Показаны сообщения с ярлыком треугольник. Показать все сообщения
Показаны сообщения с ярлыком треугольник. Показать все сообщения

пятница, 17 мая 2013 г.

Теорема косинусов

Рассмотрим теорему косинусов в её классическом виде. Берем произвольный треугольник и записываем саму теорему.

Теорема косинусов. Математика для блондинок.
Теорема косинусов

При решении задач нужно помнить, что для одного конкретно взятого треугольника теорема косинусов может быть записана в трех вариантах.

Теорема косинусов. Три варианта теоремы косинусов. Математика для блондинок.
Три варианта теоремы косинусов

 Как видите, теорема косинусов позволяет определить все три угла треугольника, если нам известны длины его сторон. Даже при современном уровне развития техники, измерить длину гораздо проще, чем измерить угол. Вот здесь теорема косинусов может оказаться очень даже полезной.

Это было маленькое лирическое вступление. А теперь сама история. Не помню, что мне было нужно, но попал я на страницу Википедии, где рассказывается о теореме косинусов. Как-то я уже говорил, что на англоязычных страницах Википедии математика представлена более полно и интересно, чем на русскоязычных. Заглянул я к иностранцам и в этот раз. Там меня заинтересовала одна картинка. Вот она.

Теорема косинусов. Иллюстрация к теореме косинусов. Математика для блондинок.
Иллюстрация к теореме косинусов

Рядом приводится доказательство теоремы косинусов, которое меня очень заинтересовало. Вот как оно выглядит. Ничего, что текст на английском языке. Настоящая математика в переводчиках не нуждается.

Теорема косинусов. Доказательство теоремы косинусов. Математика для блондинок.
Доказательство теоремы косинусов
Вникнув в смысл доказательства, я начал просматривать всю страницу. Признаюсь честно, я был в шоке. Как?! И это всё???!!! А что, пошевелить собственными мозгами так никто и не додумался? Дело в том, что предлагаемый ход рассуждений позволяет вывести теорему косинусов в общем виде. Неужели за две тысячи лет никому из математиков это не пришло в голову?

Взяв в руки листок бумаги и карандаш, я тут же набросал очень симпатичную формулу. Пару дней я её крутил и так, и этак, пока не поймал себя на мысли, что я повторяю ту же ошибку, которую математики совершали тысячелетиями - я тупо повторяю чужие действия и рассматриваю формулу исключительно в общепринятом виде, собственные мозги я вообще не включаю. Еще раз посмотрев на доказательство теоремы, до меня наконец-то дошел её настоящий смысл. Пара часов работы и теорема косинусов в общем виде была готова. Теперь мы можем познакомиться с нею поближе.

понедельник, 7 января 2013 г.

Площадь ромба и параллелепипед

Однажды давным-давно, за лесами широкими, за морями глубокими... На опушке дремучего леса, в избушке на курьих ножках... Злая крикливая тётка (а вы как думали? даже Баба Яга была когда-то молодой) сочиняла задачки для учебника математики. Придумала она задачку про параллелепипед, но ей показалось этого мало. Не сильно трудной задачка получилась. Захотелось молодой карге сильнее над детишками поиздеваться. И придумала она ещё одну задачку про этот же параллелепипед, у которого в основании ромб...

Давно это было, но раскопали археологи развалины древней избушки, извлекли человеческие косточки и на них обнаружили древние задачи. (А на чем ещё Баба Яга могла писать? Бумажной промышленности тогда не было, вот и лес дремучий нетронутым стоял.) Наши доблестные математики повертели косточки в руках и добросовестно переписали эти задачи в свои учебники, чтобы детишек просвещать. С тех самых пор по учебникам математики гуляет следующая задача:

Основа прямого параллелепипеда - ромб с площадью 32 корня из трех сантиметра квадратных и острым углом 60 градусов. Большая диагональ параллелепипеда создает с площадью основания угол 30 градусов. Найдите объем параллелепипеда.

Я понимаю, что изучать журнал мод гораздо интереснее, чем решать какие-то задачи, но... наука, как и красота, требует жертв. Берем картинки с прошлой задачи и разрисовываем под новые условия.

Площадь ромба и параллелепипед. Условие задачи, объем прямого параллелепипеда. Математика для блондинок.

Казалось бы, найти объем такого прямого параллелепипеда не сложно, достаточно площадь основания умножить на высоту. Но, вместо высоты, злая Баба Яга придумала два угла. Один угол в 60 градусов между сторонами ромба (ромб у нас желтый, угол красным обозначен на верхней картинке), второй угол между основанием и большой диагональю параллелепипеда (эта диагональ и угол синеньким нарисованы). Нижним основанием второго угла является большая диагональ ромба, ведь высота перпендикулярна основанию у всех прямых параллелепипедов.

Зарисуем зеленым прямоугольный треугольник, из которого мы попытаемся найти катет, который одновременно является высотой параллелепипеда (обозначена красным на втором рисунке). Гипотенузу этого треугольника нам найти не удастся, а вот со вторым катетом можно повозиться.Он является длинной диагональю ромба, у которого нам известна площадь и острый угол в вершине. Открываем коробочку и смотрим на донышко.

Площадь ромба и параллелепипед. Площадь ромба, длина стороны и диагонали ромба. Математика для блондинок.

Вспоминаем формулу площади ромба. Площадь ромба равна квадрату стороны, умноженному на синус угла в вершине. Отсюда мы без труда выковыряем длину стороны ромба. Дальше на диагоналях рисуем прямоугольный треугольник (гламурненького цвета), применяем портрет тангенса и без особого труда соображаем,что длинная диагональ равна двум произведениям стороны на косинус половины угла в вершине.

Теперь самый интересный момент. Как найти высоту параллелепипеда, не роясь в тригонометрии? Очень просто. Пользуясь портретом тангенса, это можно сделать на уровне детского садика. Достаточно нарисовать картинки и разукрасить их надписями.Сперва рисуем наш треугольник и обозначаем на нем угол, высоту параллелепипеда и диагональ ромба. Затем рисуем второй треугольник и при помощи портрета тангенса выражаем его катеты через длину гипотенузы. А дальше совсем чуть-чуть элементарной математики...

Сравниваем картинки и записываем, чему равны нужные нам высота и диагональ. Смотрим на портрет тангенса и вспоминаем, что тангенс - это синус на косинус. И что в тригонометрии везде дроби. Записываем формулу тангенса. Потом числитель и знаменатель нашей дроби умножаем на диагональ. Дробь не поменялась, но в ней появилось что-то очень знакомое. Смотрим на верхние равенства и выражаем тангенс через высоту и диагональ. Теперь остается только записать формулу высоты из полученного выражения тангенса. Смотрите, как всё чудненько получилось.

Площадь ромба и параллелепипед. Прямоугольный треугольник. Тригонометрия для блондинок. Как найти катет треугольника без гипотенузы. Чему равен тангенс угла. Математика для блондинок.

