Показаны сообщения с ярлыком призма. Показать все сообщения
Показаны сообщения с ярлыком призма. Показать все сообщения

понедельник, 21 января 2013 г.

Объем прямого параллелепипеда

Решаем следующую задачу: нужно найти объем прямого параллелепипеда, ребра основания которого равны 9 и 10 сантиметров, угол между ними 30 градусов, длина бокового ребра составляет 7 сантиметров.

Решение начинаем с математической Библии, которую математики скромно именуют "определения". И так, параллелепипед - сисе есть призма, основанием которой является параллелограмм. Логично. У нас есть два ребра основания 9 и 10 сантиметров и угол между ними в 30 градусов. Из этих заготовок получается чудненький параллелограмчик.

Прямым параллелепипедом математики дразнят такой параллелепипед, у которого четыре боковые грани являются прямоугольниками. Туповато как-то. Такое определение явно рассчитано на людей с воспаленным пространственным воображением. На человеческом языке то же самое можно выразить по-другому: боковые ребра прямого параллелограмма перпендикулярны основанию. Действительно, тогда боковые стороны такой коробочки будут прямоугольными. Смотрим на рисунке, что у нас получилось.

Объем прямого параллелепипеда. Основание параллелепипеда параллелограмм с углом 30 градусов. Высота прямого параллелепипеда. Формула объема. Математика для блондинок.

Объем прямого параллелепипеда в нашем случае лучше всего искать через площадь основания, умноженную на высоту. Высота у нас имеется. С площадью основания возникли маленькие проблемы. Нужно вспомнить, чему равна площадь параллелограмма. Ищем свою любимую шпаргалку и смотрим. Площадь параллелограмма равна произведению сторон на синус угла между ними. Заметьте, формула гораздо умнее наших математиков. Она не тычет нас носом именно в тот угол, который мы должны брать. Она предоставляет нам право выбора. Хотим - берем острый угол параллелограмма, хотим - тупой. Синусы то у них одинаковы. Специально для нас у параллелограмма измеряли острый угол. Что же, мы не гордые, этот угол и возьмем.

Теперь запишем формулы. Площадь параллелограмма в формуле объема прямого параллелепипеда чудесным образом превращается в площадь основания. Подставляем одну формулу в другую и получаем универсальную формулу для вычисления объема прямого параллелепипеда.

Объем прямого параллелепипеда. Площадь параллелограмма формула. Формула объема прямого параллелепипеда. Решение задачи. Математика для блондинок.

Подставляем в формулу имеющиеся у нас длины ребер, синус угла 30 градусов тырим из тригонометрической таблицы, берем в руки калькулятор и считаем. Получается, что объем нашего прямого параллелепипеда равен 315 кубических сантиметра. С виду такая маленькая штучка, на руке свободно поместится, а имеет такой солидный объем. Вот где чудеса математики проявляются.

воскресенье, 30 декабря 2012 г.

Квадрат и призма

Задача про квадрат и призму. Точнее, про один квадрат и две призмы. Вот что нам предлагают сделать:

Квадрат со стороной 24 см в первый раз свернут в виде боковой поверхности правильной треугольной призмы, а во второй раз – в виде правильной четырехугольной призмы. Сравните объемы этих призм.

Так, о чем говорится в этой задаче? В ней говорится о правильных треугольной и четырехугольной призмах, боковая поверхность которых (в развернутом виде) представляет собой квадрат размером 24 на 24 сантиметра. Вот как выглядят эти призмы.

Квадрат и призма. Треугольная и квадратная призма. Боковая поверхность призмы представляет собой квадрат. Математика для блондинок.

Как сравнить объемы таких призм? Нужно объем одной призмы разделить на объем другой призмы. Для разных призм существует много разных формул определения их объема. Но есть одна формула, одинаковая для всех призм и цилиндров: объем равен площади основания, умноженной на высоту призмы или цилиндра. Для начала разберемся с высотой.

Если мы свернем наш квадрат в трубочку, длина трубочки будет равна длине стороны квадрата, то есть 24 см. Если мы этот же квадрат изломаем в призму, высота этой призмы (любой) будет равна 24 см (сторона квадрата). И так, наши призмы имеют одинаковую высоту. При сравнении объемов таких призм на результат влияет только площадь основания, высота в формулах объемов сократится. Баба с возу - кобыле легче. Или высота из формулы - формула проще.

