Показаны сообщения с ярлыком тригонометрия. Показать все сообщения
Показаны сообщения с ярлыком тригонометрия. Показать все сообщения

среда, 4 января 2017 г.

Упростите выражение

Задачка из какого-то учебника за какой-то класс (или курс): упростите выражение

Упростите выражение с тригонометрическими функциями
Упростите выражение
Выглядит это это тригонометрическое выражение очень устрашающе. Но не стоит бояться всех тех ужасов, которые нам внушают шаманы от математики. Их власть над нами держится только на нашей вере в их могущество. Когда-то в школе нам рассказывали про довольно простую формулу под названием "основное тригонометрическое тождество" (она же теорема Пифагора). Вот как она выглядит.

Основное тригонометрическое тождество
Основное тригонометрическое тождество
Что бы вам там математики не рассказывали об абстрактности математики, на самом деле абстрактность математики заключается в том, что законы математики всегда будут неизменными, что бы мы не говорили и что бы мы не делали. Вот и основное тригонометрическое тождество выполняется всегда, какими бы буквами буквами мы не обозначали угол или какие бы значения этот угол не принимал. Единственное условие - углы при синусе и косинусе должны быть одинаковы. Вот как это выглядит на практике.

Основное тригонометрическое тождество для разных углов. Математика для блондинок.
Основное тригонометрическое тождество для разных углов
Это я вам объяснил на простом человеческом языке. Шаманы от математики в этом случае говорят "аргументы тригонометрических функций должны быть одинаковы". Надеюсь, с этой формулой вы разобрались. Что ещё? Ещё нас в школе учили выносить общий множитель за скобки. Теперь применяем эти "примитивные" знания для упрощения очень страшного выражения.

Упрощение выражения. Упрощение тригонометрического выражения. Математика для блондинок.
Упрощение выражения
Вот и вся «высшая математика».

понедельник, 25 июля 2016 г.

Разложение на слагаемые

Тема занятий:
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ
На прошлом уроке мы рассмотрели
Сложение

Урок 16

Разложение на слагаемые


Если известен только результат сложения и неизвестны слагаемые, тогда сумму можно разложить на слагаемые при помощи линейных угловых функций.

Разложение суммы на слагаемые. Применение линейных угловых функций. Математика для блондинок.
Разложение суммы на слагаемые

Преобразование квадрата величины в произведение двух сумм (см. пример выше), можно выполнить с применением разложения результата умножения на множители и слагаемые.

Преобразование квадрата в произведение сумм. Математика для блондинок.
Преобразование квадрата в произведение сумм

Подобные преобразования могут быть полезны при изучении различных явлений природы для лучшего их понимания. Рассмотрим пример размножения живых существ.

Бесполое размножение живых организмов можно описать при помощи разложения суммы на слагаемые. В результате деления организма А получаются два самостоятельных организма В и С.

Бесполое размножение. Математика для блондинок.
Бесполое размножение

Для одноклеточных организмов характерно разложение на слагаемые при углах, близких к 45 градусам. Для многоклеточных организмов диапазон угла разложения варьируется в более широких пределах (вегетативное размножение, почкование, фрагментация). Единицей измерения при разложении можно считать физическое тело организма.

Началом жизни (ноль) подобных организмов можно считать момент деления родительского организма. Окончанием жизни (единица) можно считать собственное деление или смерть.

Половое размножение описывается при помощи умножения, но момент возникновения полового размножения можно описать при помощи линейных угловых функций. При одновременном размножении организмов А и В мог возникнуть жизнеспособный общий поток С, имеющий наследственные признаки двух родителей.

Возникновение полового размножения. Математика для блондинок.
Возникновение полового размножения

Какими должны быть углы разложения для появления общего потомка? Скорее всего, это зависит от генетических особенностей родительских организмов. Если судить о половом размножении исходя из размеров человеческих половых клеток, то наиболее вероятными кандидатами в «изобретали» полового размножения являются большая клетка и вирус. Вирус размножается внутри клетки. Одновременно с делением клетки происходило деление вируса. В результате воздействия внешних факторов или без их участия появился качественно новый организм. Или два – самец M и самка W.

Самец и самка. Половое размножение. Математика для блондинок.
Самец и самка

В качестве основы для сложения (единицы измерения) могла выступать молекула ДНК, которая имеется и у клетки, и у вируса.

Это только один из множества вариантов возможного развития событий. От момента появления жизни на Земле до момента появления полового размножения у Природы было достаточно времени для самых разных экспериментов.

