Показаны сообщения с ярлыком параллелепипед. Показать все сообщения
Показаны сообщения с ярлыком параллелепипед. Показать все сообщения

пятница, 4 сентября 2015 г.

Сумма трех измерений прямоугольного параллелепипеда равна

Простая детская задача. Сумма трех измерений прямоугольного параллелепипеда равна 52 см.Его длина в 2 раза больше ширины, а высота в 4 раза меньше ширины. Найди объем прямоугольного параллелепипеда.

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений, которые нам не известны. Взять линейку и измерить их мы не можем, значит берем в руки математику и приступаем.

Решение этой задачи я начну с вопроса к вам. Иксы учили? Берем в руки этот полезный математический инструмент и пользуемся. Обозначаем через икс самое меньшее измерение, чтобы не морочить голову с дробями. Судя из душещипательной родословной измерений этого параллелепипеда, высота самая меньшая и мы именно её обозначим через х. Теперь ширина нашего прямоугольного параллелепипеда будет равна , а длина станет равна 2*4х=8х. Если сложить в кучу все эти иксы, то эта куча равна 52 см. Не я это придумал, так в задаче сказано "Сумма трех измерений прямоугольного параллелепипеда равна..." Записываем это простое уравнение с одним неизвестным и решаем его. Если мы не в состоянии этого сделать, тогда позор джунглям! Смотрим, как это делается:

8х + 4х + х = 52
(8 + 4 + 1)х = 52 (эту строчку не нужно тупо переписывать в тетрадь, иначе над вами весь класс смеяться будет; но лично я от таких фокусов в математике просто балдею)
13х = 52
х = 52/13
х = 4

И так, мы определи, что наш икс равняется четырем. В переводе с математического языка на язык простых смертных, с учетом условий решаемой нами задачи, это означает, что высота прямоугольного параллелепипеда равна 4 сантиметра. Теперь находим ширину:

4х = 4*4 = 16 см

В заключение наших мучений с иксами находим длину:

8х = 8*4 = 32 см

В математике мало решить задачу, нужно ещё доказать, что мы задачу решили правильно. Это только ученые-математики могут просто написать определение, а все мы потом тупо в него верим. При решении задач нужно делать проверку. Сложим вместе найденные нами три измерения и сравним результат с условием задачи.

4 + 16 + 32 = 52 см

Результат совпадает с условием, значит сумму трех измерений прямоугольного параллелепипеда мы нашли правильно. Но в самой задаче нас просят определить объем этого прямоугольного параллелепипеда. Перемножаем найденные нами измерения и получаем объем:

V = a*b*c = 4*16*32 = 2048 см в кубе

Кстати, про фокусы в математике. Сотрите, как ловко мне удалось выдворить икс за скобки. А теперь любопытная задача. В классе три ученика. У каждого есть мобильный телефон. Можно ли вынести мобильный телефон за скобки и убрать из класса? Казалось бы, чего проще. Можно представить каждого ученика как единичку, мобильный телефоном - как икс. Ученик с мобильным телефоном получается как один икс. Складываем всех учеников с мобильными телефонами и выносим икс за скобки, то есть за дверь. А вот за дверью нас ожидает сюрприз - там окажется не один телефон, а три. В чем прикол? В правильности изложения наших действий на языке математики.

Ни в одном учебнике математики вы не найдете четких правил, в каких случаях нужно ставить знак умножения, а в каких - знак сложения. Эти правила ещё только предстоит написать. Вот смотрите. Между учеником и его мобильным телефоном нет неразрывной связи. Они великолепно могут существовать друг без друга. Поэтому, правильно будет обозначить ученика с мобильным телефоном как сумму двух слагаемых: ученика (единица) и мобильного телефона (икс).

Теперь посмотрим на математическое описание процесса выдворения мобильных телефонов за дверь.

(1 + х) + (1 + х) + (1 + х) = 3(1 + х) = 3 + 3х

 
В качестве двери у нас выступает знак сложения. Как видите, за дверью у нас оказалось три мобильных телефона. В данном примере алгебре совершенно безразлично, находится мобильный телефон в кармане ученика или за дверью класса. Для определения расстояний необходимо применять другие математические инструменты, например, геометрию.

Вот видите, как много интересного можно найти в математике, если её не просто зубрить, а попытаться понимать. 

среда, 6 мая 2015 г.

Шесть граней параллелепипеда

Вот такой вот вопрос: "Параллелепипед. Объясните, где у него шесть граней?". Если математики не сумели вам внятно объяснить конструкцию параллелепипеда, тогда я попытаюсь это сделать. Говорить будем только о гранях параллелепипеда, не вникая в другие конструктивные детали данной математический модели, ведь мы не в автосалоне, а я не менеджер, пытающийся продать вам устаревшую модель параллелепипеда.

И так, представьте, что вы, как ни в чем не бывало, уснули в своей прямоугольной (это уточнение очень важно) комнате. И вот среди ночи вы просыпаетесь внутри действующей модели параллелепипеда в натуральную величину! Не надо впадать в панику. Спокойно начинаем считать грани этого математического чуда. Стена с окном - это первая грань. Стена напротив окна - это вторая грань. Стены слева и справа от окна - это третья и четвертая грани. Пол - это пятая грань. Потолок - это шестая, и последняя, грань. Великое математическое откровение: количество граней не зависит от порядка их пересчета, главное - ничего не пропустить.

Если вы до этого момента ещё не уснули, следующий вопрос: что делать дальше? Мысленно разворачиваем математический папирус под названием "Теория множеств", ищем главу "Бесконечное математическое множество баранов" и начинаем считать. Люди говорят, данная математическая процедура очень хорошо помогает от бессонницы.

Сразу хочу честно признаться, что я вам немного соврал. Не прямоугольная комната является действующей моделью прямоугольного параллелепипеда, а совсем наоборот - прямоугольный параллелепипед является математической моделью комнаты. Особенно хорошо это видно во время ремонта. Площадь стен будет являться площадью поверхности боковых граней прямоугольного параллелепипеда. Площадь пола или потолка определяется также, как площадь основания в параллелепипеде. Конечно, строители внесли свои нюансы в математические правила определения площадей, но мы их сейчас уточнять не будем.

Кстати, и прямоугольность комнаты целиком зависит от качества строительства. Это только в древней Греции математика была настолько развита, что знаменитое здание Парфенона в Афинах построено почти без прямых углов и прямых линий. Там в основу архитектуры здания была заложены не математическая безупречность, а оптические иллюзии. Боюсь, современным математикам подобная задача уже не по плечу - слишком высоко в облаках они витают. Но мы несколько отвлеклись от граней параллелепипеда.

Если пересчитать грани параллелепипеда вам приспичило днем, а не ночью, тогда достаем из гардероба прямоугольную коробку с туфлями. Донышко коробки - это одна грань, она же нижнее основание параллелепипеда. Крышка коробки - это вторая грань, она же верхнее основание. Четыре стенки обувной коробки - это грани с третьей по шестую.

Выше мы рассматривали шесть граней прямоугольного параллелепипеда. А если углы не прямые, а кривые? В этом случае мы имеем дело с обычным параллелепипедом, не прямоугольным. На количество граней это никак не влияет. Ну подумаешь, чуть-чуть помяли параллелепипед. Кстати, как математики искривляют прямоугольные параллелепипеды или выравнивают обычные? Мне на алгебру процесса интересно посмотреть. Впрочем, у математиков всё просто: произнесли священное заклинание "Пусть нам дан параллелепипед" и вот он уже белеет мелом на доске. В жизни все сложнее. Существует множество способов искривления и выпрямления параллелепипедов - от увесистой кувалды, до кокетливого "Ну, пожалуйста!". Про алгебру этих способов можно даже не спрашивать.

Если говорить серьезно, то алгебра и у прямоугольного, и у обычного параллелепипедов совершенно одинакова. Искривляется и выравнивается параллелепипед при помощи синусов углов между ребрами. У прямоугольных параллелепипедов все углы прямые и их синусы равны единице. Ленивые математики просто не пишут эти синусы в формулах. В обычных параллелепипедах синусы углов меньше единицы, так что волей-неволей их математикам приходится в формулах писать.

В заключение, как любят говорить учителя, закрепим пройденный материал. В качестве закрепителя используем простую детскую раскраску, на которой закрасим все шесть граней параллелепипеда.

Шесть граней параллелепипеда. Как выглядит параллелепипед. Математика для блондинок.
Шесть граней параллелепипеда
Напоминаю, что у параллелепипеда, в отличие от четырехугольной призмы, противоположные грани попарно параллельны, а основанием является четырехугольник с параллельными сторонами: квадрат, прямоугольник, ромб или параллелограмм. Впрочем, математики считают, что параллелепипед является разновидностью призмы. Так у них в определении написано. С таким же успехом можно утверждать, что призма является разновидностью параллелепипеда. Достаточно просто переписать определение, ведь учебник по математике - это не Библия.

среда, 10 декабря 2014 г.

Сумма всех ребер параллелепипеда

Вот такая вот задача у нас имеется:

Сумма всех ребер параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равна 120 см. Найдите длины ребер, если AB:BC:AA1=4:5:6.

