Показаны сообщения с ярлыком степень числа. Показать все сообщения
Показаны сообщения с ярлыком степень числа. Показать все сообщения

суббота, 10 сентября 2016 г.

Неизвестная степень числа

Меня тут попросили решить одну задачу, в которой нужно найти неизвестную степень числа. Собственно, не саму задачу решить, а принять участие в решении. Суть задачи такова. Есть два числа, которые имеют такой вид:
Два числа в неизвестной степени. Математика для блондинок.
Два числа в неизвестной степени
О степени этих чисел нам известно:

1) количество разрядов в числе;
2) первые насколько цифр числа.

Задача: как, хотя бы приблизительно, определить, во сколько раз первое число больше второго?
Отношение чисел. Математика для блондинок.
Отношение чисел
Специально для работы со степенями чисел математики придумали такой инструмент, как логарифмы. Поскольку я в логарифмах мало сто понимаю и разбираться в этом у меня нет ни малейшего желания, мы пойдем другим путем.

Среда нашего обитания оказывает очень сильное влияние на образ нашего мышления. Христианство - это единобожие (в "теорию" о триединстве Бога вдаваться не будем, кто её придумал, пусть тот  и исповедует). К неизвестному числу икс мы автоматически относимся как к божеству - для нас оно едино и неделимо. Вспомним язычников. У них было множество богов на все случаи жизни. К чему это я? К тому, что наше неизвестное число состоит из отдельных цифр в позиционной системе счисления. Часть этих цифр нам известна, часть - нет. А дальше - совсем просто.

Предположим, что наше неизвестное число имеет семь разрядов, три первые из них нам известны. В этом случае мы можем записать число в позиционной системе следующим образом:
Позиционная запись числа
Если вместо знаков вопроса мы запишем цифру "ноль", мы получим наименьшее возможное число. Если вместо знаков вопроса мы запишем цифру "девять", мы получим наибольшее возможное число. Теперь мы можем легко записать пределы значений наших чисел a и b. Отношения этих чисел так же будут находиться в определенных пределах.
Значения чисел. Математика для блондинок.
Значения чисел
Если известен алгоритм поиска следующего разряда неизвестной степени числа по известному отношению этих чисел, то можно применить метод капитана Врунгеля. Для ускорения изучения английского языка он предлагал нанять двух учителей: один обучает от начала к концу, второй - от конца к началу; когда они сходятся на середине - вы уже знаете весь английский язык :))). В нашем случае можно запустить сразу два алгоритма, если компьютер справится с такой задачей.

Где может быть полезно такое решение? В программировании, робототехнике и бог весть где ещё.

P.S. Оценка результата оказалась такой
Оценка результата. Нет, не годится. Математика для блондинок.
Оценка результата
Вот какой диалог по уточнению условия задачи состоялся накануне
Уточнение условия задачи. Математика для блондинок.
Уточнение условия задачи
Не зря умные люди говорят, что правильная формулировка условия задачи - это половина решения.

вторник, 22 апреля 2014 г.

Два в минус второй степени это

Иногда я подглядываю, что именно вы ищете в интернете и, в частности, на этом сайте. Один из вопросов звучит так: два в минус второй степени это... это одна четвертая. Вот какой я умный. Сейчас. А ещё десять минут назад я прочитал этот вопрос и подумал: "Блин, а это скоко?" Дробные показатели степени, отрицательные... Так сразу и не вспомнить. Десять минут изучения математического справочника - и вот я уже весь такой умный....

Знак минус в показателе степени означает обратное число, то есть дробь, у которой в числителе единичка, а в знаменателе само число. Ну, сейчас у математиков мода такая - лепить, что не попадя, в показатель степени.

