Показаны сообщения с ярлыком система уравнений. Показать все сообщения
Показаны сообщения с ярлыком система уравнений. Показать все сообщения

среда, 4 января 2017 г.

Для чисел выполняются три равенства

Очередная задача. Для чисел x, y и z выполняются три равенства (сами равенства представлены на картинках). Найдите квадрат суммы этих чисел. Вот два примера.

Для чисел выполняются три равенства. Найдите квадрат суммы этих чисел. Математика для блондинок.
Для чисел выполняются три равенства
Для чисел выполняются три равенства... Второй пример. Математика для блондинок.
Для чисел выполняются три равенства... Второй пример
Честно признаюсь, что эти два решения я добросовестно взял из Интернета. Человек на картинке эти задачи решил. Этот знахарь математики может помочь вам в неравной борьбе с шаманами от математики. Где его найти? Вот здесь. Кстати, он знахарь и в физике, и в химии. Естественно, такой кладезь знаний не является бесплатным. А вы как думали? Одни шаманы задачки сочиняют, пишут учебники и получают за это деньги. Другие шаманы используют задачки в качестве орудия пыток и тоже получают за это деньги. Третьи шаманы (репетиторы) помогают жертвам математического садизма бороться со вторыми знахарями и, конечно же, получают за это деньги. Вот такой вот круговорот денег в математике, причем деньги всегда платите только вы.

Но всё это были детские игры в числа. Задача эта имеет математическое решение, которое шаманы используют при составлении задач. Вот как оно выглядит.

Для чисел выполняются три равенства... Общее решение. Математика для блондинок.
Для чисел выполняются три равенства... Общее решение
Для данного набора уравнений квадрат суммы неизвестных x, y и z всегда будет равен половине суммы чисел, стоящих за знаками равенства. Зная этот простой математический фокус, вы можете написать многотомный задачник по математике, в котором будет всего одна задача с разными числами. Только вот садисты от математики не станут этот задачник покупать. Всего одна пытка - это им не интересно. Наслаждение они получают от разнообразия ваших мук.

пятница, 12 июня 2015 г.

Как найти площадь прямоугольника?

Вот такая вот задача про площадь прямоугольника из учебника по алгебре за 7 класс:

Если ширину прямоугольника увеличить на 2 дм, а длину уменьшить на 0,5 м, то получим квадрат, площадь которого на 50 дм² меньше, чем площадь прямоугольника. Найдите площадь прямоугольника.

Интересно, в 7 классе изучают системы линейных уравнений с двумя неизвестными? Судя по тому, что задача из учебника по алгебре, именно так нужно решать эту задачу. Тупо составляем систему уравнений, тупо решаем - тоска смертная. Если я здесь просто напишу решение, а вы его просто спишите, то умнее вы от этого не станете. Предлагаю решить эту задачу, а систему уравнений с решением мы в конце состряпаем.

Что такое квадрат? Это такой прямоугольник, у которого стороны равны. Что такое прямоугольник? Это квадрат, у которого стороны разные. Своим преподавателям математики это говорить не советую — для них это прозвучит как осквернение святынь. Лично я подобными "определениями" пользуюсь постоянно, очень даже помогает. Ведь математические свойства геометрических объектов они передают очень точно.

Для решения задачи, обозначим стороны прямоугольника: a — это длина, b — это ширина. Теперь начинаем заново читать условие задачи.

«Если ширину прямоугольника увеличить на 2 дм...». На языке математики это можно записать так: b+2.

«… а длину уменьшить на 0,5 м...» Вот здесь прошу обратить особое внимание — только абсолютно безграмотные люди в одной задаче используют разные единицы измерения длины. Например, метры и дециметры. Мы люди образованные, в отличие от автора учебника, и переведем всё в дециметры. Почему в дециметры? Потому, что площадь у нас измеряется в дециметрах квадратных. Сколько дециметров в одном метре? Правильно, десять. А 0,5 метра — это сколько дециметров? Ну да, 0,5*10=5 дециметров. Вот теперь мы можем перевести нашу фразу на язык математики: а-5.

«… то получим квадрат...» Ну, с квадратом мы уже разобрались — у него стороны равны. Вот этот геометрический феномен мы запишем математическими иероглифами:

a-5=b+2

Что это нам дает? Пожонглировав этим выражением, мы можем длину одной стороны выразить через длину другой стороны. В будущем это нам пригодится. Лично мне не нравится знак «минус». Сейчас мы от него избавимся.

a-5=b+2
a=b+2+5
a=b+7


Что-то мы отвлеклись от условия задачи. Включаем обратную перемотку и читаем фразу целиком: «… то получим квадрат, площадь которого на 50 дм² меньше, чем площадь прямоугольника».

Как найти площадь прямоугольника. Как найти периметр прямоугольника. Формулы прямоугольника. Математика для блондинок.
Как найти площадь прямоугольника
Площади квадрата и прямоугольника определяются абсолютно одинаково — длина умножается на ширину. Ну и что, что у квадрата длина и ширина равны? Площадь нашего прямоугольника равна a*b, площадь нашего квадрата равна (a-5)*(b+2). Если от первой площади отнять вторую, то останется ещё 50 квадратных дециметров. Записываем это выражение, раскрываем скобки и жонглируем.

a*b-(a-5)*(b+2)=50
a*b-(a*b-5b+2a-10)=50
a*b-a*b+5b-2a+10=50
5b-2a+10=50
5b-2a=50-10
5b-2a=40


Что дальше? А вот теперь мы можем вместо стороны а подставить результат первоначального жонглирования a=b+7.

5b-2a=40
5b-2(b+7)=40
5b-2b-14=40
3b=40+14
3b=54
b=18


Ширину прямоугольника мы уже знаем — 18 дециметров. Ищем длину.

a=b+7
а=18+7
а=25


Теперь мы без труда можем определить площадь прямоугольника: 25*18=450 дм². В тетрадке можно записать всё это как систему двух уравнений с двумя неизвестными. Я приведу сразу две системы уравнений, выбирайте любую.

Как найти площадь прямоугольника. Решение системы уравнений. Математика для блондинок.
Как найти площадь прямоугольника. Решение.
В левой части мы выразили площадь квадрата через длину прямоугольника, в правой части - через ширину. По ходу решения задачи мы рассмотрели третий вариант - площадь квадрата представлена как произведение длины на ширину. Все три варианта решения дают одинаковый результат. Вот по этому математики используют системы уравнений для решения задач.

среда, 30 апреля 2014 г.

Графический метод решения системы уравнений

Одним из методов решения системы уравнений является графический метод. Для всех жаждущих халявы даю ссылку на страницу, где можно получить графический метод решения системы уравнений сразу и бесплатно. Учитесь пользоваться благами цивилизации и не морочьте мне голову:))) Приводите уравнения к церковно-приходскому (пардон, каноническому) виду, вставляете коэффициенты уравнения в ячейки и нажимаете волшебную кнопочку "Ввод". В результате вы получите решение системы уравнений, к которому прилагается графический метод решения. Есть два существенных замечания.

1. Если перед каким-то коэффициентом стоит знак минус, значит вводить нужно число со знаком минус.