Для начала, посмотрим, что это за зверь такой - параллелепипед и где именно у него расположены ребра.
Сумма всех ребер параллелепипеда. Математика для блондинок.
Сумма всех ребер параллелепипеда


Этот зверек из геометрического зоопарка хоть и кривоват слегка, но всё равно симпатичный. А имеется у него три группы ребер, по четыре ребра одинаковой длины в каждой группе. Сумма длин всех этих ребер по своему смыслу является периметром параллелепипеда. По аналогии с периметром четырехугольников. Ну, да ладно, не нам математиков учить.

Решить эту задачу можно при помощи пропорций, выражая одну сторону через другую. Вот пример решения задачи про сумму всех ребер параллелепипеда, где через икс обозначена одна из сторон.

Сумма всех ребер параллелепипеда решение. Математика для блондинок.
Сумма всех ребер параллелепипеда решение

Отношения сторон в этом варианте задачи выражены двумя пропорциями. За икс принята самая длинная сторона, чтобы дроби в решении получались правильные, то есть меньше единицы.

Но есть и более простое решение. Я бы назвал его "метод произвольных единиц измерения". Думаю, такого в учебнике вы не найдете. В чем смысл метода произвольных единиц измерения? Для начала давайте посмотрим, как появилась подобная задача.

Кто-то измерил длины трех разных граней параллелепипеда и высчитал по формуле сумму всех ребер. Дальше, от нечего делать, он начал смотреть на соотношение длин сторон этого параллелепипеда. Будучи фанатиком математики, этот кто-то взял и тупо сократил дроби. При этом сократились не только числа, но сантиметры. Вместо размеров параллелепипеда в сантиметрах у нас остались только числа 4; 5; 6. Да, это пропорции сторон параллелепипеда, которые останутся неизменными, в каких бы единицах измерения мы этого зверя не измеряли: в сантиметрах, в метрах, в дюймах, в попугаях или мартышках. Кстати, очень поучительный мультфильм о единицах измерения длины, называется "38 попугаев".



Вот и у нас получается, что заданные в пропорциях размеры параллелепипеда не понятно в чем измерялись. Если эту неизвестную единицу измерения мы обозначим через икс, то мы легко можем подсчитать сумму всех ребер параллелепипеда, только выраженную в иксах:

4(4х+5х+6х)=4*15х=60х

У нас периметр получился равным 60 непонятных (или произвольных) единиц измерения. По условию задачи известно, что этот же периметр равен 120 сантиметров. Составляем уравнение и находим величину произвольной единицы измерения. Это просто, как в первом классе.

60х=120см
х=(120/60)см
х=2см


Теперь остается только пересчитать размеры параллелепипеда в сантиметрах.

a=4х=4*2см=8см
b=5х=5*2см=10см
c=6х=6*2см=12см

Вот еще подобная задача:

Измерения прямоугольного параллелепипеда относиться как 9:13:7. Найдите сумму ребер прямоугольного параллелепипеда, если длина меньшей стороны 18 см.

Обозначаем через икс произвольную единицу измерения и находим сумму ребер прямоугольного параллелепипеда

Р=4(9х+13х+7х)=4*29х=116х

Длина наименьшей стороны нам известна и в произвольных единицах измерения, и в сантиметрах. Отсюда найдем величину произвольной единицы измерения.

7х=18см
х=(18/7)см

Теперь мы можем определить сумму ребер.

Р=116х=116*(18/7)см=(2088/7)см

Когда можно применять метод произвольных единиц измерения? Когда нам заданы размеры какой-либо геометрической фигуры в виде пропорции сторон и что-нибудь ещё (одни сторона, периметр, площадь или объем) в человеческих единицах измерения (сантиметрах, метрах или попугаях))).

суббота, 8 марта 2014 г.

Задача про прямоугольный параллелепипед

Очередная задача про прямоугольный параллелепипед:

Одна из сторон прямоугольного параллелепипеда на 7 см меньше другой. Найти объем и площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда, если его диагональ 85 см, высота 84 см.

Если сами стороны параллелепипеда не известны, а сказано о них только "больше" или "меньше", значит нужно пользоваться иксами. Обозначим одну сторону через икс. Другая сторона у нас будет икс минус семь сантиметров. Высота прямоугольного параллелепипеда известна, диагональ тоже. Берем теорему Пифагора для параллелепипеда и записываем. Решаем полученное уравнение и находим икс.

Задача про прямоугольный параллелепипед. Как составить уравнение. Математика для блондинок.
Задача про прямоугольный параллелепипед
Решение квадратного уравнения дало нам два значения икса. Отрицательный корень выбрасываем в мусор, ведь отрицательной дины не бывает. Теперь мы можем найти объем и площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда.

Объем и площадь поверхности прямоугольного параллелепиеда. Формулы. Математика для блондинок.
Объем и площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда
Собственно, вот и всё решение задачи про прямоугольный параллелепипед, его объем и площадь полной поверхности.

среда, 12 февраля 2014 г.

Площадь поверхности параллелепипеда

Очередная задача про прямоугольный параллелепипед. Точнее, про площадь поверхности параллелепипеда. Почему мне так нравятся именно прямоугольные параллелепипеды? Во-первых, решение задач у них проще, чем у косоугольных параллелепипедов, призм, цилиндров и прочей геометрической мути. Во-вторых, прямоугольный параллелепипед - это среда нашего обитания. Среда не в смысле вторник, четверг, а в смысле джунглей для обезьян. Мы обитаем внутри таких параллелепипедов. Если верить заверениям наших доблестных строителей, они прямоугольные. Во всяком случае, к этому стремятся. Прямоугольная комната - это и есть прямоугольный параллелепипед. Кирпич или коробка для обуви - это тоже он, родимый.

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 9 и 24. Диагональ параллелепипеда равна 41. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.

Вот о чем поведала нам задача. Да, это не любовный роман. К тому же, уже прочитанный. Зная две стороны и диагональ прямоугольного параллелепипеда, третью сторону можно найти по старой доброй формуле дедушки Пифагора. Такую задачу мы совсем недавно рассматривали. Я не буду заморачиваться с картинками, а расскажу на пальцах.

Возводим диагональ в квадрат и вычитаем сперва квадрат одной стороны, затем квадрат другой стороны.

41*41 - 9*9 - 24*24 = 1681 - 81 - 576 = 1024

Это мы получили квадрат третьей стороны. После этого извлекаем квадратный корень и получаем третью сторону длиной 32. Кого-чего? А какая разница? К числам можно любую единицу измерения прилепить. Главное - без фанатизма. Если вы будете измерять прямоугольный параллелепипед долларами или градусами Цельсия, то вас никто не поймет. По умолчанию предполагается, что в нашем случае возле чисел должны стоять единицы измерения длины: метры, сантиметры, дюймы, локти...

Теперь переходим к площади поверхности прямоугольного параллелепипеда. В комнате это площадь четырех стен, пола и потолка. Все они из себя представляют прямоугольники. Тупо умножаем размеры прямоугольников и получаем их площади. У нас должны получиться три пары площадей - передняя и задняя стенки, левая и правая стенки, пол и потолок. Записываем формулу площади поверхности параллелепипеда и считаем:

S = 2(a*b + b*c + a*c) = 2(9*24 + 24*32 + 9*32)  = 2(216 + 768 + 288) = 2*1272 = 2544

Вот и всё. Площадь поверхности параллелепипеда оказалась равной 2544 единицы измерения площади.

среда, 5 февраля 2014 г.

Прямоугольный параллелепипед и диагональ

Очередная задача про прямоугольный параллелепипед и диагональ. Звучит задача так:

Дано abcda1b1c1d1 - прямоугольный параллелепипед. dd1cc1 - квадрат. dc = 3, bd1 = корень из 22. Найти bc. Доказать, что bcd1 и dc1b1 взаимно перпендикулярны.

Здесь важны два момента:

1. Правильно нарисовать картинку и разобраться, что дано, а что нужно найти.
2. Подобрать нужную формулу для решения.

Начнем с картинки. В условии сказано, что одна из граней - квадрат. Чем знаменит квадрат? У него все стороны имеют одинаковую длину. Так что фактически нам известны две стороны прямоугольного параллелепипеда и диагональ. Нужно найти длину третьей стороны.

Прямоугольный параллелепипед и диагональ. Формула диагонали. Теорема Пифагора для прямоугольного параллелепипеда. Математика для блондинок.
Прямоугольный параллелепипед и диагональ
Так, что-то квадрат на картинке у меня совсем не получился, но ведь и я не Малевич. Какая картинка под рукой была, ту и разукрасил. Корень квадратный возле диагонали корявый какой-то вышел. Но оно и понятно - сейчас зима, у нас корни не растут. В супермаркет завезли корни из Австралии (там сейчас лето), вон он какой зеленый, не дозрел ещё. Потому и корявый.

Для решения задачи применяем старую добрую теорему дедушки Пифагора для прямоугольного параллелепипеда. Тысячи лет люди нею уже пользуются и останется она неизменной на все оставшиеся времена. Если я, конечно, более общий вид её здесь не опубликую. Но это как-нибудь в другой раз.

Гласит теорема Пифагора следующее: квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов измерений (или сторон) параллелепипеда. Какие измерения есть у прямоугольного параллелепипеда? Их три: длина, ширина, высота. Возводим их в квадрат, складываем в кучку, выковыриваем из суммы квадратный корень и получаем длину диагонали. Очень простенький рецепт.

