Показаны сообщения с ярлыком объем. Показать все сообщения
Показаны сообщения с ярлыком объем. Показать все сообщения

пятница, 22 июля 2016 г.

Разложение на сомножители

Тема занятий:
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ
На прошлом уроке мы рассмотрели
Ноль и бесконечность

Урок 12

Разложение на сомножители


Математическим действием, противоположным умножению по смыслу, является разложение на сомножители. Выполняется оно с применением бесконечных тригонометрических функций.

Разложение на сомножители. Математика для блондинок.
Разложение на сомножители

Простейшим примером разложения на сомножители под углом в 45 градусов является извлечение квадратного корня. Поскольку оба сомножителя в этом случае одинаковы, в качестве результата разложения принято записывать только один из сомножителей.

Разложение на сомножители можно применять тогда, когда известен только результат умножения и не известен ни один из сомножителей. Единицы измерения в результате разложении на сомножители следует подбирать интуитивно таким образом, чтобы в результате их умножения получалась первоначальная единица измерения. Количество пространственных измерений в единицах измерения сомножителей при разложении может быть разным. Например, трехмерный объем можно разложить на одномерные сомножители при помощи двух операций разложения, один из вариантов выглядит так:

Разложение объема. Три сомножителя для получения объема. Математика для блондинок.
Разложение объема

В данном примере углы α и β не связаны между собой. Если объём раскладывать в куб (a=b=c), то α≈35° – это угол между диагональю куба и диагональю основания, β=45° – это угол между диагональю основания и его стороной.

На следующем уроке мы рассмотрим
Деление

воскресенье, 3 февраля 2013 г.

Диагонали прямоугольного параллелепипеда

Вот какой интересный вопрос мне задали: как найти объем прямоугольного параллелепипеда, зная три его диагонали, выходящие из одной вершины? Первая мысль - порыться в математическом справочнике. Но мой любимый справочник молчит. Есть другой кладезь мудрости - Википедия. Русскоязычная страница, посвященная прямоугольному параллелепипеду, поражает своим убожеством. Даже теоремы Пифагора для трехмерного пространства там нет. Обычно в таких случаях я перехожу на точно такую же страницу на английском языке. Ведь математика - это такая штука, которая в переводчиках не нуждается. Чаще всего там гораздо больше разных формул. В этот раз меня ждало великое разочарование. Да, я увидел там теорему Пифагора для прямоугольного параллелепипеда. И всё. Всякой математической фигни в Википедии навалом, а вот самого интересного нет. Печалька.

Попробуем рассуждать логически. Если кому-то задали такую задачу, значит решение этой задачи есть. Наши математики ещё не доросли до того уровня, когда признаются своим ученикам в своем незнании чего-то. Разве что самые смелые. Остальные тупо повторяют то, чему учили когда-то их. Само собой напрашивается решение: составляем теоремы Пифагора для трех диагоналей граней, объединяем их в систему трех уравнений с тремя неизвестными, решаем и находим размеры прямоугольного параллелепипеда. Брррр! Ужас.

Теперь порассуждаем с другой стороны. Объем - это результат умножения трех измерений длины. У нас есть три длины диагоналей. Теоретически, из них можно получить объем. Давайте нарисуем наши диагонали прямоугольного параллелепипеда и посмотрим, что можно с ними сделать. Смотрим с разных сторон, чтоб понятнее было.

Диагонали прямоугольного параллелепипеда. Картинка диагонали граней. Математика для блондинок.


На картинке синим цветом выделены те элементы прямоугольного параллелепипеда, которые нам известны. Это диагонали граней. Красным цветом выделено то, что нам не известно. Это диагональ прямоугольного параллелепипеда и его линейные размеры (математики любят еще называть их измерениями параллелепипеда). Ну, и сам объем нам тоже не известен.

Теперь вооружимся древней теоремой дедушки Пифагора и запишем формулы размеров и диагоналей. Параллелепипед у нас прямоугольный, значит все углы между линейными размерами и гранями прямые. Не забываем также, что наша главная цель - найти объем.

Диагонали прямоугольного параллелепипеда. Картинки и формулы ребер и диагоналей граней. Математика для блондинок.


