Показаны сообщения с ярлыком синус. Показать все сообщения
Показаны сообщения с ярлыком синус. Показать все сообщения

суббота, 23 июля 2016 г.

Линейные угловые функции

Тема занятий:
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ
На прошлом уроке мы рассмотрели
Деление

Урок 14

ЛИНЕЙНЫЕ УГЛОВЫЕ ФУНКЦИИ


Если рассматривать конечные тригонометрические функции как координаты точек единичной окружности в декартовой системе координат, тогда линейные угловые функции – это координаты точек хорды, соединяющей точки пересечения окружности с осями координат. Сумма координат любой точки этой хорды всегда равна единице.

Линейные угловые функции. Новый вид тригонометрических функций. Математика для блондинок.
Линейные угловые функции

В математике понятия, аналогичные линейным угловым функциям, используются с древних времен – это деление целого на части. В современном мире аналогом являются проценты.

Пояснение для читателей этого сайта. Для себя я называл линейные угловые функции "линос" и "лосес". Как я придумал эти названия? Взял обозначение синуса и косинуса. Визуально они довольно хорошо различаются. В каждом обозначении я заменил первую букву на латинскую букву "l" от слова "line" - линия. Получилось довольно симпатично. Но решать вам. Приживутся ли эти функции в математике и как они будут называться - время покажет. Я просто предлагаю ещё один математический инструмент для описания реальности.

На следующем уроке мы рассмотрим
Сложение

вторник, 19 июля 2016 г.

Конечные тригонометрические функции

Тема занятий:
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ
На прошлом уроке мы рассмотрели
Три основных типа тригонометрических функций

Урок 4

КОНЕЧНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ


Синус и косинус достаточно хорошо изучены, их значения не могут быть больше единицы. Если элементы прямоугольника разделить на длину диагонали, длины сторон примут значения синуса и косинуса. Так же стороны прямоугольника являются проекциями диагонали в перпендикулярных направлениях.

Синус и косинус. Синус и косинус в прямоугольнике. Математика для блондинок.
Синус и косинус

Названия всех тригонометрических функций зависят от линии начала измерения угла. Эта же линия определяет направление проецирования. Зависимость между катетами и гипотенузой в прямоугольном треугольнике, известная как «теорема Пифагора» (для единиц измерения длины, не связанных с гипотенузой) или «основное тригонометрическое тождество» (когда за единицу измерения длины принимается длина гипотенузы), является неотъемлемой частью свойств прямоугольника.

Если мы спроецируем единичную диагональ на стороны прямоугольника, то получим две проекции диагонали, выраженные через разные углы. Если мы эти же стороны спроецируем на диагональ, то получим длину диагонали как сумму двух проекций сторон.

Теорема Пифагора. Теорема Пифагора в прямоугольнике. Математика для блондинок.
Теорема Пифагора

Теорема Пифагора – это зависимость между диагоналями и сторонами прямоугольника.

воскресенье, 29 ноября 2015 г.

Синус угла

Рассмотрим отдельные кадры из фильма ужасов под названием "Тригонометрический круг". Поскольку фильм старый, а стереоверсию ещё не пересняли, смотреть мы будем только синусы. Это в стереоверсии на одной картинке будут представлены и синусы, и косинусы, как это обычно показывают на единичной окружности, она же "тригонометрический круг".

Что бы вам там не рассказывали математики, а в общем виде синус в декартовой системе координат - это проекция единичного отрезка на вертикальную ось. Так сказать, тень на стене в лучах заходящего солнца. 

Первым у нас будет синус угла в ноль градусов или ноль радиан, кому как больше нравится.

Синус 0. Синус нуля равен нулю. sin 0 градусов. sin 0 = 0. Математика для блондинок.
Синус 0
Синус нуля равен нулю. Измеряем мы угол в градусах или в радианах - разницы нет. Душещипательную историю о том, как угол появляется на свет и меняет значение синуса, я поведал очень давно на отдельной странице. Почему лежащий отрезок не оставляет тени на стене? Потому, что отрезок не имеет толщины, у него есть только длина. Вот лучи заходящего солнца и скользят беспрепятственно вдоль худенького тельца отрезка.

Синус 30. Синус 30 градусов равен 1/2. sin 30. Математика для блондинок.
Синус 30
Синус тридцати градусов (он же синус пи на 6) равен одной второй. Отрезок приподнялся над горизонтом и на стене сразу же появилась тень. Уточню, что солнышко у нас находится справа, там, куда показывает стрелочка с иксом.

Синус 45. Синус 45 градусов равен единице, деленной на корень из двух. sin 45. Математика для блондинок.
Синус 45
Значение синуса сорока пяти градусов равно значению косинуса сорока пяти градусов. Почему так получается? Значениям тригонометрических функций мы посвятим отдельную беседу, а пока продолжим рассматривать весёлые картинки из тригонометрии.

Синус 60. Синус 60 градусов. sin 60. Математика для блондинок.
Синус 60
Это был синус шестидесяти градусов. Кроме корня квадратного из трех, деленного пополам, ничего интересного.

Синус 90. Синус 90 градусов равен единице. sin 90. Синус прямого угла. Математика для блондинок.
Синус 90
Синус девяноста градусов во всей своей красе, так сказать,в полный рост. Ну, или синус прямого угла. Равняется вся эта красота единице. Больше единицы значений у синуса не бывает.

Синус 120. Синус 120 градусов. sin 120. Матемтика для блондинок.
Синус 120

Синус ста двадцати градусов (он же синус два пи на три). Значение у него такое же, как и у синуса шестидесяти градусов. Вы обратили внимание, что солнышко, вместе с отрезком, перелезло через стену и светит теперь с противоположной стороны. Вы считаете, это нормально, что солнышко, как паркурщик, сигает через стену, а ось икс по-прежнему тупо смотрит вправо? Я считаю, что подобная картина никак не отражает окружающую нас реальность, пусть математики хоть лоб себе разобьют об свои учебники. Только вот в жизни математики разбивают наши лбы своими учебниками, если мы чего-то там не понимаем в их шаманских премудростях.

