа, но вся совокупность чисел по-прежнему остается неизменной.

Продолжу аналогию между числами и электромагнитными волнами. Точность вычислений в числах – это расстояние от призмы до конкретной точки, в которой мы измеряем длину волны излучения. Все наши потуги определить миллион-миллиардный знак после запятой у конкретного иррационального числа – это похоже на измерение длины волны в точке на бесконечном расстоянии от призмы. Со стороны это выглядит полным идиотизмом – мы очень долго тащимся со своими измерительными приборами, тащимся, тащимся, потом в изнеможении падаем и бросаем вперед приборы со словами: «Там еще никто не измерял!». В известном анекдоте при этом была брошена вперед шапка и было сказано: «… а вот там я бурячки посажу!».

Точность вычислений – это тот инструмент, который должен стирать все различия между числами. К любому целому числу можно приписать бесконечное количество нулей после запятой, но у нас хватает ума не делать этого. Если наши программисты не умеют решать проблему рациональных и иррациональных чисел при математических действиях, то это проблемы программистов и математиков, а не проблемы чисел. Вот маленький пример нашего идиотизма. Фирма снимала комнату под офис на четвертом этаже. Эта комната имела номер 407. Затем они переехали в другую комнату под номером 308 на третий этаж. Но переехали они вместе С НОМЕРОМ КОМНАТЫ. Эти вундеркинды сидят в новой комнате, а на дверях прицепили старый номер 407. Естественно, нормальным посетителям в голову не приходит искать эту фирму по всем этажам, когда они видят на четвертом этаже закрытую дверь без опознавательных знаков между комнатами 406 и 408 (все остальные номера комнат никуда не исчезали).

Поскольку я начал рассуждать о сходстве свойств чисел и электромагнитного магнитного излучения, попутно выведу один физический закон. Пусть физики проверяют его правильность. Особо хочу подчеркнуть тот факт, что при изменении скорости движения источника света изменяется длина волны излучения, скорость света при этом не меняется.

Как известно, числа имеют одно свойство, общее для всех чисел:

при умножении числа на обратное число результат остается неизменным и равняется единице (за исключением числа ноль);
при сложении положительного и отрицательного числа результат остается неизменным и равняется нулю (за исключением числа ноль, которое не имеет знака).

Особо хочу подчеркнуть, что в данных законах речь идет не о двух разных числах имеющих разные значения по модулю, а об одном числе, имеющем одно значение.

В переложении на физику этот закон можно сформулировать так:

произведение скорости источника света на длину волны электромагнитного излучения – величина постоянная и равняется скорости света.

Если этот закон справедлив, то это позволит нам определять абсолютную скорость движения любого источника электромагнитного излучения в нашей Вселенной. Что это нам даст? Мы сможем перейти от относительной геоцентрической модели Вселенной к абсолютной. Лично меня интересует только один вопрос: наша Вселенная вертится? Как вы помните, с вопросом о вращении Земли в нашей истории тоже были проблемы.

Естественно, мой экспромт вызывает гораздо больше вопросов, чем дает ответов. Но вопросы эти довольно интересные:

1. Применимо ли понятие «абсолютная система координат» к нашей Вселенной?
2. В каких единицах измерения необходимо измерять указанные физические величины?
3. Что такое скорость света – где, как и почему она возникает? Чем определяется именно такая величина скорости света?
4. Существует ли такая длина волны электромагнитного излучения, которая отличается от всех остальных? Если да, то чем именно она отличается?

Я не задаю вопрос «Может ли равняться нулю скорость источника электромагнитного излучения и, следовательно, скорости света?», поскольку я могу дать на него математически обоснованный ответ.

Если удастся получить правильные ответы на поставленные вопросы, то сам факт существования или отсутствия в природе сформулированного мною закона нам будет уже безразличен. Об окружающем мире мы будем знать гораздо больше, чем знаем сегодня.

воскресенье, 31 июля 2011 г.