2х-у+5=0
2х-у=-5
(2)х+(-1)у=(-5)

2. Эта железяка не работает с нулевыми коэффициентами. Программа брезгливо игнорирует уравнения, в которых хотя бы один коэффициент равен нулю. Она считает себя слишком умной, что бы решать такие примитивные уравнения. Интересно, как к такой числовой дискриминации относится общество защиты нуля?

Сейчас мы сами решим графическим методом систему уравнений, один из коэффициентов которого равен нулю. И так, у нас есть система уравнений:

х+у=5
у=-х

В каноническом виде, удобоваримом для норовистой программы, эта система будет выглядеть так:

х+у=5
х+у=0

Система коэффициентов в этих уравнениях выглядит следующим образом:

(1)х+(1)у=(5)
(1)х+(1)у=(0)

Вот мы и нарвались на систему уравнений, в которой один из коэффициентов равен нулю. Но математикам нужно показать графическое решение этой системы. Без картинки они не поверят, что мы добросовестно пытались решить. Что делать?

Берем в руки главную математическую святыню - декартову систему координат - и пробуем её разукрасить своими каракулями. Такая себе разукрашка для взрослых.   

Декартова система координат. Математика для блондинок.
Декартова система координат
Теперь нам нужно определить точки пересечения первой прямой с осями координат. Для этого подставляем в первое уравнение значение икс, равное нулю, и получаем значение игрек.

х=0
х+у=5
0+у=5
у=5

Координаты первой точки 0 по иксам и 5 по игреку.

Теперь определяем координате второй точки. Приравниваем к нулю игрек и подставляем в уравнение.

у=0
х+у=5
х+0=5
х=5

Координаты второй точки 5 по иксу и 0 по игреку. Носим эти точки на декартову систему координат и проводим через них прямую. Мы получим график первого уравнения.

График первого уравнения. Математика для блондинок.
График первого уравнения
Для построения графика второго уравнения проделываем тот же фокус - сперва икс, потом игрек приравниваем к нулю.

х=0
х+у=0
0+у=0
у=0

Упс! При иксе, равном нулю, игрек то же равен нулю. Вот досада! Оказывается, наш график проходит через пуп Вселенной. Точнее, через пуп математики - центр декартовой системы координат. Координаты этой точки 0 и 0.

Ничего. Вторую точку графика мы можем получить, приравняв икс к единице.

х=1
х+у=0
1+у=0
у=-1

Вторая точка имеет координаты 1 и -1. Строим второй график.

График второго уравнения. Математика для блондинок.
График второго уравнения
Как видите, у нас получились две параллельные прямые, которые не имеют точки пересечения. В подобных случаях математики учат нас говорить: "Система уравнений не имеет решений". Рисуем в тетрадке два графика, переписываем глубокомысленный вывод и подаем всё это пред светлы очи учителя.

P.S. А, может, тупая железяка не так уже и глупа? Она не заморачивается с системами уравнений, у которых нет решений или решений бесконечное множество. Это только тупые математики заставляют всю эту муть решать. По-умному, прежде, чем записывать систему уравнений, нужно выполнить анализ самих уравнений. Могут ли данные уравнения образовывать систему уравнений? Тогда все системы уравнений будут иметь решения. А варианты "нет решений" и "бесконечное множество решений" будут отсеиваться на этапе анализа. Представьте, на сколько меньше глупостей будет в математике. А теперь подумайте, стоил ли тупо повторять то, чему вас когда-то учили?



Машина Времени, песня "Однажды мир прогнётся под нас". Парадокс состоит в том, что в этом мире меняется всё, кроме религии, математики и нас самих.

суббота, 1 февраля 2014 г.

Решение системы уравнений

Сегодня мы будем решать систему двух уравнений с двумя неизвестными. Выглядит эта система вот так:

x - y = -2
xy - y = 10 



Благодаря усилиям многих поколений математиков это увлекательное занятие превратилось в очень нудную процедуру. С таким же успехом и теми же методами церковно-приходские дьячки вдалбливали "Слово Божье". Меня же здесь заинтересовал один момент - насколько правильная та математика, которую нам проповедуют в школе? Ответ я ещё не знаю и пишу эту статью в режиме реального времени. В настоящей математике результат не может зависеть от способа решения. Посмотрим, что получится у нас.

И так, решение системы уравнений мы будем производить способом подстановки. Самый популярный способ в истории человечества. Когда правители направляют свои войска на врагов - это и есть способ подстановки. Сами правители под стрелы и пули не лезут,они подставляют других. Поиск козла отпущения - это ещё одна разновидность способа подстановки, когда ищут того, кто ответит за чужие грехи. Но вернемся к решению нашей системы уравнений.

Говорят, что все изобретения сделаны лентяями ради облегчения собственной жизни. Способы решения, которым нас учат математики - из той же оперы. Давайте проанализируем наши уравнения и попытаемся сделать некоторые выводы. В первом уравнении у нас есть икс без всяких прибамбасов и игрек с прибамбасом в виде знака минус перед ним. Во втором уравнении икс умножается на игрек и присутствует игрек со знаком минус.

Для решения системы уравнений методом подстановки нужно одну неизвестную выразить через другую. Что через что выражать? Для получения результата это не имеет никакого значения. А вот для количества потраченных усилий в ходе решения разница есть. Произведение икса на игрек во втором уравнении сразу должно вас насторожить. Почему? Здесь неизбежно возникнут дроби. А возиться с дробями - удовольствие ниже среднего. Вот смотрите чему будет равен икс:

xy - y = 10

ху = 10 + у

х = (10 + у)/у



Теперь посмотрим, чему получится равным игрек:

xy - y = 10

у(х - 1) = 10

у = 10/(х - 1)



Такое только в страшном  сне может присниться. А ведь эти дроби ещё нужно вставить в первое уравнение и найти значение неизвестной. Мрак.

Смотрим на первое уравнение. Здесь картина гораздо приятнее. Смотрим, как будет выглядеть икс:

x - y = -2 

х = у - 2



Даже у игрека прибамбас в виде знака минус исчезает при телепортации его в другую часть уравнения, за знак равенства. Теперь найдем игрек:

x - y = -2

-у = -х - 2

у = х + 2



Полученные из первого уравнения выражения для икса и игрека выглядят очень гламурненько и не идут ни в какое сравнение с дробями, полученными из второго уравнения.  Мудрый вывод может быть только один - нужно из первого уравнения найти выражение для любой неизвестной и подставить его во второе уравнение.

Какое неизвестное лучше подставлять во второе уравнение? Здесь нужно пользоваться правилом лентяя - чем меньше раз будем подставлять, тем лучше. Во втором уравнении икс представлен в единственном экземпляре и подставлять придется только один раз. А вот игреков у нас аж два. Следовательно, подставлять придется тоже аж два раза.