Всё, задачу мы практически решили. Можно на низать все формулы на одно выражение и получить большого динозавра. Можно каждую формулу вычислить отдельно. Я поленился писать большую общую формулу и значения подставлял в каждую формулу отдельно.

Площадь ромба и параллелепипед. Решение задачи. Как найти объем прямого параллелепипеда. Математика для блондинок.

Остается только добавить, что в данном решении одни и те же числовые значения соответствуют разным величинам. Будьте внимательны! Математики часто на такие мелочи не обращают внимания, отсюда и все проблемы в математике. У нас длина стороны ромба и высота прямого параллелепипеда равняются 8 сантиметров. Половина угла в острой вершине ромба численно равна углу при большой диагонали параллелепипеда и составляет 30 градусов. Если в условии вашей задачи другие числа, тогда ничего не перепутайте: "бабе - цветы, дитям - мороженое".

P.S. Чтобы вам, красивым и пушистым, всегда дарили роскошные букеты ... Возвращаемся к предисловию и начинаем читать заново:)

суббота, 5 января 2013 г.

Диагональ, параллелепипед и ромб

Вот такая вот задача. Основанием прямоугольного параллелепипеда является ромб, сторона которого равняется 6 сантиметров, а угол 60 градусов. Высота параллелепипеда равна 8 сантиметров, найдите длину меньшей диагонали параллелепипеда.

Начинаем рассуждать. Параллелепипед и ромб в основании - это такая коробочка, которая сверху похожа на ромб. У такого параллелепипеда действительно можно нарисовать две пары диагоналей, длины которых будут разными. Из нижней вершины с острым углом в верхнюю вершину с острым углом можно провести длинную диагональ. А вот тупые вершины (не в смысле, что эти вершины ничего не понимают, а в смысле, что эти вершины прихватизировали тупые углы) будут соединяться короткими диагоналями. Таких диагоналей две, их длина одинаковая. Посмотрим на картинке, как выглядит одна из таких диагоналей.

Диагональ, параллелепипед и ромб. Прямоугольный параллелепипед с основанием в виде ромба, короткая диагональ параллелепипеда. Теорема Пифагора в параллелепипеде. Математика для блондинок.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда показана красным цветом, диагонали ромба основания показаны синим цветом. Если очень сильно постараться, напрячь свое воображение и внимательно присмотреться к верхней картинке, то можно увидеть прямоугольный треугольник. Параллелепипед у нас прямоугольный. Значит, боковое ребро расположено под прямым углом к основанию. Диагональ основания (синенькая), диагональ параллелепипеда (красненькая) и ребро (черненькое, мелированое, не успело в парикмахерской перекраситься) образуют этот прямоугольный треугольник. А там, где есть прямоугольный треугольник, там царствует теорема древнего Пифагора. Всегда, не зависимо от того, кого вы в своей стране избрали царём или президентом.

В низу, под картинкой, записана эта самая знаменитая теорема применительно к нашему случаю. Не удивляйтесь, если в таком виде вы встречаете теорему Пифагора впервые. Во-первых, не все учились с вами в одном классе и они могут не знать, как именно вас учили правильно записывать теорему Пифагора. Во-вторых, в теореме Пифагора главным является не принятая кем-то система закорючек, а смысл - берем две перпендикулярных штучки, возводим в квадрат, складываем в кучку и получаем третью штучку в квадрате. У нас квадрат ребра и квадрат диагонали ромба чудненько складываются в квадрат диагонали параллелепипеда.

Теперь нам необходимо разобраться с диагональю ромба. Берем нашу коробочку в форме прямоугольного параллелепипеда, открываем крышечку и заглядываем внутрь. Почему мы заглядываем внутрь коробочки а не изучаем саму крышечку? Безотказно работает теорема любопытной обезьяны. Попробуйте что-нибудь отрыть и не заглянуть внутрь. А зачем тогда открывали?! Любой, даже безграмотный, математик вам скажет, что теорема требует доказательства. Один момент. Попросите свою маму купить вам что-то в коробочке. Когда она вам её принесет, вы, с закрытыми глазами, откройте крышечку коробочки, а саму коробочку, не глядя, выбросьте в мусор. Не получилось? Всё, теорема доказана.

И так, мы остановились на том, что, встав в позу теоремы Пифагора, мы заглядываем внутрь коробочки. Что мы там видим? Если вы верили в Конец Света 2012, тогда там спрятаны припасы на всю оставшуюся жизнь. Вынимайте их из коробки и можете смело доедать (вы ещё долго будете извлекать свои припасы из самых неожиданных мест). Пока вы не придумаете следующую дату Конца Света, вам ничто не угрожает. С пророчеством советую поторопиться. Вокруг очень много жаждущих славы пророков, а ещё больше желающих впихнуть вам партию залежалого товара. Если же вы не верите в Конец Света, то в коробочке были новогодние сладости, которые уже закончились.

Всё, наша коробочка пустая и мы можем внимательно изучить донышко. Оно имеет форму ромба, у которого можно провести диагонали. При пересечении, эти диагонали образуют чудненькие треугольнички. Аж четыре штуки. Мы люди не жадные, нам достаточно одного. Что мы знаем об этом треугольничке (на картинке ниже он закрашен в чудный цвет)? Этот треугольник точно не Бермудский и не любовный. А какой? Лезем в Интернет и ищем свойства ромба. Мы их когда-то учили в школе, но это было так давно... В Интернете полно всякой ерунды, но есть и кое-то интересное нам. Все стороны ромба одинаковые. Диагонали ромба разные. Пересекаются диагонали под прямым углом. Точка пересечения диагоналей делит их на две равные половинки. Каждая диагональ делит угол в вершине поровну (у ромбов и квадратов диагонали не жадные). Кажется, всё. Прочая ерунда о ромбах нас не интересует.

И так, в результате наших научных исследований мы установили, что наш треугольник является прямоугольным. Гипотенуза у него равна длине стороны ромба, катеты равняются половинкам диагоналей. Снова примеряем деда Пифагора. Длину гипотенузы мы знаем, а вот с двумя катетами проблема. Какой-то лентяй не потрудился измерить диагонали. Зато это чудо умудрилось вымерить величину угла в одной вершине. В традиционном виде теорема Пифагора не катит (это не опечатка, это в смысле "не подходит"). Остается только тригонометрия. Она тоже работает в прямоугольных треугольниках, но придумали её математики исключительно для того, чтобы издеваться над детьми. Лично мне так кажется. Думаю, эта идея соберет не маленькую группу Вконтакте. "Я ненавижу тригонометрию" - красивое название для группы, дарю.