Синус 135 градусов. sin 135. Математика для блондинок.
Синус 135
Синус 150 градусов. sin 150. Математика для блондинок.
Синус 150

Синус 180 равен 0. Синус пи. sin 180. Математика для блондинок.
Синус 180
Вот мы и вернулись к тому, с чего начали - нулевому значению синуса. Только теперь это синус ста восьмидесяти градусов. Наш единичный отрезок оказался с другой стороны от центра системы координат. Или это система координат оказалась с другой стороны отрезка? Как правильно располагать систему координат и отрезок? Это знают только шаманы. Как им нужно, так они и располагают.

Синус 210 градусов. sin 210. Математика для блондинок.
Синус 210

 Когда угол становится больше 180 градусов, синус такого угла принимает отрицательные значения. До определенного момента. Как вы видите на картинке, синус ста двадцати градусов равняется минус одной второй. Наверное, мы имеем дело не просто с отрезком, а с зомби-отрезком. Сейчас зомби-отрезок возвращается туда, откуда он появился - в преисподнюю. Там черное-черное солнце отбрасывает белую-белую тень. Но это я так думаю, а шаманы могут объяснять всё совсем иначе.

Синус 225 градусов. sin 225. Математика для блондинок.
Синус 225

Синус 240 градусов. sin 240. Математика для блондинок.
Синус 240
Синус 270 градусов. sin 270. Математика для блондинок.
Синус 270
 Когда угол достигает величины 270 градусов, синус достигает дна своего падения. Значение синуса двухсот семидесяти градусов равняется минус единице. Оттолкнувшись от дна, зомби-отрезок начинает подыматься к поверхности, черное солнце снова перепрыгивает через стену.

Синус 300 градусов. sin 300. Математика для блондинок.
Синус 300
Синус 315 градусов. sin 315. Математика для блондинок.
Синус 315
Синус 330 градусов. sin 330. Математика для блондинок.
Синус 330

Синус 360 градусов. Синус 2 пи. sin 360. Математика для блондинок.
Синус 360
Вот мы и оказались в том месте, с которого начали. Только теперь мы знаем, что отрезок-зомби готов выйти в мир нормальных отрезков и будет там вершить свои черные (или всё-таки белые?) дела. Это я вам рассказал свою страшную тригонометрическую сказку. Естественно, шаманы от математики будут вам рассказывать другую сказку. Почему сказку? А вот сейчас я вам покажу то, что математики вам никогда не покажут - тригонометрия в стиле "Жил-был пёс".

четверг, 19 ноября 2015 г.

Тригонометрический круг

Более правильным названием этого произведения математического искусства является "единичная окружность", в простонародье больше прижилось название "тригонометрический круг". Вы про платье "в окружность" слышали? Лично я - нет. А про платье "в горошек", оно же "в кружочек"? Наверняка, приходилось слышать. Так вот, круг - это горошек, а окружность - это обручальное кольцо.

Тригонометрический круг. Тригонометрическая окружность. Единичная окружность. Синус и косинус. Математика для блондинок.
Тригонометрический круг
Если бы мне нужно было подобрать символ современного шаманства, то я бы выбрал тригонометрический круг. Почему именно тригонометрический круг? Своей формой он похож на шаманский бубен. Тригонометрический круг разрисован кабалистическими знаками, смысл которых нам могут поведать только шаманы. Свои танцы с бубном шаманы часто исполняют, двигаясь по кругу. По уровню интеллектуального наполнения тригонометрический круг находится где-то между полным идиотизмом и каменным веком. Шаманы с бубнами пляшут свои пляски, Великий Дух Единичной Окружности сообщает шаманам значения тригонометрических функций для определенных углов, шаманы пересказывают эти значения нам.

Если математики будут рассказывать вам, что тригонометрические функции - это координаты точек единичной окружности, не верьте им. Если взять конкретную точку на единичной окружности, то эта точка может принадлежать бесконечному множеству графиков совершенно других функций. Да, если значения тригонометрических функций брать в определенной последовательности и считать их координатами точек в декартовой системе координат, то можно получить окружность с радиусом, равным единице. Но не более того. С таким же успехом в декартовой системе координат можно набросать ваш портрет, но это не будет означать, что ваш портрет - это вы и есть.

Тригонометрический круг показывает значения синусов и косинусов при определенных углах. Для простоты давайте разделим этот круг на составляющие. Сперва уберем с картинки всё, что относится к синусам, и у нас получится тригонометрический круг косинусов.

Тригонометрический круг косинус. Единичная окружность косинусов. Значения cos на окружности. Математика для блондинок.
Тригонометрический круг косинус
Теперь мы уберем с первоначальной картинки всё, что относится к косинусам и получим тригонометрический круг синусов.

Тригонометрический круг синус. Единичная окружность синусов. Значения sin на окружности. Математика для блондинок.
Тригонометрический круг синус
Но и это ещё не всё. Те картинки, которые вы здесь видите - это сериал под названием "Значения тригонометрических функций на окружности". Состоит этот сериал из отдельных кадров. Когда учитель математики просит вас показать значение определенной тригонометрической функции для определенного угла, он хочет, чтобы вы выбрали один кадр из всего сериала.

Когда-то, давным-давно, я нарисовал картинки для синусов, но так и не опубликовал их здесь. Наверное, на косинусы сил не хватило и это благородное дело не свершилось. Вот теперь настало время разобрать тригонометрический круг по косточкам на примере значений синуса.

среда, 7 ноября 2012 г.

Тригонометрический круг синус и косинус

Тригонометрический круг представляет значения тригонометрических функций синус (sin) и косинус (cos) в виде координат точек единичной окружности при различных значениях угла альфа в градусах и радианах.

Тригонометрический круг синус и косинус. Тригонометрический круг рисунок, картинка. Значениия тригонометрических функций. cos sin. Окружность пи, тригонометрическая окружность. Тригонометр. Тригонометрия 10 класс. Математика для блондинок. Николай Хижняк.