Заключение

Дальнейшее изучение свойств единиц измерения поможет лучше понимать и более точно описывать математическими методами различные явления в окружающем мире.

Отдельные идеи, изложенные в данной работе, будут рассмотрены более подробно в последующих публикациях.

Благодарность

Выражаю искреннюю благодарность своим родителям и дочери Инне за финансовую поддержку моей работы над математикой.

Сложение

Тема занятий:
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ
На прошлом уроке мы рассмотрели
Линейные угловые функции

Урок 15

Сложение


В результате сложения двух разных величин получается третья величина. При сложении изменения происходит в области чисел, область единиц измерения не изменяется. Сложение возможно только для параллельных величин с одинаковыми единицами измерения. Сложение отражает количественные изменения величин.

5а+3а=(5+3)а=8а

Для выполнения сложения двух разных величин с единицами измерения в разных масштабах (угол масштаба единиц измерения не равен нулю), необходимо изменить масштаб единиц измерения так, чтобы угол масштаба между ними равнялся нулю. При этом не имеет значения, изменяется первое слагаемое, второе или оба сразу.

Сложить два одинаковых числа с разными единицами измерения нельзя, поскольку результат не имеет смысла.

5а+5b=5(a+b)

Преобразование результата сложения отрезков в стороны прямоугольника выглядит следующим образом.

Сложение и прямоугольник. Математика для блондинок.
Сложение и прямоугольник

Слагаемые можно представить как стороны прямоугольника, тогда полупериметр прямоугольника является результатом сложения. Для любой суммы можно определить линейные угловые функции, если известны слагаемые.

На следующем уроке мы рассмотрим
Разложение на слагаемые

суббота, 23 июля 2016 г.

Линейные угловые функции

Тема занятий:
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ
На прошлом уроке мы рассмотрели
Деление

Урок 14

ЛИНЕЙНЫЕ УГЛОВЫЕ ФУНКЦИИ


Если рассматривать конечные тригонометрические функции как координаты точек единичной окружности в декартовой системе координат, тогда линейные угловые функции – это координаты точек хорды, соединяющей точки пересечения окружности с осями координат. Сумма координат любой точки этой хорды всегда равна единице.

Линейные угловые функции. Новый вид тригонометрических функций. Математика для блондинок.
Линейные угловые функции

В математике понятия, аналогичные линейным угловым функциям, используются с древних времен – это деление целого на части. В современном мире аналогом являются проценты.

Пояснение для читателей этого сайта. Для себя я называл линейные угловые функции "линос" и "лосес". Как я придумал эти названия? Взял обозначение синуса и косинуса. Визуально они довольно хорошо различаются. В каждом обозначении я заменил первую букву на латинскую букву "l" от слова "line" - линия. Получилось довольно симпатично. Но решать вам. Приживутся ли эти функции в математике и как они будут называться - время покажет. Я просто предлагаю ещё один математический инструмент для описания реальности.

На следующем уроке мы рассмотрим
Сложение

пятница, 22 июля 2016 г.

Деление

Тема занятий:
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ
На прошлом уроке мы рассмотрели
Разложение на сомножители

Урок 13

Деление


Вопреки общепринятому мнению, деление не является математическим действием. Это решение типовой задачи по нахождению одного из сомножителей, если известен другой сомножитель и результат умножения. Ещё в древнем Вавилоне дробь рассматривали как результат умножения числа на обратное другое число. Даже в современной математике не существует деления одной дроби на другую дробь, эта операция заменяется умножением делимого на дробь, обратную делителю.

Деление можно рассматривать как проекцию результата умножения вдоль одного из сомножителей. Например, длина – это проекция площади вдоль ширины, ширина – это проекция площади вдоль длины.

Наиболее интересной в этом плане является скорость, которая измеряется длинной, деленной на время. Если предположить, что длина является результатом умножения двух перпендикулярных направлений времени, тогда скорость – это проекция длины (площади времени) вдоль одного из направлений времени. Для понимания природы и сути скорости света, данный подход может быть весьма полезным.

На следующем уроке мы рассмотрим
Линейные угловые функции

Разложение на сомножители

Тема занятий:
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ
На прошлом уроке мы рассмотрели
Ноль и бесконечность

Урок 12

Разложение на сомножители


Математическим действием, противоположным умножению по смыслу, является разложение на сомножители. Выполняется оно с применением бесконечных тригонометрических функций.