Как сказали бы врачи, показаниями к применению тригонометрии является невозможность применения теоремы Пифагора из-за отсутствия двух размеров треугольника и наличие значения одного из углов. Если бы у нас не было угла, тогда и медицина была бы бессильна. Как применить тригонометрию? Не будем рыскать по Интернету, я покажу вам более надежный инструмент. Назвал я его "портрет тангенса". Приставляем его к вершине треугольника, значение угла в которой нам известно. Горизонтальную палочку располагаем параллельно линии, от которой мы отсчитываем угол (у нас это горизонтальная диагональ). Потом вспоминаем "тангенс - это синус на косинус". Верхняя палочка портрета обозначает синусы, нижняя палочка - косинусы. Нам нужно найти вертикальный катет треугольника. Значит, для этого гипотенузу нужно умножить на синус угла. Если бы нам нужен был горизонтальный катет, мы бы умножали на косинус этого же угла. Полная длина вертикальной диагонали ромба (синенькая) получается равной двум длинам катета треугольника.
Диагональ, параллелепипед и ромб. Как применять тригонометрию. Прямоугольный треугольник в ромбе, диагонали ромба. Математика для блондинок.

Всё. С задачей мы разобрались. Обозначаем диагональ ромба буквой "f", сторону - буквой "а", угол - буквой "альфа". Диагональ параллелепипеда мы обозначим буквой "d", а его высоту - буквой "h". Теперь записываем формулы для решения, подставляем в них известные нам значения и получаем результат.
Диагональ, параллелепипед и ромб. Формула диагонали ромба и диагонали параллелепипеда. Решение задачи по геометрии про диагональ параллелепипеда. Применение теоремы Пифагора. Математика для блондинок.

Длина меньшей диагонали получилась равной 10 сантиметров. Можно, конечно, вычислить и длину большей диагонали, но теорема любопытной обезьяны в этом случае наотрез отказывается работать. Она (теорема) точно знает, что ничего вкусненького или интересного в результате вычислений мы не получим.

понедельник, 3 декабря 2012 г.

Площадь треугольника через котангенс

Сейчас мы разберемся, как находить площадь треугольника через котангенс, точнее, рассмотрим вывод формулы. Как выглядит площадь треугольника при вычислении её через котангенс? Вот так.

Площадь треугольника через котангенс. Формула площади треугольника с котангенсом. Математика для блондинок.


Всем нам известно, что площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Куда девается высота и откуда появляются котангенсы в этой формуле? Как получить эту формулу? Рецепт довольно прост, как в кулинарии. Нужно взять необходимые компоненты этого математического блюда, предварительно их подготовить и из полуфабрикатов приготовить саму формулу. Продукты для еды мы покупаем в магазине. Где брать составные компоненты математической формулы? Треугольник у нас уже есть. Еще нам понадобится определение котангенса через треугольник. Берем на указанной странице картинку и вырезаем необходимые компоненты.

Котангенс. Формула котангенса на треугольнике. Что такое котангенс. котангенс это отношение прилежащего катета к противолежащему. Математика для блондинок.

Теперь начинаются работы по предварительной подготовке к процессу выведения формулы. Как и на кухне, нужно всё соответствующим образом подготовить - почистить, нарезать, поджарить, отварить... Короче, вы гораздо лучше меня знаете, что нужно делать на кухне. Я умею только покушать.

Площадь треугольника через котангенс. Проекции сторон на основание треугольника. Высота треугольника. Математика для блондинок.

Убираем с рисунка всё лишнее. Красным цветом я дорисовал то, что нам будет нужно. Высота треугольника входит в площадь треугольника. Она делит основание на два отрезка. Длинна каждого отрезка определяется как проекция на основание выше расположенной стороны треугольника. Пользуясь портретом тангенса, я без труда определяю, что использовать нужно косинусы углов. Запишем формулу основания как сумму двух проекций сторон. Переходим к картинке котангенса.

Площадь треугольника через котангенс. Высота треугольника. Котангенс угла. Математика для блондинок.

Теперь с картинки треугольника нам нужно перенести все обозначения на картинку котангенса. С левым углом никаких проблем нет, на обеих картинках они направлены в одну сторону. Используя старые обозначения в формуле котангенса и знак равенства на картинке, мы без труда получаем формулу котангенса угла альфа для нашего треугольника. А вот с углом бета возникли маленькие проблемы. Он смотрит в другую сторону. Не отчаиваемся. Как заправские спецназовцы, берем картинку с углом альфа и проводим операцию "фейс даун", то есть кладем её мордой в пол. Надеваем на неё наручники и подносим к окну. Сквозь лист бумаги проступает расплывчатый рисунок... Вау! Да это же тот самый угол, который нам нужен! А притворялся другим углом (в кулинарных рецептах вы подобных приемчиков не найдете, но ведь и математика - не кулинария). Ставим свои обозначения на перевернутой картинке и получаем значение котангенса угла бета.

Всё. Теперь приступаем к приготовлению самого блюда, то есть к выведению формулы площади треугольника через котангенсы двух углов альфа и бета. Повторяю, что начинаем мы с общей формулы, где площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Записываем всё раздельно: половинку, основание и высоту. Потом с высотой начинаем выполнять волшебные превращения в строгом соответствии с уже полученными нами формулами.

Площадь треугольника через котангенс. Вывод формулы. Математика для блондинок.

В конце полученное нами значение высоты треугольника, выраженное через котангенс, подставляем в первую формулу и слепливаем всё в кучку. Как видите, ничего сложного в этом рецепте нет.

Общая рекомендация при выведении других формул. Смотрите, что у вас есть в начале и в конце. Ищите то, чем это можно связать вместе. В нашем случае начало и конец связываются определением котангенса через треугольник.

понедельник, 9 апреля 2012 г.

Фрактальная структура теоремы Пифагора

Все вы знаете теорему Пифагора - пифагоровы штаны на все стороны равны. А знаете ли вы, сколько карманов в этих штанах? И в каждом кармашке спрятана целая куча самых разных интересных штучек. В одном кармашке мы нашли нашли основное тригонометрическое тождество, формулы для двух углов и многомерных пространств, в другом - единицы измерения в теореме Пифагора. Сегодня мы пороемся в том кармашке, где спрятаны фракталы.

Что такое фракталы? Это когда часть подобна целому. Красота фракталов поразила воображение не только математиков, но и обычных ротозеев. Дерево имеет структуру фрактала - ствол, толстые ветки, более тонкие ветки, веточки ещё тоньше, листья, жилки на листике... Получается фрактал, если часть целого заменить уменьшенной копией всего целого, а потом часть уменьшенной копии снова заменить на ещё больше уменьшенную копию и так до бесконечности. Вот пример построения фрактала из Википедии.

