Показаны сообщения с ярлыком прямоугольник. Показать все сообщения
Показаны сообщения с ярлыком прямоугольник. Показать все сообщения

понедельник, 25 июля 2016 г.

Разложение на слагаемые

Тема занятий:
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ
На прошлом уроке мы рассмотрели
Сложение

Урок 16

Разложение на слагаемые


Если известен только результат сложения и неизвестны слагаемые, тогда сумму можно разложить на слагаемые при помощи линейных угловых функций.

Разложение суммы на слагаемые. Применение линейных угловых функций. Математика для блондинок.
Разложение суммы на слагаемые

Преобразование квадрата величины в произведение двух сумм (см. пример выше), можно выполнить с применением разложения результата умножения на множители и слагаемые.

Преобразование квадрата в произведение сумм. Математика для блондинок.
Преобразование квадрата в произведение сумм

Подобные преобразования могут быть полезны при изучении различных явлений природы для лучшего их понимания. Рассмотрим пример размножения живых существ.

Бесполое размножение живых организмов можно описать при помощи разложения суммы на слагаемые. В результате деления организма А получаются два самостоятельных организма В и С.

Бесполое размножение. Математика для блондинок.
Бесполое размножение

Для одноклеточных организмов характерно разложение на слагаемые при углах, близких к 45 градусам. Для многоклеточных организмов диапазон угла разложения варьируется в более широких пределах (вегетативное размножение, почкование, фрагментация). Единицей измерения при разложении можно считать физическое тело организма.

Началом жизни (ноль) подобных организмов можно считать момент деления родительского организма. Окончанием жизни (единица) можно считать собственное деление или смерть.

Половое размножение описывается при помощи умножения, но момент возникновения полового размножения можно описать при помощи линейных угловых функций. При одновременном размножении организмов А и В мог возникнуть жизнеспособный общий поток С, имеющий наследственные признаки двух родителей.

Возникновение полового размножения. Математика для блондинок.
Возникновение полового размножения

Какими должны быть углы разложения для появления общего потомка? Скорее всего, это зависит от генетических особенностей родительских организмов. Если судить о половом размножении исходя из размеров человеческих половых клеток, то наиболее вероятными кандидатами в «изобретали» полового размножения являются большая клетка и вирус. Вирус размножается внутри клетки. Одновременно с делением клетки происходило деление вируса. В результате воздействия внешних факторов или без их участия появился качественно новый организм. Или два – самец M и самка W.

Самец и самка. Половое размножение. Математика для блондинок.
Самец и самка

В качестве основы для сложения (единицы измерения) могла выступать молекула ДНК, которая имеется и у клетки, и у вируса.

Это только один из множества вариантов возможного развития событий. От момента появления жизни на Земле до момента появления полового размножения у Природы было достаточно времени для самых разных экспериментов.

Заключение

Дальнейшее изучение свойств единиц измерения поможет лучше понимать и более точно описывать математическими методами различные явления в окружающем мире.

Отдельные идеи, изложенные в данной работе, будут рассмотрены более подробно в последующих публикациях.

Благодарность

Выражаю искреннюю благодарность своим родителям и дочери Инне за финансовую поддержку моей работы над математикой.

Сложение

Тема занятий:
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ
На прошлом уроке мы рассмотрели
Линейные угловые функции

Урок 15

Сложение


В результате сложения двух разных величин получается третья величина. При сложении изменения происходит в области чисел, область единиц измерения не изменяется. Сложение возможно только для параллельных величин с одинаковыми единицами измерения. Сложение отражает количественные изменения величин.

5а+3а=(5+3)а=8а

Для выполнения сложения двух разных величин с единицами измерения в разных масштабах (угол масштаба единиц измерения не равен нулю), необходимо изменить масштаб единиц измерения так, чтобы угол масштаба между ними равнялся нулю. При этом не имеет значения, изменяется первое слагаемое, второе или оба сразу.

Сложить два одинаковых числа с разными единицами измерения нельзя, поскольку результат не имеет смысла.

5а+5b=5(a+b)

Преобразование результата сложения отрезков в стороны прямоугольника выглядит следующим образом.

Сложение и прямоугольник. Математика для блондинок.
Сложение и прямоугольник

Слагаемые можно представить как стороны прямоугольника, тогда полупериметр прямоугольника является результатом сложения. Для любой суммы можно определить линейные угловые функции, если известны слагаемые.

На следующем уроке мы рассмотрим
Разложение на слагаемые

пятница, 22 июля 2016 г.

