Неизвестная степень числа

Меня тут попросили решить одну задачу, в которой нужно найти неизвестную степень числа. Собственно, не саму задачу решить, а принять участие в решении. Суть задачи такова. Есть два числа, которые имеют такой вид:

Два числа в неизвестной степени

О степени этих чисел нам известно:

1) количество разрядов в числе;
2) первые насколько цифр числа.

Задача: как, хотя бы приблизительно, определить, во сколько раз первое число больше второго?

Отношение чисел

Специально для работы со степенями чисел математики придумали такой инструмент, как логарифмы. Поскольку я в логарифмах мало сто понимаю и разбираться в этом у меня нет ни малейшего желания, мы пойдем другим путем.

Среда нашего обитания оказывает очень сильное влияние на образ нашего мышления. Христианство - это единобожие (в "теорию" о триединстве Бога вдаваться не будем, кто её придумал, пусть тот  и исповедует). К неизвестному числу икс мы автоматически относимся как к божеству - для нас оно едино и неделимо. Вспомним язычников. У них было множество богов на все случаи жизни. К чему это я? К тому, что наше неизвестное число состоит из отдельных цифр в позиционной системе счисления. Часть этих цифр нам известна, часть - нет. А дальше - совсем просто.

Предположим, что наше неизвестное число имеет семь разрядов, три первые из них нам известны. В этом случае мы можем записать число в позиционной системе следующим образом:

Позиционная запись числа

Если вместо знаков вопроса мы запишем цифру "ноль", мы получим наименьшее возможное число. Если вместо знаков вопроса мы запишем цифру "девять", мы получим наибольшее возможное число. Теперь мы можем легко записать пределы значений наших чисел a и b. Отношения этих чисел так же будут находиться в определенных пределах.

Значения чисел

Если известен алгоритм поиска следующего разряда неизвестной степени числа по известному отношению этих чисел, то можно применить метод капитана Врунгеля. Для ускорения изучения английского языка он предлагал нанять двух учителей: один обучает от начала к концу, второй - от конца к началу; когда они сходятся на середине - вы уже знаете весь английский язык :))). В нашем случае можно запустить сразу два алгоритма, если компьютер справится с такой задачей.

Где может быть полезно такое решение? В программировании, робототехнике и бог весть где ещё.

P.S. Оценка результата оказалась такой

Оценка результата

Вот какой диалог по уточнению условия задачи состоялся накануне

Уточнение условия задачи

Не зря умные люди говорят, что правильная формулировка условия задачи - это половина решения.

Система неравенств пример

Сейчас мы рассмотрим, как решается система неравенств пример. Что такое система неравенств? Это несколько неравенств, связанных между собою одним неизвестным. Для каждого неравенства в отдельности нужно найти значения неизвестного. Потом из этой кучки значений нужно выбрать те значения, которые удовлетворяют все неравенства системы одновременно. То есть, подставив одно такое значение неизвестного сразу во все неравенства, мы получим шикарный набор правильных числовых неравенств.

На примере с блондинками это будет выглядеть так. У нас есть две блондинки. У каждой из блондинок есть желание. Применяя всякие хитрые методы дознания, типа "А вот чего бы ты хотела?", выясняем, что одна блондинка хочет кататься, вторая блондинка хочет к воде. Есть ли решение у этой системы из двух блондинок? Да, таких решений множество. Одновременно удовлетворить желания двух блондинок могут: катание на лодке, катание на катере, катание на яхте, катание на круизном океанском лайнере... Катание на подводной лодке среди коралловых рифов тропического моря можно считать эквивалентом математической бесконечности.

Система неравенств может и не иметь решения. Действительно, попробуйте ещё найти таких блондинок, желания которых можно удовлетворить одним махом. Тем более, у каждой блондинки в запасе всегда имеется фраза типа "Я передумала". Таких блондинок мы называем капризными. К нашему величайшему счастью, капризных неравенств математики ещё не придумали.