Разложение на сомножители. Математика для блондинок.
Разложение на сомножители

Простейшим примером разложения на сомножители под углом в 45 градусов является извлечение квадратного корня. Поскольку оба сомножителя в этом случае одинаковы, в качестве результата разложения принято записывать только один из сомножителей.

Разложение на сомножители можно применять тогда, когда известен только результат умножения и не известен ни один из сомножителей. Единицы измерения в результате разложении на сомножители следует подбирать интуитивно таким образом, чтобы в результате их умножения получалась первоначальная единица измерения. Количество пространственных измерений в единицах измерения сомножителей при разложении может быть разным. Например, трехмерный объем можно разложить на одномерные сомножители при помощи двух операций разложения, один из вариантов выглядит так:

Разложение объема. Три сомножителя для получения объема. Математика для блондинок.
Разложение объема

В данном примере углы α и β не связаны между собой. Если объём раскладывать в куб (a=b=c), то α≈35° – это угол между диагональю куба и диагональю основания, β=45° – это угол между диагональю основания и его стороной.

На следующем уроке мы рассмотрим
Деление

Ноль и бесконечность

Тема занятий:
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ
На прошлом уроке мы рассмотрели
Различия между умножением и сложением

Урок 11

Ноль и бесконечность


Если угол равен нулю или 90°, тогда двухмерный прямоугольник исчезает и остается одномерный отрезок. Отсюда вытекает смысл бесконечности: как бы мы не изменяли стороны прямоугольника, он никогда не превратится в отрезок. Единица, деленная на ноль, не равна бесконечности. Бесконечно малая величина не равна единице, деленной на бесконечность.

Ноль и бесконечность. Математика для блондинок.
Ноль и бесконечность

Разница между элементами в этих неравенствах такая же, как разница между точкой, лежащей на прямой, и точкой, не лежащей на прямой.

Умножение и деление на ноль не относятся к математическим действиям с числами, они выполняются в области единиц измерения. Эти значения тригонометрических функций можно назвать нечисловыми.

В дополнение к материалам об умножении и делении на ноль, изложенным ранее, следует добавить следующее. В позиционной системе счисления ноль обозначает отсутствие числа определенного разряда. Отсутствие числа числом быть не может. Здесь ноль аналогичен знакам препинания в письменности, которые имеют графическую форму, но не произносятся при чтении.

В общем случае ноль следует понимать как отсутствие рассматриваемой единицы измерения. Например, нулевое значение угла означает, что угол отсутствует. Деление на ноль следует рассматривать как необходимость введения единицы измерения, перпендикулярной уже существующим, для дальнейшего решения задачи. Деление на ноль не означает автоматического перехода к умножению. Например, описать поворот отрезка в одномерном пространстве невозможно, для этого необходимо ввести дополнительное измерение и рассматривать задачу в двухмерном пространстве.

На следующем уроке мы рассмотрим
Разложение на сомножители

Различия между умножением и сложением

Тема занятий:
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ
На прошлом уроке мы рассмотрели
Примеры умножения

Урок 10

Различия между умножением и сложением


Умножение – это изменение качества, то есть изменение единиц измерения. Вопреки общепринятому мнению [1, стр. 7; 2, стр. 10], умножение нельзя представить в виде сложения. Для подмены умножения сложением используются математические свойства умножения. С единицами измерения подмена выглядит так:

Подмена умножения сложением. Математика для блондинок.
Подмена умножения сложением

Алгебраические выражения с использованием букв подчеркивают разницу между сложением и умножением:

Умножение в алгебре. Икс умножить на игрек. Математика для блондинок.
Умножение в алгебре

Если при сложении слагаемые имеют одинаковые численные значения, то к сложению можно применить математическую модель умножения с допущением, что единицы измерения при умножении не изменяются:

Замена сложения умножением. Математика для блондинок.
Замена сложения умножением

В математике отдельными свойствами единиц измерения обладают:

- системы счисления чисел – нельзя складывать числа, представленные в разных системах счисления, вопрос возможности умножения чисел в разных системах счисления автором не изучался;

- знаменатели обыкновенных дробей – нельзя сложить дроби с разными знаменателями, при умножении дробей знаменатели перемножаются;

- буквенные обозначения в алгебраических выражениях – нельзя сложить числа с разными обозначениями, при умножении получается новое обозначение результата;

- условные обозначения функций (например, тригонометрических).