Два в минус второй второй степени это одна четвертая. Математика для блондинок.
Два в минус второй степени это...
 Как видите, всё довольно просто. Если в показателе степени нет никаких знаков, значит это хорошая степень и прятать ничего никуда не надо. Если в показателе степени стоит знак минус - это плохая степень и число нужно спрятать, куда подальше. Дальше знаменателя в математике ничего нет. Вот туда число и опускаем. В числителе всё это маскируем единичкой. Поскольку наше число надежно спрятано в знаменателе, знак из показателя степени можно выбросить. Если знак минус не выбросить, число обратно вылезет из знаменателя. Кому это нужно? А никому не нужно. Пусть число сидит там, куда его Родина послала. Уточнять вопрос о том, чья это Родина, мы здесь не будем. Герои-подпольщики и вражеская подпольная агентура - это другая тема в учебниках математики.

среда, 25 января 2012 г.

Экспонента на калькуляторе

Что такое экспонента и с чем её едят, мы разберемся в следующий раз. Сейчас мы разберемся, как где находится экспонента на калькуляторе и как её на калькуляторе считать. Нажимайте на ссылку, калькулятор откроется в новом окне. Приступим к практическим занятиям. Нажимайте на те же кнопочки, что нажимал я и смотрите на результат.

Для начала возведем число е в степень 4. В начале нужно набрать показатель степени. Нажимаем на кнопочку 4. Результат нашего вмешательства в беззаботную жизнь калькулятора можете посмотреть на картинке.

Экспонента на калькуляторе. Вводим показатель степени. Как ввести степень числа е на калькуляторе. Математика для блондинок.
После этого нажимаем на специальную кнопочку экспоненты, обозначенную на калькуляторе е в степени х. Как видно из рисунка, калькулятор нас правильно понял и отреагировал именно так, как нам нужно.

Экспонента на калькуляторе. Расположение кнопки экспоненты на клавиатуре калькулятора. Ввод показателя степени числа е. Математика для блондинок.
Для вычисления заданного нами примера экспоненты необходимо нажать кнопочку равно.

Экспонента на калькуляторе. Вычисление экспоненты. Математика для блондинок.
Всё, мы получили требуемое значение.

е4=54,598

Общий порядок нахождения экспоненты на калькуляторе такой: набираете показатель степени, потом нажимаете специальную кнопку ех и кнопку =, результат готов. Можно поступить наоборот - сперва нажать кнопочку экспоненты ех, после этого ввести значение показателя степени и нажать кнопку равно. Для показателей степени в виде целях чисел или десятичных дробей оба варианта одинаковы. Если же показатель степени задан обыкновенной дробью, то лучше пользоваться вторым способом. Сперва нажимаете кнопку экспоненты, потом вводите числитель дроби, нажимаете кнопку деления, вводите знаменатель дроби и нажимаете кнопку равно. На этой странице мы рассмотрим первый способ.

Для начала вычислим е в первой степени. Собственно, это и будет значение числа е. Напомню, что любое число в первой степени равно самому себе. Порядок нажимания кнопочек пронумерован на картинке красными цифрами.

Экспонента на калькуляторе. Вычисление е в степени 1. Значение числа е. Математика для блондинок.
Мы получили округленное до 14 знаков после запятой значение числа е:

е1=е=2,71828182845905≈2,718

Число е подчиняется всем свойствам степени, как и любое другое число. Результаты возведения его в степень такие же, как у чисел больших единицы. При возведении в степень больше единицы результат будет больше первоначального. Для примера, возведем число е в не целую степень 9,876. Порядок нажимания кнопочек показан красными цифрами, результат виден на картинке.

Экспонента на калькуляторе. Возведение числа е в степень больше единицы. Вычисление экспоненты. Математика для блондинок.
Если показатель степени меньше единицы но больше нуля, то результат получится меньше первоначального но больше единицы. Это соответствует извлечению корня из числа е. Если на калькуляторе ввести показатель степени 0,5 (что равнозначно 1/2) то мы найдем квадратный корень числа е. Мы для примера возьмем экспоненту в степени 0,123

Экспонента на калькуляторе. Экспонента в степени меньше единицы. Корень числа е. Математика для блондинок.
По логике, дальше следует показатель степени 0. Число е, как и любое другое число в нулевой степени, равняется единице. Это мы знаем и без калькулятора.