Фрактал. Пример построения фрактала. Что такое фрактал. Математика для блондинок.
Числами обозначены шаги в построении фрактала. Первое - это целая фигура, второе - первый этап развития фрактала и так далее. Нижний фрактал изображен на четвертом этапе. В левой части я специально дорисовал исходные фигуры, чтобы нагляднее показать развитие фрактала. Так вот, в статье Википедии о фракталах нет упоминаний о теореме Пифагора. У меня два варианта объяснения этого постыдного факта:

1. Математики сами ничего не знают о фрактальной структуре теоремы Пифагора.
2. Они знают, но скрывают от нас свои тайные знания, как жрецы в древности.

Думать о том, что математики считают теорему Пифагора не достойной фракталов, даже мне стыдно. Восстановим справедливость. Первый момент, на который я хочу обратить ваше внимание - это развитие фрактала. Математики во всех направлениях развивают фрактал одинаково для получения симметрии. Я так делать не буду, поскольку и в природе фракталы могут развиваться в разных направлениях по-разному - некоторые ветки деревьев усыхают. Ещё я хочу сделать картинки более понятными и меньшими по размеру за счет развития фрактала только в одном направлении. И последнее. Таким образом мы получим линейный фрактал (кстати, он мне чем-то напоминает полимер из химии).

И так, возьмем прямоугольный треугольник. Все вы знаете, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов - это и есть теорема Пифагора. Теперь один из катетов мы представим как гипотенузу другого прямоугольного треугольника, у которого есть пара своих катетов. Заменим катет первого прямоугольного треугольника мы заменим двумя катетами второго треугольника. Один катет второго треугольника заменяем двумя катетами третьего треугольника. Так можно поступать с любой стороной треугольника, продолжая замену до бесконечности. Вот как это выглядит на рисунке - две замены для одной стороны дают нам представление о фрактальной структуре теоремы Пифагора.

Фрактальная структура теоремы Пифагора. Неравномерное развитие фрактала. Треугольный фрактал. Линейный фрактал. Математика для блондинок.
Кстати, если гипотенузу треугольника заменить на два точно таких же катета, отраженных симметрично, мы получим прямоугольник. Для прямоугольника теорема Пифагора будет звучать так: сумма квадратов сторон прямоугольника равна квадрату диагонали. Как видите, теорема Пифагора прячется практически везде, за что бы мы не взялись. Это самая вездесущая теорема математики.

Теперь перейдем к самому интересному - формулам треугольного фрактала. С классическим видом теоремы Пифагора никаких проблем нет. Заменяем квадрат самого первого элемента формулы на сумму квадратов и подставляем в формулу. Красным цветом выделены те выражения, которыми мы пользуемся при подстановке. Вопреки всем существующим правилам записи математических выражений, каждое подставляемое выражение я возьму в скобки, чтобы вам было понятнее, какие выражения появляются после подстановки.

Фрактальная структура теоремы Пифагора. Формула неравномерного фрактала. Треугольный фрактал формула по теореме Пифагора. Формула линейного фрактала. Математика для блондинок.
Как видите, полученная нами формула легко складывается в теорему Пифагора для первого прямоугольного треугольника, если мы пойдем по этим формулам в обратном порядке. То есть два элемента последней формулы, выделенные скобками, заменим одним. Напоминаю, что разложить мы можем как любую сторону треугольника, так и все сразу. Я раскладывал только первый элемент и для наглядности, и для экономии места на рисунке. В результате у меня получилась теорема Пифагора для линейного фрактала.

Если мы с вами запишем теорему Пифагора для любого треугольника, не только прямоугольного, тогда любой многоугольник мы сможем представить как фрактал треугольника. Зачем это нужно? Понятия не имею, просто прикольно. А вдруг кому-то пригодится? Но об этом как нибудь в другой раз. Сейчас же продолжим терзать наши прямоугольные треугольники.

Как настоящие ученые, мы должны представить полученный нами линейный фрактал в тригонометрическом виде - ведь теорема Пифагора легко преобразуется в основное тригонометрическое тождество и обратно, что мы с вами уже подробно рассматривали. С нарисованным нами фракталом так легко не получится. Если мы просто заменим первый элемент формулы на сумму квадратов синуса и косинуса, как это сделано в традиционном представлении теоремы Пифагора, мы вляпаемся в равенство единица плюс квадрат косинуса равняется единице. А это равенство не является правильным. Здесь мы лицом к лицу сталкиваемся с таким математическим понятием, как переменные единицы измерения.

Что такое переменные единицы измерения и существуют ли они в природе? С эти вопросом, более детально, мы будем разбираться отдельно. Здесь же поговорим о треугольниках. Что является математической единицей измерения размеров треугольника? Для каждого треугольника математической единицей измерения длины является длина одной стороны. Какой именно стороны? Любой. Какую сторону вы выберите, та и будет единицей измерения для конкретного треугольника. Это причуды относительности математики. В школе, в повседневной жизни мы пользуемся не математическими, а человеческими единицами измерения для выражения размеров треугольника.

Не переключайтесь на другой канал - впереди вас ждут удивительные открытия! (Кажется, я это где-то уже слышал).

воскресенье, 11 марта 2012 г.

Теорема Пифагора

Здесь мы не будем рассматривать доказательство теоремы Пифагора. Доказательств много и вы их без труда найдете. Сегодня мы рассмотрим преобразование теоремы Пифагора из тригонометрического вида в другие виды с применением различных единиц измерения. Такие исследования математических свойств разных единиц измерения должны быть неотъемлемой частью математики. К сожалению, никто нас этому не учат. Но если вы хотите понимать математику, вы должны это знать.

Прежде всего, отметим те существенные моменты, которые влияют на применение теоремы Пифагора к окружающей действительности:

1. Две единицы измерения должны быть перпендикулярны.
2. Перпендикулярные единицы измерения должны быть одинаковыми.


Если две перпендикулярные единицы измерения будут разными, мы не сможем выполнить их сложение. Таковы правила сложения, которым нас учат в самом раннем возрасте и которые потом нас учат напрочь забывать. По умолчанию принято считать, что если между числами мы поставили знак плюс или минус, то эти числа имеют одинаковые единицы измерения. Весь окружающий мир не превращается в бесформенную серую массу потому, что даже одно число может иметь бесконечное множество единиц измерения. Именно единицы измерения удерживают разные величины от сложения в одно целое.

Тригонометрическая форма теоремы Пифагора, которую мы называем основным тригонометрическим тождеством, является формой записи теоремы Пифагора без единиц измерения. Это один из основных математических законов, который при введении разных единиц измерения превращается в разные физические законы.

Произведем преобразования основного тригонометрического тождества так, что бы мы могли потом подставлять любые единицы измерения и получать результат. Для этого введем нейтральные элементы в эту формулу.