В нашей задаче известны диагональ и две стороны. Найти нужно третью сторону. Жонглируем формулой и находим выражения для определения третьей стороны. Подставляем значения и задача решена.

Теперь о доказательстве. С детства ненавижу доказательства. Доказывать другим, что я не дурак? Глупо. Насколько я понимаю, в данном случае от вас требуется продемонстрировать свои знания признаков перпендикулярности плоскостей. Есть у меня умная книжка по математике и там написано буквально следующее:

Признак перпендикулярности плоскостей.

Теорема 1 (о перпендикулярности). Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.


Перпендикулярные плоскости в прямоугольном параллелепипеде. Математика для блондинок.
Перпендикулярные плоскости


Снова вспоминаем, что я не Малевич. Откуда мы знаем, что указанные плоскости проходят через перпендикулярные прямые? А дядька или тетка в условии задачи написали, что передняя и задняя грани нашего прямоугольного параллелепипеда являются квадратами. А как известно всем, диагонали у квадрата перпендикулярны. В детском садике так учили. Ну, или в школе.

среда, 24 июля 2013 г.

Объем комнаты и площадь пола

Вот такая вот интересная задачка:

Объем комнаты 75 метров кубических, высота комнаты 3 метра. Найдите площадь пола.

Решение задачи тупо:

75 : 3 = 25 (метров квадратных)

Если объем комнаты разделить на её высоту, то получится площадь пола. Если в вашей задаче написано "объем комнаты 75 метров квадратных...", то значит эту задачу составляло туловище, которое ни фига не понимает в единицах измерения объемов. Объем не может измеряться в метрах квадратных, нормальные люди в них измеряют площадь.

А теперь бла-бла-бла на заданную тему.

Ничего сложного в этой задаче нет, просто вместо обычного прямоугольного параллелепипеда здесь нам рассказывают о комнате. В переводе на язык математики и применительно к параллелепипеду эта задача будет звучать так:

Объем прямоугольного параллелепипеда равен 75 кубических метров, его высота равна 3 метра. Найдите площадь основания этого прямоугольного параллелепипеда.

В чём маленький подвох, который многих может сбить с толку? Дело в том, что комнату мы  привыкли видеть изнутри.

Объем комнаты и площадь пола. Высота комнаты, площадь комнаты.
Высота комнаты и площадь пола
Эта комната изображена на стадии ремонта. После ремонта можете обставить её мебелью по своему вкусу. Кстати, большинство людей вспоминают про геометрию именно после начала ремонта - площади, периметры, объемы... Так вот, математики нам показывают прямоугольные параллелепипеды всегда снаружи.

Прямоугольный параллелепипед с обозначениями
Прямоугольный параллелепипед с обозначениями
Если в математике мы привыкли видеть любой объем снаружи, то попадая внутрь реального объема очень легко растеряться.

Теперь разберемся с названиями. То, что в комнате называется "объем комнаты", в математике называется просто "объем". "Высота комнаты" в математике будет просто "высота", а "площадь пола" - это ничто иное, как "площадь основания". Хорошо или плохо, но математики нас учат, что если площадь основания умножить на высоту, то мы получим объем. При решении задачи мы объем разделили на высоту и получили площадь.

Еще один интересный момент. Комната может иметь любую форму с вертикальными стенами. Пол в комнате может быть квадратным, прямоугольным, треугольным, шестиугольным, круглым, бесформенным... В любом случае, его площадь будет равна 25 квадратных метров. Ведь любая двухмерная геометрическая фигура может иметь площадь в 25 метров в квадрате. При умножении этой площади на высоту в 3 метра мы всегда будем получать объем в 75 метров кубических.

Является ли подобная задача реальной? Волне. В отдельных бюрократических документах можно встреть объем комнаты. Например, при установке газового оборудования требования могут предъявляться не к площади комнаты, а к её объему. Исходя из высоты комнаты, которая может быть разной в разных зданиях, определяют требуемую площадь пола для соблюдения строительных норм. Фокус в том, что в горении принимает участие газ кислород и его должно быть необходимое количество. Нужный объем кислорода может находиться как в маленькой и высокой комнате, так и в большой, но низкой. Разные числа при умножении могут давать один и тот же результат.

P.S. Кстати, на сайте "Русский текст" вы можете найти редкие и уникальные тексты, статьи из старых газет, интересные публикации на русском языке. Любознательность ещё никому не навредила. Конечно, если любознательностью попользоваться с умом. Если вы прочтете какую-нибудь старую, давно забытую, но интересную статью о науке - вы станете умнее, чем были до этого.

суббота, 30 марта 2013 г.

Прямоугольный параллелепипед и плоскость

Вот такая вот задача по геометрии про прямоугольный параллелепипед и плоскость:

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны ребра AA1 = 6,  AB = 6, AD = 3 корня из 13. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью AMK, где точки М и К делят ребра BB1 и CC1 в отношении 1:2, считая от прямой ВС.

Для её решения этой задачи нужно просто представить то, что нам дано по условию и понять, что нужно найти. Рекомендую условие разбивать на части и каждую часть рассматривать отдельно. Сейчас я покажу, как это делается.

Читаем с самого начала: "В прямоугольном параллелепипеде..." - всё, достаточно. И так, у нас есть прямоугольный параллелепипед - трехмерная геометрическая фигура, которую лучше всего нарисовать на листочке бумаги. Вот как выглядит прямоугольный параллелепипед на рисунке. В жизни это обычная коробка для обуви.

Прямоугольный параллелепипед. Как выглядит прямоугольный параллелепипед. Математика для блондинок.
Прямоугольный параллелепипед
Дальше написано "...ABCDA1B1C1D1..." - это так обозначаются вершины прямоугольного параллелепипеда. Если показывать условие задачи на коробке из-под обуви, то можно обойтись и без обозначений. Но ни один фокусник не вылезет к вам из задачника с коробкой под мышкой. Вот и приходится вводить обозначения вершин, чтоб можно было понятно написать о том, что у нас есть и что нужно найти. Донышко коробки, оно же основание параллелепипеда, обозначаются буквами без цифр, крышка обозначается буквами с цифрами. Одинаковые буквы располагаем друг над другом.

Прямоугольный параллелепипед с обозначениями. Математика для блондинок.
Прямоугольный параллелепипед с обозначениями
"...известны ребра AA1 = 6,  AB = 6, AD = 3 корня из 13." Вот теперь мы можем прямо на рисунке подписать длину этих ребер. Смотрим на буквы, я выделил эти три ребра синим цветом.

Прямоугольный параллелепипед с размерами. Математика для блондинок.
Прямоугольный параллелепипед с размерами
Фактически нам даны размеры параллелепипеда. И хотя на рисунке длина ребер не совсем соответствует условию, ничего страшного. На алгебру решения это нисколько не влияет. Мы не используем рисунок для графического решения задачи. Он нам нужен только для того, чтобы понять ход решения. Одинаковые задачи для параллелепипедов самых разных размеров будут иметь одинаковый ход решения. В конце только числа разные будут получаться.

"Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью AMK..." Ничего не понятно. Откуда взялись точки М и К? После этих слов в условии задачи ещё что-то написано. По этому пропускаем этот фрагмент и читаем дальше.

"...где точки М и К делят ребра BB1 и CC1 в отношении 1:2..." Ага, вот и точки появились. Ребра на рисунке мы можем найти, но как их разделить "... в отношении 1:2..."? Всё очень просто. Вспоминаем детский сад. "Разделите отрезок на три равные части и возьмите одну часть" - это очень простая задача, с которой справится даже ребенок. А мы уже взрослые. Как узнать, на сколько частей нужно делить? Выражение "Разделить в отношении 1:2" равнозначно выражению "Разделить на 3 части". Ведь 1+2=3. Длина всех вертикальных ребер равна 6 см. Одна часть будет равна 6/3=2 см. Нам нужно взять одну часть. Но какую? Нижнюю, верхнюю или среднюю? Читаем дальше условие задачи: "...считая от прямой ВС". Почему ребро ВС вдруг превратилось в прямую? Математики, как заправские карточные шулеры, очень любят подменять одни понятия другими, превращая простую задачу в настоящий ребус. Вот из-за таких ребусов многие ненавидят математику. Прямая ВС совпадает с ребром ВС и находится они на нижнем основании прямоугольного параллелепипеда, на донышке коробки. По этому мы берем нижнюю треть вертикальных граней. Обозначаем нужные точки на рисунке.

Прямоугольный параллелепипед с точками. Точки делят вертикальные ребра в отношении один к двум. Математика для блондинок.
Прямоугольный параллелепипед с точками
 Всё условие задачи мы разобрали до конца и теперь самое время вернуться к пропущенному фрагменту: "Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью AMK...". Через точки М и К можно провести целое море плоскостей. Все они будут вращаться на отрезке МК, как шашлык на шампуре.

Прямоугольный параллелепипед и плоскости. Математика для блондинок.
Прямоугольный параллелепипед и плоскости
Нас же интересует только та плоскость, которая проходит через точку А. Такая плоскость всего одна. Поскольку отрезок МК параллелен ребру ВС, а тот в свою очередь параллелен ребру АD, значит наша плоскость проходит через это ребро. В сечении у нас получается прямоугольник АDМК, расположенный под углом к основанию.

