Показаны сообщения с ярлыком сложение. Показать все сообщения
Показаны сообщения с ярлыком сложение. Показать все сообщения

понедельник, 25 июля 2016 г.

Разложение на слагаемые

Тема занятий:
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ
На прошлом уроке мы рассмотрели
Сложение

Урок 16

Разложение на слагаемые


Если известен только результат сложения и неизвестны слагаемые, тогда сумму можно разложить на слагаемые при помощи линейных угловых функций.

Разложение суммы на слагаемые. Применение линейных угловых функций. Математика для блондинок.
Разложение суммы на слагаемые

Преобразование квадрата величины в произведение двух сумм (см. пример выше), можно выполнить с применением разложения результата умножения на множители и слагаемые.

Преобразование квадрата в произведение сумм. Математика для блондинок.
Преобразование квадрата в произведение сумм

Подобные преобразования могут быть полезны при изучении различных явлений природы для лучшего их понимания. Рассмотрим пример размножения живых существ.

Бесполое размножение живых организмов можно описать при помощи разложения суммы на слагаемые. В результате деления организма А получаются два самостоятельных организма В и С.

Бесполое размножение. Математика для блондинок.
Бесполое размножение

Для одноклеточных организмов характерно разложение на слагаемые при углах, близких к 45 градусам. Для многоклеточных организмов диапазон угла разложения варьируется в более широких пределах (вегетативное размножение, почкование, фрагментация). Единицей измерения при разложении можно считать физическое тело организма.

Началом жизни (ноль) подобных организмов можно считать момент деления родительского организма. Окончанием жизни (единица) можно считать собственное деление или смерть.

Половое размножение описывается при помощи умножения, но момент возникновения полового размножения можно описать при помощи линейных угловых функций. При одновременном размножении организмов А и В мог возникнуть жизнеспособный общий поток С, имеющий наследственные признаки двух родителей.

Возникновение полового размножения. Математика для блондинок.
Возникновение полового размножения

Какими должны быть углы разложения для появления общего потомка? Скорее всего, это зависит от генетических особенностей родительских организмов. Если судить о половом размножении исходя из размеров человеческих половых клеток, то наиболее вероятными кандидатами в «изобретали» полового размножения являются большая клетка и вирус. Вирус размножается внутри клетки. Одновременно с делением клетки происходило деление вируса. В результате воздействия внешних факторов или без их участия появился качественно новый организм. Или два – самец M и самка W.

Самец и самка. Половое размножение. Математика для блондинок.
Самец и самка

В качестве основы для сложения (единицы измерения) могла выступать молекула ДНК, которая имеется и у клетки, и у вируса.

Это только один из множества вариантов возможного развития событий. От момента появления жизни на Земле до момента появления полового размножения у Природы было достаточно времени для самых разных экспериментов.

Заключение

Дальнейшее изучение свойств единиц измерения поможет лучше понимать и более точно описывать математическими методами различные явления в окружающем мире.

Отдельные идеи, изложенные в данной работе, будут рассмотрены более подробно в последующих публикациях.

Благодарность

Выражаю искреннюю благодарность своим родителям и дочери Инне за финансовую поддержку моей работы над математикой.

Сложение

Тема занятий:
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ
На прошлом уроке мы рассмотрели
Линейные угловые функции

Урок 15

Сложение


В результате сложения двух разных величин получается третья величина. При сложении изменения происходит в области чисел, область единиц измерения не изменяется. Сложение возможно только для параллельных величин с одинаковыми единицами измерения. Сложение отражает количественные изменения величин.

5а+3а=(5+3)а=8а

Для выполнения сложения двух разных величин с единицами измерения в разных масштабах (угол масштаба единиц измерения не равен нулю), необходимо изменить масштаб единиц измерения так, чтобы угол масштаба между ними равнялся нулю. При этом не имеет значения, изменяется первое слагаемое, второе или оба сразу.

Сложить два одинаковых числа с разными единицами измерения нельзя, поскольку результат не имеет смысла.

5а+5b=5(a+b)

Преобразование результата сложения отрезков в стороны прямоугольника выглядит следующим образом.

Сложение и прямоугольник. Математика для блондинок.
Сложение и прямоугольник

Слагаемые можно представить как стороны прямоугольника, тогда полупериметр прямоугольника является результатом сложения. Для любой суммы можно определить линейные угловые функции, если известны слагаемые.

На следующем уроке мы рассмотрим
Разложение на слагаемые

пятница, 22 июля 2016 г.

Различия между умножением и сложением

Тема занятий:
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ
На прошлом уроке мы рассмотрели
Примеры умножения

Урок 10

Различия между умножением и сложением


Умножение – это изменение качества, то есть изменение единиц измерения. Вопреки общепринятому мнению [1, стр. 7; 2, стр. 10], умножение нельзя представить в виде сложения. Для подмены умножения сложением используются математические свойства умножения. С единицами измерения подмена выглядит так:

Подмена умножения сложением. Математика для блондинок.
Подмена умножения сложением

Алгебраические выражения с использованием букв подчеркивают разницу между сложением и умножением:

Умножение в алгебре. Икс умножить на игрек. Математика для блондинок.
Умножение в алгебре

Если при сложении слагаемые имеют одинаковые численные значения, то к сложению можно применить математическую модель умножения с допущением, что единицы измерения при умножении не изменяются:

Замена сложения умножением. Математика для блондинок.
Замена сложения умножением

В математике отдельными свойствами единиц измерения обладают:

- системы счисления чисел – нельзя складывать числа, представленные в разных системах счисления, вопрос возможности умножения чисел в разных системах счисления автором не изучался;

- знаменатели обыкновенных дробей – нельзя сложить дроби с разными знаменателями, при умножении дробей знаменатели перемножаются;

- буквенные обозначения в алгебраических выражениях – нельзя сложить числа с разными обозначениями, при умножении получается новое обозначение результата;

- условные обозначения функций (например, тригонометрических).