Теорема Пифагора. Тригонометрический вид теоремы пифагора. Основное тригонометрическое тождество. Математика для блондинок.
Почему единица возведена в квадрат? Потому, что в математике так писать не принято, но это объясняет смысл того, что будет происходить дальше. Теперь мы приравниваем нашу единицу к длине гипотенузы прямоугольного треугольника и получаем теорему Пифагора в классическом виде - сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Теорема Пифагора. Превращение основного тригонометрического тождества в теорему Пифагора для треугольника. Геометрия теорема Пифагора формула. Математика для блондинок.
Заметьте, не имеет значения, что мы будем называть синусом, а что косинусом. Не имеет значения, какой из двух острых углов мы возьмем - теорема Пифагора работает для двух этих углов одинаково. Главным является то, что сумма квадратов отношений гипотенузы к катетам равна квадрату самой гипотенузы, всё остальное - это проявления относительности тригонометрических функций. Теорему Пифагора можно рассматривать как математическое доказательство переместительного закона (математики называют это коммутативностью) сложения - от перестановки слагаемых сумма не меняется. Коммутативность - ещё одно проявление относительности в математике.

Теперь посмотрим, что получится, если вместо единицы мы подставим радиус окружности.

Теорема Пифагора. Математика теорема Пифагора для радиуса окружности. Математика для блондинок.
Получается, что сумма квадратов координат точек окружности равна квадрату радиуса. Но, не нужно при этом забывать главное условие - центр окружности должен совпадать с центром декартовой системы координат. Если центр окружности и центр системы координат не совпадают, тогда это утверждение рассыпается, как карточный домик. Окружность и декартовы координаты - это две абсолютно независимые системы, которые могут располагаться, как угодно. Кто сказал, что центр окружности всегда должен совпадать с центром системы координат? Математики? Они пошутили.

Нужно обратить внимание ещё на один момент - знаки чисел. Теорема Пифагора их полностью игнорирует даже при наложении на окружность декартовой системы координат в классическом виде - с положительными и отрицательными направлениями. Возведение любого числа в квадрат полностью лишает это число знаковых признаков. Это свидетельствует о том, что в математике главным является само число, а не тот знак, который мы этому числу приписываем.

Дальше мы подставим вместо единицы длину отрезка.

Теорема Пифагора. Геометрия теорема Пифагора для отрезка. Математика для блондинок.
У нас получилось, что сумма квадратов проекций отрезка на оси прямоугольной системы координат равна квадрату длины отрезка. Я не зря подчеркнул, что система координат должна быть прямоугольной. Для косоугольной (аффинной) системы координат теорема Пифагора будет выглядеть по-другому. Взаимное положение отрезка и системы координат значения не имеет. Так же не имеет никакого значения, есть в системе координат отрицательные направления или нет. Проективные свойства пространства проявляются уже в момент возникновения самого пространства, до того, как в этом пространстве появляемся мы со своими знаками чисел. Кстати, в момент появления пространства возникает и симметрия, которая заставляет нас применять отрицательные числа, что бы мы могли различать симметричные явления. Есть ли у инопланетян отрицательные числа? Понятия не имею. Но знаю точно, что у них обязательно есть что-то, что помогает им адекватно отображать свое отношение к симметрии. Поэтому, когда встретитесь с ними, не сильно удивляйтесь, что они не понимают ваших рассказов о плюсах и минусах.

Теперь подведем маленький итог. Всё то, что мы с вами рассмотрели - гипотенуза треугольника, радиус окружности, отрезок - это различные названия одной и той же единицы измерения длины. Все перечисленные геометрические объекты измеряются в сантиметрах, метрах, километрах и так далее. Просто в разных ситуациях нас научили называть длину по-разному. В повседневной жизни это удобно, в математических операциях эти различия в названиях не имеют никакого значения, вы всегда имеете дело с длиной. Все рассмотренные нами разновидности теоремы Пифагора - это различные варианты записи одного и того же математического закона для двух перпендикулярных измерений длины.

В качестве следующей единицы измерения возьмем единицу измерения времени. Для времени теорема Пифагора будет выглядеть так:

Теорема Пифагора. Применение теоремы Пифагора для времени. Единицы измерения времени и теорема Пифагора. Математика для блондинок.
Сумма квадратов проекций времени на перпендикулярные направления равна квадрату самого времени. Естественно, здесь возникает целый ряд вопросов.

Существуют ли у времени перпендикулярные направления? Мы этого не знаем, но это совсем не означает, что у времени не может быть перпендикулярных направлений. Точно нам смогут ответить только физики. Думаю, на ближайшее тысячелетие им работы хватит.

Сколько измерений имеет время? Некоторые уверены, что одно. Некоторые высказывают предположение, что больше. Лично я рассуждаю так. У длины имеется минимум три пространственных измерения, в которых мы живем - длина, ширина, высота. У времени должно быть такое же количество измерений, как и у длины, иначе нарушаются основные математические принципы - симметрии и относительности.

Можно ли применить теорему Пифагора для времени? Да, можно. Совсем скоро я вам покажу то место, где разложение времени по теореме Пифагора будет смотреться очень естественно и логично.

Дальше рассмотрим другие единицы измерения. Для примера возьмем единицы измерения температуры и единицы измерения денег. Это точно такие же математические объекты, как и длина, но приметить теорему Пифагора к ним не возможно - эти единицы измерения не имеют точно таких же перпендикулярных единиц измерения. Посмотрите, что получается для температуры.

Теорема Пифагора. Применение теоремы Пифагора к единицам измерения температуры. Математика для блондинок.
И для денег. В качестве примера единиц измерения денег возьмем доллар.

Теорема Пифагора. Применение теоремы Пифагора к единицам измерения денег. Математика для блондинок.
Точно такая же картина вырисовывается, если мы будем пробовать подставлять в теорему Пифагора все другие, известные нам, единицы измерения. К ним теорема Пифагора не применима из-за отсутствия перпендикуляра у каждой из них. Следовательно, все эти единицы измерения обладают несколько иными математическими свойствами, чем длина и время - к ним нельзя применить тригонометрические зависимости, в том числе и теорему Пифагора.

В завершение наших исследований рассмотрим обратный процесс - превращение теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника в основное тригонометрическое тождество. Для этого разделим все элементы математического выражения на квадрат длины гипотенузы и выполним преобразования.

Теорема Пифагора. Преобразование теоремы Пифагора в основное тригонометрическое тождество. Тригонометрический вид теоремы Пифагора. Математика для блондинок.
Мы снова вернулись к тригонометрической форме теоремы Пифагора, с которой мы начинали.

В заключение хочу признаться, что совсем недавно я встречался с инопланетянами. Так вот, в процессе общения они нарисовали мне довольно странный рисунок. Вот он.

Теорема Пифагора. Инопланетяне рисуют теорему Пифагора. Математика для блондинок.
Что инопланетяне хотели этим сказать? Что они умеют рисовать палочки и кружочки? Как-то примитивно для них. Наверное, что-то другое. Инопланетяне умнее меня, ведь это они прилетели ко мне в гости, а не я к ним. Может быть, так выглядит их планета в комплексом пространстве двенадцати переменных? Знаете, наша планета в трех реальных измерениях длины выглядит гораздо красивее.

