Показаны сообщения с ярлыком треугольник. Показать все сообщения
Показаны сообщения с ярлыком треугольник. Показать все сообщения

понедельник, 18 июля 2016 г.

Правильные многоугольники

По просьбе милой посетительницы публикую формулы правильных многоугольников. От себя я ничего не выдумываю, тупо сканирую математический справочник.

Правильные многоугольники формулы. Математика для блондинок.
Правильные многоугольники формулы

пятница, 15 июля 2016 г.

Треугольник и прямоугольник

Тема занятий:
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ
На первом уроке мы проводили
Краткий анализ тригонометрических функций

Урок 2

Преобразования треугольника в прямоугольник

Если совместить два прямоугольных треугольника по диагонали так, чтобы получился прямоугольник, тогда гипотенуза треугольника превратится в диагональ прямоугольника, а стороны треугольника превратятся в стороны прямоугольника. Тригонометрические отношения треугольника превращаются в тригонометрические отношения прямоугольника.

Преобразование треугольника в прямоугольник. Гипотенуза и диагональ. Синус и косинус. Математика для блондинок.
Преобразование треугольника в прямоугольник

Угловая симметрия в прямоугольнике

Диагональ прямоугольника делит прямой угол на два тригонометрических угла. Название тригонометрической функции зависит от того, какой угол мы возьмем для определения её численного значения. При этом численный результат не зависит от нашего выбора.

Угловая симметрия в прямоугольнике. Симметрия тригонометрических функций. Математика для блондинок.
Угловая симметрия в прямоугольнике

Названия тригонометрических функций и названия углов обладают свойствами угловой симметрии. При этом симметрия функций и углов неразрывно связаны между собой. Если мы возьмем симметричную функцию и симметричный угол, то результат останется неизменным. Мы дважды применяем угловую симметрию. Аналогичная ситуация получается в планиметрии. Если дважды применить зеркальную симметрию, то ничего не изменится. В алгебре аналогом угловой и зеркальной симметрии является умножение на минус единицу. Если алгебраическое выражение дважды умножить на минус единицу, алгебраическое выражение останется прежним.

Зеркальная симметрия, обратная симметрия, угловая симметрия, умножение на минус единицу – это проявления одного и того же закона симметрии при разных условиях.

Учитывая симметрию тригонометрических функций, их можно попарно объединить в отдельные группы, каждая из которых выражает определенный тип зависимости между углами и числами.

На следующем уроке мы рассмотрим
Три основных типа тригонометрических функций

четверг, 7 июля 2016 г.

Теорема косинусов в общем виде

Для представления теоремы косинусов в общем виде нужно вернуться к началу. Если выражение для одной стороны треугольника умножать на длину этой же стороны много раз, то равенство не изменится. Преобразование одной формулы выглядит так.

Преобразование формулы. Теорема косинусов в общем виде. Математика для блондинок.
Преобразование формулы
Подобные преобразования выполняем для двух других сторон и складываем всё в кучку. Когда мы проделаем этот математический фокус, мы получим теорему косинусов в общем виде.

Теорема косинусов в общем виде. Теорема косинусов для треугольника в многомерном пространстве. Математика для блондинок.
Теорема косинусов в общем виде
Теорема косинусов в общем виде описывает зависимость между сторонами и углами треугольника в многомерном пространстве. Если приведенное равенство выполняется, значит, треугольник находится в евклидовом пространстве. Варианты описания треугольника в криволинейных пространствах требуют дальнейшего изучения. Для корректного применения теоремы косинусов в стереометрии, длина сторон сферических треугольников должна измеряться в тех же единицах измерения, в которых она измеряется в планиметрии.

понедельник, 18 апреля 2016 г.

Вырожденный треугольник

В заключение мы проверим закон косинусов для периметра на вырожденном треугольнике. Есть у математиков такая штучка. Чтобы получше в этой штучке разобраться, нам придется немного позаниматься фитнесом. Здесь может быть два случая. Становимся ровно, ноги на ширине плеч. Наши ноги образовали обычный треугольник, в котором сами ноги - это бедра равнобедренного треугольника, расстояние между пятками - основание треугольника. Теперь становимся в позу "пятки вместе, носки врозь" - у нас получился вырожденный треугольник. Вырожденным такой треугольник называется потому, что до полноценного треугольника ему чего-то не хватает. В данном случае - одной стороны. Нет, вырожденность - это не генетический сбой в наследственности треугольника. Это, скорее, увечье, полученное в результате милого общения с математиками. Хотя, гораздо уместнее здесь будет сравнение с религиозной практикой. У французских монахов кролик - это рыба (вера - верой, а жрать-то хочется, даже в Великий пост), у математиков отрезок - это вырожденный треугольник.

Теперь упражнение по сдвиганию бедер проделаем с нормальным треугольником. Если мы уменьшим основание равнобедренного треугольника до нуля, мы получим два совпадающих отрезка. Сумма углов этого вырожденного треугольника равна 180 градусов. А как иначе? Он же треугольник! Угол при вершине становится равным нулю, значит углы при основании принимают значение 90 градусов. Два угла по 90 градусов дают в сумме 180 градусов - всё сходится.

Вырожденный треугольник. Теорема косинусов для периметра. Математика для блондинок.
Вырожденный треугольник

Как и следовало ожидать, периметр вырожденного треугольника (он же "два совпадающих отрезка", он же "один отрезок") оказался равен двум длинам его стороны. Напомню, мы считаем, что обе стороны такого вырожденного треугольника равны.

Рассматриваем второй случай. Вернемся к фитнесу. Ставим ноги в исходное положение - на ширину плеч. Раздвигаем ноги в стороны до тех пор, пока мы не сядем на поперечный шпагат. Свой подвиг я на ютуб не выкладываю - хвастаться нечем, признаюсь честно. Не многие читательницы могут это продемонстрировать. Про читателей я вообще молчу. Но в математике такой трюк выполняется элементарно просто - самим математикам на шпагат садиться не нужно.

Если мы совместим верхнюю вершину треугольника с основанием, мы получим второй вид вырожденного треугольника. Это отрезок, равный сумме двух других отрезков. Сумма углов здесь тоже равна 180 градусов, только теперь это величина всего одного угла.