На следующем уроке мы рассмотрим
Ноль и бесконечность

воскресенье, 6 сентября 2015 г.

Что такое сумма чисел

Сумма чисел - это результат сложения двух или нескольких чисел. Первоначально было несколько чисел, а вот сумма этих чисел представлена уже в виде одного числа. Это последнее число и называется суммой. Вот несколько примеров.

2 + 3 = 5

4 + 6 + 7 = 17

В этих примерах числа 5 и 17 являются суммой других чисел, которые называются слагаемыми. В первом примере два слагаемых - это числа 2 и 3. Во втором примере слагаемых уже три - это числа 4, 6 и 7.

Следует не забывать, что одинаковая сумма может быть результатом сложения разных чисел. Если мы сложим числа 1 и 4, то их сумма будет равна 5, как и в первом примере, хотя там мы складывали числа 2 и 3.

В математических примерах сложение обозначается знаком "плюс". Крестик + (типа католического) видели в учебниках? Вот это и есть знак плюс. Для обозначения суммы часто используют большую греческую букву "сигма" и выглядит она вот так:

Сумма. Греческая буква сигма обозначает сумму. Математика для блондинок.
Сумма
 Кстати, некоторое количество денег тоже часто называют суммой. Скорее всего, так говорят потому, что нужная сумма денег получается в результате сложения отдельных денежных купюр. Есть на каждой бумажечке или монетке число, обозначающее количество денежных единиц (называется это "номинал" купюры или монеты). Как бы плохо человек не знал математику, но деньги считать умеют все. На сегодня это главное достижение математики)))

пятница, 4 сентября 2015 г.

Сумма трех измерений прямоугольного параллелепипеда равна

Простая детская задача. Сумма трех измерений прямоугольного параллелепипеда равна 52 см.Его длина в 2 раза больше ширины, а высота в 4 раза меньше ширины. Найди объем прямоугольного параллелепипеда.

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений, которые нам не известны. Взять линейку и измерить их мы не можем, значит берем в руки математику и приступаем.

Решение этой задачи я начну с вопроса к вам. Иксы учили? Берем в руки этот полезный математический инструмент и пользуемся. Обозначаем через икс самое меньшее измерение, чтобы не морочить голову с дробями. Судя из душещипательной родословной измерений этого параллелепипеда, высота самая меньшая и мы именно её обозначим через х. Теперь ширина нашего прямоугольного параллелепипеда будет равна , а длина станет равна 2*4х=8х. Если сложить в кучу все эти иксы, то эта куча равна 52 см. Не я это придумал, так в задаче сказано "Сумма трех измерений прямоугольного параллелепипеда равна..." Записываем это простое уравнение с одним неизвестным и решаем его. Если мы не в состоянии этого сделать, тогда позор джунглям! Смотрим, как это делается:

8х + 4х + х = 52
(8 + 4 + 1)х = 52 (эту строчку не нужно тупо переписывать в тетрадь, иначе над вами весь класс смеяться будет; но лично я от таких фокусов в математике просто балдею)
13х = 52
х = 52/13
х = 4

И так, мы определи, что наш икс равняется четырем. В переводе с математического языка на язык простых смертных, с учетом условий решаемой нами задачи, это означает, что высота прямоугольного параллелепипеда равна 4 сантиметра. Теперь находим ширину:

4х = 4*4 = 16 см

В заключение наших мучений с иксами находим длину:

8х = 8*4 = 32 см

В математике мало решить задачу, нужно ещё доказать, что мы задачу решили правильно. Это только ученые-математики могут просто написать определение, а все мы потом тупо в него верим. При решении задач нужно делать проверку. Сложим вместе найденные нами три измерения и сравним результат с условием задачи.

4 + 16 + 32 = 52 см

Результат совпадает с условием, значит сумму трех измерений прямоугольного параллелепипеда мы нашли правильно. Но в самой задаче нас просят определить объем этого прямоугольного параллелепипеда. Перемножаем найденные нами измерения и получаем объем:

V = a*b*c = 4*16*32 = 2048 см в кубе

Кстати, про фокусы в математике. Сотрите, как ловко мне удалось выдворить икс за скобки. А теперь любопытная задача. В классе три ученика. У каждого есть мобильный телефон. Можно ли вынести мобильный телефон за скобки и убрать из класса? Казалось бы, чего проще. Можно представить каждого ученика как единичку, мобильный телефоном - как икс. Ученик с мобильным телефоном получается как один икс. Складываем всех учеников с мобильными телефонами и выносим икс за скобки, то есть за дверь. А вот за дверью нас ожидает сюрприз - там окажется не один телефон, а три. В чем прикол? В правильности изложения наших действий на языке математики.

Ни в одном учебнике математики вы не найдете четких правил, в каких случаях нужно ставить знак умножения, а в каких - знак сложения. Эти правила ещё только предстоит написать. Вот смотрите. Между учеником и его мобильным телефоном нет неразрывной связи. Они великолепно могут существовать друг без друга. Поэтому, правильно будет обозначить ученика с мобильным телефоном как сумму двух слагаемых: ученика (единица) и мобильного телефона (икс).