Квадрат и призма. Формула отношения объемов призм с одинаковой высотой. Математика для блондинок.

Теперь нужно разобраться с правильными треугольниками и четырехугольниками. Правильным треугольником математики называют равносторонний треугольник, правильным четырехугольником - квадрат. Именно эти две фигуры являются основаниями наших призм. Нам нужно сравнить их площади. С площадью квадрата всё понятно – она равна длине стороны квадрата во второй степени. Для площади равностороннего треугольника есть свои формулы. Нагло идем в Википедию, типа мы ищем "правильный треугольник", и тырим формулы там.

Квадрат и призма. Формула периметра и площади правильного равностороннего треугольника. Математика для блондинок.

Нам нужна первая формула. Как быть с длинами сторон треугольника и квадрата в основании призмы? Развертка боковой поверхности призмы представляет собой квадрат. Длина одной стороны этого квадрата равна периметру основания, а вторая сторона квадрата равна высоте призмы. У треугольника периметр равен трем длинам сторон, у квадрата – четырем. Разделим 24 сантиметра на три и на четыре части. Мы получим, что длина стороны правильного треугольника (равностороннего) равняется 8 сантиметров, длина стороны квадрата равняется 6 сантиметров. На картинке пунктиром показаны линии изгиба.

Квадрат и призма. Разрезание боковой поверхности призмы в виде квадрата на три и четыре равных части. Математика для блондинок.

Теперь подставим длины сторон в формулы площадей и найдем их отношения. Поскольку отношение может быть и "круть-верть", и "верть-круть", запишу для вас оба варианта. Один из этих вариантов точно будет в ответах (если ответы на задачи у вас есть, не все обладают таким счастьем).

Квадрат и призма. Вычисления с дробями. Решение задачи про квадрат и призму. Математика для блондинок.

В первом случае мы площадь квадрата делим на площадь треугольника, во втором случае площадь треугольника делим на площадь квадрата. В результате получаем две взаимно обратные дроби - переворачиваем вверх тормашками одну дробь и получаем другую.

понедельник, 15 октября 2012 г.

Объем шестиугольной призмы

Как вычислить объем шестиугольной призмы? Объем всех призм вычисляется одинаково - площадь основания умножается на высоту призмы. Если основанием призмы является правильный шестиугольник, тогда у нас получается шестиугольная призма. Ещё такую штуку можно обозвать правильной шестигранной призмой. Она не обидится.

Быть правильным - в геометрии это круто! Обычно, неправильные геометрические фигуры, как зубная боль, донимают школьников. Их нужно делить на правильные фигуры, потом что-то там высчитывать... Хотя и с правильными геометрическими фигурами хлопот не меньше. Сведения о них нужно учить, потом вспоминать выученное... А оно очень быстро забывается.

Давайте посмотрим картинку с шестиугольной призмой и запишем формулу объема этой симпатичной фигурки.

Объем шестиугольной призмы. Объем шестигранной призмы формула. Высота призмы картинка. Математика для блондинок.


Как видите, для получения объема мы высоту призмы умножаем на площадь её основания. Основание нашей призмы - это правильный шестиугольник, площадь которого равна квадрату длины стороны, умноженному на три корня из трех и вся эта красота делится по братски, пополам. Собрав в кучку обе формулы, мы получаем формулу для нахождения объема шестиугольной призмы через длину стороны основания и высоту. От угла наклона граней призмы объем не зависит.

Не знаю, как математики могли пройти мимо такого удивительного факта - результат не зависит от угла наклона. Лично меня это шокировало. Я долго ломал голову в поисках ответа на вопрос: что всё это значит? Разгадка оказалась довольно простой - нужно знать место, где можно применить это удивительное математическое свойство геометрических фигур. Результаты, мягко говоря, поражают. Скоро мы это рассмотрим в "Приключениях блондинок".

Теперь решим задачу про объем шестиугольной призмы.

Основанием шестиугольной призмы служит правильный шестиугольник со стороной, равной а. Высота призмы равна h. Найдите объём этой призмы и вычислите его с точностью до 0,5 дм кубических, если а = 25 см и h = 40 см.