Вырожденный треугольник. Теорема косинусов для периметра. Математика для блондинок.
Вырожденный треугольник
Как видите, в вырожденном треугольнике (он же "сумма отрезков") второго типа теорема косинусов для периметра работает безотказно. Почему после шпагата ноги разные? Так треугольники бывают не только равнобедренные, но и разносторонние.

Будем считать, что терему косинусов для периметра мы проверили на работоспособность и работает она безотказно. Одномерный отрезок (напомню, треугольник - это двухмерная геометрическая фигура) можно считать нижней границей применения теоремы косинусов. Где у теоремы косинусов верхняя граница? Для ответа на этот вопрос, мы перейдем к рассмотрению теоремы косинусов в общем виде.

понедельник, 11 апреля 2016 г.

Равнобедренный тупоугольный треугольник

Сейчас мы проверим, как выполняется теорема косинусов в тупоугольном треугольнике. Для примера (и для простоты) рассмотрим равнобедренный тупоугольный треугольник.

Равнобедренный тупоугольный треугольник. Теорема косинусов для периметра. Математика для блондинок.
Равнобедренный тупоугольный треугольник



Упс! В периметре треугольника не может быть квадратных корней. Периметр этого треугольника равен сумме двух боковых сторон и основания. Что произошло? Закон косинусов не работает? Но такого быть не может - я верю в несокрушимую силу математики. Что-то здесь явно не так. Когда мы рассматривали треугольники с углами меньше или равными 90 градусов, никаких проблем не возникало. Когда мы взяли треугольник с углом больше 90 градусов - появились проблемы. Почему? Я всегда с большим подозрением отношусь к тригонометрическим функциям углов больших, чем 90 градусов. Здесь нужно подумать.

На решение этой задачи у меня ушло около получаса. Оказывается, секрет раскрывается очень просто. Давайте выразим основание треугольника через боковые стороны и посмотрим, что получится. Дважды вставим полученное равенство в наш результат. Первый раз вставляем сикось-накось, второй раз - накось-сикось. Вот что получилось.

Периметр треугольника. Теорема косинусов для периметра. Математика для блондинок.
Периметр треугольника

Как видите, всё чудесно сходится. Периметр получается таким, каким должен быть. У меня складывается такое впечатление, что тупой угол треугольника выворачивает на изнанку теорему косинусов.  Заметьте, именно две одновременные подстановки приводят результат в божеский вид - минус на минус дает плюс :))) Оказывается, вот такое вот противоядие есть в математике против тупого угла.

Чтобы завершить проверку теоремы косинусов для периметра, рассмотрим вырожденный треугольник.

воскресенье, 10 апреля 2016 г.

Равносторонний треугольник

Продолжаем проверку теоремы косинусов для периметра. Сейчас мы рассмотрим равносторонний треугольник. Все стороны равны, все углы равны. Прям, заповедник всеобщего равенства.

Равносторонний треугольник. Теорема косинусов. Математика для блондинок.
Равносторонний треугольник
Периметр равностороннего треугольника равен сумме трех сторон, всё чудненько сходится. Дальше мы проверим тупоугольный треугольник.

пятница, 8 апреля 2016 г.

Прямоугольный треугольник

Сейчас мы проверим теорему косинусов для периметра на примере прямоугольного треугольника. У прямоугольного треугольника один угол равен 90 градусов, косинус этого угла равен нулю. Косинусы остальных углов получаются делением длины гипотенузы на длину прилежащего катета. В общем виде проверка теоремы косинусов выглядит так.

Прямоугольный треугольник. Теорема косинусов для периметра. Математика для блондинок.
Прямоугольный треугольник

Смотрите, как всё чудненько получается - периметр треугольника действительно равен сумме трех его сторон. Но это буковки, а как с числами? Давайте подставим в формулу длины сторон прямоугольного треугольника и значения косинусов углов.  Для примера возьмем пифагорову тройку чисел для значения длин сторон. Косинус угла определяем как отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Прямоугольный треугольник. Теорема косинусов для периметра. Пифагорова тройка. Математика для блондинок.
Прямоугольный треугольник

Полученные значения равны периметру треугольника. Теорема косинусов позволяет проверить треугольник на разрыв. Вот что получится, если одна из сторон не доходит до вершины треугольника.

Разорванный треугольник. Теорема косинусов. Математика для блондинок.
Разорванный треугольник

Равенство выполняется, но результат не равен сумме длин отрезков ломаной линии или периметру воображаемого треугольника. А что будет, если мы неправильно запишем данные? Ну перепутали чуть-чуть, с кем не бывает. Поменяем местами значения косинусов углов, а длины катетов прямоугольного треугольника запишем правильно. Любуемся результатом.

Неверные измерения. Прямоугольный треугольник и теорема косинусов. Математика для блондинок.
Неверные измерения

А полученный результат не совпадает со значением периметра. Где это можно использовать? В геодезии, например. Если измерить три расстояния между точками на местности и три угла, то по теореме косинусов для периметра можно проверить правильность этих измерений. Но мы со своей математикой немного опоздали. Сделаем маленькое лирическое отступление и вспомним историю.

Лет сто назад война обычно начиналась из геодезических измерений будущего театра военных действий. Математика позволяла определить траекторию полета снаряда, но, без знания точного рельефа местности, трудно определить, куда именно снаряд попадет. Вот рельефом местности геодезисты и занимались. С математикой они особо не заморачивались. Если в измерениях появлялась незначительная ошибка, то ошибку делили на три части и равномерно распределяли по трем измеренным углам или по трем сторонам. Таким образом фактические измерения подгонялись под математику. Для эффективного убийства себе подобных этого вполне хватало. Сегодня геодезисты уже не бегают с инструментами перед началом войны. Достаточно достать из архива старые карты прошлых войн и раздать их своим солдатам-отпускникам, чтоб они хорошо знали, где именно им нужно заблудиться.

На этом покончим с прямоугольным треугольником и перейдем к его равностороннему собрату.

среда, 6 апреля 2016 г.