Поскольку я сам вечно путаюсь при переводе координат точек окружности в синусы и косинусы, для простоты все значения косинусов (cos) для углов от 0 до 360 градусов (от 0 пи до 2 пи) подчеркнуты зеленой черточкой. Даже при распечатке этого рисунка тригонометрического круга на черно-белом принтере все значения косинуса будут подчеркнуты, а значения синуса будут без подчеркивания. Если вам интересно, то можете посмотреть отдельные тригонометрические круги для синуса и косинуса.

Напротив указанных углов на окружности расположены точки, а в круглых скобках указаны координаты этих точек. Первой записана координата Х (косинус)

Давайте проведем обзорную экскурсию по этому уголку математического зоопарка. Прежде всего, нужно отметить, что здесь присутствует декартова система координат - одна черная горизонтальная линия с буковкой Х возле стрелочки, вторая - вертикальная линия с буковкой У. На оси Х, которую еще называют ось абсцисс (это умное слово математики придумали специально, что бы запутать блондинок) живут косинусы - cos. На оси У, которую называют ось ординат (еще одно умное слово, которое в устах блондинки может стать убийственным оружием), живут синусы - sin. Если посмотреть на семейную жизнь этих тригонометрических функций, то не трудно заметить, что синусы всегда на кухне у плиты по вертикали, а косинусы - на диване перед телевизором по горизонтали.

В этой системе координат нарисована окружность радиусом, равным единице. Центр окружности находится в начале системы координат - там, где в центе рисунка пересекаются оси абсцисс (ось Х) и ординат (ось У).

Из центра окружности проведены тоненькие черточки, которые показывают углы 30, 45, 60, 120, 135, 150, 210, 225, 240, 300, 315, 330 градусов. В радианной мере углов это пи деленное на 6, пи на 4, пи на 3, 2 пи на 3, 3 пи на 4, 5 пи на 6, 7 пи на 6, 5 пи на 4, 4 пи на 3, 3 пи на 2, 5 пи на 3, 7 пи на 4, 11 пи деленное на 6. С осями координат совпадают такие значения углов: 0, 90, 180, 270 градусов или 0 пи, пи деленное на 2, пи, 3 пи деленное на 2. Пользуясь картинкой, очень просто переводить углы из градусов в радианы и из радиан в градусы. Одинаковые значения в разных системах измерения углов написаны на одной линии, изображающей этот угол.

Линии углов заканчиваются точками на единичной окружности. Возле каждой точки, в круглых скобках, записаны координаты этой точки. Первой записана координата Х, которая соответствует косинусу угла, образовавшего эту точку. Второй записана координата У этой точки, что соответствует значению синуса угла. По картинке довольно легко находить синус и косинус заданного угла и наоборот, по заданному значению синуса или косинуса, можно легко найти значение угла. Главное, не перепутать синус с косинусом.

Обращаю особое внимание на тот факт, что если вы по значению синуса или косинуса ищите угол, обязательно нужно дописывать период угла. Математики очень трепетно относятся к этому аппендициту тригонометрических функций и при его отсутствии могут влепить двойку за, казалось бы, правильный ответ. Что такое период при нахождении угла по значению тригонометрической функции? Это такая штучка, которая придумана математиками специально для того, чтобы запутываться самим и запутывать других. Особенно блондинок. Но об этом мы поговорим как-нибудь в другой раз.

Всё, что собрано в кучку на рисунке тригонометрического круга синуса и косинуса, можно внимательно рассмотреть на отдельных картинках с портретами синуса 0, 30, 45 градусов (ссылки на отдельные странички я буду добавлять по мере увеличения фотогалереи синусов и косинусов).

Найти решение:

Синусы и косинусы круг - здесь картинка во всей своей тригонометрической красе.

Угол 120 градусов в радианах - равен 2/3 пи или 2 пи деленное на 3, на картинке очень красиво нарисовано.

Значения синусов косинусов углов в радианах - на картинке есть такие, надеюсь, именно те углы, которые вы ищете.

Значение косинуса угла в 45 градусов - равно корню из двух деленному на два, можете проверить по рисунку.

Тригонометрическая окружность - я не совсем уверен, что представленная на картинке окружность является тригонометрической, но что-то от тригонометрии в этой окружности определенно есть, например, синусы и косинусы на окружности - вылитая тригонометрия.

Тригонометрический круг рисунок - есть здесь такой. Правда, не самый красивый рисунок, можно нарисовать гораздо красивее и понятнее. Мне минус в репутацию - почему я до сих пор не нарисовал его для блондинок? Представляете ситуацию в картинной галерее будущего: экскурсовод объясняет группе школьников "Перед вами всемирно известное полотно "Тригонометрическая мадонна с единичным отрезком на руках" - картина гениального художника эпохи Раннего Математического Возрождения ..." Дальше она называет имя этого самого художника (или художницы). Это имя может быть вашим!

Круг синусов и косинусов - именно такой круг совершенно случайно оказался здесь на картинке.

Угол 9 градусов сколько это в пи - в пи это 1/20 или пи/20.
Решение: для перевода градусов в пи радиан, нужно имеющиеся у нас градусы разделить на 180 градусов (это 1 пи радиан). У нас получается 9/180 = 1/20

Ответ: 9 градусов = 1/20 пи.

Синус это вверх или в сторону - синус - это вверх, в сторону - это косинус.

Комментарии к этой статье запрещены. Из-за огромного их количества мои ответы на ваши вопросы о тригонометрическом круге уже не публикуются. Вопросы можете задавать в комментариях к другим страницам. Постараюсь решить проблему за счет удаления части комментариев, тем самым освобожу место для новых.