е0=1

Теперь переходим к отрицательным показателям степени экспоненты. Знак минус возле степени означает обратное число, то есть единицу, деленную на число е в указанной степени, но уже без знака минус. Умный калькулятор это понимает и без наших подсказок - он отлично справляется с отрицательной степенью. Для начала вычислим е в минус первой степени. Смотрим на картинку.

Экспонента на калькуляторе. Число е в минус первой степени. е^-1. Математика для блондинок.
Мы получили число, обратное числу е:

е-1=1/е1=1/e=0,36787944117144≈0,368

Дальше пробуем добыть экспоненту со степенью меньше минус единицы.

Экспонента на калькуляторе. Число е в степени меньше минус единицы. Математика для блондинок.
Здесь полученный результат нужно преобразовать в удобоваримый для математиков вид. Делается это так:

е-9,876=1/е9,876=1/e=0,00005139344103≈5,139*10-5

Если после полученного на калькуляторе результата нажать ещё раз на знак равенства, десятичная дробь преобразуется в обычную дробь. Результат этой хитрой операции виден на картинке.

Экспонента на калькуляторе. Математика для блондинок.
Но этот результат мне не нравится. Одна тысячная почти в два раза больше пяти десятитысячных. Если бы программа с калькулятором была русской, я бы подумал, что эту функцию писал бывший госслужащий, привыкший всё увеличивать в два раза (нужно же откуда-то себе воровать). Остается только предупредить, что и калькулятору полностью доверять нельзя, нужно самому анализировать результат, который он выдает.

В заключение найдем экспоненту с показателем степени больше минус единицы, но меньше нуля.

Экспонента на калькуляторе. Показатель степени от минус единицы до нуля. Математика для блондинок.

Теперь попробуем преобразовать результат в обычную дробь.

Экспонента на калькуляторе. Преобразование десятичной дроби в обычную дробь. Математика для блондинок.

На этот раз калькулятор выдал более красивый результат. Но я уже ему не верю. Проверим результат преобразования, разделив на калькуляторе числитель на знаменатель. Результат деления записан ниже экспоненты.

Экспонента на калькуляторе. Сравнение результата преобразования дробей. Математика для блондинок.
Вот теперь можно поверить калькулятору, поскольку погрешность преобразования совсем незначительная. Округление даже до пяти знаков после запятой дает одинаковый результат.

Что делать, если вы пользуетесь виндосовским калькулятором и даже в инженерном варианте нет заветной кнопочки "е в степени икс"? Найдите кнопочку "Inv", рядом с ней есть кнопочка натурального логарифма "ln". Смело нажимайте кнопочку "Inv".


Экспонента на калькуляторе Виндовс картинка 1. Нажимаем кнопку Inv. Математика для блондинок.
Экспонента на калькуляторе Виндовс картинка 1
После нажатия этой кнопочки, расположенная рядом кнопочка натурального логарифма волшебным образом превратится в кнопочку "число е в степени икс".

Экспонента на калькуляторе Виндовс картинка 2. Отображение кнопки е в степени х. Мтематика для блондинок.
Экспонента на калькуляторе Виндовс картинка 2
По замыслу создателей калькулятора, такие превращения натурального логарифма и ежу понятны. Но...

Во-первых. Ёжик должен быть трезвым.

Во-вторых. Ёжик должен быть сообразительным.

В третьих. В памяти ежа на первом месте должны бить свойства натуральных логарифмов, а не какая-то ерунда типа любви, смысла жизни или завтрашнего урока по математике.

Что касается меня. Я редко бываю трезвым - это раз. Иногда я ужасно туплю - это два. Для меня смысл математики гораздо важнее свойств каких-то вшивых логарифмов - это три.