Теорема косинусов для периметра

Внимательно посмотрим на доказательство теоремы косинусов и сделаем некоторые поправки.

Анализ доказательства теоремы косинусов. Математика для блондинок.
Анализ доказательства

Добавим в треугольник ещё две высоты, что бы можно было каждую из сторон выразить через две другие. Избавимся от ненужного возведения во вторую степень и, самое главное, в предпоследней строке поменяем знак "минус" на знак "плюс". Теперь мы можем записать теорему косинусов для периметра треугольника.

Теорема косинусов для периметра треугольника. Математика для блондинок.
Теорема косинусов для периметра

Получилась очень простая и красивая формула, которая описывает сразу весь треугольник. Теперь не нужно делать циклические перестановки или менять обозначения на картинке треугольника. Сама формула содержит цикличность. Лично я считаю эту формулу одним из математических шедевров - простая, легкая для запоминания. Очень жаль, что до сего времени эта жемчужина математики оказалась не востребованной, иначе она уже давно была бы в учебниках. И садисты-учителя применяли бы эту врожденную красоту для пыток и издевательства над учениками.

Теорема косинусов для периметра выражает зависимость между углами и длинами сторон в треугольнике.

Геометрия теоремы косинусов. Математика для блондинок.
Геометрия теоремы косинусов

Если в доказательстве теоремы косинусов язык, на котором доказательство написано, был для нас не особо важен, то приведенная выше картинка лишена даже языковых признаков (если не обращать внимания на буквы формул). Такую картинку можно смело инопланетянам показывать и они её, скорее всего, поймут. Сомневаюсь я, что инопланетяне, которые смогут прилететь к нам, будут плохо знают математику. О наших собственных полетах к инопланетянам я даже заикаться не буду - нам до этого ещё расти и расти. На теории множеств и математических определениях далеко не улетишь.

Закон косинусов для периметра описывает периметр треугольника, составленного из одномерных евклидовых пространств (отрезков). Для многомерных пространств закон косинусов имеет другой вид. Но прежде, чем переходить к многомерности, проверим теорему косинусов для периметра на прочность. А начнем мы проверку с прямоугольного треугольника.

суббота, 2 апреля 2016 г.

Теорема косинусов

То, что я собираюсь вам рассказать, вы не найдете в учебниках. Вас никто не будет спрашивать об этом на уроках и на экзаменах. Возникает естественный вопрос - зачем вам это нужно? Разумные существа должны знать больше того, чему их учат. На примере теоремы косинусов, о которой я уже писал здесь, вы увидите, как можно пользоваться математикой.

Треугольник имеет три стороны и три угла. Внешний вид теоремы косинусов зависит от принятых обозначений углов и сторон треугольника. Для описания одного треугольника нам нужно три раза записать теорему косинусов, для каждой стороны отдельно.
Теорема косинусов. Три варианта. Математика для блондинок.
Теорема косинусов

Три стороны (и три угла) треугольника дают три варианта формулы для одного треугольника. В теореме косинусов можно использовать одну формулу и три варианта обозначений.

Варианты обозначения треугольника. Теорема косинусов. Математика для блондинок.
Варианты обозначения треугольника

Оба подхода позволяют описать все стороны и углы треугольника. Но для этого требуется либо три формулы, либо три картинки. В традиционных задачах по математике нас учат находить один из элементов треугольника.

Вопрос: Можно ли одной формулой с одним вариантом обозначений описать все элементы треугольника?

Ответ: Да, можно.


Рассмотрим, как это сделать при помощи теоремы косинусов. Доказательство теоремы косинусов в тригонометрической форме выглядит так.

Доказательство теоремы косинусов. Тригонометрическое доказательство. Математика для блондинок.
Доказательство теоремы косинусов

Не смотря на то, что доказательство на английском языке, вы без труда в нем разберетесь, поскольку язык математики универсальный для всей нашей планеты. Так вот, если в этом доказательстве изменить знак «минус» на знак «плюс», мы получим теорему косинусов для периметра треугольника.

пятница, 11 сентября 2015 г.

Стороны параллелограмма и диагональ

Решаем задачу: Стороны параллелограмма равны 3 см и 5 см. Может ли его большая диагональ ровняться 10 см?

Как решить такую задачу? Элементарно! Любая блондинка знает. Берем деньги и идем в магазин покупать новое платье. Купили. Но это еще не всё. Теперь главное - влезть в это платье. Если получилось - великое счастье. Если не получилось - печаль-беда. Нужно садиться на диету и худеть. А это задача гораздо сложнее любой высшей математики. Либо мы издеваемся над собою и худеем, либо как обычно - идем в магазин за другим новым платьем.

При чем здесь задача про стороны параллелограмма и диагональ? А ведь она звучит точно так же: влезет ли диагональ длиной 10 сантиметров в две стороны длиной 3 и 5 сантиметров? Сразу разочарую - нет, не влезет. Два сантиметра на пузике не сходятся. Чтобы получить  параллелограмм в модном прикиде, нужно либо уменьшать диагональ, либо брать стороны по длиннее. Арифметика здесь совсем простая: сумма двух сторон равна 3+5=8 сантиметров, а диагональ равна 10 сантиметров. Попробуйте надеть на такую корову изящное седло.

Обе задачи, и задача про платье, и задача про параллелограмм, сводятся к неравенствам треугольника. Да, у любого треугольника сумма двух сторон всегда больше третьей стороны. При чем здесь параллелограмм? Так диагональ параллелограмма и две стороны - это и есть треугольник. То, что математики в разных случаях по разному называют одни и те же вещи - это уже их заморочки. Лично мне треугольник нравится рассматривать, как беременный отрезок. Когда сумма двух отрезков равна третьему, то мы, по сути, имеем дело с одним отрезком, состоящим из двух кусочков. А когда сумма больше - это уже треугольник. А параллелограмм - это два одинаковых треугольника вместе.

Отрезок, треугольник, параллелограмм. Стороны параллелограмма и диагональ. Математика для блондинок.
Отрезок, треугольник, параллелограмм.
Когда мы пытаемся впихнуть свою попу в узкие джинсы, мы, по сути, проводим физический опыт по проверке математических бла-бла-бла о равенстве фигур. Но что-то я тоже заболтался. И так, решение задачи про стороны параллелограмма и диагональ.