Теперь посмотрим на математическое описание процесса выдворения мобильных телефонов за дверь.

(1 + х) + (1 + х) + (1 + х) = 3(1 + х) = 3 + 3х

 
В качестве двери у нас выступает знак сложения. Как видите, за дверью у нас оказалось три мобильных телефона. В данном примере алгебре совершенно безразлично, находится мобильный телефон в кармане ученика или за дверью класса. Для определения расстояний необходимо применять другие математические инструменты, например, геометрию.

Вот видите, как много интересного можно найти в математике, если её не просто зубрить, а попытаться понимать. 

четверг, 23 апреля 2015 г.

Увеличили - это плюс или умножить?

Если у вас возник вопрос: "Увеличили - это плюс или умножить?", то однозначного ответа на него нет. Нужно читать или слушать, что же там дальше. Если "увеличили на сколько-то чего-то", то это сложение и знак плюс. Например, число 7 увеличили на 2 единицы. Что мы делаем? К прежнему значению прибавляем увеличение и получаем новое значение:

7 + 2 = 9

Увеличили. Это плюс или умножить. Математика для блондинок.
Увеличили
Если "увеличили во сколько-то раз", то это умножение. Например, число 7 увеличили в 2 раза. Нужно прежнее значение умножить на указанное количество раз и мы получим новое значение:

7 * 2 = 14

Как видите, цифры в приведенных примерах одинаковые, а результат разный. Всё зависит от того, как сформулирована мысль.

"В больше" - это умножить? Совершенно верно. Прежнее значение умножаем на на указанное количество раз и получаем новое значение. Например, "курс доллара стал в 2 раза больше". Берем старые 40 рублей за доллар, умножаем на два: 40*2=80 и получаем новый курс 80 рублей за доллар. Не забудьте поблагодарить свое "мудрое" правительство за подобные сюрпризы и себя за то, что покорно вылизываете задницы этим наглым проходимцам.

среда, 14 мая 2014 г.

Икс плюс икс равно

Просматривая комментарии, приходишь к неутешительному выводу: некоторые математики не в состоянии объяснить своим ученикам самых элементарных вещей. Как и что можно делать с иксами? С этим мы попытаемся разобраться. А для любителей быстрых ответов скажу сразу: икс плюс икс равно два икс. Это типа сапог плюс сапог - два сапога пара. Если к одному иксу прибавить другой икс получится чудненькая парочка иксов.

Икс плюс икс равно два икс. Икс плюс два икс равно три икс. Икс умножить на икс равно икс в квадрате. Математика для блондинок.
Икс плюс икс равно два икс
Первая проблема, с которой сталкиваются обучаемые математике - это отсутствие чисел возле букв. В грамматике буквы просто читают. В математике с буквами что-то нужно делать, типа складывать или умножать. Но ведь до этого складывать и умножать учили только числа.

Вторая проблема - что можно делать с буквами, а что нельзя? Четкий ответ на этот вопрос вы вряд ли найдете у математиков.

Начнем по порядку. Почему математики не всегда пишут числа возле букв? Врать не буду, я не путин, но версия появления букв в математике у меня есть. Как любят говорить политики, "так исторически сложилось". Если изменить математические правила и всегда писать количество букв перед самой буквой, тогда проблем будет гораздо меньше. Но вы представляете, что означает "изменить математические правила"? Это всё равно, что Библию изменить.

Буквы с числами. Один икс плюс один икс равно два икс. Математика для блондинок.
Буквы с числами
Как видите, с циферками всё гораздо понятнее: если к одному иксу прибавить ещё один икс, то у нас получится два икса. Никто из математиков вам этого не скажет, но вспомните детский садик. Там вас учили отрывать числа от их содержания и тупо выполнять действия с числами: один плюс один равно два. Когда вы начинаете выполнять математические действия с буквами, вам нужно прилепить содержание к числам. Идиотизм ситуации в том, что не перед всеми буковками есть число. Теперь вам нужно не отрывать числа, а наоборот - прилеплять их к буквам, хотя бы мысленно, поскольку правилами математической грамматики это не предусмотрено.

Математики, как черт ладана, боятся детского садика. Никогда никто о нем не вспоминает. И есть чего бояться. Давайте вернемся в детский садик и посмотрим, что получается.

Сложение в детском садике. Зайчик плюс зайчик равно два зайчика, икс плюс икс равно два икса. Математика для блондинок.
Сложение в детском садике

Зайчик плюс зайчик равно два зайчика, икс плюс икс равно два икса. То, что вы делаете в детском садике со зверушками, на уроках алгебры можно делать с буквами - ашками, бешками, иксами, игреками... Чуть-чуть усложним задачу и добавим циферок в каждый из примеров.

Пример сложения. Зайчик плюс три зайчика равно четыре зайчика, икс плюс три икса равно четыре икса. Математика для блондинок.
Пример сложения
Зайчик плюс три зайчика равно четыре зайчика, икс плюс три икса равно четыре икса. Буквы в математике можно складывать и вычитать точно так же, как вы складывали и вычитали зверушек или счетные палочки в детском садике. Рассмотрим более сложные примеры.
  