четверг, 12 января 2012 г.

Число в дробной степени

Если число необходимо возвести в дробную степень, например, 2,71 в степени 1,32, тогда нужно воспользоваться калькулятором. Для получения результата возведения числа в дробную степень используем кнопочку "икс в степени игрек".

Делается всё достаточно просто, на уровне дрессированных обезьян, но порядок нажимания кнопочек нужно знать, иначе результат получится не правильным. В отличии от обезьяны, я сам устанавливал порядок нажимания кнопочек, используя метод научного тыка и анализируя полученный результат. Вот что у меня получилось.

Число в дробной степени. Как возвести число в степень. Математика для блондинок.
Набираем число 2,71, потом нажимаем кнопочку х^у (икс в степени игрек), набираем число 1,32 (показатель степени), нажимаем кнопочку равно. Всё, операция по добыче дробной степени числа победоносно завершилась.

2,71 ^ 1,32 = 3,72837394175188

Что бы не писать столько цифр в тетрадь, результат нужно округлить. Мне захотелось округлить результат до четырех цифр после запятой, получилось 3,7284. Это гораздо более удобописаемый вид.

Я обезьяна любопытная, по этому на калькуляторе я нашел ещё одну кнопочку, которую решил попробовать - корень игрек из числа икс. Как я предполагал, результат должен получиться точно таким же. Набираю число, нажимаю кнопочку корня, ввожу в калькулятор показатель степени корня и нажимаю равно. Получаю облом - число вылезло совсем другое.


Вот что нас отличает от дрессированных обезьян, так это умение анализировать полученный результат. Если вы не умеете анализировать полученный результат, значит вы ничем не отличаетесь от дрессированной обезьяны. Такова суровая правда жизни.

Включаю свой аналитический аппарат под названием "мозги" и начинаю соображать. Из двух полученных результатов один явно не правильный. Калькулятор - штука умная, но тупая. Он гораздо лучше меня умеет считать, но он не понимает, что именно мне посчитать нужно. Типичная дрессированная обезьяна - тупо выполняет те команды, которые я ему даю. Значит нужно думать мне.

Число у нас больше единицы, показатель степени то же больше единицы, значит при возведении такого числа в такую степень результат должен быть больше первоначального числа. Ведь 2,71 в первой степени равно 2,71 - это нижний предел. А если 3 возвести в квадрат, то есть в степень 2, получится 9. Вот где-то в этом диапазоне, от 2,71 до 9 должен находиться нужный мне ответ. Получается, что первый ответ 3,7284 правильный, а второй 2,1282 - нет.

Почему второй результат не правильный? Вот тут я вспомнил математику. Если к числу прицепить корень, то это будет означать показатель степени меньше единицы, а точнее единицу, деленную на показатель степени. Квадратный корень - это число в степени 1/2. Во втором случае я возвел число 2,71 в степень 1/1,32. Поскольку показатель степени меньше единицы, то и результат получился меньше первоначального числа. Действительно, 2,1282 меньше, чем 2,71. Калькулятор тупо выполнил то, что я его попросил. Вау! Я такой умный в некоторых местах, аж самому страшно.

вторник, 18 октября 2011 г.

Степени числа два

Степени числа два. Последовательные степени числа два от 0 до 29. Математика для блондинок.
Последовательные степени числа два
Последовательные степени числа два от 0 до 29 представлены на таблице выше. Начинается таблица степеней числа 2 с показателя степени ноль. Любое число в нулевой степени равняется единице. Поэтому два в степени 0 равняется 1. Любое число в первой степени равняется самому себе. Поэтому 2 в степени 1 равно 2.

Если кому-то мало этой таблицы, тогда можете посмотреть другую, где степени числа 2 представлены до 49-й степени. 