Прямоугольный параллелепипед и плоскость. Решение задачи. Математика для блондинок.
Прямоугольный параллелепипед и плоскость
Нам нужно найти площадь этого прямоугольника (на рисунке он закрашен голубеньким). Одна сторона у нас есть, нужно найти длину другой стороны. Если посмотреть на зелененький треугольник, то вторая сторона прямоугольника окажется гипотенузой прямоугольного треугольника АВМ. По теореме дедушки Пифагора мы без труда найдем длину этой гипотенузы. Как видите, детская задачка на два действия.


Вот только меня терзают смутные сомнения, что кто-то где-то запутался. Если для точек М и К брать не одну часть от ребер ВВ1 и СС1, а две части, тогда длина гипотенузы получается равной двум корням из тринадцати. При вычислении площади сечения число тринадцать вылезает из-под корня и площадь получается равной 78 сантиметров в квадрате. Явно кто-то ошибся. Либо математики при составлении своего ребуса, либо я не правильно расшифровал изящную словесность этого ребуса. Вот видите к чему могут приводить бездарные попытки казаться умнее, чем ты есть на самом деле. Это относится как ко мне, так и к математикам. Кстати, если бы в условии было указано соотношение 2:1, то и я бы правильно решил эту задачу и получил ответ без квадратного корня.

Для секущей плоскости А1МК решение получается очень даже красивое. Та же теорема Пифагора для зеленого треугольничка, та же площадь прямоугольника.

Прямоугольный параллелепипед. Решение задачи для другой секущей плоскости. Математика для блондинок.
Решение для другой секущей плоскости


P.S. Рисовать картинки можно на бумаге. Я картинки рисую на компьютере для того, чтобы и вам их показывать. Вы тоже можете так делать. Берете заготовку прямоугольного параллелепипеда и разрисовываете её под условия своей задачи. Тогда находить решение вам будет гораздо проще. Если у вас есть ноутбук и он перегревается от вашего чрезмерного усердия, тогда охлаждающая подставка поможет вам избавиться от проблем. Работает такая подставка от самого ноутбука и подключается к нему через USB разъем. Никаких розеток с собою носить не нужно. Очень удобно и практично.

воскресенье, 3 февраля 2013 г.

Диагонали прямоугольного параллелепипеда

Вот какой интересный вопрос мне задали: как найти объем прямоугольного параллелепипеда, зная три его диагонали, выходящие из одной вершины? Первая мысль - порыться в математическом справочнике. Но мой любимый справочник молчит. Есть другой кладезь мудрости - Википедия. Русскоязычная страница, посвященная прямоугольному параллелепипеду, поражает своим убожеством. Даже теоремы Пифагора для трехмерного пространства там нет. Обычно в таких случаях я перехожу на точно такую же страницу на английском языке. Ведь математика - это такая штука, которая в переводчиках не нуждается. Чаще всего там гораздо больше разных формул. В этот раз меня ждало великое разочарование. Да, я увидел там теорему Пифагора для прямоугольного параллелепипеда. И всё. Всякой математической фигни в Википедии навалом, а вот самого интересного нет. Печалька.

Попробуем рассуждать логически. Если кому-то задали такую задачу, значит решение этой задачи есть. Наши математики ещё не доросли до того уровня, когда признаются своим ученикам в своем незнании чего-то. Разве что самые смелые. Остальные тупо повторяют то, чему учили когда-то их. Само собой напрашивается решение: составляем теоремы Пифагора для трех диагоналей граней, объединяем их в систему трех уравнений с тремя неизвестными, решаем и находим размеры прямоугольного параллелепипеда. Брррр! Ужас.

Теперь порассуждаем с другой стороны. Объем - это результат умножения трех измерений длины. У нас есть три длины диагоналей. Теоретически, из них можно получить объем. Давайте нарисуем наши диагонали прямоугольного параллелепипеда и посмотрим, что можно с ними сделать. Смотрим с разных сторон, чтоб понятнее было.

Диагонали прямоугольного параллелепипеда. Картинка диагонали граней. Математика для блондинок.


На картинке синим цветом выделены те элементы прямоугольного параллелепипеда, которые нам известны. Это диагонали граней. Красным цветом выделено то, что нам не известно. Это диагональ прямоугольного параллелепипеда и его линейные размеры (математики любят еще называть их измерениями параллелепипеда). Ну, и сам объем нам тоже не известен.

Теперь вооружимся древней теоремой дедушки Пифагора и запишем формулы размеров и диагоналей. Параллелепипед у нас прямоугольный, значит все углы между линейными размерами и гранями прямые. Не забываем также, что наша главная цель - найти объем.

Диагонали прямоугольного параллелепипеда. Картинки и формулы ребер и диагоналей граней. Математика для блондинок.


Картинки несколько отвлекают от формул. Выписываем формулы отдельной кучкой. Математики в это случае с умным видом бы изрекли: "математическое множество формул". Смотрим на формулы и пытаемся хоть что-то соображать. Нам нужно избавиться от измерений и диагонали прямоугольного параллелепипеда, ведь они нам не известны. Вот если бы диагональ параллелепипеда выразить через диагонали боковых граней... Уж очень формулы в правой половине кучки похожи друг на друга.

Диагонали прямоугольного параллелепипеда. Формулы граней и диагоналей. Математика для блондинок.


Есть! Квадраты диагоналей граней равны двум квадратам диагонали параллелепипеда. Теперь совсем просто. Как кубики в детском садике. Скобочки убираем, скобочки добавляем... И получаем формулу.

Диагонали прямоугольного параллелепипеда. Формула диагонали, выраженная через диагонали граней. Математика для блондинок.


После этого полученную формулу подставляем в формулы с линейными размерами и получаем выражение линейных размеров через диагонали граней. Потом записываем формулу объема.

Диагонали прямоугольного параллелепипеда. Формула объема параллелепипеда, выраженная через диагонали граней. Математика для блондинок.


Всё. Задача решена. Получилась очень красивая и изящная формула. Из суммы  квадратов двух диагоналей граней вычитается квадрат третьей грани. Потом это перемножается, делится на восемь и получается квадрат объема прямоугольного параллелепипеда. Насколько понимаю я, это одно из основных свойств пространства. Используя принцип перегруппировки сомножителей и слагаемых, можно выводить подобные формулы для многомерных пространств с любым количеством измерений. Любой многомерный объем можно выразить через элементы с меньшим количеством измерений. К сожалению, нам математики об этом ничего не рассказывают. То ли сами ничего не знают, то ли стесняются. А ведь перед нами красота математики в первозданном виде, лишенная всяких заморочек, которые так любят наши учителя.

понедельник, 21 января 2013 г.

Объем прямого параллелепипеда

Решаем следующую задачу: нужно найти объем прямого параллелепипеда, ребра основания которого равны 9 и 10 сантиметров, угол между ними 30 градусов, длина бокового ребра составляет 7 сантиметров.

Решение начинаем с математической Библии, которую математики скромно именуют "определения". И так, параллелепипед - сисе есть призма, основанием которой является параллелограмм. Логично. У нас есть два ребра основания 9 и 10 сантиметров и угол между ними в 30 градусов. Из этих заготовок получается чудненький параллелограмчик.

Прямым параллелепипедом математики дразнят такой параллелепипед, у которого четыре боковые грани являются прямоугольниками. Туповато как-то. Такое определение явно рассчитано на людей с воспаленным пространственным воображением. На человеческом языке то же самое можно выразить по-другому: боковые ребра прямого параллелограмма перпендикулярны основанию. Действительно, тогда боковые стороны такой коробочки будут прямоугольными. Смотрим на рисунке, что у нас получилось.

Объем прямого параллелепипеда. Основание параллелепипеда параллелограмм с углом 30 градусов. Высота прямого параллелепипеда. Формула объема. Математика для блондинок.

Объем прямого параллелепипеда в нашем случае лучше всего искать через площадь основания, умноженную на высоту. Высота у нас имеется. С площадью основания возникли маленькие проблемы. Нужно вспомнить, чему равна площадь параллелограмма. Ищем свою любимую шпаргалку и смотрим. Площадь параллелограмма равна произведению сторон на синус угла между ними. Заметьте, формула гораздо умнее наших математиков. Она не тычет нас носом именно в тот угол, который мы должны брать. Она предоставляет нам право выбора. Хотим - берем острый угол параллелограмма, хотим - тупой. Синусы то у них одинаковы. Специально для нас у параллелограмма измеряли острый угол. Что же, мы не гордые, этот угол и возьмем.

Теперь запишем формулы. Площадь параллелограмма в формуле объема прямого параллелепипеда чудесным образом превращается в площадь основания. Подставляем одну формулу в другую и получаем универсальную формулу для вычисления объема прямого параллелепипеда.

Объем прямого параллелепипеда. Площадь параллелограмма формула. Формула объема прямого параллелепипеда. Решение задачи. Математика для блондинок.

Подставляем в формулу имеющиеся у нас длины ребер, синус угла 30 градусов тырим из тригонометрической таблицы, берем в руки калькулятор и считаем. Получается, что объем нашего прямого параллелепипеда равен 315 кубических сантиметра. С виду такая маленькая штучка, на руке свободно поместится, а имеет такой солидный объем. Вот где чудеса математики проявляются.

понедельник, 7 января 2013 г.