Пример с иксами. Сложение и вычитание иксов. Математика для блондинок.
Пример с иксами
То, что здесь проделано с иксами, можно сделать с любыми зверушками из детского садика или с любыми буквами из алгебры. По своим математическим свойствам детсадовские зверушки ничем не отличаются от алгебраических букв. Наш пример решен двумя способами - без скобок и со скобками. Получается, что когда в детском садике нас учат отрывать числа от содержания, мы практически учимся выполнять математические действия с числами в скобках. В начале мы отрываем числа от названий зверушек, выполняем математические действия с числами и в конце решения прикрепляем название зверушки к результату.

Названия зверушек в детском садике выполняют роль единиц измерения чисел. В алгебре буквы выполняют  ту же самую роль. Когда в одном примере встречаются разные зверушки, мы по их названиям выполняем сложение или вычитание: зайчики с зайчиками, уточки с уточками. Когда в одном алгебраическом примере встречаются разные буквы, поступать нужно точно так же - ашки с ашками, бешки с бешками, иксы с иксами, игреки с игреками.

Пример с двумя буквами. Математика для блондинок.
Пример с двумя буквами
Как видите, что в детском садике, что в алгебре, математика абсолютно одинакова. И эта математика не зависит от того, что математики рассказывают вам о своих буквах - известные, неизвестные, коэффициенты или просто погулять вышли. Надеюсь, со сложением и вычитанием иксов мы разобрались.

Теперь наступает самый интересный момент - умножение в детском садике. Такое математикам может присниться только в самом страшном сне. Смотрите сами. Берем сложение в детском садике и заменяем его умножением.

Умножение в детском садике. Зайчик, умноженный на зайчика равняется зайчику в квадрате. Икс умноженный на икс равняется иксу в квадрате. Математика для блондинок.
Умножение в детском садике
Зайчик, умноженный на зайчика, равен зайчику в квадрате. Бред получился. Вот почему в детском садике умножение никогда не изучают. Икс, умноженный на икс, равен иксу в квадрате. Вроде как и ничего страшного, к иксу без шапочки добавляется шапочка со степенью. А вот метр, умноженный на метр, равняется метру квадратному. Длина, умноженная на ширину, дает площадь. Здесь совсем всё понятно.

Как видим, не все единицы измерения имеют одинаковые математические свойства. Сегодня ни один математик вам ничего толком не объяснит - не изучают в математике единицы измерения. Мы с вами рассмотрим математические свойства единиц измерения немного позже. Здесь нужен уровень чуть выше, чем в детском садике или на первых уроках алгебры. Собственно, высшую математику специально для того и придумали, чтобы математики могли с умным видом вам объяснять, почему они не понимают самых элементарных вещей.

Когда математики вам рассказывают, что умножение можно заменить сложением - не верьте им, они врут, как путин. Только умножение числа на число можно представить в виде сложения. Во всех остальных остальных случаях, когда речь идет о единицах измерения, сложение и умножение - это совершенно разные вещи. Получается, что математика без единиц измерения - это детская игра в числа для взрослых дядек и тёток.

Но продолжим дальше. Как быть, если в одном примере единицы измерения или буквы разные? Единицы измерения перемножаются между собой, а буквы... То же правило, что и при сложении: ашки с ашками, бешки с бешками, иксы с иксами... Только теперь не складываются, а перемножаются. Числа перемножаете отдельно с числами.

Умножение двух букв. Зайчик, умноженный на уточку, равен зайко-уточке. Математика для блондинок.
Умножение двух букв
Да, зайко-уточка - это, конечно, жесть. Но... Таковы законы математики. Надеюсь, со сложением и умножением иксов мы разобрались.

Теперь второй вопрос - что можно делать с иксами? Да что угодно, хоть ногами пинайте, но только не нарушайте равенство. Как это? А вот так - икс плюс икс равно...

Икс плюс икс. Различные варианты преобразования равенства. Математика для блондинок.
Икс плюс икс
Вариантов преобразования равенства может быть бесконечное множество. Математики, без особой нужды, такими штучками не балуются. Но и относиться к иксам, как к святыне - тоже не правильно. Буквы в математике - это самые обычные рабочие инструменты, которыми нужно грамотно пользоваться.

Что ещё можно отметить? Если раньше, в примерах с числами, учителя вам писали, какие действия нужно выполнять, ну, там, типа, сложение или умножение, то в алгебраических выражениях с буквами вы уже сами, как Боги, определяете, что делать можно, а что нельзя.

Коль мы уже затронули тему умножения и получили зайко-уточку, то уместно будет дать ответ на самый популярный детский вопрос.

воскресенье, 20 апреля 2014 г.

Сложение и вычитание дробей

Какие действия над дробями можно выполнять? Сложение дробей, вычитание дробей, умножение дробей, деление дробей. Да и вообще, с дробями можно делать всё, что вы делаете с другими числами. Сравнивать дроби мы уже научились. Лично мне кажется, что математические действия не признают нашего числового расизма, для них все числа одинаковы.

Действия над дробями. Сложение, вычитание, умножение, деление дробей. Обратная дробь. Математика для блондинок.
Действия над дробями
При сложении и вычитании дробей действует "знаменательное" правило - складывать и вычитать дроби можно только с одинаковыми знаменателями. Так сказать, слияние знаменателей. Сложение и вычитание дробей возможно только при условии слияния знаменателей. А условием слияния знаменателей является их абсолютное равенство. Кстати, в термоядерном синтезе, по уверению наших ученых, сливаются только ядра одинаковых элементов: синтез водорода, синтез гелия и так далее. Почему не происходит слияние ядер различных элементов? Неужели термоядерный синтез в физике подчиняется законам сложения дробей??? Но это так, только что мне в голову пришло. Записал здесь, чтобы не забыть такой интересный вопрос.