среда, 3 октября 2012 г.

sin x с минусом

Тут меня заграничные блондинки попросили решить один пример, в котором sin x с минусом. Хоть английского я не знаю, но язык математики в некоторых местах понимать умею. Нужно найти значение икса в пределах от 0 до 360 градусов с градусами, минутами и секундами, если синус икс равен минус 0,8453. В принципе, математика везде одинаковая, по этому и задачи всем задают похожие. Посмотрим, как это выглядит.

sin x = -0,8453

Картинки, с вашего позволения, я использую те же, что рисовал для иностранных блондинок. Так будет быстрее. Прежде всего, определимся с тем, что от нас требуется. Если синус угла равняется какому-то числу, то зная какое-то число, можно найти угол, синус которого будет равняться этому числу ... в доме, который построил Джек! То есть, нужно не по углу искать число, а по числу - угол. Да, буквой икс в математике могут обозначать не только неизвестное число, но и неизвестный угол. Проблема заключается в том, что тригонометрических таблиц с отрицательными значениями синусов и косинусов математики не составляют - суеверия у них такие. При решении подобных задач мы, как и математики, будем пользоваться имеющимися у нас знаниями.

Как математики не обращают внимания на окружающую действительность, так и мы, в начале, не будем обращать внимания на знак минус перед числом. Возьмем тригонометрическую таблицу синусов и найдем в ней число 0,8453. По этому числу мы можем найти угол, синус которого ... в доме, который построил Джек! Этот угол находится в пределах от 0 до 90 градусов и равняется он 54 градуса 42 минуты.

sin x с минусом. Как найти угол по значению синуса угла. Математика для блондинок.


sin a = +0.8453

a = 57 градусов 42 минуты

Дальше мы сморим тригонометрический круг и находим угол a. Положительные значения синуса расположены в верхней половине круга, отрицательные - в нижней половине.

sin x с минусом. Как найти угол по значению синуса угла. Угол на тригонометрическом круге. Математика для блондинок.


Одному значению синуса всегда соответствует два значения угла. Найдем эти углы для отрицательного значения синуса a.

sin x с минусом. Как найти углы по отрицательному значению синуса угла. Уголы на тригонометрическом круге. Математика для блондинок.


Первый угол мы получим, если к углу a прибавим 180 градусов. Второй угол получается, если из 360 градусов вычесть угол a.

x1 = 180 градусов + a

x1 = 180 градусов + 57 градусов 42 минуты

x1 = (180 + 57) градусов 42 минуты

x1 = 237 градусов 42 минуты


x2 = 360 градусов - a

x2 = 360 градусов - 57 градусов 42 минуты

x2 = 359 градусов 60 минут - 57 градусов 42 минуты

x2 = (359 - 57) градусов (60 - 42) минуты

x2 = 302 градуса 18 минут

Это было пояснение, как найти sin x с минусом. Теперь это решение нужно записать в соответствии с бюрократическими правилами, которых я не знаю. Выглядит решение приблизительно так.

sin x = -0.8453

x = arcsin (-0.8453)

x1 = 237 градусов 42 минуты

x2 = 302 градуса 17 минут

Надеюсь, теперь всё. Вот!

четверг, 27 сентября 2012 г.

Решение тригонометрического неравенства

Большой проблемой современной молодежи является решение тригонометрического неравенства. Меня до сих пор пронизывает дрожь при виде этого кошмара. Но крик о помощи заставляет меня действовать.

Решение тригонометрического неравенства. Математика для блондинок.


Я наберусь храбрости и попытаюсь вступить в смертельную схватку с грозным противником. Выглядит он весьма внушительно - синус двух икс больше единицы, деленной на корень квадратный из двух.

sin2x больше 1/√2

Аркаем выражение - нагло приписываем к обеим частям неравенства неприличное слово "арксинус". По логике, знак не должен изменяться. Арксинус синуса превращается в пшик и у нас остается 2х. Арксинус единицы, деленной на корень из двух превращается из гадкого утенка иррациональных чисел в прекрасного лебедя величиной в 45 градусов. Помогает нам в этом волшебном превращении фея по имени Тригонометрическая таблица.

sin2x больше 1/√2
arcsin(sin2x) больше arcsin(1/√2)
2x больше 45 или
2х больше пи/4


Вот это уже больше похоже на математику. Наши славные 2х теперь больше 45 градусов. А чтобы найти икс, нужно 45 градусов разделить на 2... Хм... Не красиво получается... 22,5 градуса выглядят не эстетично с точки зрения утонченного взгляда математика. Оборачиваемся злым демоном и превращаем прекрасного лебедя величиной в 45 градусов в страшного монстра размеров в пи/4. Если мы разделим этого монстра пополам, то его внешний вид нисколько не пострадает, изменится только циферка в знаменателе: пи/8. При виде такого чуда любой математик расплывется в блаженной улыбке.

2х больше пи/4
х больше пи/8


И так, наши шаманские пляски убедили нас в том, что икс обязан быть больше пи/8. Проведем научный анализ полученного результата. При увеличении икса (угол увеличивается) синус тоже увеличивается. При пи/2 он достигает максимума своей величины и при дальнейшем увеличении возраста, пардон, угла, начинает стареть и дряхлеть, умирая естественной смертью при достижении "пи" - становится равным нулю.

Поскольку наше выражение не может быть меньше указанной величины, в преклонном возрасте необходимо наш икс подпереть костылем в точке пи - пи/8 = 7пи/8 Костыль упираем в спину иксу. В итоге получаем такую картину

7пи/8 больше x больше пи/8

Любой математик при виде такой записи оттопырит губу. Вывернем нашу запись наизнанку

пи/8 меньше x меньше 7пи/8

Математики счастливо улыбаются.

А если мы добавим к своей кабалистической записи навороты в виде периода в 2пи, математики будут визжать от восторга (во всяком случае, меня когда-то так учили). В итоге получаем

пи/8 + 2пи*n меньше x меньше 7пи/8 + 2пи*n

А выглядит наша славная победа вот так.

Решение тригонометрического неравенства. Математика для блондинок.