Площадь ромба и параллелепипед

Однажды давным-давно, за лесами широкими, за морями глубокими... На опушке дремучего леса, в избушке на курьих ножках... Злая крикливая тётка (а вы как думали? даже Баба Яга была когда-то молодой) сочиняла задачки для учебника математики. Придумала она задачку про параллелепипед, но ей показалось этого мало. Не сильно трудной задачка получилась. Захотелось молодой карге сильнее над детишками поиздеваться. И придумала она ещё одну задачку про этот же параллелепипед, у которого в основании ромб...

Давно это было, но раскопали археологи развалины древней избушки, извлекли человеческие косточки и на них обнаружили древние задачи. (А на чем ещё Баба Яга могла писать? Бумажной промышленности тогда не было, вот и лес дремучий нетронутым стоял.) Наши доблестные математики повертели косточки в руках и добросовестно переписали эти задачи в свои учебники, чтобы детишек просвещать. С тех самых пор по учебникам математики гуляет следующая задача:

Основа прямого параллелепипеда - ромб с площадью 32 корня из трех сантиметра квадратных и острым углом 60 градусов. Большая диагональ параллелепипеда создает с площадью основания угол 30 градусов. Найдите объем параллелепипеда.

Я понимаю, что изучать журнал мод гораздо интереснее, чем решать какие-то задачи, но... наука, как и красота, требует жертв. Берем картинки с прошлой задачи и разрисовываем под новые условия.

Площадь ромба и параллелепипед. Условие задачи, объем прямого параллелепипеда. Математика для блондинок.

Казалось бы, найти объем такого прямого параллелепипеда не сложно, достаточно площадь основания умножить на высоту. Но, вместо высоты, злая Баба Яга придумала два угла. Один угол в 60 градусов между сторонами ромба (ромб у нас желтый, угол красным обозначен на верхней картинке), второй угол между основанием и большой диагональю параллелепипеда (эта диагональ и угол синеньким нарисованы). Нижним основанием второго угла является большая диагональ ромба, ведь высота перпендикулярна основанию у всех прямых параллелепипедов.

Зарисуем зеленым прямоугольный треугольник, из которого мы попытаемся найти катет, который одновременно является высотой параллелепипеда (обозначена красным на втором рисунке). Гипотенузу этого треугольника нам найти не удастся, а вот со вторым катетом можно повозиться.Он является длинной диагональю ромба, у которого нам известна площадь и острый угол в вершине. Открываем коробочку и смотрим на донышко.

Площадь ромба и параллелепипед. Площадь ромба, длина стороны и диагонали ромба. Математика для блондинок.

Вспоминаем формулу площади ромба. Площадь ромба равна квадрату стороны, умноженному на синус угла в вершине. Отсюда мы без труда выковыряем длину стороны ромба. Дальше на диагоналях рисуем прямоугольный треугольник (гламурненького цвета), применяем портрет тангенса и без особого труда соображаем,что длинная диагональ равна двум произведениям стороны на косинус половины угла в вершине.

Теперь самый интересный момент. Как найти высоту параллелепипеда, не роясь в тригонометрии? Очень просто. Пользуясь портретом тангенса, это можно сделать на уровне детского садика. Достаточно нарисовать картинки и разукрасить их надписями.Сперва рисуем наш треугольник и обозначаем на нем угол, высоту параллелепипеда и диагональ ромба. Затем рисуем второй треугольник и при помощи портрета тангенса выражаем его катеты через длину гипотенузы. А дальше совсем чуть-чуть элементарной математики...

Сравниваем картинки и записываем, чему равны нужные нам высота и диагональ. Смотрим на портрет тангенса и вспоминаем, что тангенс - это синус на косинус. И что в тригонометрии везде дроби. Записываем формулу тангенса. Потом числитель и знаменатель нашей дроби умножаем на диагональ. Дробь не поменялась, но в ней появилось что-то очень знакомое. Смотрим на верхние равенства и выражаем тангенс через высоту и диагональ. Теперь остается только записать формулу высоты из полученного выражения тангенса. Смотрите, как всё чудненько получилось.

Площадь ромба и параллелепипед. Прямоугольный треугольник. Тригонометрия для блондинок. Как найти катет треугольника без гипотенузы. Чему равен тангенс угла. Математика для блондинок.

Всё, задачу мы практически решили. Можно на низать все формулы на одно выражение и получить большого динозавра. Можно каждую формулу вычислить отдельно. Я поленился писать большую общую формулу и значения подставлял в каждую формулу отдельно.

Площадь ромба и параллелепипед. Решение задачи. Как найти объем прямого параллелепипеда. Математика для блондинок.

Остается только добавить, что в данном решении одни и те же числовые значения соответствуют разным величинам. Будьте внимательны! Математики часто на такие мелочи не обращают внимания, отсюда и все проблемы в математике. У нас длина стороны ромба и высота прямого параллелепипеда равняются 8 сантиметров. Половина угла в острой вершине ромба численно равна углу при большой диагонали параллелепипеда и составляет 30 градусов. Если в условии вашей задачи другие числа, тогда ничего не перепутайте: "бабе - цветы, дитям - мороженое".

P.S. Чтобы вам, красивым и пушистым, всегда дарили роскошные букеты ... Возвращаемся к предисловию и начинаем читать заново:)

суббота, 5 января 2013 г.

Диагональ, параллелепипед и ромб

Вот такая вот задача. Основанием прямоугольного параллелепипеда является ромб, сторона которого равняется 6 сантиметров, а угол 60 градусов. Высота параллелепипеда равна 8 сантиметров, найдите длину меньшей диагонали параллелепипеда.

Начинаем рассуждать. Параллелепипед и ромб в основании - это такая коробочка, которая сверху похожа на ромб. У такого параллелепипеда действительно можно нарисовать две пары диагоналей, длины которых будут разными. Из нижней вершины с острым углом в верхнюю вершину с острым углом можно провести длинную диагональ. А вот тупые вершины (не в смысле, что эти вершины ничего не понимают, а в смысле, что эти вершины прихватизировали тупые углы) будут соединяться короткими диагоналями. Таких диагоналей две, их длина одинаковая. Посмотрим на картинке, как выглядит одна из таких диагоналей.

Диагональ, параллелепипед и ромб. Прямоугольный параллелепипед с основанием в виде ромба, короткая диагональ параллелепипеда. Теорема Пифагора в параллелепипеде. Математика для блондинок.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда показана красным цветом, диагонали ромба основания показаны синим цветом. Если очень сильно постараться, напрячь свое воображение и внимательно присмотреться к верхней картинке, то можно увидеть прямоугольный треугольник. Параллелепипед у нас прямоугольный. Значит, боковое ребро расположено под прямым углом к основанию. Диагональ основания (синенькая), диагональ параллелепипеда (красненькая) и ребро (черненькое, мелированое, не успело в парикмахерской перекраситься) образуют этот прямоугольный треугольник. А там, где есть прямоугольный треугольник, там царствует теорема древнего Пифагора. Всегда, не зависимо от того, кого вы в своей стране избрали царём или президентом.

В низу, под картинкой, записана эта самая знаменитая теорема применительно к нашему случаю. Не удивляйтесь, если в таком виде вы встречаете теорему Пифагора впервые. Во-первых, не все учились с вами в одном классе и они могут не знать, как именно вас учили правильно записывать теорему Пифагора. Во-вторых, в теореме Пифагора главным является не принятая кем-то система закорючек, а смысл - берем две перпендикулярных штучки, возводим в квадрат, складываем в кучку и получаем третью штучку в квадрате. У нас квадрат ребра и квадрат диагонали ромба чудненько складываются в квадрат диагонали параллелепипеда.

Теперь нам необходимо разобраться с диагональю ромба. Берем нашу коробочку в форме прямоугольного параллелепипеда, открываем крышечку и заглядываем внутрь. Почему мы заглядываем внутрь коробочки а не изучаем саму крышечку? Безотказно работает теорема любопытной обезьяны. Попробуйте что-нибудь отрыть и не заглянуть внутрь. А зачем тогда открывали?! Любой, даже безграмотный, математик вам скажет, что теорема требует доказательства. Один момент. Попросите свою маму купить вам что-то в коробочке. Когда она вам её принесет, вы, с закрытыми глазами, откройте крышечку коробочки, а саму коробочку, не глядя, выбросьте в мусор. Не получилось? Всё, теорема доказана.

И так, мы остановились на том, что, встав в позу теоремы Пифагора, мы заглядываем внутрь коробочки. Что мы там видим? Если вы верили в Конец Света 2012, тогда там спрятаны припасы на всю оставшуюся жизнь. Вынимайте их из коробки и можете смело доедать (вы ещё долго будете извлекать свои припасы из самых неожиданных мест). Пока вы не придумаете следующую дату Конца Света, вам ничто не угрожает. С пророчеством советую поторопиться. Вокруг очень много жаждущих славы пророков, а ещё больше желающих впихнуть вам партию залежалого товара. Если же вы не верите в Конец Света, то в коробочке были новогодние сладости, которые уже закончились.