Картинки несколько отвлекают от формул. Выписываем формулы отдельной кучкой. Математики в это случае с умным видом бы изрекли: "математическое множество формул". Смотрим на формулы и пытаемся хоть что-то соображать. Нам нужно избавиться от измерений и диагонали прямоугольного параллелепипеда, ведь они нам не известны. Вот если бы диагональ параллелепипеда выразить через диагонали боковых граней... Уж очень формулы в правой половине кучки похожи друг на друга.

Диагонали прямоугольного параллелепипеда. Формулы граней и диагоналей. Математика для блондинок.


Есть! Квадраты диагоналей граней равны двум квадратам диагонали параллелепипеда. Теперь совсем просто. Как кубики в детском садике. Скобочки убираем, скобочки добавляем... И получаем формулу.

Диагонали прямоугольного параллелепипеда. Формула диагонали, выраженная через диагонали граней. Математика для блондинок.


После этого полученную формулу подставляем в формулы с линейными размерами и получаем выражение линейных размеров через диагонали граней. Потом записываем формулу объема.

Диагонали прямоугольного параллелепипеда. Формула объема параллелепипеда, выраженная через диагонали граней. Математика для блондинок.


Всё. Задача решена. Получилась очень красивая и изящная формула. Из суммы  квадратов двух диагоналей граней вычитается квадрат третьей грани. Потом это перемножается, делится на восемь и получается квадрат объема прямоугольного параллелепипеда. Насколько понимаю я, это одно из основных свойств пространства. Используя принцип перегруппировки сомножителей и слагаемых, можно выводить подобные формулы для многомерных пространств с любым количеством измерений. Любой многомерный объем можно выразить через элементы с меньшим количеством измерений. К сожалению, нам математики об этом ничего не рассказывают. То ли сами ничего не знают, то ли стесняются. А ведь перед нами красота математики в первозданном виде, лишенная всяких заморочек, которые так любят наши учителя.

понедельник, 15 октября 2012 г.

Объем шестиугольной призмы

Как вычислить объем шестиугольной призмы? Объем всех призм вычисляется одинаково - площадь основания умножается на высоту призмы. Если основанием призмы является правильный шестиугольник, тогда у нас получается шестиугольная призма. Ещё такую штуку можно обозвать правильной шестигранной призмой. Она не обидится.

Быть правильным - в геометрии это круто! Обычно, неправильные геометрические фигуры, как зубная боль, донимают школьников. Их нужно делить на правильные фигуры, потом что-то там высчитывать... Хотя и с правильными геометрическими фигурами хлопот не меньше. Сведения о них нужно учить, потом вспоминать выученное... А оно очень быстро забывается.

Давайте посмотрим картинку с шестиугольной призмой и запишем формулу объема этой симпатичной фигурки.

Объем шестиугольной призмы. Объем шестигранной призмы формула. Высота призмы картинка. Математика для блондинок.


Как видите, для получения объема мы высоту призмы умножаем на площадь её основания. Основание нашей призмы - это правильный шестиугольник, площадь которого равна квадрату длины стороны, умноженному на три корня из трех и вся эта красота делится по братски, пополам. Собрав в кучку обе формулы, мы получаем формулу для нахождения объема шестиугольной призмы через длину стороны основания и высоту. От угла наклона граней призмы объем не зависит.

Не знаю, как математики могли пройти мимо такого удивительного факта - результат не зависит от угла наклона. Лично меня это шокировало. Я долго ломал голову в поисках ответа на вопрос: что всё это значит? Разгадка оказалась довольно простой - нужно знать место, где можно применить это удивительное математическое свойство геометрических фигур. Результаты, мягко говоря, поражают. Скоро мы это рассмотрим в "Приключениях блондинок".

Теперь решим задачу про объем шестиугольной призмы.

Основанием шестиугольной призмы служит правильный шестиугольник со стороной, равной а. Высота призмы равна h. Найдите объём этой призмы и вычислите его с точностью до 0,5 дм кубических, если а = 25 см и h = 40 см.

Сначала сделаем маленький анализ условия задачи. Сторона и высота шестиугольной призмы нам даются в сантиметрах. А вот объем от нас хотят услышать в кубических дециметрах, причем с точностью до 0,5. Злые демоны от математики снова хотят нас запутать. Чтобы не запутаться в переводе кубических сантиметров в кубические дециметры, я предлагаю поступить гораздо проще - перевести размеры из сантиметров в дециметры. Тогда объем мы получим сразу в кубических дециметрах.