На следующем уроке мы рассмотрим
Ноль и бесконечность

Примеры умножения

Тема занятий:
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ
На прошлом уроке мы рассмотрели
Умножение

Урок 9

Примеры умножения

Умножение в пространстве. Получение двухмерного, трехмерного и четырехмерного пространств в результате умножения. Математика дляблондинок.
Умножение в пространстве

При взаимодействии двух одномерных пространств (на рисунке D – это количество пространственных измерений) получается двухмерное пространство. При добавлении к взаимодействию перпендикулярного измерения, количество пространственных измерений результата увеличивается. Под пространственными измерениями следует понимать любые величины, участвующие в умножении. Умножение двух одномерных длин дает двухмерную площадь, умножение двухмерной площади на одномерную длину дает трехмерный объем и так далее. Возможность получения четырехмерного пространства в результате умножения двух двухмерных пространств теоретически возможна, но требует уточнения с точки зрения физической реальности.

Примеры умножения. Примеры умножения из окружающей реальности. Математика для блондинок.
Примеры умножения

Напряжение является результатом взаимодействия силы тока и сопротивления. Если силу тока рассматривать не как одномерную величину, а как двухмерную (площадь тока), то в результате взаимодействия с сопротивлением получится мощность. Единицы измерения приведенных величин (Вольт, Ампер, Ом, Ватт) являются бытовыми (удобными в повседневном использовании), но требуют математического представления для понимания сути физических процессов, выраженных этими единицами измерения. Систему физических величин, предложенную Р.О. ди Бартини, можно рассматривать как попытку перехода от бытовых единиц измерения к математическим. Взаимодействие между величинами осуществляется за счет процессов, изучаемых в физике.

Расположение нитей в перпендикулярном направлении позволяет получить ткань. Взаимодействие между нитями осуществляется за счет сил трения. Если в перпендикулярных направлениях расположить арматурные стержни, то можно получить двухмерную арматурную сетку или трехмерный арматурный каркас. Взаимодействие отдельных стержней в узлах обеспечивается электросваркой или вязальной проволокой. Фанера – это расположенные перпендикулярно волокна древесного шпона. Взаимодействие обеспечивается путем склеивания отдельных слоев шпона.

Если умножить количество товара на цену единицы, получится стоимость партии товара (сумма). Это пример применения математической модели умножения к виртуальным единицам измерения. В данном случае физическое взаимодействие между товаром и ценой отсутствует.

Половое размножение можно представить в виде умножения. В результате взаимодействия самца и самки получается потомство, которое имеет генетические признаки двух родителей. Частичная передача генетических признаков от каждого из родителей может быть описана при помощи линейных угловых функций.

Для более точного отражения реальности в математике необходимо рассматривать три стадии умножения: начало умножения, процесс взаимодействия, конец умножения. В электрических цепях выключатель является физическим прибором, управляющим взаимодействием. Создание ткани, фанеры, арматурной сетки – это начало взаимодействия. Физическое разрушение этих объектов – это конец взаимодействия.

На следующем уроке мы рассмотрим
Различия между умножением и сложением

четверг, 21 июля 2016 г.

Умножение

Тема занятий:
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ
На прошлом уроке мы рассмотрели
Переменные единицы измерения

Урок 8

Умножение


В результате умножения двух разных величин получается третья величина. При умножении изменения происходит как в области чисел, так и в области единиц измерения. Умножение возможно только для перпендикулярных величин. Умножение отражает качественные изменения величин.

Умножение сторон прямоугольника позволяет получить площадь.

Умножение сторон прямоугольника. Площадь прямоугольника. Математика для блондинок.
Умножение сторон прямоугольника

Для перехода от площади прямоугольника к единичной площади необходимо площадь разделить саму на себя. В этом случае возможны два варианта алгебраических преобразований. Следует особо подчеркнуть, что рекомендация математиков по сокращению одинаковых величин в числителе и знаменателе дроби [1, стр.66] сознательно контролируется для выявления смысла полученного результата. Первый вариант преобразований выглядит следующим образом.

Первый вариант единичной площади. Тангенс умножить на котангенс. Математика для блондинок.
Первый вариант единичной площади

Тангенс и котангенс связаны обратной пропорцией. Стороны прямоугольника могут изменяться как угодно, от бесконечно большой величины до бесконечно малой. Если изменение сторон выполняется с соблюдением обратной пропорции, то площадь прямоугольника останется неизменной.

Второй вариант преобразований представлен в алгебраической форме и в физических единицах измерения.

Второй вариант единичной площади. Умножение единиц измерения. Математика для блондинок.
Второй вариант единичной площади

Данное преобразование показывает, что в результате умножения двух разных единиц получается третья единица. Умножение – это взаимодействие двух перпендикулярных единиц измерения, в результате которого получается новая единица измерения. Поскольку любая величина является результатом умножения числа и единицы измерения, под цифрой «один» может подразумевается число, единица измерения или результат их взаимодействия.