понедельник, 5 марта 2012 г.

Что такое медиана?

Продолжаем изучать нашу эрудицию. Точнее, её остатки. С углами четырехугольника мы разобрались в прошлый раз, сегодня вопрос такой:

Что такое медиана?

Правильный ответ:

Медиана - это отрезок, который соединяет вершину треугольника со срединой противолежащей стороны.

Лучший ответ, на мой взгляд: "Медиана? Ну, это параллели и медианы". У кого это было "...смешались в кучу кони, люди..."? Кажется, у Лермонтова, в "Бородино". Здесь же получилась гремучая смесь географии (параллели и меридианы на глобусе) и геометрии (биссектрисы и медианы в треугольнике).

Для общего развития нужно сказать, что у одного треугольника таких штучек под названием "медиана" аж три штуки. Раз у треугольника есть три вершины, у каждой вершины есть противолежащая сторона, все стороны треугольника можно разделить пополам, следовательно мы можем провести в одном треугольнике три медианы. Давайте посмотрим на картинке, как выглядят медианы в треугольнике. Они выделены красным цветом.

Что такое медиана. Медианы в треугольнике. Математика для блондинок.
В заключение, видеоролик "Дурнев+1. К доске!", часть 2, где прозвучал вопрос о медиане.

понедельник, 26 сентября 2011 г.

Задача про углы равнобедренного треугольника

Как найти углы равнобедренного треугольника, если задали такую вот задачу: высоты равнобедренного треугольника проведены из вершин при основании треугольника, эти вершины при пересечении образуют угол 140 градусов, найдите углы равнобедренного треугольника.

Для тех, кто просто хочет получить готовое домашнее задание, я публикую картинку с решением этой задачи про равнобедренный треугольник. Здесь представлены три варианта решения, все они правильные. Выбирайте, какой вариант решения задачи вам больше нравится и переписывайте себе в тетрадку. Всё! Если же вы действительно хотите знать, как эта задача про высоты равнобедренного треугольника решается, читайте дальше.

Как найти углы равнобедренного треугольника. Задача про равнобедренный треугольник и высоту. Решение задачи по геометрии. Математика для блондинок.

Для решения этой задачи нарисуем равнобедренный треугольник ABC. Основанием этого равнобедренного треугольника в моем изображении является сторона AB (а обозначить стороны треугольника можно как угодно, вот поворачивать треугольник на бок не советую, задача составлена именно для такого варианта расположения равных сторон). Высота треугольника всегда перпендикулярна одной из сторон. Вот мы и проведем перпендикуляры к сторонам треугольника через точки A и B. На рисунке эти высоты выделены красным цветом и обозначены h1 и h2. Находить значения этих высот не нужно, нам главное увидеть их и посмотреть, где именно находится этот угол между высотами треугольника в 140 градусов, который дан нам по условию задачи. Пересекающиеся высоты образуют два таких угла в полном соответствии со свойствами пересекающихся прямых. На третьем рисунке треугольника эти углы показаны красненькими стрелочками и обозначены красными цифрами - 140 градусов. Расположены эти углы вертикально.

Условие задачи про углы равнобедренного треугольника. Высоты равнобедренного треугольника, проведенные через вершины у снования треугольника. Угол между высотами равнобедренного треугольника. Математика и геометрия для блондинок.
Теперь приступим к решению этой геометрической задачи. Прежде всего, посмотрим на картинке ниже, какие углы в треугольнике нам нужно найти. По условию задачи наш треугольник равнобедренный, а значит углы при основании такого треугольника равны. На один угол нам меньше работы - вот в чем заключается сила математических знаний!

Теперь определимся, какую формулу будем использовать для решения этой задачи. По условию, нам дан всего один угол между высотами треугольника. А формула, в которой используются только углы - это сумма углов треугольника. Для всех треугольников, не зависимо от вида треугольника, сумма углов равна 180 градусов. Вот эту формулу мы и будем использовать для решения задачи. А треугольники, к которым мы будем её применять, выделены зеленым цветом. Вычисления записаны под каждым треугольником.

Решение задачи про углы равнобедренного треугольника. Сумма углов треугольника формула. Ход решения геометрической задачи. Математика и геометрия для блондинок.
В начале рассмотрим маленький равнобедренный треугольник, который образован пересекающимися высотами и основанием большого равнобедренного треугольника. Здесь нам известен угол между высотами и то, что два других угла равны. Так мы найдем вспомогательный угол, который является ключом к решению задачи.

Зная этот угол, мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный высотой, основанием большого равнобедренного треугольника и частью его боковой стороны. Высота и боковая сторона образуют угол в 90 градусов, угол между высотой и основанием треугольника мы только что нашли, третий угол найти теперь очень просто. Это и будет один из углов нашего большого равнобедренного треугольника. С противоположной стороны основания находится точно такой же угол - ведь наш треугольник равнобедренный.

Теперь мы без труда можем найти третий угол большого равнобедренного треугольника. Задача по геометрии решена. Некоторые возможные варианты такой задачи с готовыми ответами представлены в таблице решений задачи про углы равнобедренного треугольника.

Таблица решений задачи про углы равнобедренного треугольника. Геометрия и математика для блондинок.

В таблице решений углы между высотами равнобедренного треугольника указаны от 100 до 170 градусов. Для школьных задач этого вполне достаточно. А вот решение этой геометрической задачи в полном объеме мы рассмотрим как нибудь в другой раз.

среда, 1 июня 2011 г.

Тригонометрические функции определение через треугольник

Тригонометрические функции можно определять на прямоугольном треугольнике. На картинке вы можете видеть определения всех тригонометрических функций через элементы прямоугольного треугольника.

Тригонометрические функции определение на треугольнике. Тригонометрия для блондинок. Синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс в треугольнике. Математика для блондинок.
Это ещё одна икона для вывешивания на стену и заучивания текста. Мы этим заниматься не будем. Лучше посмотрим, как можно совместить прямоугольный треугольник и окружность. Для этого совместим две картинки: окружность из классического определения тригонометрических функций и наш треугольник. Поместим треугольник рядом с окружностью. Вот как это выглядит.

Тригонометрические функции треугольник и окружность. Математика для блондинок.
Как видите, картинки практически одинаковые, а вот составные элементы в них называются по-разному. Одинаково обозначены только угол альфа и точка "В". Теперь наложим треугольник прямо на окружность. Все графические изображения, принятые для окружности, мы сохраним, а прямоугольный треугольник подчеркнем красными линиями с внутренней стороны (типа обведем контур треугольника губной помадой).