Две стороны параллелограмма и большая диагональ образуют треугольник. Неравенство треугольника гласит, что сумма двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны.

a + b больше c

По условию задачи, сумма сторон равна 5+3=8 сантиметров, что меньше 10 сантиметров.

5 + 3 меньше 10

Ответ: в параллелограмме со сторонами 3 см и 5 см большая диагональ не может равняться 10 см.

понедельник, 20 апреля 2015 г.

Тупой треугольник вид сверху

Может это кому-то и не очень понравится, но тупых треугольников не бывает, тупыми бывают только люди. А вот остряки в интернете часто ищут тупой треугольник, вид сверху которого они очень хотели бы увидеть. Показываю.

Тупой треугольник вид сверху. Тупоугольный треугольник. Математика для блондинок.
Тупой треугольник вид сверху
Сперва поговорим о названии данного вида треугольников. Обзывать подобные треугольники тупыми - это признак малограмотности. Как сейчас модно говорить, "политкорректно" будет называть такие треугольники "тупоугольные". Все треугольники, у которых есть один угол больше 90 градусов, относятся к тупоугольным треугольникам. Это не позор, не дефект, просто у тупоугольных треугольников телосложение такое. Впрочем, у каждого тупоугольного треугольника всегда с собой имеется парочка острых углов. Так, на всякий случай.

Теперь поговорим о видах. Не о видах треугольников, а видах сверху, сбоку, из окна. Тупоугольный треугольник сверху выглядит точно так же, как и снизу. А вот вид сбоку совсем не радует глаз - будет просто обычный отрезок. Из окна вы вряд ли что-нибудь рассмотрите, а вот в тетрадке у соседей по парте этот треугольник вы можете наблюдать под самыми разными углами. В этом случае тупоугольный треугольник будет выглядеть совсем не так, как он выглядит сверху. Описать подобные чудесные превращения можно при помощи проективной геометрии, начертательной геометрии, тригонометрии или стихами. Кому что больше нравится.

четверг, 29 января 2015 г.

Два угла треугольника

Рассмотрим очень простенькую задачу про два угла треугольника, которые известны. Звучит эта задача так:

Два угла треугольника равны 53 градуса и 57 градусов. Найдите его третий угол треугольника.

У любого треугольника всего три угла. Именно поэтому треугольник так и называется. Величина двух углов из трех нам известна. Теперь я задам вам всего пару вопросов, которые помогут решить эту задачу.

Вопрос первый. Чему равна сумма углов треугольника? Это сакральное знание математики дразнят "Теорема о сумме углов треугольника". Как бы они не называли этот закон природы, суть его не изменится. Кстати, сумма углов треугольника относится к разряду тех математических знаний, которые запоминаются легко и надолго, но которыми вы никогда больше пользоваться не будите в своей повседневной жизни. Бесполезное знание? Нет, но пользуются им люди весьма ограниченного круга профессий, например, геодезисты.

Сумма углов треугольника. Сумма трех углов в треугольнике составляет 180 градусов. Математика для блондинок.
Сумма углов треугольника

Вопрос второй. Если вы знаете, что сумма всех углов треугольника равна 180 градусов, с арифметикой сами справитесь? Здесь всё просто. От суммы углов треугольника в 180 градусов отнимаем два известных угла и получаем значение третьего угла треугольника.

180 - 53 - 57 = 70 градусов

Не хотел приводить здесь готовое решение, но... Во-первых, у калькулятора много разных кнопочек и их случайно можно перепутать. В подобных случаях у ученых исчезают спутники на Марсе. Так что готовое решение, для контроля, не помешает. Просто проверите себя.

Во-вторых, это очень удобный случай проделать то, что математики настоятельно нам делать не рекомендуют. Нас учат выполнять задания с минимальными затратами времени, и по возможности без записи промежуточных результатов. Собственно, я так и сделал. С одной стороны, это правильно. С другой стороны, это не дает нам возможности понять, а что же мы, собственно, делаем?

Лично мне очень нравится рассматривать решения математических задач под микроскопом в замедленной съемке. Иногда впечатление такое, что наблюдаешь за фокусом в исполнении иллюзиониста и все секреты фокуса тут же вылезают наружу. Давайте рассмотрим подробное решение этой задачи о двух известных углах треугольника и одном неизвестном. Вот как это выглядит.

Задача про два угла треугольника. Решение задачи. Математика для блондинок.
Задача про два угла треугольника

И так. Кто-то измерял углы в каком-то реальном треугольнике. Измерения выполнили только для двух углов. Человек учился в школе и знает, что третий угол можно просто вычислить. Это и есть условие задачи. Теперь подробное решение и описание смысла выполняемых нами действий.

1. Записываем закон, который устанавливает связь между углами треугольника, в алгебраической форме. Я уже говорил, что в математике он называется "Теорема о сумме углов треугольника". Геометрическая форма этого закона представлена на первой картинке.

2. Преобразуем алгебраическую форму закона об углах треугольника под решение нашей конкретной задачи.

3. Вводим в полученную формулу данные из поставленной перед нами задачи. Переходим от алгебраической формы к физической.

4.Анализируем физическую модель решения задачи. Математический аппарат представлен десятичной системой счисления чисел, другие системы счисления отсутствуют. Физический аппарат представлен градусной мерой углов, другие единицы измерения углов отсутствуют. Только при этих условиях мы можем выполнять сложение и вычитание.

5. Переходим к математической модели физической задачи и выполняем математические действия с числами при помощи калькулятора, листа бумаги или в уме.

6. Получаем готовое решение задачи в физической форме.

Вот такой роман почти в стихах у меня получился для одной очень простой задачи. На точность описания сей литературный опус не претендует, поскольку в школе меня такому не учили, выдумывать пришлось на ходу. Все описанные действия мы выполняем автоматически, не вдаваясь в подробные объяснения. Я согласен с математиками в том, что глупо каждое решение задачи расписывать так подробно. Но ещё глупее тупо выполнять те действия, которым тебя учат. В этом случае образование превращается в обычную дрессировку животных.