Примеры умножения

Тема занятий:
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ
На прошлом уроке мы рассмотрели
Умножение

Урок 9

Примеры умножения

Умножение в пространстве. Получение двухмерного, трехмерного и четырехмерного пространств в результате умножения. Математика дляблондинок.
Умножение в пространстве

При взаимодействии двух одномерных пространств (на рисунке D – это количество пространственных измерений) получается двухмерное пространство. При добавлении к взаимодействию перпендикулярного измерения, количество пространственных измерений результата увеличивается. Под пространственными измерениями следует понимать любые величины, участвующие в умножении. Умножение двух одномерных длин дает двухмерную площадь, умножение двухмерной площади на одномерную длину дает трехмерный объем и так далее. Возможность получения четырехмерного пространства в результате умножения двух двухмерных пространств теоретически возможна, но требует уточнения с точки зрения физической реальности.

Примеры умножения. Примеры умножения из окружающей реальности. Математика для блондинок.
Примеры умножения

Напряжение является результатом взаимодействия силы тока и сопротивления. Если силу тока рассматривать не как одномерную величину, а как двухмерную (площадь тока), то в результате взаимодействия с сопротивлением получится мощность. Единицы измерения приведенных величин (Вольт, Ампер, Ом, Ватт) являются бытовыми (удобными в повседневном использовании), но требуют математического представления для понимания сути физических процессов, выраженных этими единицами измерения. Систему физических величин, предложенную Р.О. ди Бартини, можно рассматривать как попытку перехода от бытовых единиц измерения к математическим. Взаимодействие между величинами осуществляется за счет процессов, изучаемых в физике.

Расположение нитей в перпендикулярном направлении позволяет получить ткань. Взаимодействие между нитями осуществляется за счет сил трения. Если в перпендикулярных направлениях расположить арматурные стержни, то можно получить двухмерную арматурную сетку или трехмерный арматурный каркас. Взаимодействие отдельных стержней в узлах обеспечивается электросваркой или вязальной проволокой. Фанера – это расположенные перпендикулярно волокна древесного шпона. Взаимодействие обеспечивается путем склеивания отдельных слоев шпона.

Если умножить количество товара на цену единицы, получится стоимость партии товара (сумма). Это пример применения математической модели умножения к виртуальным единицам измерения. В данном случае физическое взаимодействие между товаром и ценой отсутствует.

Половое размножение можно представить в виде умножения. В результате взаимодействия самца и самки получается потомство, которое имеет генетические признаки двух родителей. Частичная передача генетических признаков от каждого из родителей может быть описана при помощи линейных угловых функций.

Для более точного отражения реальности в математике необходимо рассматривать три стадии умножения: начало умножения, процесс взаимодействия, конец умножения. В электрических цепях выключатель является физическим прибором, управляющим взаимодействием. Создание ткани, фанеры, арматурной сетки – это начало взаимодействия. Физическое разрушение этих объектов – это конец взаимодействия.

На следующем уроке мы рассмотрим
Различия между умножением и сложением

четверг, 21 июля 2016 г.

Умножение

Тема занятий:
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ
На прошлом уроке мы рассмотрели
Переменные единицы измерения

Урок 8

Умножение


В результате умножения двух разных величин получается третья величина. При умножении изменения происходит как в области чисел, так и в области единиц измерения. Умножение возможно только для перпендикулярных величин. Умножение отражает качественные изменения величин.

Умножение сторон прямоугольника позволяет получить площадь.

Умножение сторон прямоугольника. Площадь прямоугольника. Математика для блондинок.
Умножение сторон прямоугольника

Для перехода от площади прямоугольника к единичной площади необходимо площадь разделить саму на себя. В этом случае возможны два варианта алгебраических преобразований. Следует особо подчеркнуть, что рекомендация математиков по сокращению одинаковых величин в числителе и знаменателе дроби [1, стр.66] сознательно контролируется для выявления смысла полученного результата. Первый вариант преобразований выглядит следующим образом.

Первый вариант единичной площади. Тангенс умножить на котангенс. Математика для блондинок.
Первый вариант единичной площади

Тангенс и котангенс связаны обратной пропорцией. Стороны прямоугольника могут изменяться как угодно, от бесконечно большой величины до бесконечно малой. Если изменение сторон выполняется с соблюдением обратной пропорции, то площадь прямоугольника останется неизменной.

Второй вариант преобразований представлен в алгебраической форме и в физических единицах измерения.

Второй вариант единичной площади. Умножение единиц измерения. Математика для блондинок.
Второй вариант единичной площади

Данное преобразование показывает, что в результате умножения двух разных единиц получается третья единица. Умножение – это взаимодействие двух перпендикулярных единиц измерения, в результате которого получается новая единица измерения. Поскольку любая величина является результатом умножения числа и единицы измерения, под цифрой «один» может подразумевается число, единица измерения или результат их взаимодействия.