Решение тригонометрического неравенства было выполнено при поддержке специального сервиса для заработка на блогах с чудным названием Блогун. Надеюсь, теперь мы сможем гораздо чаще решать домашние задания и разбираться в хитросплетениях логики математиков. Ведь ни для кого не секрет, что сами математики в математике ничего не понимают. Они сами называю математику абстрактной наукой. Кто, как не блондинки, могут открыть математикам глаза на то, что они вытворяют.

среда, 23 мая 2012 г.

Как запомнить значения тригонометрических функций

При подготовке к экзаменам или ЕГЭ вам может понадобиться вызубрить таблицу значений тригонометрических функций. Возникает вопрос: как запомнить значения тригонометрических функций? Могу вас обрадовать - особо сильно зубрить ничего не нужно. Есть довольно простой, механический способ получить значения тригонометрических функций для самых распространенных углов. Это углы в 0, 30, 45, 60 и 90 градусов. Для других углов математики сами редко что помнят - зачем забивать голову всякой ерундой, когда есть справочники, таблицы и калькуляторы?

Способ очень простой. Берете чистый листик бумаги. На нем записываете числа 0, 1, 2, 3, 4. На эти числа одеваете шапочку квадратного корня. Затем весь этот пионерский отряд в шапочках делите на число 2. У вас получились детские примерчики, которые вам нужно решить. Если вы дожили до тригонометрических функций, то такие примеры вы должны щелкать, как орехи, не прилагая особых умственных усилий. Напоминаю, что корень из нуля равен нулю, корень из единицы равен единице. Чему равны корни из двух и трех ни вы, ни я не помним, поэтому их мы просто оставляем как есть, в шапочках. Корень из четырех равен двум. Теперь всё это добро нужно разделить по-братски - пополам. Делим каждое полученное число на 2. Ноль, деленный на два, равняется нулю. Остальное вы знаете - что не делится, то записываем так, как есть - в виде дроби. В результате этого экзамена по каллиграфии мы получили значения тригонометрической функции синус с дробями и корнями для углов 0, 30, 45, 60 и 90 градусов. Вот видеоролик.



Вот как это выглядит на картинке. Для получения значений косинуса снова решать ничего не нужно. Достаточно перестроить наш пионерский отряд от конца к началу или записать значения углов от 90 градусов до нуля.

Как запомнить значения тригонометрических функций. Значения синуса и косинуса для углов 0, 30, 45, 60 и 90 градусов. Математика для блондинок.
В англоязычной Википедии этот же процесс подан как половина квадратного корня из тех же чисел 0, 1, 2, 3 и 4. Мы получили значения синуса нуля, тридцати, сорока пяти, шестидесяти и девяноста градусов.

Как запомнить значения тригонометрических функций. Значения синуса для углов 0, 30, 45, 60 и 90 градусов. Половина корня квадратного из чисел 0, 1, 2, 3, 4. Математика для блондинок.
Как быть, если вам нужен тангенс одного из этих углов? Очень просто. Решаем ещё один детский пример, в котором значение синуса делим на значение косинуса такого же угла. Или значение косинуса на синус - для котангенса. Напоминаю, что для того, чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на перевернутую вторую (обратную, в которой числитель и знаменатель меняются местами).

В результате подстановки полученных значений в нужный пример у вас что-то с чем-то должно сократиться. Обычно для этого применяются значения тригонометрических функций с корнями и дробями.

Вот ещё один способ, как запомнить значения тригонометрических функций - математика на пальцах. Эта шпаргалка будет всегда при вас и ни один учитель не сможет её отобрать.

Как запомнить значения тригонометрических функций на пальцах. Зачения синуса угла с корнями. Математика для блондинок.
Как запомнить значения тригонометрических функций на пальцах
Единственный недостаток этого способа - арифметика. С детства нас учили на руке считать пять пальцев, а тут вдруг - четыре! Весь фокус в том, что с детства мы пальцы считаем, начиная с единицы. В случае со значениями тригонометрических функций, пальцы нужно начинать считать с нуля. Вот так один палец и исчезает.

В заключение совсем не лишним будет рассказать вам, как запомнить тригонометрические функции. До этого изобретения я всегда смотрел в справочник по математике, где находится косинус, а где - синус. После изобретения своей полезной картинки, я вообще перестал в справочник заглядывать при решении задач. Мне проще самому вывести все формулы, чем разобраться в том, что там математики в справочнике насочиняли.

Успехов вам на экзаменах!!!

воскресенье, 5 февраля 2012 г.

Синус на синус, косинус на косинус

Решаем очередную задачу по тригонометрии. Здесь есть синус на синус и косинус на косинус. Вот только углы разные у одинаковых тригонометрических функций.

cos62*cos28-sin62*sin28

Начнем с анализа ситуации. Если бы подобную задачку на подкинула Природа, думать особо нечего - Природа очень умная, но не хитрая. Поскольку задача находится в учебнике, значит её придумал человек. А люди очень коварные существа, всю жизнь пытаются кого-то перехитрить. Вот и здесь. Углы у нас даны в градусах. Посмотрим на сумму этих углов - они равна 90 градусов. Не спроста всё это. За этим грозным тригонометрическим выражением явно кроется что-то более простое.

Используем заморские знания о преобразовании тригонометрических функций и приведем все наши синусы и косинусы к одному углу, а потом посмотрим, что из этого получилось. Один косинус превращаем в синус, один синус превращаем в косинус. В результате у нас получились тригонометрические функции с одинаковым углом. Здесь не имеет значения, к какому углу мы придем в итоге - к углу в 28 градусов или к углу 62 градуса, результат будет одинаковым.

Синус на синус, косинус на косинус. Разность произведений синусов и косинусов. Тригонометрия решение задачи. Математика для блондинок.
Вот теперь у нас получилось что-то более понятное. Дальше вспоминаем первый класс - от перестановки сомножителей произведение не меняется. После этого вспоминаем детский садик - если у нас что-то отнять, мы расплачемся, потому что у нас ничего не останется. Как раз наш случай. В математике это "ничего" обозначается цифрой ноль. Вот этот ноль и был спрятан за таким страшным тригонометрическим выражением.