а = 25 см = 2,5 дм

h = 40 см = 4 дм


Теперь мы можем подставить значения длины стороны основания и высоты шестиугольной призмы в формулу и вычислить объем. На калькуляторе это выглядит так.



Мы получили шестьдесят четыре целых со здоровенным хвостом в 0,95190... и так далее. Теперь нам нужно это чудо округлить с точностью до 0,5. Это означает, что после запятой у нас должен стоять либо нолик, либо пятерка. Поскольку наш хвост гораздо ближе к единице, чем к половинке, то мы округлим его до целой единицы и прибавим её к уже имеющимся шестидесяти четырем единицам. В результате мы получаем ответ: объем шестиугольной призмы равен 65 кубических дециметров.

Если вам понравилась публикация и вы хотите знать больше, помогите мне в работе над другими материалами.

четверг, 15 сентября 2011 г.

Решение задачи про экскаватор и траншею

Решение задачи про экскаватор и траншею. Как найти объем траншеи. Математика для блондинок.
Сегодня мы решаем задачу про экскаватор и траншею. Экскаватор хочет вырыть траншею длиной 54 метра, шириной 200 сантиметров и глубиной 30 дециметров. В задаче спрашивается:

а) Какой объем грунта нужно вынуть экскаватору, что бы вырыть эту траншею?
б) Сколько раз экскаватору придется зачерпнуть грунт ковшом, если объем ковша равен 0,4 метра кубических?

Теперь приступим к решению задачи. В начале маленькая обзорная экскурсия. Экскаватор вы видите на картинке. Это такая специальная штука, которую инженеры сконструировали специально для иллюстрации задач. Это уже потом они поняли, что экскаватором действительно можно рыть траншеи. Самое удобное место для рытья траншей - это ваш любимый двор, самое удобное время - дождливая осень или начало зимы. Зачем нужны траншеи? По ним пузырьки в джакузи закачивают. Шучу, конечно. По трубам, проложенным в траншеях, в джакузи подают воду. Так же в траншеях могут прятаться трубы канализации, газопровода, отопления, электрические кабели и кабели телефонные.

Теперь внимательно посмотрим условие задачи. В этой задаче используется сразу три единицы измерения длины - метры, сантиметры, дециметры - и одна единица измерения объема - метры кубические или метры в кубе. Ясно, что с этим безобразием нужно бороться. В одной задаче должна использоваться одна единица измерения длины. Иначе получится то же самое, что у американцев получилось с марсианским спутником. Поскольку объем в задаче измеряется в кубических метрах, то и размеры траншеи логично измерять в метрах. А для этого сантиметры и дециметры нужно перевести в метры.

200 сантиметров = 2 метра
30 дециметров = 3 метра

Вот теперь мы можем найти объем траншеи, перемножив длину траншеи на её ширину и глубину. Для этого применяем формулу объема прямоугольного параллелепипеда, в которой высоту заменяем на глубину. Что вверх, что вниз - математике безразлично. Это для нас есть разница между подпрыгивать и падать. И так, берем калькулятор и вычисляем объем траншеи:

54 х 2 х 3 = 324 (метра в кубе)

Теперь нужно разобраться с ковшом. Ковш - это такая большая ложка впереди экскаватора, нею очень удобно кормить бегемотов. Нам нужно узнать, сколько таких ложек содержится в одной большой куче. Точнее, сколько объемов ковша экскаватора содержится в объеме траншеи. Так мы узнаем, сколько раз экскаватору нужно зачерпнуть своей ложечкой. Для этого объем траншеи нужно разделить на объем ковша:

324 : 0,4 = 810 (раз, ведь метры в кубе и метры в кубе сокращаются)

Зачем нам нужно знать количество ковшей в траншее? А вот представьте, что платить придется за каждый взмах ковшом, есть такая форма оплаты. Вот тут вы можете посчитать, во сколько обойдется удовольствие под названием "выкопать траншею". Вполне может оказаться, что после завершения работы экскаваторщик подгонит машину с прицепом и увезет все ваши денюжки к себе домой.

Спонсора решения задачи про экскаватор и траншею съел голодный бегемот.

А вот и другой спонсор нарисовался, с пузырьками и джакузи: телефон сауны в Уфе. Это, наверное, к этой сауне в задаче траншею рыли.