Перпендикулярные единицы измерения никак не связаны между собой и могут иметь произвольный масштаб. Масштаб единиц измерения сомножителей определяет масштаб единиц измерения произведения, но не влияет на суть процесса – умножение приводит к качественному изменению исходных единиц измерения.

Площадь – это результат взаимодействия двух перпендикулярных измерений длины. Если умножить дюймы на метры или миллиметры на метры, то площадь будет выражаться в дюймах на метр или миллиметрах на метр. Традиционно, площадь принято выражать в одинаковых единицах измерения длины и ширины. На практике часто используются системы координат с разными масштабами по вертикали и горизонтали.

При определении площади квадрата размер стороны принято возводить во вторую степень. Но это совсем не означает, что сторона квадрата умножается сама на себя. Площадь по-прежнему можно определить только умножением длины на ширину, просто у квадрата они имеют одинаковые численные значения. Мы никогда не умножаем длину прямоугольника на длину или ширину на ширину, потому что результат таких действий не имеет смысла. Возведение в степень – это умножение разных перпендикулярных величин, имеющих одинаковые численные значения и единицы измерения.

Алгебраические преобразования произведения двух сумм в квадрат можно записать следующим образом:

Алгебраические преобразования. Произведение двух сумм. Преобразование многочлена. Математика для блондинок.
Алгебраические преобразования

Если считать, что величина a при возведении в квадрат умножается сама на себя, то обратное преобразование квадрата в произведение двух сумм будет невозможно. Как можно выполнить подобное преобразование, показано ниже в разделе «Разложение на слагаемые».

Диагональ прямоугольника и угол между диагональю и стороной являются дополнительными характеристиками взаимодействующих величин.

На следующем уроке мы рассмотрим
Примеры умножения

среда, 20 июля 2016 г.

Величина

Тема занятий:
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ
На прошлом уроке мы начали рассматривать
Бесконечные тригонометрические функции

Урок 6

Величина


Тангенс и котангенс. Математика для блондинок.
Тангенс и котангенс

Математическая интерпретация приведенного выше рисунка будет выглядеть следующим образом.

Величина. Изображение величины в прямоугольнике. Единица измерения и число. Математика для блондинок.
Величина

Оба варианта представления величины абсолютно равноправны и дают одинаковый результат. На числовой оси паритет чисел и единиц измерения выглядит так.

Числа на прямой. Математика для блондинок.
Числа на прямой

В данном случае ноль и единица, деленная на ноль, выступают в качестве горизонтов, достичь которых при помощи чисел невозможно. Для дальнейшего преобразования величины в привычный нам вид, в абстрактные математические понятия необходимо вводить элементы хомоцентризма.

Если мы считаем, что по горизонтали располагаются единицы измерения, а числа перпендикулярны им, тогда величина будет иметь два варианта представления.

Два варианта величины. Постоянные и переменные числа. Постоянные и переменные единицы измерения. Математика для блондинок.
Два варианта величины


Числовая ось принимает следующий вид.

Числовая ось с единицами измерения. Математика для блондинок.
Числовая ось с единицами измерения

Введение следующего элемента хомоцентризма позволяет перейти к привычному представлению величины. Если мы считаем, что единица измерения всегда остается постоянной, то для адекватного описания величины необходимо ввести обратные числа. Обратная симметрия чисел является результатом перехода от переменных единиц измерения к постоянным.

Величина в постоянных единицах измерения. Числа и обратные числа.
Величина в постоянных единицах измерения

Числовая ось преобразуется следующим образом.

Числа и обратные числа. Постоянная единица измерения. Математика для блондинок.
Числа и обратные числа

В данном случае числовая ось изображена без наложения зеркальной симметрии. В качестве точки обратной симметрии выступает единица. Обратной симметрией связаны числа и единицы измерения в любой величине. При неизменной величине, уменьшение числа приводит к увеличению единицы измерения, увеличение числа – к уменьшению единицы измерения. Алгебра подобных преобразований выглядит следующим образом.

Числа и единицы измерения. Уменьшение числа, увеличение числа. Математика для блондинок.
Числа и единицы измерения

Здесь элементы, относящиеся к области чисел, изображены в круглых скобках. Элементы, относящиеся к области единиц измерения, изображены в квадратных скобках.

На следующем уроке мы рассмотрим
Переменные единицы измерения

вторник, 19 июля 2016 г.