Теперь отвлечемся от блондинок и займемся математикой. Вот наша система неравенств и вот пример того, как она решается.

И так, для решения системы неравенств в нашем примере, мы берем каждое неравенство в отдельности и упрощаем его до невозможности упрощать дальше. Первое неравенство (зелененькое) упрощается практически так же, как любое математическое выражение - жонглируем числами до получения значения икса в чистом виде. Во втором неравенстве (синеньком), кроме жонглирования, мы применяем умножение неравенства на минус единицу. При этом знак "меньше" у нас меняется на знак "больше".

После этого берем результаты и смотрим, какое из этих решений будет удовлетворять оба неравенства одновременно. Первое решение не подходит, поскольку значения икса на промежутке от 5 до 8 не являются решением второго неравенства. Второе решение подходит и для первого неравенства, и для второго. Следовательно, решением системы неравенств в нашем примере будет икс больше восьми. Внизу картинки показан пример графического решения этой системы на числовой оси.

Знак больше и меньше

Здесь мы рассмотрим элемент математического неравенства, при помощи которого в математике обычно выражается несправедливость. Если знак равенства можно считать отражением справедливости, то знаки "больше" и "меньше" отражают отсутствие таковой. Справедливость - это понятие относительное. То, что я считаю справедливым по отношению к вам, вы можете считать не справедливым по отношению к себе. И наоборот. То, что считаете справедливым вы, другие могут называть вопиющей несправедливостью. Каждый смотрит со своей колокольни. В математике всё это можно выразить при помощи знаков "больше" и "меньше".

Наблюдая за процессом сравнения со стороны, мы будем получать разные результаты в зависимости от того, в каком порядке мы выполняем сравнение. Небоскреб БОЛЬШЕ хибарки. Хибарка МЕНЬШЕ небоскреба. Как видите, результат сравнения зависит от того, что мы ставим на первое место при сравнении.

В математике неравенство возникает из-за того, что при записи математических выражений принят определенный порядок выписывания символов на бумаге. При этом один из символов обязательно будет на первом месте, второй символ - на втором. Это приводит  к определенному результату при сравнении того, что эти символы обозначают. Если мы изменим порядок записи символов, то есть второй символ запишем на первом месте, а первый - после него, тогда у нас изменится результат сравнения. Математики очень удачно подобрали графические символы для обозначения понятий "больше" и "меньше". Вот смотрите.

Что такое неравенство? Это почти то же самое, что и уравнение. Решаются они практически одинаково. Единственное, о чем нужно помнить при решении неравенств, что знаки "больше" и "меньше" могут выворачиваться на изнанку, а знак равенства - нет. Собственно, знак равенства тоже можно вывернуть, но никаких отличий вы не увидите. Другое дело со знаками "больше" и "меньше". Если такой знак вывернуть на изнанку, тогда его нос будет смотреть в другую сторону. Знак "больше" превратится в знак "меньше", знак "меньше" превратится в знак "больше".

Никакой шаманской магии в этом нет. Обыкновенная относительность или, как её ещё называют в математике, зеркальная симметрия. Посмотрите на рисунок ниже.

Нижняя половина рисунка является зеркальным отражением верхней половины. Или наоборот. Теперь возьмите зеркало. Приставьте его перпендикулярно к экрану монитора так, чтобы одновременно видеть картинку на экране монитора и её отражение в зеркале. В зеркале нижняя и верхняя половины картинки поменяются местами. Если бы не надпись на картинке "математика для блондинок", то вообще нельзя было бы точно сказать, где сама картинка, а где её отражение. Кстати, применение на уроках математики прозрачной стеклянной доски, вращающейся вокруг вертикальной оси, поможет понять очень многие вещи в математике.