Вот мы и получили принцип решения заданной нам системы уравнений методом подстановки: из первого уравнения находим икс и подставляем значение икса во второе уравнение. Смотрим, что у нас получилось:

xy - y = 10

(у - 2)*у - у = 10

у² - 2у - у = 10

у² - 3у = 10

у² - 3у - 10 = 0



Как видите, у нас получилось квадратное уравнение. С детства не люблю квадратные уравнения, а слово "дискриминант" на меня вселенскую тоску находит. К счастью, времена церковно-приходских решений миновали и у нас появилась замечательная возможность воспользоваться специальной программой для решения квадратных уравнений. Вводим в ячейки значения наших коэффициентов 1; -3; -10 и получаем два значения игрека:

у = 5

у = -2



Подставляем эти значения в первое уравнение и получаем значения иксов:

х = у - 2 = 5 - 2 = 3


х = у - 2 = -2 - 2 = -4


В результате решения системы уравнений с двумя неизвестными ми получили две пары значений икса и игрека:

х = 3; у = 5

х = -4; у = -2


Прежде, чем делать глубоко научные выводы, нужно выполнить проверку. Подставляем каждую неразлучную пару в наши уравнения и смотрим результат. Первая пара пошла на проверку:

х - у = 3 - 5 = -2

ху - у = 3*5 - 5 = 15 - 5 = 10


За ней отправляем другую пару:

х - у = -4 -(2) = -4 + 2 = -2

ху - у = (-4)*(-2) -(-2) = 8 + 2 = 10


Всё чудненько сходится, значит систему уравнений мы решили правильно. Вот теперь и наступил момент познания истины - сейчас мы изменим ход решения системы уравнений.  Из первого уравнения найдем игрек и подставим значение игрека во второе уравнение. Вот как это выглядит:

у = х + 2

ху - у = 10

х(х + 2) - (х + 2) = 10

х² + 2х - х - 2 = 10

х² + х - 12 = 0


 У нас получилось квадратное уравнение с другими коэффициентами: 1; 1; -12. Вставляем их в дырочки и получаем два значения иксов:

х = 3

х = -4


Теперь находим два значения игреков:

у = х + 2 = 3 + 2 = 5

у = х + 2 = -4 + 2 = -2


Как видим, другой ход решения дает точно такой же результат. Вывод может быть только один - математики научились правильно решать системы уравнений. Чему и нас учат. А вот зачем нам это нужно - это уже совсем другой вопрос. Ответ "Все так учились" в современном мире уже не катит, нужны аргументы боле весомые. Разумные существа всегда понимают, что именно и для чего они делают. Дрессированные животные просто повторяют то, чему их научили.

понедельник, 18 марта 2013 г.

Как решить систему уравнений

Ничего нового вы здесь не найдете. Я просто помещу сюда некоторые комментарии к странице о решении системы уравнений. Уж слишком много их там собралось, нужно половину удалить. Но решения систем уравнений жалко выбрасывать навсегда. На следующий год их снова будут задавать, только уже другим ученикам. И они снова будут задавать вопрос "Как решить систему уравнений?". И так, поехали.

Скажите пожалуйста, как решить систему такую систему уравнений

6х - 10у = 11
5у + 7х = 19


Лично я не воспринимаю уравнения, записанные сикось-накось. У меня сразу начинает мозги выворачивать. Я люблю, когда иксы под иксами, игреки под игреками. Мое мнение - математики нас должны учить делать правильно. Как делать не правильно мы и без их помощи сделаем. По этому, переписываем второе уравнение по человечески - иксом вперед. Теперь умножим второе уравнение на два. В результате у нас получится такая система уравнений

6х - 10у = 11
5у + 7х = 19 (*2)

6х - 10у = 11
14х + 10у = 38


После этого складываем два уравнения и получаем одно уравнение с одним неизвестным

(14х + 6х) + (-10у + 10у) = 11 + 38
20х = 49
х = 2,45

Подставляем найденное значение икс в первое уравнение и находим игрек.

6*2,45 - 10у = 11
14,7 - 10у = 11
10у = 14,7 - 11
10у = 3,7
у = 0,37

Выполним проверку решения и убедимся, что система решена правильно

6*2,45 - 10*0,37 = 14,7 - 3,7 = 11
5*0,37 + 7*2,45 = 1,85 + 17,15 = 19


А как на счёт такой системы уравнений? Нам сказали решить методом сложения.

6x - y = 4
3x + 5y = 13


А легко! Умножаем второе уравнение на минус два и выполняем сложение двух уравнений. Вычесть положительное и прибавить отрицательное - суть одно и тоже действие, только мы его называем по-разному, почему-то.

6x - y = 4
3x + 5y = 13 (*(-2))

6x - y = 4
-6x - 10y = -26

Складываем с первым и получаем

(6х - 6х) +(-у - 10у) = 4 - 26
-11у = -22
11у = 22
у = 2

Из первого уравнения находим икс:

6x - 2 = 4
6х = 4 + 2
6х = 6
х = 1

Помогите, пожалуйста, решить систему:

у - х - 4 = 0
у + 2х - 1 = 0


Эти уравнения имеют несколько другой вид, чем предыдущие, но ничего. Принципы решения системы уравнений не зависят от внешнего вида составляющих её уравнений. Первое уравнение умножаем на минус единицу.

у - х - 4 = 0 (*(-1))
у + 2х - 1 = 0

-у + х + 4 = 0
у + 2х - 1 = 0

Складываем оба уравнения в кучку

(у - у)+(2х + х)+(4 - 1)= 0
0 + 3х + 3 = 0
3х = -3
х = -1


Из первого уравнения находим игрек

-у + х + 4 = 0
у = х + 4
у = -1 + 4
у = 3

Проверяем решение системы уравнений

3 - (-1) - 4 = 3 + 1 - 4 = 0
3 + 2*(-1) - 1 = 3 -2 - 1 = 0

Решение правильное.

Как понять, на какое число надо умножать уравнение?

Нужно смотреть на числа возле иксов и на числа возле игреков. Нам нужно получить ноль в результате сложения одной из пар этих чисел. Ноль при сложении получается, если числа равны, но имеют противоположные знаки. Одну задачку решаете для чисел возле иксов, вторую - для чисел возле игреков. Какое решение проще (целое число), то и выбирайте. Обычно всё это прокручивается в голове. В принципе, любую пару уравнений из системы можно привести к виду, удобному для применения метода сложения уравнений. На другой странице я более подробно написал о том, как определять числа, на которые нужно умножать уравнения.

вторник, 12 марта 2013 г.

Система уравнений приведение коэффициентов

Не знаю, рассказывали вам такое в школе или нет, но сейчас мы будем решать систему двух уравнений с двумя неизвестными методом сложения с приведением коэффициентов при неизвестных.

Идея проста, как сама математика. Основана на том, что знают все. Если уравнение умножить на любое число, равенство останется неизменным. Дальше используем принцип приведения дробей к общему знаменателю. Помните, если дроби привести к общему знаменателю, то с ними тогда можно выполнять сложение или вычитание, а в некоторых случаях можно вообще избавиться от знаменателя. Мы же будем приводить уравнения к общему коэффициенту перед неизвестным.

6х + 5у = -8
4х + 7у = 2

Если перед иксами или игреками будут стоять одинаковые коэффициенты, тогда при вычитании одного уравнения из другого одно неизвестное исчезнет. Останется решить одно уравнение с одним неизвестным.

Чтобы избавиться от иксов, перед ними должно стоять число 6*4=24. Если хорошенько подумать, то и число 12 вполне годится: 6*2=12; 4*3=12. И так, для того, чтобы избавиться от иксов, первое уравнение нужно умножить на 2, а второе - на 3. Тогда перед иксами будет одинаковый коэффициент 12.