Перпендикулярные единицы измерения никак не связаны между собой и могут иметь произвольный масштаб. Масштаб единиц измерения сомножителей определяет масштаб единиц измерения произведения, но не влияет на суть процесса – умножение приводит к качественному изменению исходных единиц измерения.

Площадь – это результат взаимодействия двух перпендикулярных измерений длины. Если умножить дюймы на метры или миллиметры на метры, то площадь будет выражаться в дюймах на метр или миллиметрах на метр. Традиционно, площадь принято выражать в одинаковых единицах измерения длины и ширины. На практике часто используются системы координат с разными масштабами по вертикали и горизонтали.

При определении площади квадрата размер стороны принято возводить во вторую степень. Но это совсем не означает, что сторона квадрата умножается сама на себя. Площадь по-прежнему можно определить только умножением длины на ширину, просто у квадрата они имеют одинаковые численные значения. Мы никогда не умножаем длину прямоугольника на длину или ширину на ширину, потому что результат таких действий не имеет смысла. Возведение в степень – это умножение разных перпендикулярных величин, имеющих одинаковые численные значения и единицы измерения.

Алгебраические преобразования произведения двух сумм в квадрат можно записать следующим образом:

Алгебраические преобразования. Произведение двух сумм. Преобразование многочлена. Математика для блондинок.
Алгебраические преобразования

Если считать, что величина a при возведении в квадрат умножается сама на себя, то обратное преобразование квадрата в произведение двух сумм будет невозможно. Как можно выполнить подобное преобразование, показано ниже в разделе «Разложение на слагаемые».

Диагональ прямоугольника и угол между диагональю и стороной являются дополнительными характеристиками взаимодействующих величин.

На следующем уроке мы рассмотрим
Примеры умножения

среда, 20 июля 2016 г.

Переменные единицы измерения

Тема занятий:
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ
Темой прошлого урока была
Величина

Урок 7

Переменные единицы измерения


Примером переменных единиц измерения являются курсы валют разных стран. Основные мировые валюты находятся в постоянном колебании. Связаны они законами обратной симметрии – удорожание одной валюты означает удешевление другой валюты.

Ещё один пример. Почему люди никогда не отмечают такой знаменательный день, как «середина жизни»? Потому, что никто не знает точной продолжительности собственной жизни. После смерти такой важный параметр, как «продолжительность жизни», перестает изменяться. Подобная неопределенность характерна для всех живых существ.

Если продолжительность существования живого организма принять за единицу, тогда наиболее точным математическим описанием любой жизни будет описание в переменных единицах измерения. Началом этой единицы измерения следует считать момент зачатия (при половом размножении), концом является смерть. Следует заметить, что увеличение продолжительности жизни конкретных организмов не является приоритетом в естественном отборе.

Величиной, обратно симметричной продолжительности жизни, является возраст. Возраст позволяет выразить переменную величину, характеризующую жизнь, в постоянных единицах измерения времени.

С точки зрения математики, возникновение жизни можно рассматривать как переход от постоянных единиц измерения (неживая природа) к переменным (живая природа).

На следующем уроке мы рассмотрим
Умножение

Величина

Тема занятий:
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ
На прошлом уроке мы начали рассматривать
Бесконечные тригонометрические функции

Урок 6

Величина


Тангенс и котангенс. Математика для блондинок.
Тангенс и котангенс

Математическая интерпретация приведенного выше рисунка будет выглядеть следующим образом.

Величина. Изображение величины в прямоугольнике. Единица измерения и число. Математика для блондинок.
Величина

Оба варианта представления величины абсолютно равноправны и дают одинаковый результат. На числовой оси паритет чисел и единиц измерения выглядит так.

Числа на прямой. Математика для блондинок.
Числа на прямой

В данном случае ноль и единица, деленная на ноль, выступают в качестве горизонтов, достичь которых при помощи чисел невозможно. Для дальнейшего преобразования величины в привычный нам вид, в абстрактные математические понятия необходимо вводить элементы хомоцентризма.

Если мы считаем, что по горизонтали располагаются единицы измерения, а числа перпендикулярны им, тогда величина будет иметь два варианта представления.

Два варианта величины. Постоянные и переменные числа. Постоянные и переменные единицы измерения. Математика для блондинок.
Два варианта величины


Числовая ось принимает следующий вид.