Так вот, если мы в математическом неравенстве меняем местами левую и правую части неравенства, то знак меняется на противоположный. Знак "больше" меняется на знак "меньше" и наоборот. То же самое происходит, когда мы умножаем всё неравенство на минус единицу. При этом меняются все знаки в левой и правой частях неравенства. Умножение на минус единицу мы можем использовать при решении неравенств.

Нужно помнить, что если мы переносим всего один элемент из одной части неравенства в другую и при этом МЕНЯЕМ ЗНАК "плюс" или "минус", то знак неравенства "больше" или "меньше" остается неизменным. Всё, как в уравнении. Если при переносе математического элемента через знак сравнения мы изменяем знак, результат сравнения не изменяется: равенство сохраняется, знак "больше" остается знаком "больше", знак "меньше" остается знаком "меньше".

Решение тригонометрического неравенства

Большой проблемой современной молодежи является решение тригонометрического неравенства. Меня до сих пор пронизывает дрожь при виде этого кошмара. Но крик о помощи заставляет меня действовать.

Я наберусь храбрости и попытаюсь вступить в смертельную схватку с грозным противником. Выглядит он весьма внушительно - синус двух икс больше единицы, деленной на корень квадратный из двух.

sin2x больше 1/√2

Аркаем выражение - нагло приписываем к обеим частям неравенства неприличное слово "арксинус". По логике, знак не должен изменяться. Арксинус синуса превращается в пшик и у нас остается 2х. Арксинус единицы, деленной на корень из двух превращается из гадкого утенка иррациональных чисел в прекрасного лебедя величиной в 45 градусов. Помогает нам в этом волшебном превращении фея по имени Тригонометрическая таблица.

sin2x больше 1/√2
arcsin(sin2x) больше arcsin(1/√2)
2x больше 45 или
2х больше пи/4

Вот это уже больше похоже на математику. Наши славные 2х теперь больше 45 градусов. А чтобы найти икс, нужно 45 градусов разделить на 2... Хм... Не красиво получается... 22,5 градуса выглядят не эстетично с точки зрения утонченного взгляда математика. Оборачиваемся злым демоном и превращаем прекрасного лебедя величиной в 45 градусов в страшного монстра размеров в пи/4. Если мы разделим этого монстра пополам, то его внешний вид нисколько не пострадает, изменится только циферка в знаменателе: пи/8. При виде такого чуда любой математик расплывется в блаженной улыбке.

2х больше пи/4
х больше пи/8

И так, наши шаманские пляски убедили нас в том, что икс обязан быть больше пи/8. Проведем научный анализ полученного результата. При увеличении икса (угол увеличивается) синус тоже увеличивается. При пи/2 он достигает максимума своей величины и при дальнейшем увеличении возраста, пардон, угла, начинает стареть и дряхлеть, умирая естественной смертью при достижении "пи" - становится равным нулю.

Поскольку наше выражение не может быть меньше указанной величины, в преклонном возрасте необходимо наш икс подпереть костылем в точке пи - пи/8 = 7пи/8 Костыль упираем в спину иксу. В итоге получаем такую картину

7пи/8 больше x больше пи/8

Любой математик при виде такой записи оттопырит губу. Вывернем нашу запись наизнанку

пи/8 меньше x меньше 7пи/8

Математики счастливо улыбаются.

А если мы добавим к своей кабалистической записи навороты в виде периода в 2пи, математики будут визжать от восторга (во всяком случае, меня когда-то так учили). В итоге получаем

пи/8 + 2пи*n меньше x меньше 7пи/8 + 2пи*n

А выглядит наша славная победа вот так.

Решение тригонометрического неравенства было выполнено при поддержке специального сервиса для заработка на блогах с чудным названием Блогун. Надеюсь, теперь мы сможем гораздо чаще решать домашние задания и разбираться в хитросплетениях логики математиков. Ведь ни для кого не секрет, что сами математики в математике ничего не понимают. Они сами называю математику абстрактной наукой. Кто, как не блондинки, могут открыть математикам глаза на то, что они вытворяют.