6х + 5у = -8    *2
4х + 7у = 2     *3

(6х)*2 + (5у)*2 = (-8)*2
(4х)*3 + (7у)*3 = 2*3

12х + 10у = -16
12х + 21у = 6

Вот теперь мы можем с чистой совестью приступать к вычитанию. Можно из первого уравнения вычесть второе, можно из второго вычесть первое. В любом случае вместо икса мы получим ноль. Лично мне больше нравится второй вариант. Во-первых, у нас не будет отрицательного игрека. Во-вторых, мы по ходу избавимся от минуса перед числом 16. И так, от второго уравнения отнимаем первое:

(12х-12х) + (21у-10у) = 6-(-16)
0 + 11у = 22
11у = 22
у = 2

Всё, с одним неизвестным мы покончили, приступим ко второму. В самое первое уравнение подставляем значение у=2.

6х + 5*2 = -8
6х + 10 = -8
6х = -8 - 10
6х = -18
х = -3

Оба неизвестных найдены, система уравнений решена. Теперь можно проделать то же самое, но избавиться не от иксов, а от игреков. Общий коэффициент будет 5*7=35. Первое уравнение умножаем на 7, второе умножаем на 5:

6х + 5у = -8    *7
4х + 7у = 2     *5

(6х)*7 + (5у)*7 = (-8)*7
(4х)*5 + (7у)*5 = 2*5

42х + 35у = -56
20х + 35у = 10

В этом случае лучше из первого уравнения вычитать второе - не будет минуса перед иксом.

(42х-20х) + (35у-35у) = -56 - 10
22х = -66
х = -3

Подставляем икс в первое уравнение и получаем игрек.

6*(-3) + 5у = -8

-18 + 5у = -8
5у = -8 + 18
5у = 10
у = 2

Как видите, оба решения приводят к одинаковому результату. Это основной закон математики такой - если задача решена правильно, то любой другой ПРАВИЛЬНЫЙ способ решения даст точно такой же результат.

воскресенье, 14 октября 2012 г.

Измерения прямоугольного параллелепипеда

В комментариях к статье об объеме прямоугольного параллелепипеда появилась задача про измерения прямоугольного параллелепипеда. Измерениями параллелепипеда являются его длина, ширина и высота. Вот их и предлагается найти.

Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда, если площади трёх граней соответственно равны 30, 48, 40 квадратных см

Не нужно перерывать все сведения о параллелепипеде в поисках решения этой задачи. Ни к геометрии, ни к параллелепипеду данное решение отношения не имеет. Смотреть нужно алгебру, решение системы трех каких-то там уравнений с тремя неизвестными. При чем же здесь параллелепипед? Это так математики хотели привязать решение систем уравнений к реальности. И, как обычно, промахнулись.

Для детских игр в числа условие задачи сойдет. А вот для взрослой математики такое условие не катит. Сразу же возникает совсем не детский вопрос: как можно было определить площади граней параллелепипеда, не зная его измерений? Ведь линейки у нас есть только для определения длины, ширины, высоты, расстояния, размера и так далее. Линейку для измерения площадей до сих пор никто не придумал. И, как я подозреваю, придумать её невозможно. Таковы математические свойства площадей. Площадь мы можем только вычислить, зная размеры геометрической фигуры. Но это так, лирическое отступление о качестве той математики, которой нас обучают. Вернемся к решению задачи.

Площадь грани параллелепипеда равна произведению одного измерения на другое. У прямоугольного параллелепипеда всегда три измерения. Комбинации умножения двух измерений из трех дают нам площади трех разных граней. Фактически, по условию задачи, нам дана система трех уравнений с тремя неизвестными. Обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда через x, y и z. Запишем нашу систему уравнений и решим её методом подстановки.

Измерения прямоугольного параллелепипеда. Решение системы трех уравнений с тремя неизвестными. Математика для блондинок.

Из третьего уравнения выражаем z через x. Подставляем полученное значение z во второе уравнение. Это нам дает возможность выразить y через x и подставить это значение в первое уравнение. В итоге этих не хитрых манипуляций у нас получилось одно уравнение с одним неизвестным. Задачка для детского садика. Вот только икс у нас получился в квадрате. Выковыриваем квадратный корень из числа и получаем значение икса. Отрицательное значение можем смело отбрасывать, поскольку отрицательных измерений размеров математики ещё не придумали.

Кстати, любой садист от математики может придумать отрицательную длину и получить за это очередную ученую степень. Ведь это только физики должны подтверждать свои идеи результатами экспериментов. Математикам достаточно придумать определение. И будем мы тогда изучать отрицательную длину так же, как сегодня изучаем комплексные числа.

По полученному значению x мы легко можем найти значения y и z. В результате у нас получилось, что прямоугольный параллелепипед имеет размеры 5, 6 и 8 сантиметров. Перемножая эти числа, вы легко получите площади граней прямоугольного параллелепипеда, которые нам, не понятно откуда, известны по условию.

В решении задачи про измерения прямоугольного параллелепипеда нам помогали:

Здесь была ссылка на сайт, который предлагал вам свои услуги по наведению красоты в вашей внешности без всяких уравнений. Кстати, площадь поверхности кожи, на которой красота создается, на стоимость услуг не влияет. Уж слишком громоздкий математический аппарат придется применять для этих целей. Вот и получается, что стоимость красоты от геометрической площади нашего тела не зависит. Спасибо математике:)))

А чтобы жительницы столицы "всея Руси" не чувствовали себя ущемленными в своих правах на красоту, их вниманию предлагался другой, конечно же не менее хороший, салон красоты. Это даже целая сеть салонов, так сказать, математическое множество салонов. У вас появляется возможность выбрать тот или иной салон красоты в зависимости от расстояния до него. Всё как в настоящей математике - каждому элементу множества салонов ставятся в соответствие элементы из математического множества красавиц)))

вторник, 31 июля 2012 г.

Система уравнений квадраты и кубы

В ответ на "плиз" в комментариях решаю систему уравнений с квадратами и кубами возле иксов и игреков. Честно признаюсь, не люблю я в этой фигне ковыряться. Каждое решение состоит из двух независимых элементов: собственно математики и бюрократических правил оформления решения. Если математика не подвластна ни людям, ни богам, то бюрократические правила зависят исключительно от прихотей бюрократов. Каждый руководитель бюрократической системы считает своим долгом изменить существующие бюрократические правила, тем самым вписать свое имя в историю науки. Но... Бюрократы приходят и уходят, а наука остается наукой.

Я уже очень давно сбежал из мест дрессировки обезьян - школы, техникума, института... А посему существующих правил записи решения я не знаю. Да и каждый учитель волен выдумывать свои собственные правила. А по сему свое решение я запишу так, как умею, и дам некоторые пояснения.

Система уравнений квадраты и кубы. Решение системы уравнений методом замены. Математика для блондинок.


Оба уравнения системы имеют одинаковый элемент, который можно выделить - это икс в квадрате умноженный на игрек в квадрате. Заменим его на элемент "а". Перепишем заново нашу систему уравнений. Многоэтажные показатели степени возле икса и игрека исчезли, а это уже обнадеживает.