суббота, 17 января 2015 г.

Тригонометрия прямоугольного треугольника.


Я не буду вам вдалбливать в голову правила и определения тригонометрических функций на прямоугольном треугольнике. Математики это с удовольствием сделают без меня. Вам я просто покажу картинку, на которой изображена тригонометрия прямоугольного треугольника.

Тригонометрия прямоугольного треугольника. Решение задач про треугольник. Математика для блондинок.
Тригонометрия прямоугольного треугольника
В верхнем ряду показано, кто есть кто в тригонометрическом зоопарке. Синус и косинус угла альфа - это отношения катетов к гипотенузе. Тангенс и котангенс - это отношения катетов. С гипотенузой обычно проблем не возникает, она одна и расположена напротив прямого угла. А вот катетов аж два и они разные. Один расположен напротив угла альфа и называется противолежащим (на картинке сторона а). Другой нежно прижимается к углу альфа и называется прилежащим (на картинке сторона b). Теперь, глядя на картинку, вы без труда сформулируете определения тригонометрических функций на прямоугольном треугольнике.

Нижний ряд картинок показывает, как найти стороны прямоугольного треугольника, если нам известна одна сторона и угол альфа. Известная сторона выделена зеленым цветом. Используя эту сторону и тригонометрические функции, без труда можно найти две другие стороны прямоугольного треугольника.

Крутить картинку можно как угодно, переворачивать лицом вниз и смотреть на просвет - тригонометрические зависимости в прямоугольном треугольнике от этого не изменяются.

Тригонометрия прямоугольного треугольника. Вращение картинки. Математика для блондинок.
Вращение картинки
Данная картинка вам может пригодиться в будущем, при изучении физики, теоретической механики, при выполнении инженерных расчетов. К тому времени вы уже прочно забудете, как определять и использовать тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике.

И самое печальное в конце. Если бы математики учили вас пользоваться математикой, то такие картинки вы рисовали бы сами в течении нескольких минут, без всяких учебников. Ведь делается это элементарно просто.

четверг, 15 мая 2014 г.

Задача про вписанную и описанную окружности

Если бы у вас было столько денег, сколько математики всяких окружностей навыдумывали, то арабские эмиры у вас бы по выходным подрабатывали, а на весь ихний знаменитый Дубай вы бы смотрели, как на соседский курятник. К счастью, у вас есть правительство, которое не допустит, чтобы подобная участь вам угрожала. Но сейчас мы поговорим всего о двух окружностях. Перед нами самая страшная задача про вписанную и описанную окружности в прямоугольном треугольнике:

Радиус вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника равны соответственно 2 и 5. Найти больший катет треугольника.

Что значит решить подобную задачу? По сути, из всего множества формул, описывающих все мыслимые и немыслимые зависимости в прямоугольном треугольнике, нужно подобрать одну-две формулы, помогающие решить эту задачу. Отправляемся в Википедию, этот современный склад нашей мудрости. О прямоугольном треугольнике склад мудрости (иногда глупости) гласит:

Формулы с радиусами окружности. Формулы прямоугольного треугольника. Математика для блондинок.
Формулы с радиусами окружности
По первой выделенной формуле мы без труда найдем длину гипотенузы. В нашей задаче про вписанную и описанную окружности гипотенуза равна 10. Подчеркнутую формулу мы использовать не будем - у нас есть старая добрая формула дедушки Пифагора, которая проще указанной. Последняя формула выражает радиус вписанной окружности через стороны прямоугольного треугольника - это именно то, что доктор прописал. С умножением (второй вариант) мы заморачиваться не будем. Составляем систему двух уравнений с двумя неизвестными и решаем.

Задача про вписанную и описанную окружности. Математика для блондинок.
Задача про вписанную и описанную окружности
Решение квадратного уравнения дает нам длины сразу двух катетов. Вот какая умная математика, если математики не высасывают её из своего пальца, а берут из жизни. Ответ на задачу будет звучать так: больший катет треугольника равняется восьми единицам.

понедельник, 24 февраля 2014 г.

Внешние углы треугольника

Вот такая вот просьба: Здравствуйте! Помогите пожалуйста. Определите, является ли треугольник АВС тупоугольным, если два его внешних угла равны 135 и 160 градусов.

Понятие тупых углов в треугольнике - это тот мусор, который уже давно пора выбросить из математики. Спросите у любой блондинки, она когда-нибудь одевает свое платье наизнанку? Она его всегда носит так, как положено. А вот математики углы в треугольниках меряют и так, и сяк. Получается, блондинки умнее математиков - они умеют правильно пользоваться вещами.

Передо мной нет школьного учебника и я не знаю, как правильно нужно решать эту задачу. Можно решить двумя способами - на лицо и на изнанку. Начнем с того, что по уверениям математиков, сумма внешнего и внутреннего углов в любой вершине треугольника равна 180 градусов. Картинку я здесь рисовать не буду, она есть на другой странице - нечего распространять заразу невежества, даже если оно математическое.

Для нормального решения нужно от внешних углов треугольника перейти к внутренним и найти величину третьего угла. Считаем:

180 - 135 = 45 градусов
180 - 160 = 20 градусов


И так, у нас есть два угла треугольника. Является ли он тупоугольным? Судя по этим двум углам - нет. Напоминаю, что тупоугольным называется треугольник, у которого один  угол тупой. Тупой не в смысле умственных способностей, а в смысле количества градусов. Если угол перебрал больше 90 градусов, то его принято считать тупым. Ой! Опять что-то не то. Ну, короче, вы поняли. Кто не понял - открываем учебник и зубрим тупой угол.

Так вот, два угла у нас острых. А третий? Вот тут нам на помощь приходит теорема (или как там её математики называют) о сумме углов треугольника. Как бы это не называлось, но сумма углов любого треугольника всегда равна 180 градусов. Напоминаю, свое платье мы одеваем сейчас нормально, поэтому речь здесь идет о внутренних углах треугольника. Зная величину двух углов, найти третий - задачка для малявок.