Всё, наша коробочка пустая и мы можем внимательно изучить донышко. Оно имеет форму ромба, у которого можно провести диагонали. При пересечении, эти диагонали образуют чудненькие треугольнички. Аж четыре штуки. Мы люди не жадные, нам достаточно одного. Что мы знаем об этом треугольничке (на картинке ниже он закрашен в чудный цвет)? Этот треугольник точно не Бермудский и не любовный. А какой? Лезем в Интернет и ищем свойства ромба. Мы их когда-то учили в школе, но это было так давно... В Интернете полно всякой ерунды, но есть и кое-то интересное нам. Все стороны ромба одинаковые. Диагонали ромба разные. Пересекаются диагонали под прямым углом. Точка пересечения диагоналей делит их на две равные половинки. Каждая диагональ делит угол в вершине поровну (у ромбов и квадратов диагонали не жадные). Кажется, всё. Прочая ерунда о ромбах нас не интересует.

И так, в результате наших научных исследований мы установили, что наш треугольник является прямоугольным. Гипотенуза у него равна длине стороны ромба, катеты равняются половинкам диагоналей. Снова примеряем деда Пифагора. Длину гипотенузы мы знаем, а вот с двумя катетами проблема. Какой-то лентяй не потрудился измерить диагонали. Зато это чудо умудрилось вымерить величину угла в одной вершине. В традиционном виде теорема Пифагора не катит (это не опечатка, это в смысле "не подходит"). Остается только тригонометрия. Она тоже работает в прямоугольных треугольниках, но придумали её математики исключительно для того, чтобы издеваться над детьми. Лично мне так кажется. Думаю, эта идея соберет не маленькую группу Вконтакте. "Я ненавижу тригонометрию" - красивое название для группы, дарю.

Как сказали бы врачи, показаниями к применению тригонометрии является невозможность применения теоремы Пифагора из-за отсутствия двух размеров треугольника и наличие значения одного из углов. Если бы у нас не было угла, тогда и медицина была бы бессильна. Как применить тригонометрию? Не будем рыскать по Интернету, я покажу вам более надежный инструмент. Назвал я его "портрет тангенса". Приставляем его к вершине треугольника, значение угла в которой нам известно. Горизонтальную палочку располагаем параллельно линии, от которой мы отсчитываем угол (у нас это горизонтальная диагональ). Потом вспоминаем "тангенс - это синус на косинус". Верхняя палочка портрета обозначает синусы, нижняя палочка - косинусы. Нам нужно найти вертикальный катет треугольника. Значит, для этого гипотенузу нужно умножить на синус угла. Если бы нам нужен был горизонтальный катет, мы бы умножали на косинус этого же угла. Полная длина вертикальной диагонали ромба (синенькая) получается равной двум длинам катета треугольника.
Диагональ, параллелепипед и ромб. Как применять тригонометрию. Прямоугольный треугольник в ромбе, диагонали ромба. Математика для блондинок.

Всё. С задачей мы разобрались. Обозначаем диагональ ромба буквой "f", сторону - буквой "а", угол - буквой "альфа". Диагональ параллелепипеда мы обозначим буквой "d", а его высоту - буквой "h". Теперь записываем формулы для решения, подставляем в них известные нам значения и получаем результат.
Диагональ, параллелепипед и ромб. Формула диагонали ромба и диагонали параллелепипеда. Решение задачи по геометрии про диагональ параллелепипеда. Применение теоремы Пифагора. Математика для блондинок.

Длина меньшей диагонали получилась равной 10 сантиметров. Можно, конечно, вычислить и длину большей диагонали, но теорема любопытной обезьяны в этом случае наотрез отказывается работать. Она (теорема) точно знает, что ничего вкусненького или интересного в результате вычислений мы не получим.

среда, 19 декабря 2012 г.

Прямоугольный параллелепипед перпендикулярные ребра

Очень важной составляющей при изучении математики является воображение. Особенно, при изучении геометрии. Вот, например, задача про прямоугольный параллелепипед и его перпендикулярные ребра:

На прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 указать общий перпендикуляр прямых A1D1 и BB1.

Для решения этой задачи про параллелепипед предлагаю отправиться в воображаемое путешествие. Это мои ассоциации между задачей про параллелепипед и окружающей реальностью. Уж какая реальность, такие и ассоциации.

Каждый школьник хотя бы раз в жизни должен совершить Священный Круг вокруг прямоугольного параллелепипеда и будет ему за это отличная оценка... может быть, когда нибудь. ...И это смутно мне напоминает одну из основных религий мира...

Подходим к нашей Святыне (прямоугольный параллелепипед) и смотрим. ВВ1 явно является вертикальным ребром. Нужное нам ребро A1D1 расположено где-то сверху горизонтально. По всем канонам исповедуемой нами религии (математики), свой обход мы должны совершать в строго определенном порядке. Начинаем с точки А1 и идем в сторону В1. После того, как ребро А1В1 закончилось, поворачиваем под прямым углом и идем вдоль ребра В1С1. Поворачиваем под прямым углом. Проходим ребро C1D1, поворачиваем. Вот теперь мы идем вдоль ребра D1А1. Идем мы в сторону, противоположную указанной проповедниками математики (A1D1), но на оценку это не влияет. И вот здесь мы должны совершить поворот на 90 градусов, чтобы снова пойти вдоль ребра А1В1...

Прямоугольный параллелепипед перпендикулярные ребра. Общий перпендикуляр к двум ребрам прямоугольного параллелепипеда. Математика для блондинок.

Вот оно, то самое ребро, из которого мы можем сотворить ответ на задачу, как когда-то Бог сотворил женщину (блондинку или брюнетку?)! Ребро А1В1 перпендикулярно одновременно ребру A1D1 в горизонтальной плоскости и ребру ВВ1 в вертикальной плоскости. Это ребро начинается в вершине А1 и заканчивается в вершине В1, а, следовательно, является общим перпендикуляром к этим двум прямым! Святой Грааль задачи найден! Аминь! Или "плюс константа"? Нет, константа - это из Евангелия от Интеграла. А у нас сегодня Евангелие от Стереометрии.

Можете верить во что угодно, но... Лично я не советую верить тем, кто обещает вам что-нибудь сразу после того, как вы... заплатите, проголосуете, умрете (нужное подчеркнуть).

воскресенье, 14 октября 2012 г.

Измерения прямоугольного параллелепипеда

В комментариях к статье об объеме прямоугольного параллелепипеда появилась задача про измерения прямоугольного параллелепипеда. Измерениями параллелепипеда являются его длина, ширина и высота. Вот их и предлагается найти.

Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда, если площади трёх граней соответственно равны 30, 48, 40 квадратных см

Не нужно перерывать все сведения о параллелепипеде в поисках решения этой задачи. Ни к геометрии, ни к параллелепипеду данное решение отношения не имеет. Смотреть нужно алгебру, решение системы трех каких-то там уравнений с тремя неизвестными. При чем же здесь параллелепипед? Это так математики хотели привязать решение систем уравнений к реальности. И, как обычно, промахнулись.

Для детских игр в числа условие задачи сойдет. А вот для взрослой математики такое условие не катит. Сразу же возникает совсем не детский вопрос: как можно было определить площади граней параллелепипеда, не зная его измерений? Ведь линейки у нас есть только для определения длины, ширины, высоты, расстояния, размера и так далее. Линейку для измерения площадей до сих пор никто не придумал. И, как я подозреваю, придумать её невозможно. Таковы математические свойства площадей. Площадь мы можем только вычислить, зная размеры геометрической фигуры. Но это так, лирическое отступление о качестве той математики, которой нас обучают. Вернемся к решению задачи.

Площадь грани параллелепипеда равна произведению одного измерения на другое. У прямоугольного параллелепипеда всегда три измерения. Комбинации умножения двух измерений из трех дают нам площади трех разных граней. Фактически, по условию задачи, нам дана система трех уравнений с тремя неизвестными. Обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда через x, y и z. Запишем нашу систему уравнений и решим её методом подстановки.

Измерения прямоугольного параллелепипеда. Решение системы трех уравнений с тремя неизвестными. Математика для блондинок.

Из третьего уравнения выражаем z через x. Подставляем полученное значение z во второе уравнение. Это нам дает возможность выразить y через x и подставить это значение в первое уравнение. В итоге этих не хитрых манипуляций у нас получилось одно уравнение с одним неизвестным. Задачка для детского садика. Вот только икс у нас получился в квадрате. Выковыриваем квадратный корень из числа и получаем значение икса. Отрицательное значение можем смело отбрасывать, поскольку отрицательных измерений размеров математики ещё не придумали.

Кстати, любой садист от математики может придумать отрицательную длину и получить за это очередную ученую степень. Ведь это только физики должны подтверждать свои идеи результатами экспериментов. Математикам достаточно придумать определение. И будем мы тогда изучать отрицательную длину так же, как сегодня изучаем комплексные числа.

По полученному значению x мы легко можем найти значения y и z. В результате у нас получилось, что прямоугольный параллелепипед имеет размеры 5, 6 и 8 сантиметров. Перемножая эти числа, вы легко получите площади граней прямоугольного параллелепипеда, которые нам, не понятно откуда, известны по условию.

В решении задачи про измерения прямоугольного параллелепипеда нам помогали:

Здесь была ссылка на сайт, который предлагал вам свои услуги по наведению красоты в вашей внешности без всяких уравнений. Кстати, площадь поверхности кожи, на которой красота создается, на стоимость услуг не влияет. Уж слишком громоздкий математический аппарат придется применять для этих целей. Вот и получается, что стоимость красоты от геометрической площади нашего тела не зависит. Спасибо математике:)))

А чтобы жительницы столицы "всея Руси" не чувствовали себя ущемленными в своих правах на красоту, их вниманию предлагался другой, конечно же не менее хороший, салон красоты. Это даже целая сеть салонов, так сказать, математическое множество салонов. У вас появляется возможность выбрать тот или иной салон красоты в зависимости от расстояния до него. Всё как в настоящей математике - каждому элементу множества салонов ставятся в соответствие элементы из математического множества красавиц)))

среда, 11 июля 2012 г.