Из второго уравнения выразим наше "а" через икс и подставим это значение в первое уравнение. У нас получилось, что игрек относится к иксу как восемь, то есть в одном игреке от нас спрятали восемь иксов. Возвращаемся к уравнению "а" и вместо игрека подставляем его значение в восемь икс. У нас получается, что "а" равняется шестидесяти четырем иксам в четвертой степени.

Возвращаемся к той системе уравнений, где у нас "а" умноженное на игрек равняется шестнадцати, а "а" умноженное на икс равняется двум. Из второго уравнения мы без труда находим значение икс. Главное, правильно выковырять корень пятой степени. Но, составители системы уравнений особым садизмом не отличаются, а потому нам это удается без труда, представив число тридцать два как двойку в пятой степени. Дальше значение икса подставляем в первое уравнение и находим значение игрека.

Я не знаю, можно так решать уравнения или "низзззя", но проверка в конце показывает, что я нашел правильные значения икса и игрека.

воскресенье, 27 мая 2012 г.

Простое решение системы уравнений

Перед нами неразрешимой задачей громоздится система уравнений. Хочу сразу сказать, что нам предстоит рассмотреть простое решение системы уравнений, которая кажется очень трудной. В чем проблема? В одних скобочках есть икс и игрек, во вторых скобочках есть только икс, а игрек напрочь отсутствует. Как решать такую систему? Катастрофа! Если вы думаете именно так, то у вас начинает развиваться синдром математика: вы не понимаете, как такому взрослому человеку, как вы, могут задавать такие детские задачки. Здесь явно какой-то подвох. И вы начинаете его упорно искать.

А подвоха никакого нет. Все решается действительно просто. Я для решения применю метод разложения одной системы уравнений на две. Не пытайтесь искать этот метод в учебнике математики - это я только что придумал сам. Вам придется мое решение оформить так, как вас учили. Или придется сказать преподавателю математики: "Так решает лысый дядька из Интернета...". Понятно, что ни "лысый дядька", ни "лысая тётка" учебниками математики не являются. А Интернет - это просто большая шпаргалка, в которой очень много всякой ерунды.

И так, с умным видом смотрим на нашу систему уравнений и начинаем рассуждать. В первом уравнении у нас две штучки умножаются и дают в итоге ноль. Когда такое бывает? Вспоминаем детские правила умножения. Правильно, когда одна из этих штучек равняется нулю - первая или вторая. Вот я и разложу первое уравнение на два, приравняв к нулю каждое выражение в скобках. Внизу дописываю второе уравнение из заданной нам системы и получаю две системы уравнений с двумя неизвестными. Объединяются эти две системы уравнений в одно целое нижним уравнением, которое является общим. На этом основании мы можем рассматривать решение каждой системы как одно из решений исходных уравнений. Согласитесь, каждая из этих систем выглядит уже не так страшно, как первоначальная.

Простое решение системы уравнений. Заданная система уравнений. Разложение одной системы уравнений на две. Математика для блондинок.
Каждую систему я буду решать отдельно, применяя описанные в учебнике математики методы. Первую систему решаем методом сложения, точнее, вычитания. Если к первому уравнению прибавить второе уравнение со знаком минус, мы получим вычитание уравнений. Вычитание я запишу не поэлементно (иксы, игреки, числа), а в столбик, что не меняет смысл выполняемых при этом действий. Кстати, в высшей математике это простое действие будет обзываться очень умными словами: "матричный способ вычитания вектор-строк". Но вернемся к первой системе уравнений. Из первого уравнения вычитаем второе и сразу получаем значение игрека. Подставляем полученное значение в одно из уравнений и находим значение икса. Я подставил во второе. При подстановке в первое уравнение мы получим точно такой же результат.

Простое решение системы уравнений. Решение системы уравнений методом сложения или вычитания. Математика для блондинок.
Вторую систему решаем методом подстановки. Из первого, детского, уравнения находим значение икс и подставляем во второе уравнение. Так мы найдем значение игрек.

Простое решение системы уравнений. Математика для блондинок.
Решением исходной системы уравнений будут две пары значений иксов и игреков. Для того, чтобы в этом убедиться, выполняем мою любимую проверку. После подстановки двух пар неизвестных в заданную систему мы получаем правильный результат. Значит, эта простая система уравнений решена правильно. Я надеюсь:)

Простое решение системы уравнений. Математика для блондинок.
А это ссылка, к решению систем уравнений не имеющая никакого отношения. Ходить по ней не советую, так как сам не имею понятия, куда она вас заведет. http://wf8.ru/g6oQqQ.html

вторник, 22 мая 2012 г.

Как найти решение системы уравнений

Подкинули мне тут не простую систему уравнений для решения. Как найти решение системы уравнений, если в одном уравнении неизвестные в первой степени, а в другом - во второй? Посмотрите сами.

Как найти решение системы уравнений. Система нелинейных уравнений. Уравнение с квадратами в системе. Математика для блондинок.
Вот такая вот фигня, девки, досталась нам в наследство от наших предков - составителей учебников. Здесь определенно нужно шевелить мозгами, чтобы во всем разобраться.

С первым уравнением мы поступим очень мудро: оно нас не трогает и мы его пока трогать не будем. Мы в любой момент, при помощи этого уравнения, можем выразить икс через игрек или игрек через икс. Как мы того пожелаем.

Со вторым уравнением нам придется повозиться. Давайте посмотрим на это уравнение не конкретно, а в общем, одним глазом. Все те штучки, которые в нем имеются, очень напоминают останки динозавров, которые назывались "формулы сокращенного умножения". Жили эти динозавры в младших классах и вымерли в нашей памяти сразу же по окончании учебного года. Вот теперь нам предстоит поковыряться в этой кучке математического мусора и определить, какому из динозавров что принадлежит. Для этого нужно взять каталог этих доисторических чудовищ, в котором описан внешний вид каждого из них. Хм, а у меня здесь такого нету. Безобразие! Придется по памяти.

И так, приступаем. Квадрат одной штучки, квадрат другой штучки, удвоенное произведение этих штучек... Вау! Да это же квадрат суммы или разности! Но разбросаны они по уравнению как попало. Берем веник и сметаем их в левую часть уравнения, попутно раскладывая по полочкам. При этом не забываем главное правило математического пинг-понга: при пересечении знака равенства вся математическая фигня меняет свой знак на противоположный - минус на плюс, плюс на минус. Такой себе обязательный обменный пункт на математической таможне. Когда всё собрано согласно древней инструкции, прекрасно видно, что эти останки принадлежали динозавру по имени "Квадрат разности". Преобразовываем ископаемые останки в первозданный вид.

Нам немножко полегчало, но первозданной красоты всё равно не наблюдается. Что здесь делает девятка, в правой части уравнения? Как она сюда попала? Допустим, это перебежчик через знак равенства из левой части. Присмотримся к нему по-внимательнее... Да это же вражеский шпион по кличке "Три в квадрате"! Учиняем маленький дипломатический скандал и выдворяем его на родину - в математике нет тюрьмы, куда его можно было бы посадить. Шпион, не шпион, а на математический таможне правила для всех одинаковы: пересекаешь знак равенства - будь добр поменять знак. И что же у нас получилось в результате? В правой части уравнения ничего не осталось. Страшно остаться без ничего? В жизни - да, в математике - нет. Пишем ноль и никаких проблем. А что с левой частью? В левой части нарисовался динозавр по имени "Разность квадратов". Как живой. Нужно его срочно умертвить - разложить по формуле. В результате мы получем одну скобочку умноженную на вторую скобочку и всё это равняется нулю.