среда, 1 февраля 2012 г.

Синус двух арксинусов

Ещё один пример на жонглирование тригонометрическими формулами. На этот раз попался синус двух арксинусов. При выполнении разных трюков на арене математического цирка нужно помнить, что ваши дрессировщики не заставят вас выполнять те трюки, которых вы не знаете. Нужно применять всё то, чему вас уже научили, начиная с первых классов. Вот пример.

Синус двух арксинусов. Пример решения синус и арксинус. Математика для блондинок.
Синус арксинуса находится очень быстро - отбрасываем буковки и задача решена. В результате должно остаться просто число или математическое выражение, которое превращается в число. Но в данном случае между синусом и арксинусом стоит число, которое не дает нам тупо выбросить названия функций. В тригонометрии есть формулы двойного угла, вот эту формулу для синуса мы и применим.

Как видим, в результате двойка вылезла из синуса и умостилась впереди нашего выражения. Но в математике не бывает всё так просто. Противная двойка вместо себя оставила нам на память сразу две тригонометрические функции - синус и косинус. С синусом теперь никаких проблем нет - он благополучно уничтожается арксинусом. А вот с косинусом проблемы - внутри него появился всё тот же арксинус. Разные названия тригонометрических функций с арком и без говорят о том, что так просто от них не удастся избавиться.

Есть в математике формулы, которые позволяют перегнать математических зверей из клеток с одними названиями в клетки с другими названиями. Вот такой вот математический зоопарк. И нам в принципе не важно, кого куда загонять - косинус в синус или арксинус в арккосинус. Если мы выполним одну из этих операций, мы получим необходимый результат - оба зверя окажутся в одной клетке. Если мы выполним сразу две эти операции, мы снова окажемся в дураках: косинус арксинуса поменяется на синус арккосинуса - оба зверя по-прежнему будут в разных клетках, только других.

Вам эта ситуация ничего не напоминает? Плюс на минус дает минус, минус на минус дает плюс. Мне кажется, очень похоже. И в том и в другом случае главным является результат. Если мы что-то делаем один раз (умножаем на минус или применяем одну из формул), то результат меняется. Если мы что-то делаем два раза (дважды умножаем на минус или применяем сразу две формулы), то результат не меняется. В случае со знаком числа он так и остается неизменным, в случае с названиями тригонометрических функций - они меняются местами. Это уже фокусы математической симметрии. Как видите, математика - это не просто тупое жонглирование числами или формулами, это ещё и математические принципы решения различных математических задач. Если мы сделаем то или это - получим нужный результат. Если мы сделаем и то, и это - ничё не получим, или получим совсем не то, что нам надо. В математике всё очень просто: два раза соври - получится правда. Это касается любых решений любых задач. Один раз вы врёте, когда допускаете ошибку в ходе решения задачи, второй раз вы врёте, когда подгоняете это решение под заранее известный результат. Лично мне кажется, что почти вся современная математика держится именно на этом принципе. Но это так, лирическое отступление.

Косинус мы трогать не будем, пусть отдыхает. Преобразуем арксинус в арккосинус. Для преобразования арксинуса в любую другую арканутую тригонометрическую функцию есть специальные формулы. В нашем примере число больше нуля но меньше единицы. Используем первую формулу для арксинуса.

Формулы преобразования арксинуса. Синус в арккосинус, арктангенс, арккотангенс. Математика для блондинок.
Кстати, при подготовке решения этой задачи я допустил грубую ошибку и использовал формулу преобразования арккосинуса в арксинус, для чего даже предварительно опубликовал формулы преобразования арккосинусов. Но ни переделывать решение задачи, ни врать второй раз мне не пришлось. От неминуемой смерти меня спасла симметрия тригонометрических функций синус и косинус. Интересно, почему при описании свойств тригонометрических функций математики упорно молчат об этой симметрии? Либо они считают всех дураками, не достойными столь высоких математических знаний, либо сами ничего не понимают в тригонометрии. В математике "знать" и "понимать" - это разные вещи. Говорящие попугаи то же могут знать очень много умных слов, но они ничего не понимают в сказанном.

Таким образом, мы добились того, что наш косинус вместе с арккосинусом бесследно исчезают из нашего уравнения. Дальше мы просто гоняем циферки, выполняя простое математические действия с числами. Как видите, ответ можно получить без всякого калькулятора. Можно просто тупо взять калькулятор и посчитать на калькуляторе без всяких формул. Для проверки полученного результата я так и сделал.

Арккосинус синуса

Тут меня попросили решить примерчик - найти арккосинус синуса:

7/пи*arccos(sin(-пи/7)) - надо посчитать без калькулятора и таблицы))

Честно скажу, чувствую себя обезьяной, которую вытащили на арену цирка и просят продемонстрировать трюк. Но я умная обезьяна - сразу делать ничего не буду. И вам не советую. Усаживаемся поудобнее на арене, смотрим в пример и с умным видом начинаем разводить философию.

В жизни вам такое вряд ли встретится. Значит это дело рук человеческих. Очень похоже на хорошо закрученную интригу при дворе царя людоедов. Об этом свидетельствует дубинка знака минус, скромненько завернутая в круглые скобки. Если эту дубинку где-то случайно уронить, через неё можно споткнуться. В этом случае учитель вас точно съест, притом живьем и без соли. Анализируем дальше.

Арккосинус - это угол по числу. То есть, мы берем число и при помощи арккосинуса получаем из него угол. Синус - это число по углу. Вот если бы у нас был косинус, тогда бы он очень чудненько взаимоуничтожился с арккосинусом. Физики подобный процесс называют аннигиляцией, он сопровождается выделением энергии. Поскольку у нас математика, аннигиляция арккосинуса и косинуса происходит без выделения умственной энергии - просто берем эти буковки и выбрасываем их в мусор. Остается голый угол в своем первозданном виде.