Сначала сделаем маленький анализ условия задачи. Сторона и высота шестиугольной призмы нам даются в сантиметрах. А вот объем от нас хотят услышать в кубических дециметрах, причем с точностью до 0,5. Злые демоны от математики снова хотят нас запутать. Чтобы не запутаться в переводе кубических сантиметров в кубические дециметры, я предлагаю поступить гораздо проще - перевести размеры из сантиметров в дециметры. Тогда объем мы получим сразу в кубических дециметрах.

а = 25 см = 2,5 дм

h = 40 см = 4 дм


Теперь мы можем подставить значения длины стороны основания и высоты шестиугольной призмы в формулу и вычислить объем. На калькуляторе это выглядит так.



Мы получили шестьдесят четыре целых со здоровенным хвостом в 0,95190... и так далее. Теперь нам нужно это чудо округлить с точностью до 0,5. Это означает, что после запятой у нас должен стоять либо нолик, либо пятерка. Поскольку наш хвост гораздо ближе к единице, чем к половинке, то мы округлим его до целой единицы и прибавим её к уже имеющимся шестидесяти четырем единицам. В результате мы получаем ответ: объем шестиугольной призмы равен 65 кубических дециметров.

Если вам понравилась публикация и вы хотите знать больше, помогите мне в работе над другими материалами.

воскресенье, 3 апреля 2011 г.

Как вычислить площадь поверхности прямой треугольной призмы

Как вычислить площадь поверхности прямой треугольной призмы? Для этого лучше всего представить себе треугольную призму во всей её красе. Как выглядит треугольная призма? Посмотрите на картинку

Треугольная призма. Площадь поверхности треугольной призмы. Математика для блондинок.
Теперь следующий вопрос: у вас есть тюбик губной помады в форме треугольной призмы? Если вы хоть как-то ответили на этот вопрос (да или нет), значит теперь вы уже имеете представление о том, что такое треугольная призма и как она выглядит. Вот те два треугольничка, сверху и снизу, называются основаниями призмы. Три прямоугольника по бокам называются гранями призмы. Поскольку в основании призмы лежит треугольник, то и граней у нас ровно три. Если в основании будет пятиугольник, граней будет пять. А если в основании призмы находится 1234-угольник? Правильно, граней будет 1234 штуки. С конструкцией прямой призмы мы разобрались, после этого можно заняться математическими вычислениями площади поверхности треугольной призмы.

Поскольку призма является геометрическим телом, её строение можно исследовать на примере тела блондинки. Что входит в площадь поверхности призмы? Если вы наступите пяткой на что-то острое или стукнетесь обо-что макушкой своей блондинистой головы, вам будет больно. Это потому, что и пятки, и макушка головы входят в состав поверхности вашего тела. Точно так же верхний и нижний треугольники входят в площадь поверхности треугольной призмы. Если вас ткнуть пальцем в бок, вы скажете "Ой!" потому, что боковая поверхность принадлежит вашему телу. Вот те три прямоугольника, что находятся с боков треугольной призмы, составляют площадь её боковой поверхности.

В результате проведенных нами научных исследований тел блондинки и треугольной призмы, мы пришли к заключению, что площадь поверхности треугольной призмы состоит из площадей верхнего и нижнего оснований (они равны) и площади боковой поверхности. Площадь треугольника нужно найти по одной из формул. Напоминаю, что найденную по формуле площадь треугольника при вычислении площади поверхности призмы нужно взять два раза, то есть умножить её на два.

Площадь боковой поверхности призмы определяется как сумма площадей прямоугольных граней. Нужно длину каждой стороны треугольника (того, который в основании) умножить на высоту призмы и сложить три полученные площади вместе. Можно поступить проще: периметр треугольника (периметр треугольника - это сумма длин всех его сторон) умножить на высоту призмы. Но суммирования вам не избежать в любом случае: либо до умножения (складываем длинны сторон), либо после умножения (складываем площади прямоугольных граней). Еще одна засада, которая вас может поджидать на пути к площади поверхности треугольной призмы - это отсутствие всех длин сторон. Для нахождения площади треугольника это не смертельно. А вот для площади боковой поверхности призмы вам придется предварительно найти длины всех трех сторон треугольника, применяя полученные математические знания.

Спонсор решения задачи про площадь поверхности прямой треугольной призмы был, да сплыл.