Как найти решение системы уравнений. Преобразование уравнения. Квадрат разности и разность квадратов. Математика для блондинок.
Что нам говорит последнее уравнение? Нулю оно может равняться только в том случае, если одно из выражений в скобках будет равно нулю. Не важно, какое. Мы можем любое выражение в скобке приравнять к нулю и никаких неизвестных во второй степени у нас не будет. Так, пора прекращать наши палеонтологические раскопки и дипломатическую грызню. Смотрим, какая система уравнений у нас получилась.

Как найти решение системы уравнений. Система нелинейных уравнений. Преобразованная система. Математика для блондинок.
Вы можете сказать, что так не честно - в формуле разности квадратов одна буковка возводится в квадрат возводится не буковка. Так вот, математике безразлично, что вы спрячете под буковкой - одну буковку или целый роман "Война и мир" - формула всегда работает одинаково. Смотрите, как это делается. Тупо берете и тупо преобразуете: "разность квадратов войны и мира равна произведению суммы войны и мира на разность войны и мира".

Как найти решение системы уравнений. Применение математики. Формулы сокращенного умножения. Разность квадратов войны и мира равна произведению суммы войны и мира на разность войны и мира. Математика для блондинок.
Но вернемся к нашей системе двух динозавров с двумя неизвестными. Пот теперь пришло время потревожить наше первое уравнение. Выразим икс через игрек и подставим его во второе уравнение. В итоге этих манипуляций ми получим одно уравнение с одним неизвестным.

Как найти решение системы уравнений. Выражение одного неизвестного через другое. Подстановка в уравнение. Математика для блондинок.
Теперь приравняем к нулю каждую из скобок и решаем два уравнения. В результате этого решения ми получим два значения игрека.

Как найти решение системы уравнений. Решение уравнений. Как найти игрек. Математика для блондинок.
Подставив каждое из найденных значений игрека в первое уравнение, мы получим два значения икс.

Как найти решение системы уравнений. Решение уравнения. Как найти икс. Как найти значение х. Математика для блондинок.
Вот теперь всё - наша система уравнений решена, мы нашли две пары значений неизвестных икс и игрек. Вам остается только оформить это решение согласно действующих в данный момент бюрократических правил оформления домашних заданий. Когда сегодняшние бюрократы вымрут, на их смену придут новые бюрократы с новыми правилами оформления. Станете мамами, бабушками - вспомните мои слова. Бюрократы - не динозавры, они живут вечно.

Ну и последнее. Сделайте проверку, подставив найденные значения неизвестных в исходные уравнения. Вы увидите, что весь этот сыр-бор был затеян ради подтверждения правила - от перестановки слагаемых сумма не меняется.

Спонсор страницы: исчез бесследно.

понедельник, 21 мая 2012 г.

Решение системы уравнений методом сложения

Сегодня, по просьбе учащихся, мы рассмотрим решение системы уравнений методом сложения. Дана нам система двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Обычно я такие системы уравнений решаю методом подстановки, но в данном случае даже мне понятно, что лучше использовать другой метод - метод сложения уравнений.

Как складывать уравнения? Так, как нас учили в детском садике - собачки с собачками, зайчики с зайчиками. Применительно к линейным уравнениям с двумя неизвестными мы складываем иксы с иксами, игреки с игреками, числа с числами. В уравнениях неизвестные выполняют ту же роль, которую выполняют единицы измерения в нашей повседневной жизни - определяют возможность или невозможность выполнения математической операции сложения. При сложении двух уравнений с двумя неизвестными одно неизвестное должно исчезнуть. Вместо двух уравнений с двумя неизвестными у нас получается одно уравнение с одним неизвестным.

В каждом из уравнений у нас имеется три типа слагаемых - иксы, игреки, числа. Для сложения двух уравнений нам нужно выполнить три операции сложения, по одной для каждого слагаемого. Подобным образом можно складывать миллион уравнений с миллионом неизвестных. Главное не потерять смысл сложения уравнений: что вы будете делать с одним уравнением, в котором миллион неизвестных? Возвращаясь к нашей сладкой парочке, запишем в отдельных строках сложение разных членов уравнения.



Решение системы уравнений методом сложения. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными, системы уравнений примеры. Сложение уравнений. Решение систем уравнений. Математика для блондинок.
И так, игрек у нас исчезает. Из неизвестных остается только какое-то количество иксов и число к ним в придачу. Это и будет одно уравнение с одним неизвестным. Решать такие уравнения нас уже учили.

При решении полученного уравнения мы узнаем, что наш икс равняется минус единице. Это научное открытие используем для нахождения значения игрека. В одно из уравнений нашей системы подставляем найденное нами значение икс и мы снова наступаем на те же грабли - получаем одно уравнение с одним неизвестным. Только на этот раз наше неизвестное обозначено буквой игрек. Лично мне больше нравится первое уравнение. Вот в него я и вставлю вместо икса полученное значение.

Решение системы уравнений методом сложения. Как найти неизвестное. Как найти икс. Найти значение х. Математика для блондинок.
Как видите, в математике очень трудно найти что-то новое. Всё новое - это хорошо замаскированное старое. Ещё раз решаем уравнение и получаем значение игрек. Всё очень просто: два неизвестных - два решения уравнений; миллион неизвестных - миллион решений (по одному решению на каждое неизвестное). Про миллион я, конечно, шучу. Нет такого математика, который сможет придумать такую систему уравнений с миллионом неизвестных, которая решается так просто.

У меня нет преподавателя математики, который мне скажет, правильно я решил систему уравнений или нет. Поэтому я воспользуюсь математикой и сам проверю свое решение. Для этого в оба уравнения вместо неизвестных я вставлю их значения, полученные мною в ходе решения.

Решение системы уравнений методом сложения. Проверка решения. Подстановка полученных значений двух неизвестных в систему линейных уравнений. Системы уравнений примеры решения. Математика для блондинок.
Равенство в обеих выражениях сохраняется, значит система уравнений решена правильно. Советую и вам всегда выполнять проверку. Даже если в ответах на последней странице учебника или в решебнике будет опечатка, проверка тут же её обнаружит.

понедельник, 16 января 2012 г.

Решение системы уравнений подстановкой

В комментариях тут подбросили просьбу решить систему уравнений. По решению систем уравнений меня дрессировали уже очень давно, но кое что я ещё помню. И так, система уравнений выглядит следующим образом:

x-3y=2
xy+y=6

Я не знаю, как правильно решаются такие системы уравнений с двумя неизвестными, но лично я его могу решить методом подстановки. Второе уравнение системы я трогать не советую, произведение двух неизвестных икс и игрек ничего хорошего нам не обещает. А вот из первого уравнения мы можем запросто выразить икс через игрек.