Треугольник в окружности. Тригонометрические функции. Математика для блондинок.
Как видно из рисунка, гипотенуза прямоугольного треугольника превращается в радиус окружности, катеты становятся равными координатам точки. Это как в человеческом языке - одно и то же понятие в разных языках обозначается разными словами. Это различие в произношении не дает нам понимать иностранные языки. Приблизительно то же самое происходит в математике. Некоторые считают определение тригонометрических функций на прямоугольном треугольнике примитивным. Если вы хотите понимать математику, запомните следующее: в математике не бывает примитивных вещей. Бывают примитивные существа, считающие себя очень умными. Именно желание казаться умнее других, привело к тому, что математики сами почти ничего не понимают в математике.

Специально процитирую фразу из Википедии, где говорится об определении тригонометрических функций на треугольнике: "Данное определение имеет некоторое педагогическое преимущество, так как не требует введения понятия системы координат, но также и такой крупный недостаток, что невозможно определить тригонометрические функции даже для тупых углов, которые необходимо знать при решении элементарных задач про тупоугольные треугольники". Честно говоря, подобное дремучее невежество математиков меня просто шокирует. Для какого треугольника определяются тригонометрические функции? Правильно, для ПРЯМОУГОЛЬНОГО. Пусть хоть один математик покажет мне ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК С ТУПЫМ УГЛОМ. Клянусь вам, как только я увижу это геометрическое чудо, я тут же переверну портрет тангенса вверх ногами и повешусь на косинусе. Неужели ни один математик не понимает, что решение "элементарных задач про тупоугольные треугольники" при помощи тригонометрических функций ВСЕГДА сводится к разбиению одного тупоугольного треугольника на два прямоугольных треугольника?

Сейчас я вам покажу самый примитивный пример существования тригонометрии в жизни. Примитивнее, наверное, уже не бывает.

Тригонометрия в жизни. Математика для блондинок.
Посмотрите на фото - сколько человеческих тел безмятежно расположилось на горизонтальной плоскости скалы, в то же время на вертикальной плоскости нет ни одного человека. Почему? Да потому, что тригонометрические функции для перпендикулярного направления имеют совсем другие значения. Для нас с вами основным смыслом тригонометрических функций является то, что именно тригонометрические функции определяют наши возможности.

пятница, 27 августа 2010 г.

Виды треугольников

Виды треугольников различаются по прикиду. Вот когда вы смотрите на человека, вы, прежде всего, оцениваете его прикид и вам сразу многое становится ясно - какой пакости от этого человека можно ожидать. Точно также и у треугольников. Правда, у треугольников есть всего две одёжки, которые можно оценивать одновременно - это углы и стороны. На картинке треугольника это выглядит вот так:

Виды треугольников. Прямоугольный треугольник, тупоугольный и остроугольный треугольник. Разносторонний, равносторонний и равнобедренный треугольник. Как выглядит треугольник. Треугольник фото, картинка. Математика для Блондинок. Николай Хижняк.
Самый первый треугольник на картинке - прямоугольный треугольник. Называется он так потому, что у этого треугольника есть один прямой угол. Двух прямых углов у треугольника не бывает - помните теорему треугольника? Правильно, если два угла заберут себе по 90 градусов, третьему углу ничегошеньки не останется. А какой может быть треугольник с двумя углами? Не бывает двухугольных треугольников. Всё, теорема о прямом угле в прямоугольном треугольнике для блондинок доказана!

Прямоугольный треугольник можно назвать треугольником Пифагора, на нём Пифагор доказывал свою знаменитую теорему Пифагора. Пусть Пифагору прямоугольный треугольник и остаётся. Дальше на картинке у нас нарисован остроугольный треугольник. В нем все три угла острые, как женские язычки. Значит, этот треугольник женский. Заканчивается верхняя часть портретной галереи треугольников тупоугольным треугольником. Этот треугольник имеет один большой угол, и этот угол тупой. Это мужской треугольник. Нет, не потому, что мужчины тупые! Нет! Сами подумайте. Раз есть женский треугольник, значит должен быть и мужской. А все остальные треугольники уже разобраны! Остался только этот... Вот!

В нижней части полотна кисти неизвестного художника XXI века мы видим треугольники, которые различаются длинами сторон. Первым в нижнем ряду стоит равносторонний треугольник - символ демократии. Потому, что все три стороны у равностороннего треугольника равной длины, а значит - они равны между собой.

Дальше нарисован равнобедренный треугольник. Символ изящества и красоты женщин. У этого треугольника две стороны имеют одинаковую длину. Вы представляете себе женщину с бёдрами разной длины? Вот, и я не представляю. Почему равнобедренный треугольник назвали именно так? В честь блондинок, о которых мечтали математики, рисуя карандашиком треугольник на том, что под руку попалось. Ведь большинство математиков не были Леонардами да Вичами. Вместо прекрасных Мона Лиз у них них получались равнобедренные треугольники.

Самый последний треугольник - разносторонний треугольник - символ геометрических пыток. А вы думали, это связано с эрудицией этого треугольника? Как бы не так! У этого треугольника все три стороны разной длины и длину каждой из сторон треугольника учитель хочет знать! После пыток таким треугольником даже Пифагор не выдержал и рассказал свою теорему. В общем, разносторонний треугольник - это самый страшный кошмар учеников на протяжении уже более двух тысяч лет.

суббота, 21 августа 2010 г.

Треугольник

Треугольник - это простейший многоугольник. Такое определение треугольника даёт Википедия. Не будем спорить с коллективным разумом, попробуем рассудить своими силами. Треугольник - это геометрическая фигура, которая состоит из трех вершин и трех сторон. Как следует из самого названия "треугольник", эта геометрическая фигура имеет три угла. Как выглядит треугольник? Вот фото треугольника во всей его красе.

Треугольник, углы, стороны и вершина треугольника. Треугольник фото, картинка. Математика для блондинок.

Не смотря на такой простоватый внешний вид треугольника, я очень сомневаюсь в правильности утверждения Википедии о том, что треугольник является простейшим многоугольником. Уж слишком много у треугольника всяких прибамбасов и наворотов. Специально посмотрел свой математический справочник и вот подтверждение моих слов: треугольнику посвящено 6 (шесть!) страниц, всем четырехугольникам, вместе взятым, всего 5 (пять) страниц. Внешняя простота треугольника совсем не означает простоту математическую.

И так, начнем разбирать треугольник по косточкам. Три точки, не лежащие на одной прямой, образуют треугольник. Эти точки называются вершинами треугольника. Просьба не путать с горными вершинами - это совсем другое. Треугольник имеет три вершины, которые обозначаются большими латинскими буквами A, B, C (это фамилия у вершин такая). Вы спросите, чем отличаются эти латинские буквы от русских букв А, В, С? Родословная у этих букв разная, а следовательно и порядок расположения этих букв в алфавите.