Прямоугольный параллелепипед

Вновь поступил вопрос про прямоугольный параллелепипед. И вопрос этот не простой, смотрите сами:

Рёбра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2, 3. Найдите площадь его поверхности. Подскажите, как это переварить?

Прямоугольный параллелепипед площадь поверхности. Задача по геометрии. Математика для блондинок.
Вопрос, конечно, не простой - что такое прямоугольный параллелепипед, как и с чем его едят? В частности, как найти рецепт приготовления площади поверхности этого то ли фрукта, то ли овоща? Так, для начала давайте посмотрим, что это вообще такое - прямоугольный параллелепипед? Вот картинка прямоугольного параллелепипеда.

Прямоугольный параллелепипед. Как выглядит прямоугольный параллелепипед. Вершина, грань, диагональ прямоугольного параллелепипеда. Математика для блондинок.
Как видите, прямоугольный параллелепипед - это, собственно, обыкновенный кирпич. Кстати, если бы Ньютону на голову упала не сфера в виде яблока, а прямоугольный параллелепипед в виде кирпича, то в школе мы вряд ли бы учили его законы. Прямоугольная комната - это тоже прямоугольный параллелепипед, который позволяет вам совершить обзорную экскурсию по его достопримечательностям прямо изнутри. Если вы хотите произвести внешний осмотр достопримечательностей сего математического чуда, тогда возьмите в руки коробку из-под обуви и можете вертеть её, сколько душе угодно.

И так, прямоугольный параллелепипед на картинке дает нам возможность увидеть вершины, ребра и диагонали. Вершины мы можем потрогать пальцем, ребра мы можем измерять, диагональ можем высчитать. Нам сейчас диагональ не нужна. Закон движения учеников в классе знаете? Если леди-учитель покидает класс, класс движется быстрее. Закон решения задач очень похож: чем меньше всякой ерунды нам нужно искать, тем проще задача.

Первая проблема, с которой мы сталкиваемся в задаче, это проблема сленга. Задача сформулирована на бытовом сленге, а все формулы и определения в математике формулируются на математическом сленге. Поэтому нам самим предстоит выполнить перевод. Приступаем к поэтапному переводу, по фразам.

"Рёбра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины ..." - собственно, здесь говорится о тех ребрах, которые позволяют нам определить размеры прямоугольного параллелепипеда и на основании этих размеров выполнить все необходимые вычисления. На картинке это ребра a, b и c. Кто бы сомневался, что именно эти три ребра нам дадут по условию, но только не я. Ни один математик вам этого не скажет (не потому, что они этого не знают, а из боязни нарваться на очень неудобные вопросы), но если в условии задачи дать две длины параллельных ребер и одного перпендикулярного им, то нашу задачу в принципе решить будет невозможно. В прямоугольном параллелепипеде из любой вершины всегда выходит три взаимно перпендикулярных ребра. Вот по этому в нашей задаче прямо говорится об этом. Если верить Священным Писаниям разных религий, то именно из одного такого ребра сотворены все прямоугольные параллелепипеды, задачи о которых решает вся прекрасная половина человечества.

Следующая фраза "... равны 1, 2, 3" обозначает, что нам не нужно искать этот злополучный прямоугольный параллелепипед и свою линейку, чтобы измерить длины его граней, как это показано на рисунке. Тот, кто эту задачу придумал, уже сам всё измерил (или выдумал эти размеры, что в данном случае принципиального значения не имеет). Кто есть кто в этом списке чисел? Где длина, ширина, высота нашего параллелепипеда? Нам это без разницы. Как бы мы этот прямоугольный параллелепипед не крутили, площадь его поверхности всегда будет оставаться неизменной. Предыдущие поколения математиков этот факт не единожды проверили. Когда мы доберемся до решения, мы сами в этом убедимся.

Теперь вопрос, в чём же конкретно измеряется наш прямоугольный параллелепипед и площадь его поверхности? В каких единицах измерения? Ответ довольно прост - в любых единицах измерения длины. Англичане и американцы любят дюймы, футы, мили. Мы предпочитаем сантиметры, метры, километры. В чем измеряют длину инопланетяне? Мы вообще не знаем. Да нам эти единицы измерения и не важны. В чем бы мы не измеряли длину граней, циферки возле длин и площади будут одинаковыми. Циферки остаются, единицы измерения меняются. Вот два способа получения результата в математике.

разные числа + одинаковые единицы измерения = разный результат

одинаковые числа + разные единицы измерения = разный результат


Приблизительно, как в этом счетчике. Крутим одно колесико - меняются числа. Крутим другое колесико - меняются единицы измерения. Так устроена настоящая математика, маленький кусочек которой мы сейчас рассматриваем.

Математика. Как выглядит настоящая математика. Математика для блондинок.
Это уже не детская математика, придуманная специально для того, чтобы мучить нас задачками. Это взрослая математика, одинаковая для всех.

В нашей задаче мы измеряем всё в абстрактных единицах измерения длины. Соответственно, полученная нами площадь будет измеряться в этих же единицах измерения, возведенных в квадрат.

Теперь нам осталось только достать из глубокого кармана шпаргалку с формулами для прямоугольного параллелепипеда и посмотреть, чего полезного для нас там имеется.

Прямоугольный параллелепипед формулы. Вершина, ребро, грань. Формула диагонали, площадь поверхности полная, боковая, основания. Объем прямоугольного параллелепипеда. Математика для блондинок.
Что вообще есть в этой шпаргалке? Формула диагонали прямоугольного параллелепипеда, формула объема. Есть несколько формул для площади поверхности: полная, основания, боковая. Вот одна из этих формул нам как раз нужна. Разберемся в площадях на примере коробки для обуви. Площадь основания - это площадь донышка или крышки коробки. Площадь боковой поверхности - это боковые стеночки коробки без донышка и крышки. Полная площадь - это боковые стеночки вместе с донышком и крышкой.

Теперь смотрим в условие задачи и определяем, "чё тебе надобно, старче?". А надобно ему (ей, им) "площадь поверхности". Если уточнений типа "боковой" или "основания" нет, значит искать нужно полную площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда. Длины трех граней у нас есть, формула тоже, можно произвести расчет. Заморачиваться с основаниями и боками нам нет смысла.

Прямоугольный параллелепипед решение задачи. Полная площадь поверхности. Математика для блондинок.
Как видим, полная площадь поверхности нашего прямоугольного параллелепипеда получилась равной 22 единицы в квадрате. Какие именно единицы? А какие вам не жалко или какие вы больше всего любите.

По просьбе учащихся добавляю картинку про сумму длин ребер прямоугольного параллелепипеда.

Сумма ребер прямоугольного параллелепипеда. Формула, кртинка. Прямоугольный параллелепипед периметр. Математика для блондинок.
Сумма ребер прямоугольного параллелепипеда
Сумму длин всех ребер параллелепипеда я обозначил через букву "P", поскольку она очень похожа на периметр прямоугольника. Кстати, в формуле длин всех ребер я этого не записал, но если мы возьмем три фигурообразующие грани прямоугольного параллелепипеда, которыми являются прямоугольники, то сумма длин всех ребер параллелепипеда будет равна сумме периметров этих прямоугольников.

Спонсор страницы: был, да сплыл.

среда, 14 марта 2012 г.

Объем прямоугольного параллелепипеда

Сегодня мы решим одну задачу и найдем объем прямоугольного параллелепипеда. Для начала посмотрим, что это за математический зверь такой - прямоугольный параллелепипед. Вот как он выглядит.

Прямоугольный параллелепипед. Что такое прямоугольный параллелепипед картинка. Вершина, ребро и грань параллелепипеда. Математика 5 класс, геометрия. Математика для блондинок.
Как видите, прямоугольный параллелепипед скорее похож на клетку для зверей, чем на самого зверя. Математики считают, что живет этот параллелепипед в геометрии, в 5 классе. Они просто забыли, что в детском садике параллелепипед был одной из их игрушек. Детский кубик - это тоже прямоугольный параллелепипед, у которого все грани равной длины. У параллелепипеда есть 8 вершин, 12 ребер и 6 граней. Это трехмерная (или объемная) фигура. Двухмерные грани, одномерные ребра и точки вершин обозначают границы трехмерного пространства, которое заключено внутри параллелепипеда. Прямоугольным эту геометрическую фигуру называют потому, что все углы в нем прямые - равные 90 градусов или пи/2. Внутренне пространство этой клетки называется объемом. Кстати, мы очень любим сажать друг друга в клетки параллелепипедов. Или прятаться внутри них - комнаты часто имеют форму параллелепипедов. Стены, пол и потолок - так мы называем грани комнаты. Ребра мы называем углами, нижние ребра мы стыдливо прячем за плинтус, верхние ребра или выставляем на показ, или украшаем потолочным багетом. Точки, в которых пересекаются углы комнаты, являются вершинами параллелепипеда, в котором мы живем. Ой, что-то мы сильно отвлеклись на экскурсию по достопримечательностям параллелепипеда, давайте посмотрим, как нужно считать его объем.