Конечные тригонометрические функции

Тема занятий:
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ
На прошлом уроке мы рассмотрели
Три основных типа тригонометрических функций

Урок 4

КОНЕЧНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ


Синус и косинус достаточно хорошо изучены, их значения не могут быть больше единицы. Если элементы прямоугольника разделить на длину диагонали, длины сторон примут значения синуса и косинуса. Так же стороны прямоугольника являются проекциями диагонали в перпендикулярных направлениях.

Синус и косинус. Синус и косинус в прямоугольнике. Математика для блондинок.
Синус и косинус

Названия всех тригонометрических функций зависят от линии начала измерения угла. Эта же линия определяет направление проецирования. Зависимость между катетами и гипотенузой в прямоугольном треугольнике, известная как «теорема Пифагора» (для единиц измерения длины, не связанных с гипотенузой) или «основное тригонометрическое тождество» (когда за единицу измерения длины принимается длина гипотенузы), является неотъемлемой частью свойств прямоугольника.

Если мы спроецируем единичную диагональ на стороны прямоугольника, то получим две проекции диагонали, выраженные через разные углы. Если мы эти же стороны спроецируем на диагональ, то получим длину диагонали как сумму двух проекций сторон.

Теорема Пифагора. Теорема Пифагора в прямоугольнике. Математика для блондинок.
Теорема Пифагора

Теорема Пифагора – это зависимость между диагоналями и сторонами прямоугольника.

пятница, 15 июля 2016 г.

Три основных типа тригонометрических функций

Тема занятий:
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ
Тема предыдущего урока
Угловая симметрия в прямоугольнике

Урок 3

Три основных типа тригонометрических функций

Тригонометрические функции – это зависимости между углами и числами в прямоугольнике, выраженные в собственных единицах измерения. Собственная единица измерения – это одна из характеристик объекта, принятая в качестве единицы измерения.

В прямоугольнике можно выделить три основных типа тригонометрических функций:

- бесконечные тригонометрические функции – тангенс и котангенс, геометрически это:

а) размер одной из сторон прямоугольника при единичном значении длины другой стороны, отражают связь чисел и единиц измерения;

б) размеры сторон прямоугольника при единичной площади, отражают законы умножения;

- конечные тригонометрические функции – синус и косинус, геометрически это размеры сторон прямоугольника при единичной диагонали, отражают проективные свойства пространства;

- линейные угловые функции – линейный синус (lin) и линейный косинус (los), геометрически это размеры сторон прямоугольника при единичном полупериметре, отражают законы сложения.

Другие типы тригонометрических функций в данной работе не рассматриваются, поскольку они не привлекли столь пристального внимания автора. Все тригонометрические функции устанавливают определенную связь между углами и числами. Вполне возможно, что математика некоторых внеземных цивилизаций может быть построена на углах точно так же, как у нас она построена на числах.

Выражение основных тригонометрических функций через стороны прямоугольника.

Выражение основных тригонометрических функций через стороны прямоугольника. Математика для блондинок.
Выражение основных тригонометрических функций через стороны прямоугольника

Основные соотношения по типам тригонометрических функций.

Основные соотношения по типам тригонометрических функций. Математика для блондинок.
Основные соотношения по типам тригонометрических функций

Значения тригонометрических функций некоторых углов.

Значения тригонометрических функций некоторых углов. Математика для блондинок.
Значения тригонометрических функций некоторых углов

Выражение одних тригонометрических функций через другие.

Выражение одних тригонометрических функций через другие. Математика для блондинок.
Выражение одних тригонометрических функций через другие

Пояснение для посетителей этого сайта. Если посмотреть на формулы тангенса и котангенса (последняя картинка), то может показаться, что между синусом с косинусом и линосом с лосесом нет никакой разницы. Но не торопитесь с выводами. Если две дроби равны, это совсем не означает, что равны их числители и знаменатели. Рассмотрим пример. Две трети равны четырем шестым. Но два не равно четырем, три не равно шести.

Более детально основные тригонометрические функции рассмотрены ниже.

На следующем уроке мы рассмотрим
Конечные тригонометрические функции

Треугольник и прямоугольник

Тема занятий:
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ
На первом уроке мы проводили
Краткий анализ тригонометрических функций

Урок 2

Преобразования треугольника в прямоугольник

Если совместить два прямоугольных треугольника по диагонали так, чтобы получился прямоугольник, тогда гипотенуза треугольника превратится в диагональ прямоугольника, а стороны треугольника превратятся в стороны прямоугольника. Тригонометрические отношения треугольника превращаются в тригонометрические отношения прямоугольника.