Сложение дробей


Обычно я тупо перемножаю знаменатели и получаю общий знаменатель, не заморачиваясь со всякими там наименьшими общими кратными (НОК). После сложения всё лишнее сократится. Выглядит это приблизительно так.

Сложение дробей неправильно. Математика для блондинок.
Сложение дробей неправильно
Естественно, для тупых бюрократических функций правильность выполнения всех действий имеет принципиальное значение. Какой же это шаман, который даже танец с бубном правильно станцевать не может? Математике-то по барабану - делайте, как хотите, лишь бы результат был правильным. Вот как нас нас математики учат правильно складывать дроби.

Сложение дробей правильно. Математика для блондинок.
Сложение дробей правильно
Как видите, в конце нам ничего сокращать не нужно. Но зато со знаменателями возиться приходится - искать наименьшее общее кратное. Школьникам нужно делать так, как учителя требуют. Иначе хороших оценок не видать. Взрослым можно делать как угодно. Им плохие оценки не угрожают.

Это ещё не всё про сложение дробей. Теперь возьмем любимые цацки математиков - буковки - и посмотрим, как сложение дробей выглядит в буквах. Сами математики почему-то стесняются нам показывать этот фокус. Сперва складываем две дроби с одинаковыми знаменателями.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Формула. Математика для блондинок.
Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
Вот такая простая формула сложения дробей с одинаковыми знаменателями. Если знаменатели у складываемых дробей разные, формула по интереснее будет.

Сложение дробей с разными знаменателями. Формула. Математика для блондинок.
Сложение дробей с разными знаменателями
Вот какая крутая формула сложения дробей с разными знаменателями. Ну, и как из двух разных буковок выковырять наименьшее общее кратное? Математики, ау! Такая фигня, как НОК, математической формулой не предусмотрена. Это всё тупые бюрократические функции из министерства учебников придумали. С точки зрения математики, поиск наименьшего общего кратного не является обязательным элементом сложения дробей.

Ради математической справедливости нужно рассмотреть сложение дробей в древневавилонском отображении, то есть, заменить дробь умножением числа на обратное число.

Сложение дробей в древнем Вавилоне. Математика для блондинок.
Сложение дробей в древнем Вавилоне
В первой строчке сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Дальше - сложение дробей с разными знаменателями. Как видите, всё чудненько работает, только грамматика записи чуть-чуть другая. Впрочем, эта грамматика нисколько не противоречит современным формам записи математических выражений. Приведенные формулы можно считать доказательством того, что в древнем Вавилоне могли легко складывать дроби. Я не думаю, что тогда люди были глупее нас. Судя по нашим школьным учебникам математики - гораздо умнее. За пять тысяч лет можно не только поумнеть, но значительно поглупеть. Особенно, если постоянно забивать мозги всякой дрянью.

Естественно, я буду не я, если к формулам сложения дробей не притяну за уши убогое определение рациональных чисел. То, в котором буквы "пэ" и "кью".

Формулы сложения дробей. Мтематика для блондинок.
Формулы сложения дробей
Что такое число "ка"? Это число, которое исчезает в результате сокращения дроби. Если при сложении дробей получилась несократимая дробь, значит у нас k=1, если в результате сложения дробей получилось целое число, значит у нас k=1, q=1.

В формулы сложения дробей вместо буковок a, b, c, d можно подставлять всё, что угодно - целые числа, дробные, квадратные корни, математические выражения... Эти формулы будут работать всегда. Это настоящая математика, которая не зависит ни от научной моды, ни от маразма научных правителей. С буковками p и q более печальная история. Маразм современных математиков разрешает подставлять вместо них только целые числа с целью получения рационального числа. Но это только в теории чисел. В других разделах математики в числителе и знаменателе дроби можно встретить всё, что угодно.

Вычитание дробей


Вычитание дробей выполняется точно так же, как и сложение, только знак плюс заменяется на знак минус. Я не стану полоскать вам мозги диссертацией про вычитание дробей с целью начитывания учебных часов. Если вы поняли принципы сложения дробей, то с вычитанием у вас проблем не будет. Формулы вычитания дробей могу показать, с тем же рациональным маразмом в конце, который нам напоминает о необходимости сокращения дроби в конце. Математиков тошнит от не сокращенных дробей.

Формула вычитания дробей. Математика для блондинок.
Формула вычитания дробей
  
И это ещё не конец. Теперь мы запишем формулы сложения и вычитания дробей в чистом виде, без всякого рационального маразма.

Сложение и вычитание дробей. Формулы. Математика для блондинок.
Сложение и вычитание дробей
Верхние формулы показывают сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, нижние формулы для дробей с разными знаменателями.

А в заключение мы возьмем формулу сложения и вычитания дробей с разными знаменателями и посмотрим, как она превращается в сложение и вычитание целых чисел. То простое сложение, которому учат ещё в детском садике.

Дроби и целые числа. Преобразование сложения и вычитания дробей в сложение и вычитание целых чисел. Математика для блондинок.
Дроби и целые числа
Вот так выглядит преобразование сложения и вычитания дробей в сложение и вычитание целых чисел. Если математики вам таких преобразований не показывают, значит они не хотят, чтобы вы что-то понимали в математике. Но чаще всего математики сами ничего не понимают в математике, а тупо повторяют то, чему их научили.