О рациональных и иррациональных числах

инженер-исследователь: Как-то я обнаружил странный эффект. Мне пришлось писать программу для ЭВМ, которая должна была моделировать действие некоторой сложной установки. Уравнения, описывающие работу отдельных её узлов были известны досконально, оставалось из них собрать модель работы единого целого и тут меня ждал сюрприз - машина, при любых начальных параметрах, сообщала об ошибке деления на нуль. Далее я исследовал ту часть программы, где наблюдалось это явление и обнаружил, что деление на нуль неизбежно, если входящие параметры выражаются рациональными числами, но при иррациональных начальных параметрах, модель даёт весьма реальные результаты. Проблема заключалась в том, что компьютер округлял все иррациональные числа до рациональных, что и приводило к нежелательному эффекту деления на нуль. Позже я обнаружил целый ряд ситуаций, когда вычисление по приближённым формулам, полученным в докомпьютерную эпоху, для того чтобы упростить инженерные расчёты, дают куда более соответствующие реальности результаты, чем вычисления по точным моделям на ЭВМ. Обычно, в таких случаях, учёные и инженеры, обнаружившие этот эффект, предполагали неполноту наших знаний о механизмах, моделируемых процессов, но я исследовав эти случаи обнаружил, что в них математическая модель чувствительна к роду величин начальных параметров и, если все эти параметры выражаются рациональными числами, то она даёт результат принципиально отличный от ситуации, когда хоть один параметр иррационален. В таких случаях, главным источником бед является то, что ЭВМ, может оперировать только рациональными числами, что и заставляет машину давать неверные результаты.

Здесь можно вспомнить функцию Дирихле, принимающую значение 1, если аргумент есть рациональное число, и значение 0, если аргумент есть иррациональное число. Судя по всему, очень многие функции, описывающие природу, обладают близким свойством, а именно если все их аргументы - рациональные числа, то функция принимает одно значение, но если хоть один аргумент иррационален, то совсем другое. Другой вопрос, что во Вселенной, за всё время существования, ни разу не реализовывалась ситуация, когда все аргументы этих функций выражались рациональными числами!

Николай Хижняк: Честно говоря, я ещё не дорос до необходимости делить числа на рациональные и иррациональные. Я их пока делю на реальные и выдуманные. Реальные - это те числа, которые имеют отражение в природе. Выдуманные - это те числа, при помощи которых взрослые дяди играют в виртуальные игры (как и положено играм, они очень напоминают реальность).

Если происхождение чисел влияет на результат - это не математика, это виртуальные игры в числа. В математике существует очень мощная защита от дураков. Деление на ноль - это второй уровень такой защиты. Первый уровень мы победоносно взломали, даже не заметив его существования.

Вот реальный пример защиты от дураков. Вспомните площадь четырехугольника - она равна половине произведения длин диагоналей на синус угла между ними. Какой угол брать? Любой - синус альфа равен синусу (180 градусов минус альфа). В каком бы порядке мы не брали диагонали и какой бы угол не взяли, значение площади четырехугольника всегда будет одним и тем же. Эту задачку мы правильно решили.

Теперь представьте, что кто-то считает, что синус (180 градусов минус альфа) равен косинусу альфа. Пользуясь приведенной формулой площади они получают два разных значения площади для двух разных углов между диагоналями. Они начинают свято верить в то, что каждый четырехугольник имеет две площади. У них будет своя математика, ничем не хуже нашей, но жить они будут в другом мире - их математика будет давать другое описание окружающей действительности.

Маленький исторический экскурс. Если бы сегодня мы продолжали считать, что земля держится на трех китах, то я вас уверяю, у нас уже была бы газовая смесь под названием "Дыхание кита". При взаимодействии горных пород с этой газовой смесью камень превращался бы в жидкую лаву. Эта газовая смесь была бы "научным" доказательством существования китов под землей и очень хорошо бы иллюстрировала окружающую действительность - киты выдыхают, камень плавится, на земле извергаются вулканы и вытекает лава.

Что касается наших программистов, то, будь я Богом, я бы никогда не доверил им программировать мою новую вселенную. Наша же Вселенная работает по законам математики, для которой, судя по всему, рациональных чисел просто нет. Есть числа - и природе этого вполне достаточно)))