180 - 45 - 20 = 115 градусов

Треугольник у нас тупоугольный, поскольку третий угол больше 90 градусов и является тупым. Не по жизни тупым, а просто тупым, как отдельные представители отдельных наук.

Теперь решаем эту же задачу, только наизнанку. Пусть блондинки посмеются над такими математиками, как мы. И так, сумма внешнего и внутреннего углов в каждой вершине треугольника равна 180 градусов. Сколько у нас вершин? Правильно - три. Треугольник всё-таки, не хухры-мухры. Считаем, чему равна сумма внешних и внутренних углов? Три вершины по 180 градусов... Итого:

3*180 = 540 градусов

Если калькулятор нам не врет. Выше мы уже говорили, что сумма внутренних углов треугольника равна 180 градусов. Отнимаем её от общей суммы:

540 - 180 = 360 градусов

Получается, что сумма внешних углов треугольника равна 360 градусов. Ведь только она у нас и осталась, внутренние углы из суммы мы уже выбросили. Любой шустрый математик в подобных случаях громогласно заявляет: "Теорему о сумме внешних углов треугольника можно считать доказанной!".

Теперь вывернем наизнанку тупоугольный треугольник и посмотрим, как должен выглядеть он. Если один внутренний угол у него должен быть больше 90 градусов, значит этот же внешний угол должен быть меньше 90 градусов. Давайте считать по внешним углам:

360 - 135 - 160 = 65 градусов

Калькулятор утверждает, что даже наизнанку наш треугольника всё равно тупоугольный. Не знаю, как вам, а мне математика наизнанку совсем не нравится. В приличном обществе это моветон, всё равно что одежду наизнанку носить.

P.S. Кстати, математики даже понятие внутреннего угла наизнанку толком вывернуть не могут. Если рассуждать "интуитивно понятно", то внешний угол - это то, что мы можем измерить снаружи,  то есть 360 градусов минус внутренний угол. Как меряют талию у блондинок? Становятся перед нею и вытянутыми вперед руками пытаются что-то там сделать.

вторник, 11 февраля 2014 г.

Внешний угол при вершине треугольника

Очередная задача про равнобедренный треугольник:

В тре­уголь­ни­ке АВС АС=ВС. Внеш­ний угол при вер­ши­не В равен 122 градуса. Най­ди­те угол. Ответ дайте в гра­ду­сах. Можно мне все подробно?

Постараюсь объяснить как можно подробнее. Почему я сразу сказал, что задача про равнобедренный треугольник? У обычных треугольников все стороны разной длинны. Их даже так и называют - разносторонние. Берем картинку со страницы про виды треугольников, отрезаем ненужное и начинаем разукрашивать. Геометрия - это та же детская разукрашка, только проще. В задаче обычно всегда говорится, что именно и как вы должны разукрашивать. Разукрасим нашу картинку с видами треугольников по размерам сторон синенькими буквами вершин равнобедренного треугольника.

Виды треугольников. Равносторонний, равнобедренный, разносторонний. Виды треугольников по размерам сторон. Математика для блондинок.
Виды треугольников
Теперь нужно разобраться, что такое внешний угол при вершине треугольника. По моему глубокому убеждению, это мусор, которым математики засоряют вам мозги. Ведь чем больше всякого мусора в учебнике, тем больше часов нужно на его изучение и тем больше сможет заработать учитель. Чем запутаннее предмет, тем легче репетиторам найти работу. Это похоже на продажу овощей на вес - чем больше в них грязи, тем больше денег заработает продавец.

И так, открываем "умную" книжку и начинаем копаться в математической грязи. В книжке написано буквально следующее:

Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине.

По умолчанию предполагается, что мы уже должны знать, что такое смежный угол. Не знаю, как вы, а я уже давно забыл, что это за фигня такая - "смежный угол". Ведь все нормальные люди пользуются нормальными углами. Хорошо, что к определению внешнего угла треугольника картинка прилагается, которая проясняет, как именно он выглядит.

Внешний угол. Треугольник и вешний угол при вершине треугольника. Математика для блондинок.
Внешний угол
Я никогда не пойму, зачем к треугольнику лепить внешний угол, если у него уже есть обычные, внутренние, углы. Я так понимаю, что одни дураки когда-то учили других, а те тупо повторяют действия учителей. Своими мозгами пользоваться их так никто и не научил. Кстати, величайшим достижением современного образования можно считать отсутствие в учебной программе научной теории о трех китах и Земле, которая на них держится. И это только потому, что данная теория не относится к математике. А ведь если в учебной программе что-то записано, то учить это обязательно для получения хорошей оценки.

Ладно, по возмущался и хватит. Вернемся к наше задаче. Читаем внимательно: Внеш­ний угол при вер­ши­не В равен 122 градуса. Собственно, картинка внешнего угла - это то, что доктор прописал. Обычный угол треугольника получается путем вычитания из 180 градусов внешнего угла. У равнобедренного треугольника углы при основании равны. Рисуем картинку и сразу решение.

Внешний угол при вершине. Равнобедренный треугольник. Математика для блондинок.
Внешний угол при вершине
Кажется, я догадываюсь, откуда в математике могли появиться внешние углы. Когда европейцы увидели пирамиды древнего Египта, они были потрясены увиденным. Им захотелось измерить эти грандиозные сооружения. Вот только внутренний угол пирамиды измерить не представляется возможным. Можно измерить внешний угол и высчитать внутренний. Математики увидели, что делают другие, и записали в свою Математическую Библию определение внешнего угла треугольника. Вот с тех пор это Священное Писание переписывается из учебника в учебник.

воскресенье, 2 февраля 2014 г.

Сторона равнобедренного треугольника

Вот крик о помощи, в котором просят помочь найти сторону равнобедренного треугольника:

Помогите, пожалуйста! Я не понимаю геометрию(( У меня задача по типу вот этой, только числа другие. Мне бы сам ход решения.

ЗАДАЧА: Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30°. Найдите боковую сторону треугольника, если его площадь равна 25.


Помочь мне не трудно, но есть одна проблема: я понятия не имею о школьной программе и не представляю, что можно использовать при решении задачи, а что нельзя. Если просто брать математику и использовать её для решения, то задача решается довольно просто.