После сложения и вычитания дробей мы рассмотрим умножение дробей.

четверг, 16 мая 2013 г.

Как не менять знаки внутри скобок?

Всех нас учат менять знаки при раскрытии скобок или закрывании части выражения в скобки, если перед скобками стоит знак минус. Давайте рассмотрим этот нудный процесс на полуживых примерах.

11-(2+5-4) = 11-3 = 8

Перед выражением в скобках стоит знак минус, это значит, что при раскрытии скобок нужно поменять все знаки на противоположные у всех чисел, которые находятся внутри скобок. Этот же пример, но уже без скобок.

11-(2+5-4) = 11-2-5+4 = 9-5+4 = 4+4 = 8

Теперь попробуем взять часть выражения в скобки. Рассмотрим другой пример.

1+2+3+4 = 10

Естественно, вы спросите: "Где же здесь знак минус?!" Не переживайте, сейчас появится.

1+2-(-3-4) = 3-(-7) = 3+7 = 10

Я поставил перед скобками знак минус и поменял знаки перед числами внутри скобок. При раскрытии скобок я снова поменял знак на противоположный, поскольку у меня перед скобками стоит знак минус. В итоге результат остался неизменным.

Теперь более заковыристый пример.

17-6+9 = 20
17-(6-9) = 17-(-3) = 17+3 = 20

Как видите, сплошная головная боль получается, если вдруг перед скобками появляется знак минус. Как не менять знаки внутри скобок? Очень просто - не нужно ставить минус перед скобками. Вот смотрите, как это делается.

17-6+9 = 17+(-6+9) = 17+(3) = 17+3 = 20

Теперь рассмотрим два последних примера под микроскопом. В первом случае я поставил первую скобку после знака минус. Я словно ножом разрезал отрицательное число на две части - знак минус и положительное число. Знак минус оказался перед скобкой, а положительно число - внутри скобок. Посмотрите.

17-(6........

Фактически мы в скобки заключаем положительное число, которое до этого было отрицательным. Изменение знака перед первым числом внутри скобок прошло на полном автопилоте без всякого нашего вмешательства. Такой себе автомат по обрезанию знака минус у чисел. А вот с остальными числами, попадающими в такие скобки, уже возникают проблемы. Знаки у них нужно менять вручную.

Во втором случае я поставил открывающую скобку перед знаком минус. Фактически я заключаю в скобки отрицательное число вместе со знаком минус. Вот как это выглядит первоначально.

17(-6.........

Теперь между числом 17 и скобкой нет никакого знака, что в математике подразумевает умножение. Но мне не нужно ничего умножать. Чтобы ответ при решении примера оставался прежним, я ставлю перед скобкой дополнительный знак "плюс".

17+(-6.........

Вот теперь всё правильно записано. Перед скобками появляется знак полюс и знаки перед числами внутри скобок менять не нужно. Никакого математического преступления я не совершаю, просто грамотно избавляюсь от лишних действий по замене знаков внутри скобок. Почему математики всегда так не делают? Их никто этому не учил. Если этого нет в учебной программе, то и учить вас этому никто не будет. Математику мало знать, нужно ещё уметь нею пользоваться.

воскресенье, 12 августа 2012 г.

Телепортация в математике

Не научные, но фантастические приключения блондинок с элементами реализма. Продолжение рассказа об абсолютном нуле температуры.

- Прежде, чем мы рассмотрим телепортацию в математике, вспомним довольно простые математические правила:

1. Если сложить два числа, получится третье число.
2. Если умножить два числа, получится третье число.
3. Если к числу прибавить ноль, число не изменится.
4. Если число умножить на единицу, число не изменится.
5. Если из числа вычесть точно такое же число, получится ноль.
6. Если число разделить на точно такое же число, получится единица.
7. Если к двум частям равенства прибавить одинаковые числа, равенство не изменится.
8. Если две части равенства умножить на одинаковые числа, равенство не изменится.

- Ого, сколько правил! – возмутилась одна из блондинок.

- Не бойтесь, это я просто перечислил те правила, которые мы будем использовать. Обычно мы никогда не задумываемся над ними. Мы просто делаем то, что от нас требуется в задаче, а эти правила мы используем автоматически. Составим два примера с использованием этих правил. Один пример на сложение, второй пример на умножение.

Телепортация в математике. Почему при переходе через знак равенства нужно менять знак. Почему при переходе через равно нужно делить, а не умножать. Свойства пропорции. Математика для блондинок.

- В одной части равенства число исчезает, в другой части равенства число появляется. Через знак равенства мы ничего не переносили. Вот такая телепортация в математике. В школе нас учат, что при переносе числа через знак равенства с этим числом нужно что-то сделать. При сложении и вычитании нужно изменить знак на противоположный, при умножении и делении необходимо изменить математическое действие. Фактически же мы имеем дело с симметрией. Для сложения и вычитания это зеркальная симметрия, для умножения и деления это обратная симметрия. К написанным мною примерам вы можете относиться как угодно. Можете считать это просто математической шуткой. Но запомнить вам нужно то, что при реальной телепортации в пространстве будут выполняться всё те же законы симметрии. Вы не сможете перенести свои драгоценные тела в другую точку пространства, ничего не взяв оттуда взамен. На чем будет основан такой обмен? На объеме, на массе, на энергии? Это ещё предстоит выяснить. Думаю, самый лучший вариант для нас – это обмен объемов. Например, мы заходим в лифт и меняем объем кабинки лифта с нашим телом на точно такой же объем другой кабинки лифта с воздухом из соседней галактики. Объемы поменялись местами – мы очутились в другой галактике.