х=3у+2

Вот теперь мы можем это значение икса подставить во второе уравнение. Наше самое страшное в мире уравнение превратится в квадратное уравнение с одним неизвестным. А это уже не смертельно.

(3у+2)*у+у=6
3у^2+2у+у=6
3у^2+3у=6

Разделим левую и правую части этого уравнения на число три, уравнение при этом не пострадает, полностью сохранив свое математическое равенство:

3у^2+3у=6 |:3
у^2+у=2

Я не помню, как решать квадратные уравнения, с детства не люблю в дискриминантах ковыряться. Внутренний голос подсказывает мне, что здесь игрек равен единице. Но интуиция не является математическим доказательством, по этому я воспользуюсь сервисом решения квадратных уравнений онлайн. Решаем полученное квадратное уравнение, приведя его к такому виду:

у^2+у-2=0

Стрянно, но решений получилось аж два - единица и минус два. Калькулятор умнее меня, спорить с ним я не буду. Тем более, что после подстановки обеих значений в это уравнение, проверка показывает, что калькулятор прав. Теперь оба эти значения у=1 и у=-2 подставляем в первое уравнение и находим значения иксов при этих значениях игреков:

х=3у+2=3*1+2=3+2=5
х=3у+2=3*(-2)+2=-6+2=-4

Осталось записать два полученных ответа: (5;1);(-4;-2)

Теперь моя любимая проверка. Подставляем полученные значения иксов и игреков в нашу систему уравнений и смотрим результаты. Первая пара приглашается на лед:

5-3*1=5-3=2
5*1+1=5+1=6

Вторая пара пошла:

-4-3*(-2)=-4+6=2
(-4)*(-2)+(-2)=8-2=6

Вау! Полная победа - система уравнений решена правильно.

среда, 5 октября 2011 г.

Нерешаемые уравнения в детском садике

Решение нерешаемого уравнения вызвало некоторые вопросы. Сейчас мы с другой стороны посмотрим на нерешаемое уравнение номер 1:

x + 2 = x

Для этого мы создадим специальную исследовательскую группу и проследим за её поведением, при условии, что будут "воспроизведены обстоятельства, в которых условия задачи соблюдаются". В исследовательскую группу мы включим:

1) Ребенок из детского садика. Он только начинает постигать азы математики но уже весьма сообразителен.
2) Блондинка, мама ребенка из детского садика. Когда-то в школе учила математику и знала её довольно неплохо. Сейчас напрочь всё забыла за ненадобностью.
3) Профессор математики Де Кольте. Блестяще владеет математическим аппаратом, решает самые сложные математические задачи.
4) Николай Хижняк. Инженер, увлекается математикой, утверждает, что понимает эту абстрактную науку.

Вы скажете, что это не честно, включать себя в состав исследовательской группы. Но, уважаемые, я эту группу придумал, я предлагаю кандидатов в её состав, я утверждаю окончательный состав исследовательской группы. Это самый демократический принцип. Я честно воспользовался демократическим правом быть избранным и победил в конкурсе кандидатов :)))

И так, попросим нашу исследовательскую группу решить простую задачку и дать алгебраический вариант её решения:

У нас есть неизвестное количество ежей к которому прибавили двух ужей. Сколько ежей получилось?

В результате исследовательская группа выдала следующие решения.

1) Ребенок из детского садика. Как я уже говорил, ребенок довольно смышленый и умеет решать логические задачки, в которых нужно угадать ход мыслей автора задачи и дать такой же ответ, который ждет от ребенка автор задачи. Это такой метод дрессировки будущих зомби, которые хорошо умеют угадывать то, что ждут от них хозяева. Ребенок ответил "Получится неизвестное количество ёжиков". На просьбу записать решение этой задачки на листике бумаги, ребенок ответил, что писать он ещё не умеет, но может нарисовать ёжика.

2) Блондинка, мама ребенка из детского садика. На словах задачку решила правильно после целого ряда наводящих вопросов. На просьбу записать свое решение при помощи алгебры, соскребла из глубин памяти все остатки математических знаний и начала рассуждать следующим образом: "Так, алгебра, алгебра... Ниии-чё не помню... Значит алгебра - это неизвестное... Вау! Обозначим неизвестное количество ежиков через "х". Количество ужиков нам известно и его обозначать не нужно, просто циферку запишем... Прибавление у нас - это значок "плюс". Вот!". Блондинка протягивает лист бумаги, на котором записано:

x + 2 = x

3) Профессор математики Де Кольте. На просьбу решить подобную задачу про ежей и ужей знаменитый профессор возмутился, что, дескать, не подобает великому ученому решать такие детские задачи и отправил нас за решением в детский сад. На нашу просьбу записать алгебраическое решение этой задачи, профессор непонимающе уставился на нас, долго думал и сказал: "Хорошо, я подумаю над этой проблемой". А дальше было следующее...

Для алгебраического отображения решения данной задачи профессор разработал специальную теорию треугольных интегралов, за которую он был удостоен звания "академик". Треугольному интегралу было присвоено имя автора и он стал называться "треугольный интеграл Де Кольте"...

Для решения этой конкретной задачи был создан специальный исследовательский институт во главе с теперь уже академиком Де Кольте. После нескольких лет напряженной работы, на свет появился многотомный научный труд под названием "Практическое применение треугольного интеграла Де Кольте в пределах по радиусу выреза на платье"...

Весь этот околонаучный бред мы изучать не будем. Нас интересует только результат. Открываем сразу последнюю страницу последнего тома. Там перечень каких-то организаций... Листаем страницы к началу книги в поисках ответа на задачу... Где-то в средине последнего тома находим строчку "Данная работа выполнена в счет отработки научных грантов: ...". Ого! Эта свора проходимцев от науки на ровном месте умудрилась сожрать целую кучу денег! А перед этой строчкой можно найти и ответ на нашу задачу. Там написано "х" с целой кучей оговорок.

4) Николай Хижняк. Этот знахарь математики глубокомысленно выдал страницу под названием "Решение нерешаемых уравнений". По его мнению, существует и другая задача, в которой спрашивается, сколько ежей получится, если к двум ежам прибавить неизвестное количество ужей. Он уверяет, что обе задачи имеют одинаковое решение :)))

Кстати, есть ещё одна интересная задача про ужей и ежей:

Смесь ужа и ежа - это метр колючей проволоки. Как математически записать это выражение?

Решение нерешаемого уравнения. Смесь ужа и ежа это метр колючей проволоки. Математика для блондинок.
Треугольный интеграл Де Кольте по вырезу платья не применять :)))

четверг, 4 августа 2011 г.

Теорема о параллельных прямых, придуманная на ходу

Покуда я писал о решении системы уравнений онлайн, меня посетила одна мысль - я придумал теорему о параллельных прямых. Звучит она так:

расстояние между параллельными прямыми (плоскостями, объемами и т.д.) невозможно определить математическими методами

Заниматься её доказательством мы с вами сейчас не будем. Оставим на будущее. Если есть желающие доказать или опровергнуть эту теорему - занимайтесь. Лично меня заинтересовала, прежде всего, математическая последовательность действий при решении системы уравнений. Не сам порядок записи решения, а смысл того, что при этом происходит, геометрия процесса решения системы уравнений. Насколько могу судить я, пустое место возле "у" появилось в результате того, что тангенс (или котангенс) оказался равен нулю, поскольку угол между параллельными прямыми равняется нулю. Короче, я думаю, что всё решение сводится к тригонометрии, а в тригонометрии расстояний не бывает.