Начинаем рассуждать. У нас есть площадь равнобедренного треугольника и угол при его вершине. Нужно найти длину боковой стороны. Можно использовать теорему Пифагора, тригонометрические функции и всё то, чему вас учили до этого момента. Используя разные трюки с подстановками, можно в конце концов найти решение этой задачи. Я поступлю гораздо проще.

Для определения площади треугольника существует много разных формул. Вот к ним-то я и предлагаю присмотреться внимательнее.

Площадь треугольника формулы. Сторона равнобедренного треугольника. Математика для блондинок.
Площадь треугольника формулы
 Все эти формулы есть в Википедии, можно их отыскать и в разных математических справочниках. Шестая формула нам подходит как нельзя кстати. Здесь площадь треугольника определяется по боковой стороне и углам. Зная площадь треугольника, можно легко найти сторону. Осталось только с углами разобраться. Углы в основании равнобедренного треугольника равны. На картинке запишем те условия, которые превращают обычный треугольник в равнобедренный.

Равнобедренный треугольник. Сторона равнобедренного треугольника. Математика для блондинок.
Равнобедренный треугольник
Как видите, нам даже нет необходимости искать углы в основании равнобедренного треугольника - синусы этих углов равны и сокращаются в дроби. Угол в вершине равен 30 градусов, синус этого угла равен одной второй. Теперь легко можно решить задачу. Выражаем квадрат стороны через площадь и синус угла в вершине, извлекаем квадратный корень и получаем сторону размером в 10 единиц.

Это взрослое решение. Все взрослые пользуются справочниками, не вдаваясь в подробности. Для инквизиторов от математики такое решение может показаться богохульством. Специально для инквизиторов мы сейчас выведем формулу площади равнобедренного треугольника через боковую сторону и синус угла в вершине. Как и предыдущее решение, это будет пример того, как нужно пользоваться математикой.

Стоп! Я обещал писать в режиме реального времени. Так вот, всё, что написано до сих пор, писалось в ночь с пятницы на субботу. Сейчас утро воскресенья. Почему я сразу всё не написал? Ну, во-первых, у меня проблемы с картинками тригонометрических формул - программа, в которой я их писал, начала глючить и не переключается на английский язык. Во-вторых, я, наверное, чувствовал, что у этой задачи есть очень простое, детское, решение. Сегодня утром до меня дошло.

Почему-то все самые интересные решения ко мне приходят по утрам. Может, я ночью с инопланетянами общаюсь? Может, это они за меня задачки решают? Есть там у них какой-то канал, типа Ютуба, под названием "Из жизни идиотов". Когда им становится грустно, они включают этот канал и начинают ухохатываться над нашими математиками с их идиотскими определениями и не менее грамотными решениями. Потом появляюсь я со своим; "Не могу решить задачу...". Они долго смеются и один говорит другому: "Покажи этому дурачку картинку, пусть исчезнет с экрана". Формулы можно записывать разными загогулинами и вкладывать в эти загогулины разный смысл. А вот геометрия на всю вселенную одна и у инопланетян равнобедренный треугольник выглядит точно так же, как и у нас. Именно поэтому инопланетяне понимают, что делают наши математики и им становится очень смешно. Мы ведь тоже смеемся, наблюдая за некоторыми проделками животных.


Это было маленькое лирическое отступление. Теперь перейдем к инквизиторским пыткам и я на время превращусь в математика-садиста, который будет мучить вас тригонометрией. Для начала картинка нашего равнобедренного треугольника с сохранением всех обозначений, принятых для произвольного треугольника. Почему я об этом специально говорю? Из-за тупости отдельных наших математиков. Если в формуле треугольника фигурирует один угол, то математик обозначит его как "альфа" и ему по барабану, этот угол находится в основании или в вершине треугольника. Это уже потом он будет тыкать пальцем в картинку и рассказывать, что именно этот угол он имел в виду, а не какой-нибудь другой. Когда же посторонний человек попробует воспользоваться такой формулой, вот тут и начинаются все проблемы в математике. И так, картинка.

Равнобедренный треугольник. Сторона равнобедренного треугольника. Математика для блондинок.
Равнобедренный треугольник
Теперь тригонометрические пляски с бубном.

Вывод формулы площади равнобедренного треугольника. Сторона равнобедренного треугольника. Математика для блондинок.
Вывод формулы площади равнобедренного треугольника
Краткое пояснение к этой шаманской пляске. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Высоту и основание выражаем через боковую сторону и тригонометрические функции угла при основании треугольника. Дальше переходим к углу в вершине треугольника, точнее, его половине. На следующем этапе используем тригонометрическую формулу произведения синуса и косинуса, но с учетом того, что у нас одинаковые углы. Потом всё складываем в кучку и получаем искомую формулу площади равнобедренного треугольника.

Но всё гениальное просто. Давайте разрежем наш равнобедренный треугольник пополам и сложим две половинки в прямоугольник.

Равнобедренный треугольник и прямоугольник. Сторона равнобедренного треугольника. Математика для блондинок.
Равнобедренный треугольник и прямоугольник
 А как известно, площадь любого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними. Наша боковая сторона равнобедренного треугольника превратилась в диагональ прямоугольника, угол в вершине равен углу между диагоналями. Мы получаем ту же формулу площади равнобедренного треугольника.

Ну и наконец, само решение задачи.

Сторона равнобедренного треугольника. Математика для блондинок.
Сторона равнобедренного треугольника
Картинки получились плохими. Но мы это как-нибудь переживем. Главное - их смысл.

понедельник, 30 сентября 2013 г.

Диагональ четырехугольника и периметры треугольников

В комментариях появилось вот такое сообщение:

Помогите, пожалуйста, решить задачу: Р треугольника = 23 дм. Найти длину диагонали АС, если Р треугольника АВС = 15 дм, Р треугольника АДС = 22 дм

Странная задача, мягко говоря. Откуда у треугольника может взяться диагональ? У треугольника много всякой ерунды есть (типа высота, медиана, биссектриса...), но про диагональ треугольника я не слышал.