- Круто! – воскликнули блондинки.

- Обладая такими технологиями, мы уже не будем динозаврами на собственной планете. В случае больших неприятностей мы всегда сможем улизнуть на другую планету. Именно так инопланетяне обеспечивают свое выживание.

- А у инопланетян нельзя взять такую кабинку? – спросила одна из блондинок.

- Они не дадут. Нельзя маленьким деткам играться взрослыми вещами. Вы посмотрите, как мы выглядим со своим «покорением ядерной энергии». Как обезьяны с гранатой. Хиросима и Нагасаки – это мы бросили ядерную гранату в других. Здорово бабахнуло. Чернобыль и Фукусима – ядерная граната взорвалась прямо в руках. Теперь мы не знаем, что с этим делать. Сперва нужно изменить свою психологию, а только потом вылезать из собственной планеты.

- И как её изменить? – вопросительно посмотрели блондинки.

- В том числе и при помощи изучения математики. Вы про Большой Взрыв, в результате которого появилась наша Вселенная, слышали?

- Ну, да! – оживились блондинки.

- И про расширение нашей Вселенной? – блондинки кивнули, - А теперь давайте посмотрим, что нам скажет математика о расширении Вселенной. Думаю, для вас это будет не меньший взрыв мозга.

четверг, 29 марта 2012 г.

Почему умножение первое?

Вот какой интересный вопрос о порядке выполнения математических действий мне задали:

меня зовут Александр. меня подруга замучала вопросом почему умножение делается раньше сложения? например почему 1+2*3=7 а не 9 я просто не знаю как объяснить, просто знаю что 7 и всё!!))))

Традиционный ответ на этот вопрос будет звучать приблизительно так: правила математики гласят - сперва выполняется умножение, потом сложение. Нам нужно просто делать то, чему нас учат наши учителя, соблюдать математические правила и мы получим правильный результат. В математике абстрагирование от конкретных условий приводит к потере смысла выполняемых действий.

Так всё же почему умножение выполняется первое, а только потом сложение? Ответ довольно прост. При умножении двух разных единиц измерения получается новая единица измерения, при сложении единицы измерения не меняются. При умножении мы получаем эту самую новую единицу измерения. Если она такая же, как и у первого слагаемого, тогда мы можем выполнить сложение.

Вот задача, которая хорошо иллюстрирует сказанное. У нас имеется геометрическая фигура площадью 1 квадратный сантиметр. К ней прибавили прямоугольник размером 2 на 3 сантиметра. Какая общая площадь двух фигур? Если вы захотите к одному квадратному сантиметру прибавить два сантиметра стороны прямоугольника, то у вас ничего не получится. Нельзя сложить две величины с разными единицами измерения. Если вы умножите стороны прямоугольника, тогда вы получите его площадь. Площадь с площадью можно сложить и получить результат - 7 квадратных сантиметров составляет общая площадь двух фигур.

По умолчанию, в математике считается, что если между числами записан знак математического действия, значит это действие можно выполнять. Отсутствие единиц измерения превращает математику в бессмысленную детскую игру в числа.

пятница, 18 марта 2011 г.

О симметрии математических действий

О симметрии математических действий - это моя первая официальная публикация. Судя по всему, моя пламенная речь под названием "Математика forever!" осталась незамеченной. Оно и понятно. Прочтя подобное, я бы сам сказал, что очередной идиот носится по всему Интернету со своей дурацкой идеей. Но... Всё, что здесь пишется, я пишу исключительно для вас и публикую здесь в единственном экземпляре, в отличие от других авторов бредовых идей. С моей статьей о симметрии математических действий вы первые можете ознакомиться прямо здесь и сейчас. Есть в этом что-нибудь интересное или нет - решайте сами. В скобках я дам некоторые свои комментарии (специально для вас), которые в печатном варианте статьи отсутствуют.

Аннотация: Правила симметрии математических действий позволяют применять переместительный закон ко всем математическим действиям: сложению, вычитанию, умножению и делению. (Аннотация - это обязательное условие для публикации статьи. Таковы правила бюрократических игр в науку)

Изменения в окружающем мире выражаются математическими действиями. Количественные изменения выражаются сложением и вычитанием. Качественные изменения выражаются умножением и делением. Никакие количественные изменения не могут привести к изменению качества.

Количественные изменения отражают изменение количества отдельно взятой единицы измерения. Сложение и вычитание являются симметричными математическими действиями, отражающими количественные изменения любой единицы измерения. Сложение и вычитание зеркально симметричны относительно нейтрального элемента – точки ноль.

Умножение и деление так же являются симметричными математическими действиями, отражающими качественные изменения единиц измерения. Умножение и деление обратно симметричны относительно нейтрального элемента – точки один.

Правила симметрии математических действий:

1. Любое математическое действие начинается с нейтрального элемента.

2. Знак математического действия является неотъемлемым атрибутом числа, перед которым он стоит.
(Этот фрагмент выделен мною жирным текстом специально для вас)

Применение этих правил позволяет применять переместительный закон ко всем математическим действиям, отражающим качественные либо количественные изменения.