Теперь наша задача состоит в том, что бы превратить синус в косинус. Попытки отыскать необходимое снадобье у местных знахарей математики на страницах русскоязычной Википедии закончились неудачей. Пришлось обращаться к знаниям знахарей заморских. У меня складывается такое впечатление, что они гораздо ближе к пониманию смысла тригонометрии, чем наши доморощенные "мудрецы". Вот заморские рецепты.

Преобразование тригонометрических функций. Формулы преобразования синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов

Первая строчка этой таблицы - это именно то, что нам нужно.

Проведенные мною археологические раскопки показали, что в более древних манускриптах знахарей от математики функция арккосинус считалась бесконечнозначной в связи с периодичностью тригонометрических функций. В более поздних творениях подобное утверждение отсутствует. То ли писцы при переписывании рукописей этот факт пропустили, то ли знахари поумнели... Но рекомендую вам уточнить это обстоятельство в тех учебниках, по которым учат вас. Я же буду считать, что арккосинус имеет только одно значение. Баба с воза...

Ну и последняя философская мысль при созерцании примера. Глядя на числители и знаменатели углов, которые подозрительно похожи по значению и помня о том, что этот пример придумали люди, я подозреваю, что у нас что-то с чем-то должно сократиться. Всё, философские размышления закончены, можно приступать к исполнению трюка:

(7/пи)*arccos(sin(-пи/7)) = (7/пи)*arccos(cos[(пи/2)-(-пи/7)]) = (7/пи)*arccos(cos[(пи/2)+пи/7]) = (7/пи)*[(пи/2)+пи/7] = (7/пи)*[(7пи+2пи)/14] = 7*9пи/(пи*14) = 9/2 = 4,5

Судя по ответу, это как раз подходит под условие "посчитать без калькулятора и таблицы" арккосинус синуса.

понедельник, 16 января 2012 г.

Модуль синуса

Меня попросили показать способ упростить тригонометрическое выражение, содержащее сумму синуса и модуля синуса угла, зная, что угол альфа оканчивается в 4 четверти. Выглядит это выражение так:

|sinA|+sinA

Сразу скажу честно, что я понятия не имею, как такие выражения упрощаются. Но про модуль синуса рассказать могу и что получится в итоге, то же. Все вы хорошо знаете, что синус, как и все тригонометрические функции, может принимать положительные и отрицательные значения. Так вот, синус в китайских палочках, что в математике читается как "модуль синуса угла А", не может иметь отрицательных значений, только положительные. Когда математики брезгуют притрагиваться к отрицательным числам, они применяют эти китайские палочки (или модуль числа), как презерватив при сексе, чтоб не заразиться минусом. Этим они спасают свою жизнь, поскольку все числа в модуле из отрицательных превращаются в положительные.

Китайские палочки. Модуль в математике. Математика для блондинок.
Ну а теперь немного о знаковой жизни синуса угла А. Синус - это у нас вверх и вниз по оси игрек от единицы до минус единицы. Когда угол А принимает значения от 0 до 180 градусов, все синусы этих углов положительны. В данном случае китайские палочки модуля являются излишней мерой предосторожности и их можно отбросить. В этом диапазоне значений угла А наше выражение примет вид:

|sinA|+sinA = sinA+sinA = 2sinA (0 < A < 180)

Если значение угла А увеличивать дальше, от 180 до 360 градусов, значения синусов этих углов будут отрицательными, то есть со знаком "минус". В этом случае модуль начинает играть свою роковую роль в судьбе нашего математического выражения. Значение синуса с модулем остается положительным, а значение синуса без модуля становится отрицательным, как и положено всем порядочным синусам. Что мы получим, если от числа отнимем точно такое же число? Правильно, ноль. Наше выражение вымирает, как динозавры. Кстати, если все люди всегда будут использовать презервативы во время секса, человечество тут же полностью вымрет. Эффект модуля. Посмотрим, что происходит с нашим выражением в этом случае:

|sinA|+sinA = sinA-sinA = 0 (180 < A < 360)

Применение формул приведения тригонометрических функций даст точно такой же результат. При этом модуль заставляет нас отбрасывать в мусор все знаки минус, получаемые в результате преобразований.

При углах 0, 180, 360 и так далее градусов наше выражение будет равняться нулю, поскольку нулю равны значения синуса этих углов.

Как всё это правильно записать в полном соответствии с правилами математической бюрократии, я не знаю. Но смысл происходящего, я надеюсь, вам понятен и вы без труда оформите это выражение в самом лучшем виде.

вторник, 27 декабря 2011 г.

Тригонометрическая таблица в радианах

Эта тригонометрическая таблица составлена для значений углов в радианах. Радианы здесь даны в виде десятичных дробей с точностью до двух знаков после запятой. Значения синуса, косинуса и тангенса даны с точностью до четырех знаков после запятой. Это такая небольшая таблица Брадиса в радианах.

Тригонометрическая таблица в радианах. Таблица Брадиса в радианах. Синусы, косинусы, тангенсы в радианах. Математика для блондинок.
Тригонометрическая таблица в радианах. Четырехзначная таблица Брадиса в радианах. Математика для блондинок.
Тригонометрическая таблица в радианах. Синусы sin в радианах. Математика для блондинок.
Тригонометрическая таблица в радианах. Математика для блондинок.
Тригонометрическая таблица в радианах. Тангенсы, синусы, косинусы. Математика для блондинок.
Тригонометрическая таблица в радианах. Таблица Брадиса для блондинок.
Тригонометрическая таблица в радианах. Таблица синусов, косинусов и тангенсов в радианах. Математика для блондинок.
В этой тригонометрической таблице значение угла в радианах заканчивается на 3,15 радиан, что соответствует чуть больше 180 градусов в градусной мере углов. Здесь вы не найдете значение тангенса, равное единице, значение синуса, равное единице и значение косинуса, равное нулю. В радианной мере углов эти значения получить без помощи числа Пи невозможно. А поскольку само число Пи является бесконечной дробью, не имеющей точного значения, то и целесообразность измерения углов в радианах весьма сомнительна. Радианы - это, мягко говоря, странная единица измерения.