Числовая ось с единицами измерения. Математика для блондинок.
Числовая ось с единицами измерения

Введение следующего элемента хомоцентризма позволяет перейти к привычному представлению величины. Если мы считаем, что единица измерения всегда остается постоянной, то для адекватного описания величины необходимо ввести обратные числа. Обратная симметрия чисел является результатом перехода от переменных единиц измерения к постоянным.

Величина в постоянных единицах измерения. Числа и обратные числа.
Величина в постоянных единицах измерения

Числовая ось преобразуется следующим образом.

Числа и обратные числа. Постоянная единица измерения. Математика для блондинок.
Числа и обратные числа

В данном случае числовая ось изображена без наложения зеркальной симметрии. В качестве точки обратной симметрии выступает единица. Обратной симметрией связаны числа и единицы измерения в любой величине. При неизменной величине, уменьшение числа приводит к увеличению единицы измерения, увеличение числа – к уменьшению единицы измерения. Алгебра подобных преобразований выглядит следующим образом.

Числа и единицы измерения. Уменьшение числа, увеличение числа. Математика для блондинок.
Числа и единицы измерения

Здесь элементы, относящиеся к области чисел, изображены в круглых скобках. Элементы, относящиеся к области единиц измерения, изображены в квадратных скобках.

На следующем уроке мы рассмотрим
Переменные единицы измерения

вторник, 19 июля 2016 г.

Конечные тригонометрические функции

Тема занятий:
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ
На прошлом уроке мы рассмотрели
Три основных типа тригонометрических функций

Урок 4

КОНЕЧНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ


Синус и косинус достаточно хорошо изучены, их значения не могут быть больше единицы. Если элементы прямоугольника разделить на длину диагонали, длины сторон примут значения синуса и косинуса. Так же стороны прямоугольника являются проекциями диагонали в перпендикулярных направлениях.

Синус и косинус. Синус и косинус в прямоугольнике. Математика для блондинок.
Синус и косинус

Названия всех тригонометрических функций зависят от линии начала измерения угла. Эта же линия определяет направление проецирования. Зависимость между катетами и гипотенузой в прямоугольном треугольнике, известная как «теорема Пифагора» (для единиц измерения длины, не связанных с гипотенузой) или «основное тригонометрическое тождество» (когда за единицу измерения длины принимается длина гипотенузы), является неотъемлемой частью свойств прямоугольника.

Если мы спроецируем единичную диагональ на стороны прямоугольника, то получим две проекции диагонали, выраженные через разные углы. Если мы эти же стороны спроецируем на диагональ, то получим длину диагонали как сумму двух проекций сторон.

Теорема Пифагора. Теорема Пифагора в прямоугольнике. Математика для блондинок.
Теорема Пифагора

Теорема Пифагора – это зависимость между диагоналями и сторонами прямоугольника.

пятница, 15 июля 2016 г.

Три основных типа тригонометрических функций

Тема занятий:
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ
Тема предыдущего урока
Угловая симметрия в прямоугольнике

Урок 3

Три основных типа тригонометрических функций

Тригонометрические функции – это зависимости между углами и числами в прямоугольнике, выраженные в собственных единицах измерения. Собственная единица измерения – это одна из характеристик объекта, принятая в качестве единицы измерения.

В прямоугольнике можно выделить три основных типа тригонометрических функций:

- бесконечные тригонометрические функции – тангенс и котангенс, геометрически это:

а) размер одной из сторон прямоугольника при единичном значении длины другой стороны, отражают связь чисел и единиц измерения;

б) размеры сторон прямоугольника при единичной площади, отражают законы умножения;

- конечные тригонометрические функции – синус и косинус, геометрически это размеры сторон прямоугольника при единичной диагонали, отражают проективные свойства пространства;

- линейные угловые функции – линейный синус (lin) и линейный косинус (los), геометрически это размеры сторон прямоугольника при единичном полупериметре, отражают законы сложения.

Другие типы тригонометрических функций в данной работе не рассматриваются, поскольку они не привлекли столь пристального внимания автора. Все тригонометрические функции устанавливают определенную связь между углами и числами. Вполне возможно, что математика некоторых внеземных цивилизаций может быть построена на углах точно так же, как у нас она построена на числах.

Выражение основных тригонометрических функций через стороны прямоугольника.

Выражение основных тригонометрических функций через стороны прямоугольника. Математика для блондинок.
Выражение основных тригонометрических функций через стороны прямоугольника

Основные соотношения по типам тригонометрических функций.