Вы можете возразить, что в учебниках математики очень много задачек, где нужно найти расстояние между параллельными прямыми и все они решаются математическими методами. Согласен, но... В учебниках математики есть много такого, чего нет в математике. Ещё больше в математике того, чего нет в учебниках математики. Понемногу мы с вами будем разбираться, что есть что в математике и откуда оно берется. И начнем мы с нерешаемых уравнений.

среда, 3 августа 2011 г.

Решение системы уравнений онлайн и деление на ноль

Лениво ползая по Интернету, наткнулся на один интересный математический сайт. Для блондинок - то, что надо! Лично меня поразила очень грамотно составленная программа для сайта и несгибаемый математический оптимизм авторов сайта. И так, начну по порядку.

Случайно попав на сайт IntegraloFF.NET, я решил посмотреть, что интересного для блондинок здесь можно безвозмездно позаимствовать (проще говоря - стырить). Методом научного тыка в случайно выбранную кнопочку я оказался на странице решения системы линейных уравнений онлайн. Вот что я увидел.

Решение системы линейных уравнений онлайн. Деление на ноль. Математика для блондинок.
Шесть окошечек с ноликами говорили мне о том, что туда надо что-то ввести. Соскребя по сусекам природного склероза остатки своих знаний по системам уравнений и одним глазом подглядывая на расположенный ниже пример системы линейных уравнения, я понял, что мне нужно ввести циферки. Желательно, циферки разные. Насколько я помню, эти циферки в линейных уравнениях называются коэффициентами.

Из первой строчки я решил нолики добросовестно удалить и заменить циферками. Теперь нужно было вспомнить, какие циферки я знаю. Так, "один" помню - это в первое окошко... Помню "два" - во второе окошко... Вот проклятый склероз! В третье окошко я, по инерции, снова ввел циферку "один"... Вау! Есть же ещё циферка "пять"!!! Её я добавил к единичке и у меня получилось число пятнадцать. С первой строчкой я покончил.

Удалять нолики из ячеек второй строчки мне уже было лень, по этому я просто добавил перед ними циферки "один", "два" и снова "один". Всё, система уравнений составлена и я смело нажал кнопочку "Ввод".

Словно после волшебного "Сезам, откройся!", передо мной появилась страничка с решением составленной мною системы линейных уравнений. Решение расписано до малейших подробностей, даже мне всё было понятно. Вверху красовались два моих уравнения, ниже был описан ход решения с пояснениями и вычислениями. Как в школьном учебнике...

В первом уравнении выражаем "х" через "у"... После этого полученное выражение подставляем во второе уравнение и находим значение "у"... Для того, что бы найти значение "х", нужно значение "у" подставить в одно из уравнений системы, например в первое уравнение... В результате решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными мы получили значение "х=15", значение "у= "

Я лениво просматривал текст решения, любуясь красотой буковок и циферок, как вдруг... СТОП!!! От неожиданности я даже проснулся. Мои глаза застыли на том месте, которое вывело меня из гипнотического транса. В значении "х" после знака равенства стояло число 15. В значении "у" после знака равенства было ПУСТОЕ МЕСТО! Я ничего не понимал... Как баран на новые ворота, я смотрел в пустоту после знака "равно". Беглый взгляд вверх - в решении, кажется, всё правильно. Везде стоят циферки, как и положено... Потом я медленно перевел взгляд в торону, где было представлено графическое решение системы уравнений... Тут я всё понял - на графике красиво вырисовывались две параллельные прямые.

Графическое решение системы линейных уравнений онлайн. Параллельные прямые на графике. Математика для блондинок.
Я уже начал догадываться, что произошло. Внимательно просмотрев решение, я быстро нашел причину - деление на ноль!

Решение системы линейных уравнений. Деление на ноль при решении системы линейных уравнений. Математика для блондинок.
Видите первую красную черточку на рисунке? После "у" равно стоит число, которое делится на ноль, после этого стоит ещё один знак равенства, а дальше ... пустота! В расчетах ниже, там, где должно стоять значение "у", везде пустое место. И, тем не менее, значение "х" победоносно найдено!!!

Да уж, в Интернете насмотришься всякого... Деление на ноль - это кошмарный сон любого программиста. Лично я впервые встречаю сайт, где деление на ноль просто игнорируется. Больше того, это проигнорированное решение участвует во всех дальнейших расчетах и позволяет получить вполне конкретный результат! Внимательно присмотревшись к концовке расчетов, я понял уловку программистов. Они приняли собственную математическую аксиому, которая гласит: "проигнорированное решение умноженное на число равняется нулю. Но, поскольку, эта аксиома является их личным изобретением и в математических священных текстах не значится, они стыдливо спрятали нолик подальше от наших глаз.

Как математик, могу вам сказать, что в подобном случае решение системы уравнений прекращается сразу же после появления деления на ноль. Деление на ноль указывает на то, что для дальнейшего решения этой системы уравнений нужно переходить к математическим методам деления на ноль. Как это записывается на математическом языке, мы с вами в недалеком будущем разберемся. На человеческий же язык это можно перевести приблизительно так: "Думай хоть немного! Только полный идиот может искать координаты точки пересечения двух параллельных прямых". Покуда же у математиков принято говорить "система не имеет решений".

После всех этих математических раскопок, я, наконец-то, задался вопросом: "А что же, собственно, за уравнения я написал?". Посмотрев внимательно на исходную систему уравнений, лениво придуманную мною, пришлось согласиться с математикой - я полный идиот. Если второе уравнение разделить на 10, то получим систему из таких уравнений:

х+2у=15
х+2у=1


Дальше пошел уже чисто спортивный интерес и рысканье по математическому справочнику в поисках ответа. Как видно из уравнений, они действительно являются уравнениями параллельных прямых.

Но вернемся к программистам. Сперва я подумал, что это полные тупицы. Но когда я открыл из закладок новую вкладку со страницей этого сайта, что бы дать вам ссылку на главную страницу... Вау! Я увидел вот это...

Мы всё можем. Такое пока не решаем, но скоро научимся. Математика для блондинок.
Вот пример математического оптимизма! Да, девиз настоящих математиков должен звучать именно так: "Мы такое пока не умеем решать, но скоро научимся". Без всяких "решение не возможно", "не имеет смысла". Эти слова для тупых бездарных посредственностей.

Вот после этого я восхитился программистами. Они убрали из вычисления и из программы ошибку деления на ноль. Они временно ввели свою аксиому. Они полностью сохранили ход решения системы линейных уравнений. Да, сегодня они не знают, чему равен результат деления на ноль. Но если завтра этот результат станет известен, им останется только ввести его в уже готовую программу и у них всё будет работать, теперь уже и с делением на ноль.

Если к математическим знаниям и математическому оптимизму этих ребят добавить прямолинейную логику блондинок... Все задачи в математике будут решены. Пусть и не сразу. Ведь мы не Боги, мы только учимся...