Объем прямоугольного параллелепипеда 5 класс. 1см3 - один сантиметр в кубе, кубический сантиметр. Размеры параллелепипеда. Математика для блондинок.
Общий объем параллелепипеда состоит из маленьких кубиков единиц измерения объема, который на рисунке измеряется в кубических сантиметрах. Измерять объем можно и в других единицах измерения - кубических метрах (например, объем комнаты), кубических километрах (когда будем мерить планету), литрах (жидкости, но моря и океаны лучше измерять в кубических километрах). Объемы звездных систем и галактик можно мерить в кубических световых годах. Интересно, а в чем лучше измерять объемы разных вселенных? Как вы видите, любой трехмерный объем является умножением трех перпендикулярных единиц измерения длины. У прямоугольного параллелепипеда три ребра всегда перпендикулярны в вершинах. Длина таких ребер называется линейными размерами или измерениями прямоугольного параллелепипеда.

Объем прямоугольного параллелепипеда 5 класс. Формула объема и измерения размеров параллелепипеда. Математика для блондинок.
Если избрать единицу измерения и количество этих единиц в каждом из трех измерений, тогда легко можно высчитать объем прямоугольного параллелепипеда по формуле - перемножить все три линейных (перпендикулярных) размера.

Объем прямоугольного параллелепипеда 5 класс. Пример вычисления объема прямоугольного параллелепипеда. Математика для блондинок.
Математики никогда не обращают на это особого внимания, но нужно не забывать, что во всех трех направлениях единицы измерения длины должны быть одинаковыми. Если у какой-то штучки один размер значительно больше двух других размеров, то тогда такую штучку мы меряем в погонных метрах. Например, железнодорожные рельсы лучше измерять в погонных метрах (километрах), а не в единицах измерения объема. С математической точки зрения, один погонный метр - это единица измерения объемных тел, двумя размерами которых можно пренебречь.

Объем прямоугольного параллелепипеда. Длина, ширина, высота, формула вычисления объема прямоугольного параллелепипеда. Математика для блондинок.
Как видно из рисунка, одним и тем же единицам измерения длины мы присваиваем разные названия. Этим мы уточняем пространственную ориентацию нашего параллелепипеда. Длина и ширина располагаются внизу, при этом длина обычно больше ширины. Высоту мы отмеряем вверх. Все эти названия являются относительными. Если поставить наш параллелепипед на другую грань, названия сторон могут поменяться - длина или ширина превратится в высоту. Объем параллелепипеда не зависит от названий его размеров, поскольку при нахождении объема используются все три линейных размера.

Таким образом, объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты (произведению трех линейных размеров). Как бы мы этот параллелепипед не крутили. Числовое выражение объема зависит от тех единиц измерения, в которых мы выражаем размеры этой геометрической фигуры. В полном соответствии с теоремой Пифагора, все единицы измерения размеров должны быть одинаковы. Возможно, это и звучит, как нравоучение несмышлёным детишкам, но математики считают математику абстрактной наукой именно потому, что они не всегда понимают, что именно, когда и как они делают.

Объем прямоугольного параллелепипеда. Другая формула вычисления объема. Умножение площади основания на высоту. Математика для блондинок.
На этой картинке представлена другая формула. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту. Точнее, площади одной грани умноженной на перпендикулярный размер. Покрутите параллелепипед - у вас основанием каждый раз будет какая-то другая грань, при этом высота так же будет меняться. Крутить параллелепипед совсем не обязательно, достаточно вычислить площадь любой его грани (основания, боковой или торцевой грани) и умножить на перпендикулярный размер: основание на высоту, боковую площадь на ширину, торцевую площадь на длину. Во всех случаях результат будет одинаковым.

Нахождение объема через площадь грани и перпендикулярный размер не является каким-то научным открытием. Это всего лишь констатация того факта, что мы не можем одновременно выполнить два математических действия умножения между тремя размерами. Сперва мы берем два перпендикулярных размера и умножаем их между собой - получается площадь. Потом эту площадь мы умножаем на третий размер - получается объем. Переместительный закон (или коммутативность) умножения и порядок выполнения математических действий являются родителями второй формулы вычисления объема параллелепипеда. (При этом важно отличать линейные размеры от их симметричных отражений. Умножив площадь основания на один из размеров этого основания, вы получите единицы измерения объема, но не получите объем самого параллелепипеда.)

Когда эта формула важна? Ну, например, ваши разведчики во вражеском тылу выкрали сверхсекретное значение площади основания параллелепипеда. Теперь вам просто нужно продолжить вычисление - умножить эту площадь на высоту. Тот объем, который известен врагам, теперь знаете и вы. А если серьезно, то площадь боковой грани можно найти по другой формуле площади прямоугольника - по длине диагонали и синусу угла между ними. Вам уже не нужно находить размеры этой грани, умножаете площадь на третий размер и объем у вас в руках. Этот принцип можно использовать при нахождении объемов любых геометрических фигур с любым количеством измерений. Достаточно четко понимать,на каком этапе вычислений вы находитесь и что вам ещё осталось сделать. Например, зная трехмерный объем, для нахождения объема шестимерного, вам нужно будет умножить его еще на три длины в недостающих измерениях. Ваши метры кубические превратятся в метры в шестой степени. При путешествии в шестимерное пространство не забывайте, что ваше собственное тело имеет всего три измерения. Нельзя в такое путешествие отправляться голышом, даже если вы одеты. Вам понадобится скин 3/4 для перехода в четырехмерное пространство, скин 4/5 для перехода из четырехмерного в пятимерное пространство и скин 5/6 для завершения перемещения в шестимерное пространство. В этом случае вы будете чувствовать себя приятно и комфортно в пространстве шести измерений. Правда, одновременное пребывание сразу в трех скинах может сопровождаться весьма своеобразными ощущениями.

Коль мы говорим о прямоугольном параллелепипеде, возможно, вам пригодятся некоторые другие сведения о нем.

Объем прямоугольного параллелепипеда. Площадь боковой поверхности, полная площадь поверхности, диагональ прямоугольного параллелепипеда. Математика для блондинок.
На этой картинке прямоугольный параллелепипед обзывается прямоугольной призмой. В математике главное не название, а смысл. Под призмой подразумевается два параллельных основания и высота, под параллелепипедом - три линейных размера. Для трехмерной фигуры не имеет принципиального значения, каким образом получается её объем, главное - что он есть.

Площадь боковой поверхности призмы равна периметру основания на высоту. А вот в этом случае крутить параллелепипед (он же прямая прямоугольная призма), категорически не рекомендуется. Для разных оснований будет разное значение площади боковой поверхности. Возможны три размера оснований и три значения площади боковой поверхности.

Полная площадь поверхности параллелепипеда равна удвоенной сумме площадей его перпендикулярных граней, по которым определяются линейные размеры. У параллелепипеда таких граней три - основание, боковая, торцевая.

Длина диагонали параллелепипеда определяется по основному тригонометрическому тождеству для многомерных пространств (или теореме Пифагора). Квадрат диагонали равен сумме квадратов линейных размеров параллелепипеда.

Наконец-то мы добрались до нашей задачи про нахождение объема. Нужно найти объем прямоугольного параллелепипеда, если площади трех граней у него равны 12, 15 и 20 сантиметров квадратных.

Объем прямоугольного параллелепипеда. Задача найти объем, если известны площади боковых граней. Математика для блондинок.
Поскольку все площади граней разные, значит по ним можно определить линейные размеры. Пойдем традиционным путем. Составляем уравнения площадей этих граней. Получаем систему трех уравнений с тремя неизвестными. Решаем эту систему, находим линейные размеры прямоугольного параллелепипеда, затем вычисляем его объем.

Объем прямоугольного параллелепипеда. Пример вычисления объема. Решение задачи на объем. Математика для блондинок.
Как следует из решения, точно такой прямоугольный параллелепипед мы рассматривали на картинках выше.

Но лично мне нравится другое, более простое и изящное, решение. Если мы возведем объем в квадрат и извлечем из него квадратный корень - объем останется прежним. Распишем объем в виде произведения линейных размеров. Используем коммутативность умножения и перегруппируем сомножители. Видите, под квадратным корнем оказывается произведение данных нам по условию площадей. Если мы перемножим площади, мы получим сантиметры в шестой степени - то шестимерное пространство, для прогулки по которому нам необходимо аж три скина. Если мы из сантиметров в шестой степени извлечем квадратный корень, мы получим нужный нам объем прямоугольного параллелепипеда.

Объем прямоугольного параллелепипеда. Нахождение объема через площади. Пример решения задачи по геометрии. Математика для блондинок.
Этот фокус можно использовать при определении объемов фигур с любым количеством измерений. Объем многомерной геометрической фигуры можно определять по составляющим её элементам с меньшим количеством измерений. Главное, необходимо следить, чтобы линейные размеры получались в одинаковой степени. Например, четырехмерный объем гиперкуба можно определить как произведение четырех его линейных размеров abcd, произведение двух двумерных площадей (ab)(cd), корень кубический из произведения четырех трехмерных объемов (abc)(bcd)(abd)(cda) и так далее.

Картинки нагло взяты с сайта 900 игр, да простит меня Математика.

Если вам понравилась публикация и вы хотите знать больше, помогите мне в работе над другими материалами.