Основные соотношения по типам тригонометрических функций. Математика для блондинок.
Основные соотношения по типам тригонометрических функций

Значения тригонометрических функций некоторых углов.

Значения тригонометрических функций некоторых углов. Математика для блондинок.
Значения тригонометрических функций некоторых углов

Выражение одних тригонометрических функций через другие.

Выражение одних тригонометрических функций через другие. Математика для блондинок.
Выражение одних тригонометрических функций через другие

Пояснение для посетителей этого сайта. Если посмотреть на формулы тангенса и котангенса (последняя картинка), то может показаться, что между синусом с косинусом и линосом с лосесом нет никакой разницы. Но не торопитесь с выводами. Если две дроби равны, это совсем не означает, что равны их числители и знаменатели. Рассмотрим пример. Две трети равны четырем шестым. Но два не равно четырем, три не равно шести.

Более детально основные тригонометрические функции рассмотрены ниже.

На следующем уроке мы рассмотрим
Конечные тригонометрические функции

Треугольник и прямоугольник

Тема занятий:
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ
На первом уроке мы проводили
Краткий анализ тригонометрических функций

Урок 2

Преобразования треугольника в прямоугольник

Если совместить два прямоугольных треугольника по диагонали так, чтобы получился прямоугольник, тогда гипотенуза треугольника превратится в диагональ прямоугольника, а стороны треугольника превратятся в стороны прямоугольника. Тригонометрические отношения треугольника превращаются в тригонометрические отношения прямоугольника.

Преобразование треугольника в прямоугольник. Гипотенуза и диагональ. Синус и косинус. Математика для блондинок.
Преобразование треугольника в прямоугольник

Угловая симметрия в прямоугольнике

Диагональ прямоугольника делит прямой угол на два тригонометрических угла. Название тригонометрической функции зависит от того, какой угол мы возьмем для определения её численного значения. При этом численный результат не зависит от нашего выбора.

Угловая симметрия в прямоугольнике. Симметрия тригонометрических функций. Математика для блондинок.
Угловая симметрия в прямоугольнике

Названия тригонометрических функций и названия углов обладают свойствами угловой симметрии. При этом симметрия функций и углов неразрывно связаны между собой. Если мы возьмем симметричную функцию и симметричный угол, то результат останется неизменным. Мы дважды применяем угловую симметрию. Аналогичная ситуация получается в планиметрии. Если дважды применить зеркальную симметрию, то ничего не изменится. В алгебре аналогом угловой и зеркальной симметрии является умножение на минус единицу. Если алгебраическое выражение дважды умножить на минус единицу, алгебраическое выражение останется прежним.

Зеркальная симметрия, обратная симметрия, угловая симметрия, умножение на минус единицу – это проявления одного и того же закона симметрии при разных условиях.

Учитывая симметрию тригонометрических функций, их можно попарно объединить в отдельные группы, каждая из которых выражает определенный тип зависимости между углами и числами.

На следующем уроке мы рассмотрим
Три основных типа тригонометрических функций

Тригонометрические функции в прямоугольнике

Опубликовано 7 июля 2016 года
"Доклады независимых авторов"
Выпуск 36, стр. 46-69

Аннотация

Представление тригонометрических функций в прямоугольнике позволяет объединить в одно целое алгебру, геометрию и физику.

Краткий анализ тригонометрических функций

Обычно тригонометрические функции плоских углов определяются в прямоугольном треугольнике как соотношения сторон этого треугольника [1, стр. 202].

Тригонометрические функции в треугольнике. Синус, косинус, тангенс, котангенс. Математика для блондинок.
Тригонометрические функции в треугольнике

Если принять введенные математиками определения тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике, то значения этих функций зависят только от соотношения размеров сторон треугольника. Величина углов в прямоугольном треугольнике находится в диапазоне тригонометрических углов. У тригонометрических функций отсутствуют знаки и периодичность, которые являются элементами хомоцентризма.

Хомоцентрическая математика – это математика, в которой результат зависит от принятого нами варианта относительной математики или от нашего мнения. Яркими примерами хомоцентризма в математике являются: деление чисел на положительные и отрицательные, десятичная система счисления, числа и обратные числа, декартова система координат и т.д.

В декартовой системе координат тригонометрические функции определяются как координаты точек единичной окружности [2, стр. 110].

Тригонометрические функции в декартовой системе координат. Синус, косинус, тангенс, котангенс. Математика для блондинок.
Тригонометрические функции в декартовой системе координат

Данное определение возможно только потому, что для любой точки окружности оси координат используются в качестве дополнительных элементов для построения прямоугольного треугольника. Для точек пересечения окружности и осей координат построение треугольника невозможно.