В подобных случаях я обычно перечитываю задачу второй, третий, четвертый раз. Если это не помогает понять смысл, я начинаю перечитывать всё по буквам, как учили в детском садике. В данном случае мне это не помогло. Но если автор вопроса внимательно, по буковкам, перечитает условие задачи, то я уверен, что "периметр треугольника" в самом начале здачи волшебным образом превратится в "периметр четырехугольника". Да, у четырехугольника есть диагональ, даже две. Вот теперь задача звучит совсем по другому:

Периметр четырехугольника АВСД равен 23 дециметра. Нужно найти длину диагонали АС, если известно, что периметр треугольника АВС равен 15 дециметров, а периметр треугольника АДС равен 22 дециметра.

Для решения задачи рисуем четырехугольник с одной диагональю. Длины сторон этого четырехугольника обозначаем a, b, c, d, длину диагонали обозначаем буковкой f. Красненькой губной помадой (ведь сегодня губная помада может быть практически любого цвета) обводим два треугольника. Под картинкой записываем формулу периметра четырехугольника и формулы периметров двух треугольников.

Диагональ четырехугольника и периметр треугольников. Решение задачи. Формула периметра четырехугольника и формулы периметров треугольников. Математика для блондинок.
Периметр четырехугольника и периметры треугольников
Какое чудное произведение математического искусства получилось! Почти Дали с Малевичем в одном флаконе. От Сальвадора Дали здесь название картины: "Страшный сон ученика, приснившийся ему прямо на уроке, за секунду до пробуждения учителем". От Малевича имеем содержание: черное, только в губной помаде, на белом фоне.

Искусство - это прекрасно, но вернемся к нашим баранам. В данном случае - периметрам.  То, что в формулах периметров стоит слева от знаков равенства, нам дано по условию задачи. А вот то, что нам нужно найти, спрятано в расшифровках радиограмм вражеских лазутчиков. Кстати, неужели шпионы до сих пор пользуются радиопередатчиками? Уже давно есть Интернет для скачивания ворованных файлов!

Соображаем дальше. В формулах слишком много букв. Нужно как-то от них избавиться. Длины сторон четырехугольника нас искать никто не заставляет. Какой способ избавления от мусора придумали математики? Вычитание! Если от мусора отнять мусор, то и выносить уже будет нечего. Настоятельно не рекомендую повторять это в домашних условиях!

Если сложить вместе два периметра треугольников и вычесть из них периметр четырехугольника, то все длины сторон исчезнут, как по волшебству. Останется одинокая диагональ, но в два раза раздувшаяся от обиды. Если мы её разделим пополам, то найдем именно то, что нам нужно. Теперь мы можем легко вывести формулу для решения нашей задачи.
Решение задачи про периметр четырехугольника, периметры треугольников и диагональ. Математика для блондинок.
Решение задачи
Ой, что-то у меня дробные черточки какие-то неполноценные получились. Во всяком случае, на экране моего компа они выглядят именно так. По ходу, это шпионы через Интернет украли кусочки дробных черточек для анализа ДНК. Ну и пусть. Дробные черточки во всех странах одинаковые. Как мне кажется...

Так, задачу мы героически решили и получили диагональ длиной 7 дециметров. Теперь бы проверку выполнить. Мало ли что нам шпионы подсунули. Арифметику проверяем на калькуляторе. А смысл ответа? Есть одна фишка. Ещё в древности, без всяких шпионов, математики установили, что сумма длин двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны. И ни один самодур за всю историю человечества это правило отменить не смог. Это в грамматике можно чудить всё, что угодно, а с настоящей математикой не поспоришь.

Если от периметра треугольника отнять длину диагонали, то у нас останется сумма двух сторон треугольника. Вот эта сумма должна быть больше длины самой диагонали. Для обеих треугольников. Проверяем:

15 - 7 = 8 что больше 7

22 - 7 = 15 что больше 7

Судя по всему, задача решена правильно. Можно запускать шпионов, пусть учат своих бездарных правителей задачи решать. А иначе зачем чужие секреты воровать? Только если сам ни на что не способен.    

суббота, 18 мая 2013 г.

Теорема косинусов в общем виде

Теорема косинусов в общем виде для любого треугольника в евклидовом пространстве выглядит так.

Теорема косинусов в общем виде. Периметр треугольника. Математика для блондинок.
Теорема косинусов в общем виде
Первая формула теоремы косинусов описывает периметр и устанавливает его зависимость от сторон и углов треугольника. Вторая формула - это двухмерный вариант теоремы косинусов. Последняя формула представляет многомерный вариант теоремы косинусов для треугольника в евклидовом пространстве с любым количеством измерений. Данная формула позволяет учитывать влияние кривизны пространства в любых пространственных направлениях при переходе от евклидового пространства к не евклидовым и обратно.

Теорема косинусов для треугольника в не евклидовом пространстве будет иметь более громоздкий вид. Каждый геометрический элемент формулы, представленный в виде степени, может быть представлен в виде сомножителей, имеющих свои собственные коэффициенты кривизны пространства.

Формула периметра треугольника может быть представлена в двух различных видах. В одном случае периметр можно выразить через  сторону и сумму косинусов прилежащих углов. В другом случае это можно сделать через сумму двух сторон треугольника, умноженную на косинус угла между ними.

Теорема косинусов для пермаетра треугольника. Математика для блондинок.
Теорема косинусов для периметра треугольника
Геометрически теорему косинусов для периметра треугольника можно изобразить следующим образом. 

Теорема косинусов

Математики говорят, что теорема косинусов является обобщением теоремы Пифагора. Они ошибаются. Теорема косинусов описывает зависимости между сторонами и углами треугольника в пространстве. Теорема Пифагора описывает несколько другие вещи. Многомерность в этих двух теоремах так же реализуется по-разному. В теореме косинусов задействованы показатели степеней, в теореме Пифагора количество пространственных измерений связано с числом слагаемых в формуле.

Теорема косинусов в общем виде является не просто набором математических символов, это безупречно работающая динамическая система. Некоторые моменты в работе теоремы косинусов мы рассмотрим более подробно.