Степени числа два. 2 в степени от 0 до 49-й. 2 в нулевой степени. Математика для блондинок.
Степени числа 2 от 0 до 49
Степени числа два. 2 в степени от 50 до 69. Математика для блондинок.
Степени числа два. Два в степени от 70 до 89. Математика для блондинок.
Степени числа два. 2 в степени от 90 до 100. 2 в степени пи. 2 в степени е. Математика для блондинок.
Степени числа два от 50 до 100
Надеюсь, эти таблицы степеней числа 2 от 0 до 100 программистам понравятся. Математики любят совать всякую гадость куда попало. Как достойный ученик я не удержался, чтобы не всунуть в таблицу 2 в степени "пи" и 2 в степени "е". Авось, кому-нибудь из вундеркиндов это пригодится. А теперь маленький кусочек теории.

Два во второй степени означает, что число два нужно умножить само на себя. Поэтому 2 в степени 2 или 2 в квадрате равняется четырем.

2 х 2 = 4

Вообще, показатель степени показывает, сколько одинаковых чисел перемножается между собой. Так, два в третьей степени или 2 в кубе означает, что три числа 2 перемножаются между собой и это равняется восьми:

2 х 2 х 2 = 8

Два в четвертой степени будет произведением четырех двоек:

2 х 2 х 2 х 2 = 16

Эта таблица последовательных степеней числа два очень часто применяется в программировании, поскольку там используется двоичная система система счисления.

В заключение нужно ответить на вопрос вселенского масштаба: а 2 в бла-бла-бла степени на какую цифру заканчивается?

Два в любой степени заканчивается на одну из четырех цифр: 2, 4, 8, 6. Именно в такой последовательности они чередуются. (Евангелие от Меня: под выражением "любая степень" нужно понимать любое положительное целое число за исключением нуля. Аминь.) Искать формулы в Интернете мне откровенно лень. Беру карандаш и бумагу, рисую формулы - не правильно. Вторая попытка - то, что нужно. Несколько проверок - готово. Перед вами четыре формулы. Та формула, в которой при делении получается целое число, показывает, на какую цифру оканчивается два, возведенное в указанную степень.

Степени числа два. Формулы для определения последней цифры. 2 в степени n на какую цифру заканчивается. Математика для блондинок.
Формулы для определения последней цифры

На картинке приведены два примера использования формул. В первом случае 2 в степени 123456789 заканчивается на цифру 2. Во втором случае 2 в степени 11111 заканчивается на цифру 8.

Несколько ответов на вопросы в комментариях.

2 в 999 степени заканчивается на 88.

2 в 2000 и 2 в 2012 степенях заканчиваются на 6 (оба показателя степени без остатка делятся на 4).

Таблица квадратов натуральных чисел

Таблица квадратов натуральных чисел. Квадрат числа от 1 до 100. Вторая степень числа. Математика для блондинок.
В таблице квадратов натуральных чисел представлены квадраты чисел от 1 до 100. Показатель степени числа в виде двоечки записан справа вверху того числа, которое возводится в степень. Если число возводится в квадрат или во вторую степень, то это означает, что это число нужно умножить на точно такое же число и записать результат.

Например, десять в квадрате равняется сто, потому что если десять умножить на десять, у нас получится сто. Пять во второй степени равняется двадцать пять, так как все знают, что пять у пять "опять двадцать пять". А вот двойка в квадрате это не что иное, "как дважды два четыре".

Зачем такое придумали - степень числа? Для краткости записи математических выражений, что бы не повторять несколько раз умножение одинаковых чисел. Если при возведении числа во вторую степень мы экономим совсем мало места, то при возведении чисел в большие степени экономия места получается довольно значительная.

Особенностью квадратов чисел, как и всех остальных четных степеней числа, является то, что после возведения в степень отрицательного числа в результате получается положительное число. Ведь минус на минус дает плюс при умножении, сколько бы раз мы этот фокус не повторяли. Отрицательное число во второй, четвертой, шестой, восьмой и так далее степенях дает в результате положительное число.