Между вершинами треугольника находятся стороны треугольника. Это такие ровные дорожки, по которым можно перебегать от одной вершины треугольника к другой вершине. Стороны треугольника также являются неприкосновенными государственными границами треугольника. Внутри этих границ находится площадь треугольника. Все, что находится снаружи за этими границами, в площадь треугольника не входит. Вдоль этих границ ходят пограничники с собаками и следят, чтобы чужая площадь не проникла в площадь треугольника, а площадь треугольника не сбежала за границу от такой хорошей жизни внутри треугольника. Обозначаются стороны треугольника маленькими латинскими буквами a, b, c.

Точно такими же маленькими латинскими буковками a, b, c обозначается длина этих сторон треугольника. Строгому пограничному начальству ведь нужно знать, сколько километров пробежали бедные пограничные собаки? Сколько километров протопали несчастные пограничники - это, почему-то, начальников никогда не интересует. Когда речь заходит о длине сторон треугольника, то возможно другое обозначение - двумя большими латинскими буквами с двумя вертикальными палочками: |AB|, |BC|, |AC|. В этом случае обозначение длины стороны треугольника берется по фамилии вершин треугольника, между которыми находится эта сторона (смотри треугольник фото). В полном соответствии с правилами математической бюрократии можно записать:

a = |BC|

b = |AC|

c = |AB|

Отсюда очень легко выводится первый закон треугольника для блондинок: длина стороны треугольника обозначается двумя большими латинскими буковками или одной маленькой буковкой, той, которой нет среди больших буковок.

Очень логично предположить, что углы треугольника также имеют свои обозначения. Каждый угол треугольника уютно примостился в вершине треугольника между двумя сторонами. Обозначают углы треугольника маленькими буквами греческого алфавита α (альфа), β (бета), γ (гамма). Сумма всех углов треугольника равна 180 градусов. Такая себе демократия треугольника: если ты угол и хочешь быть больше, отбери у другого угла и пользуйся. Всё как в жизни. Поэтому углы в треугольнике встречаются разные: тупые и напыщенные (вы таких прекрасно знаете) рядом с тоненькими и изящными (блондинки). Демократия треугольника в математике называется "Теорема треугольника" и звучит она так: сумма всех углов треугольника равняется сто восемьдесят градусов. В математических символах теорема треугольника выглядит так:

α + β + γ = 180°

В зависимости от вида углов, образовавших ООО "Треугольник", треугольники различаются по внешнему виду. Это такой геометрический дресс-код для треугольников. Но об этом мы поговорим в следующий раз.

Кроме всего прочего, треугольник - это геометрическая фигура 11 букв, слово из 11 букв. Специально для блондинок, которые хотят разгадать кроссворд.

четверг, 19 августа 2010 г.

Площадь треугольника

Площадь треугольника относится к тому числу школьных задач, которые очень часто приходится решать и в дальнейшей жизни. Сейчас мы говорим не о площади треугольника Бермудского, которую при желании можно вычислить (кстати, она составляет более одного миллиона квадратных километров), и не о площади треугольника любовного, которую в принципе вычислить нельзя. Мы говорим о площади того треугольника, который является геометрической фигурой. Кстати, от фигуры блондинки математики кое-что взяли для своих любимых треугольников. Но об этом в другой раз.

Сегодня мы глянем одним глазом на формулы треугольника для нахождения площади. Площадь треугольника в Википедии дана в виде целой кучи формул. Я самым бессовестным образом стырил их оттуда и сделал для вас шпаргалку по геометрии с формулами площади треугольника и портретом самого виновника торжества - треугольника. Эту шпаргалку по любимой нашей математике можно скачать бесплатно - правой кнопочкой мышки (брррр!) "сохранить рисунок как". Эта шпаргалка останется у вас в компьютере.

Треугольник, площадь треугольника, формулы треугольника. Площадь прямоугольного треугольника. Шпаргалки по математике, шпаргалки по геометрии скачать бесплатно. Площадь треугольника фото, треугольник картинка. Математика для блондинок. Николай Хижняк.
Начнем с картинки треугольника. В разных учебниках могут быть разные обозначения вершин, сторон и углов треугольника. Поэтому, прежде чем тупо применять формулы со шпаргалки для решения своих задач, сравните все обозначения сторон, углов и вершин треугольников. Вполне возможно, что некоторые буковки в формулах вам придется поменять, что бы на шпаргалке и в вашем учебнике были одинаковые обозначения.

Теперь о самих формулах. Под цифрой 1 (один) стоит самая распространенная формула для нахождения площади треугольника через длину стороны треугольника и высоту треугольника, опущенную на эту сторону. Равняется площадь треугольника половине произведения стороны треугольника на высоту.

Вторая формула позволяет находить площадь треугольника по длине двух сторон и углу между ними. В формуле присутствует синус угла гамма, значение которого нужно искать по тригонометрической таблице или вычислять на калькуляторе.

Третья формула позволяет найти площадь треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности. Знаками равенства в этой формуле разделены разные варианты этой формулы, в которых применяется полупериметр треугольника, радиус вневписанной окружности, касающейся одной из сторон. С этими штучками мы как-нибудь попытаемся разобраться. А пока внизу нашей шпаргалки можно найти обозначения того, кто есть кто в нашем треугольном зоопарке. И формулы для вычисления высоты и полупериметра треугольника.

По длинам трех сторон и радиусу описанной окружности можно найти площадь при помощи четвертой формулы.

Моя самая любимая формула - формула Герона - под номером пять. Эта формула позволяет находить площадь треугольника по трем сторонам. Чем так хороша эта формула Герона? На работе я с её помощью вычислял площадь практически любой геометрической фигуры. Например, если комната имела форму неправильного многоугольника, то достаточно было замерить длины стен и расстояния между углами комнаты (длины сторон и расстояния между вершинами многоугольника). Потом по формуле Герона высчитывалась площадь треугольников, на которые можно разбить любой многоугольник. Сумма площадей треугольников давала площадь многоугольника, то есть площадь комнаты. В шпаргалке формула Герона представлена в двух вариантах - нахождение площади треугольника через полупериметр и через длины сторон.

Дальше мы можем найти площадь треугольника по одной стороне и трем углам (формула 6), по радиусу описанной окружности и трем углам (формула 7), по координатам вершин треугольника (формула 8). В последней формуле вертикальные палочки в числителе обозначают модуль числа, ведь площадь не может быть отрицательной - это знают даже математики.

Площадь прямоугольного треугольника (формула 9) можно найти как половину произведения катетов или через радиусы вписанной и описанной окружности.

В заключение нашей экскурсии по Плаццо Де Треугольник мы можем найти площадь треугольника по стороне и двум углам, используя котангенсы (формула 10) или синусы (формула 11) этих углов.

Найти решение:

Найти картинки на тему площадь треугольника - здесь неплохая картинка - аж 11 формул для вычисления площади треугольника.

Формула площади треугольника через синус альфа - с применением sin угла можно найти площадь по формулам 2, 6, 7 и 11.