Значения угла в радианах находятся в синеньких столбцах, обозначенных буквой "Х". В трех столбцах справа даны значения sin x, cos x и tg x для углов в радианах. Значения котангенса, секанса и косеканса в таблице не приведены, поскольку эти тригонометрические функции являются обратными дробями к приведенным в таблице. Для получения значений ctg x, sec x и cosec x в радианах, нужно единицу разделить на тангенс, косинус или синус соответствующего угла в радианах.

пятница, 11 ноября 2011 г.

Приведение углов

Приведение углов - это та задача, которую необходимо решить прежде, чем приступать к приведению тригонометрических функций по формулам приведения. Вот пример вопроса: "Приведите к тригонометрическим функции угла от 0 до 90 град. а) tg 137 град. б) sin (-178) град как решить?"

Начинать решение этой задачи нужно с другой, более простой задачи на приведение углов к значениям от 0 до 90 градусов. Для этого имеющийся угол нужно представить как сумму или разность, используя при этом угол в 90 градусов или кратные ему углы и угол в пределах от 0 до 90 градусов. Это написано всё очень заумно, а делается очень просто. Смотрите:

137 = 90 + 47

137 = 180 - 43


Мы разложили имеющийся угол двумя способами. Вариантов решения этой задачи так же может быть два. Для второго угла так же может быть два варианта:

-178 = -180 + 2 = 2 - 180

-178 = -90 - 88 = -(90 + 88)


Теперь займемся приведением тригонометрических функций. Для этого используем формулы приведения тангенса. На картинке я подчеркнул и подписал те формулы, которые мы будем использовать в первом и во втором случае.

Тангенс формулы приведения пример. Приведение углов. Решение задачи по тригонометрии. Математика для блондинок.
В первом случае мы применяем формулу сложения для 90 градусов, во втором случае мы применяем формулу вычитания для 180 градусов. Теперь запишем оба решения для тангенса угла 137 градусов.

tg 137 = tg (90 + 47) = -ctg 47

tg 137 = tg (180 - 43) = -tg 43


Всё, мы сделали то, что от нас требуется в задаче. Записывайте любой из вариантов, оба они правильные, поскольку численные значения полученных функций равны.

Теперь приступим к решению задачи про синусы. Угол мы уже разложили на составляющие, теперь нам нужно подобрать соответствующие формулы приведения синуса. Снова рассматриваем два варианта.

Синус формулы приведения пример. Решение задачи по тригонометрии sin. Приведение углов. Математика для блондинок.
В первом случае применяем формулу вычитания из угла ста восьмидесяти градусов. Во втором случае применяем сперва формулу нечетности синуса, а после этого формулу сложения углов для 90 градусов. Записываем эти решения.

sin (-178) = sin (2 - 180) = -sin 2

sin (-178) = sin [-(90 + 88)] = -sin (90 + 88) = -cos 88

Как водно из решения, второй вариант более громоздкий в записи.

В заключение, можно ещё посмотреть на те углы, которые мы рассматривали. Напомню, что положительные углы откладываются против часовой стрелки, отрицательные - по часовой стрелке. Для наглядности возьмем картинку из статьи про круг градусов и радиан.

Круг градусов и радиан применение. Положительные и отрицательные углы. Знаки тригонометрических функций. Математика для блондинок.
Красными прямоугольниками выделены те тригонометрические функции, которые мы рассматриваем. Как видите, и для тангенса, и для синуса значения получаются отрицательные, что соответствует результатам, полученным нами по формулам приведения.

суббота, 22 октября 2011 г.

Таблица Брадиса синусы и косинусы

Таблица Брадиса синусы и косинусы с точностью до минуты рассчитана на блондинок. От классической таблицы Брадиса она отличается тем, что для удобства пользования этой таблицей значения углов для синусов и косинусов выделены разными цветами. Для синусов принят голубой цвет ячеек с градусами и минутами. Для косинусов принят зеленый фон ячеек. Желтым фоном выделены значения минут, которые при необходимости добавляются или вычитаются из табличных значений.

Таблица Брадиса синусы и косинусы. Пример как пользоваться таблицей Брадиса, инструкция. Математика для блондинок. Николай Хижняк.
Таблица Брадиса синусы и косинусы. Таблица синусов и косинусов от 0 до 90 градусов с точностью до минуты угла. Математика для блондинок. Николай Хижняк.
Таблица Брадиса синусы и косинусы. Таблица синусов и косинусов в градусах и минутах. Математика для блондинок. Николай Хижняк.
Таблица Брадиса синусы и косинусы. Четырехзначная таблица синусов и косинусов угла. Математика для блондинок. Николай Хижняк.
Таблица Брадиса синусы и косинусы. Синусы и косинусы от 0 до 90 градусов 4 значная таблица для блондинок.
Таблица Брадиса синусы и косинусы. sin cos таблица в градусах и минутах угла. Математика для блондинок. Николай Хижняк.
Таблица Брадиса синусы и косинусы. Таблица от sin 0 до sin 90 и от cos 90 до cos 0 градусов. Математика для блондинок.
Обычно не принято так подробно подавать навигацию по таблице Брадиса. Во-первых, она рассчитана на продвинутых юзеров от математики. Во-вторых, издатели ещё с допотопных советских времен выпускают эти таблицы в черно-белом варианте и всячески экономят типографскую краску на навигации по таблице Брадиса.

Надеюсь, такое оформление не даст вам заблудиться в таблице Брадиса даже в средине этой таблицы. И вы не перепутаете синусы с косинусами при поиске их значений. Кстати, таблица Брадиса для синусов и косинусов представляет значения этих тригонометрических функций для углов от 0 до 90 градусов. Для других значений углов можете пользоваться тригонометрическим кругом в качестве шпаргалки.

Если вам нужно более точное вычисление значений тригонометрических функций, то можете воспользоваться калькулятором бесплатно онлайн прямо на этом сайте. Как пользоваться таблицей Брадиса, для тех, кто ещё не знает, мы разберемся в следующий раз.