0 + 3 + 7 + 4 = 0 + 7 + 3 + 4 = 14

0 – 3 – 7 – 4 = 0 – 7 – 3 – 4 = –14

0 + 3 – 7 – 4 = 0 – 7 + 3 – 4 = –8

1 х 3 х 7 х 4 = 1 х 7 х 3 х 4 = 84

1 : 3 : 7 : 4 = 1 : 7 : 3 : 4 = 1/84

1 х 3 : 7 : 4 = 1 : 7 х 3 : 4 = 3/28

Переместительный закон не может применяться в случаях смешанного выполнения математических действий, отражающих качественные и количественные изменения в одном математическом выражении.

Изменение математических действий на симметричные дает симметричный результат, при этом точкой симметрии является нейтральный элемент. Применение переместительного закона не влияет на результат.

0 – 3 – 7 – 4 = 0 – 7 – 3 – 4 = –14

0 + 3 + 7 + 4 = 0 + 7 + 3 + 4 = 14

0 – 3 + 7 + 4 = 0 + 7 – 3 + 4 = 8

1 : 3 : 7 : 4 = 1 : 7 : 3 : 4 = 1/84

1 х 3 х 7 х 4 = 1 х 7 х 3 х 4 = 84

1 : 3 х 7 х 4 = 1 х 7 : 3 х 4 = 28/3

Изменение чисел в математических действиях на симметричные относительно нейтрального элемента числа дает симметричный результат.

0 + (–3) + (–7) + (–4) = 0 + (–7) + (–3) + (–4) = –14

0 – (–3) – (–7) – (–4) = 0 – (–7) – (–3) – (–4) = 14

0 + (–3) – (–7) – (–4) = 0 – (–7) + (–3) – (–4) = 8

1 х 1/3 х 1/7 х 1/4 = 1 х 1/7 х 1/3 х 1/4 = 1/84

1 : 1/3 : 1/7 : 1/4 = 1 : 1/7 : 1/3 : 1/4 = 84

1 х 1/3 : 1/7 : 4 = 1 : 1/7 х 1/3 : 1/4 = 28/3

Одновременное изменение математических действий на симметричные и изменение чисел на симметричные относительно нейтрального элемента числа оставляет результат без изменений.

0 – (–3) – (–7) – (–4) = 0 – (–7) – (–3) – (–4) = 14

0 + (–3) + (–7) + (–4) = 0 + (–7) + (–3) + (–4) = –14

0 – (–3) + (–7) + (–4) = 0 + (–7) – (–3) + (–4) = –8

1 : 1/3 : 1/7 : 1/4 = 1 : 1/7 : 1/3 : 1/4 = 84

1 х 1/3 х 1/7 х 1/4 = 1 х 1/7 х 1/3 х 1/4 = 1/84

1 : 1/3 х 1/7 х 4 = 1 х 1/7 : 1/3 х 1/4 = 3/28

Нейтральные элементы математических действий не принято писать при решении математических задач и примеров, поскольку они не влияют на результат. Перед применением переместительного закона введение нейтральных элементов позволяет правильно применить переместительный закон.

Написано всё это, конечно, не для блондинок, а для математиков. В будущем мы еще не раз будем обращаться к этой статье. А пока... вы знаете о симметрии математических действий больше любого математика.

среда, 17 марта 2010 г.

Разность - это поделить или умножить?

Разность - это отнять. Результат вычитания называется разность.

Если названия чисел, которые принимают участие в процессе выполнения математических действий, записать в виде математических выражений, то у нас получатся очень наглядная запись:

уменьшаемое - вычитаемое = разность

При чтении это будет звучать так: "уменьшаемое минус вычитаемое равно разность". 

Сумма - это сложить. Результат сложения называется сумма. Числа, которые складываются в кучку, называются слагаемыми.

слагаемое + слагаемое = сумма

"Слагаемое плюс слагаемое равно сумма". Чтобы хоть как-то отличать одно слагаемое от другого, им присваивают порядковые номера: первое слагаемое, второе слагаемое и так далее по количеству слагаемых в сумме.

Произведение - это умножить. Результат умножения называется произведение.

сомножитель х сомножитель = произведение

"Сомножитель умножить на сомножитель равно произведение". Как и при сложении, при умножении сомножители различаются порядковыми номерами: первый сомножитель, второй сомножитель и так далее (если сомножителей много).

Частное - это деление. Результат деления называется частное.

делимое : делитель = частное

"Делимое разделить на делитель равно частое".

Если деление записывается в виде дроби с использованием дробной черты, тогда делимое называют числителем, делитель называют знаменателем.

числитель / знаменатель = частное

"Числитель разделить на знаменатель равно частное".

Найти решение:

При разности делим или умножаем - при разности мы не делим по братски и не умножаем нажитое непосильным трудом - мы самым наглым образом отнимаем! Помните, как говорили пираты барону Мюнхгаузену в мультфильме? "Эй, там, на острове! Отдавай свой сундук" - это и есть пример отнимания, которое в математике называется вычитанием.

Вычитание, отнимание, разность в математике. Математика для блондинок.
Какое действие представляет разность - на Всемирном Конгрессе Математических Действий, состоявшемся не понятно где в неизвестном году, разность вручила свои верительные грамоты от имени вычитания. Вот с тех незапамятных времен разность представляет результат математического действия "вычитание" или по-простому "отнять".