Преобразование треугольника в прямоугольник. Гипотенуза и диагональ. Синус и косинус. Математика для блондинок.
Преобразование треугольника в прямоугольник

Угловая симметрия в прямоугольнике

Диагональ прямоугольника делит прямой угол на два тригонометрических угла. Название тригонометрической функции зависит от того, какой угол мы возьмем для определения её численного значения. При этом численный результат не зависит от нашего выбора.

Угловая симметрия в прямоугольнике. Симметрия тригонометрических функций. Математика для блондинок.
Угловая симметрия в прямоугольнике

Названия тригонометрических функций и названия углов обладают свойствами угловой симметрии. При этом симметрия функций и углов неразрывно связаны между собой. Если мы возьмем симметричную функцию и симметричный угол, то результат останется неизменным. Мы дважды применяем угловую симметрию. Аналогичная ситуация получается в планиметрии. Если дважды применить зеркальную симметрию, то ничего не изменится. В алгебре аналогом угловой и зеркальной симметрии является умножение на минус единицу. Если алгебраическое выражение дважды умножить на минус единицу, алгебраическое выражение останется прежним.

Зеркальная симметрия, обратная симметрия, угловая симметрия, умножение на минус единицу – это проявления одного и того же закона симметрии при разных условиях.

Учитывая симметрию тригонометрических функций, их можно попарно объединить в отдельные группы, каждая из которых выражает определенный тип зависимости между углами и числами.

На следующем уроке мы рассмотрим
Три основных типа тригонометрических функций

Тригонометрические функции в прямоугольнике

Опубликовано 7 июля 2016 года
"Доклады независимых авторов"
Выпуск 36, стр. 46-69

Аннотация

Представление тригонометрических функций в прямоугольнике позволяет объединить в одно целое алгебру, геометрию и физику.

Краткий анализ тригонометрических функций

Обычно тригонометрические функции плоских углов определяются в прямоугольном треугольнике как соотношения сторон этого треугольника [1, стр. 202].

Тригонометрические функции в треугольнике. Синус, косинус, тангенс, котангенс. Математика для блондинок.
Тригонометрические функции в треугольнике

Если принять введенные математиками определения тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике, то значения этих функций зависят только от соотношения размеров сторон треугольника. Величина углов в прямоугольном треугольнике находится в диапазоне тригонометрических углов. У тригонометрических функций отсутствуют знаки и периодичность, которые являются элементами хомоцентризма.

Хомоцентрическая математика – это математика, в которой результат зависит от принятого нами варианта относительной математики или от нашего мнения. Яркими примерами хомоцентризма в математике являются: деление чисел на положительные и отрицательные, десятичная система счисления, числа и обратные числа, декартова система координат и т.д.

В декартовой системе координат тригонометрические функции определяются как координаты точек единичной окружности [2, стр. 110].

Тригонометрические функции в декартовой системе координат. Синус, косинус, тангенс, котангенс. Математика для блондинок.
Тригонометрические функции в декартовой системе координат

Данное определение возможно только потому, что для любой точки окружности оси координат используются в качестве дополнительных элементов для построения прямоугольного треугольника. Для точек пересечения окружности и осей координат построение треугольника невозможно.

Для любой точки плоскости в декартовой системе координат тригонометрические функции можно определить как отношение координат этой точки или отношение координат точки к расстоянию от точки до центра системы координат. Исключением является точка пересечения осей координат (центр системы координат), для которой тригонометрические функции определить невозможно. Данный факт является врожденным дефектом декартовой системы координат. Если необходимо определить тригонометрические функции для точки, совпадающей с центром системы координат, то систему координат необходимо сместить в сторону.

В декартовой системе координат тригонометрические функции являются относительными и зависят от взаимного расположения плоскости, на которой расположены рассматриваемые точки, и системы координат. Периодичность тригонометрических функций является результатом вращения отрезка вокруг центра системы координат. Знаки тригонометрических функций зависят от принятого нами положительного направления осей координат. Всё это результат хомоцентрических взглядов на тригонометрические функции.

Знаки тригонометрических функций «плюс» и «минус» служат для ориентации в пространстве декартовой системы координат. В математических формулах с использованием тригонометрических функций, знак «минус» у функции автоматически меняет сложение на вычитание или вычитание на сложение. В формулах можно обойтись без отрицательных значений тригонометрических функций. Это позволит в два раза уменьшить количество значений тригонометрических функций, но увеличит количество формул.

Тема следующего урока: Преобразование треугольника в прямоугольник

Список литературы

1. Рывкин А.А., Рывкин А.З., Хренов Л.С. «Справочник по математике», М., Высшая школа, 1970 изд. 2-е, 556 с.
2. Забелышинская М.Я. «Математика. Учебно-практический справочник» Харьков, Ранок, 2010, 384 с.