Для любой точки плоскости в декартовой системе координат тригонометрические функции можно определить как отношение координат этой точки или отношение координат точки к расстоянию от точки до центра системы координат. Исключением является точка пересечения осей координат (центр системы координат), для которой тригонометрические функции определить невозможно. Данный факт является врожденным дефектом декартовой системы координат. Если необходимо определить тригонометрические функции для точки, совпадающей с центром системы координат, то систему координат необходимо сместить в сторону.

В декартовой системе координат тригонометрические функции являются относительными и зависят от взаимного расположения плоскости, на которой расположены рассматриваемые точки, и системы координат. Периодичность тригонометрических функций является результатом вращения отрезка вокруг центра системы координат. Знаки тригонометрических функций зависят от принятого нами положительного направления осей координат. Всё это результат хомоцентрических взглядов на тригонометрические функции.

Знаки тригонометрических функций «плюс» и «минус» служат для ориентации в пространстве декартовой системы координат. В математических формулах с использованием тригонометрических функций, знак «минус» у функции автоматически меняет сложение на вычитание или вычитание на сложение. В формулах можно обойтись без отрицательных значений тригонометрических функций. Это позволит в два раза уменьшить количество значений тригонометрических функций, но увеличит количество формул.

Тема следующего урока: Преобразование треугольника в прямоугольник

Список литературы

1. Рывкин А.А., Рывкин А.З., Хренов Л.С. «Справочник по математике», М., Высшая школа, 1970 изд. 2-е, 556 с.
2. Забелышинская М.Я. «Математика. Учебно-практический справочник» Харьков, Ранок, 2010, 384 с.

четверг, 19 ноября 2015 г.

Тригонометрический круг

Более правильным названием этого произведения математического искусства является "единичная окружность", в простонародье больше прижилось название "тригонометрический круг". Вы про платье "в окружность" слышали? Лично я - нет. А про платье "в горошек", оно же "в кружочек"? Наверняка, приходилось слышать. Так вот, круг - это горошек, а окружность - это обручальное кольцо.

Тригонометрический круг. Тригонометрическая окружность. Единичная окружность. Синус и косинус. Математика для блондинок.
Тригонометрический круг
Если бы мне нужно было подобрать символ современного шаманства, то я бы выбрал тригонометрический круг. Почему именно тригонометрический круг? Своей формой он похож на шаманский бубен. Тригонометрический круг разрисован кабалистическими знаками, смысл которых нам могут поведать только шаманы. Свои танцы с бубном шаманы часто исполняют, двигаясь по кругу. По уровню интеллектуального наполнения тригонометрический круг находится где-то между полным идиотизмом и каменным веком. Шаманы с бубнами пляшут свои пляски, Великий Дух Единичной Окружности сообщает шаманам значения тригонометрических функций для определенных углов, шаманы пересказывают эти значения нам.

Если математики будут рассказывать вам, что тригонометрические функции - это координаты точек единичной окружности, не верьте им. Если взять конкретную точку на единичной окружности, то эта точка может принадлежать бесконечному множеству графиков совершенно других функций. Да, если значения тригонометрических функций брать в определенной последовательности и считать их координатами точек в декартовой системе координат, то можно получить окружность с радиусом, равным единице. Но не более того. С таким же успехом в декартовой системе координат можно набросать ваш портрет, но это не будет означать, что ваш портрет - это вы и есть.

Тригонометрический круг показывает значения синусов и косинусов при определенных углах. Для простоты давайте разделим этот круг на составляющие. Сперва уберем с картинки всё, что относится к синусам, и у нас получится тригонометрический круг косинусов.

Тригонометрический круг косинус. Единичная окружность косинусов. Значения cos на окружности. Математика для блондинок.
Тригонометрический круг косинус
Теперь мы уберем с первоначальной картинки всё, что относится к косинусам и получим тригонометрический круг синусов.

Тригонометрический круг синус. Единичная окружность синусов. Значения sin на окружности. Математика для блондинок.
Тригонометрический круг синус
Но и это ещё не всё. Те картинки, которые вы здесь видите - это сериал под названием "Значения тригонометрических функций на окружности". Состоит этот сериал из отдельных кадров. Когда учитель математики просит вас показать значение определенной тригонометрической функции для определенного угла, он хочет, чтобы вы выбрали один кадр из всего сериала.

Когда-то, давным-давно, я нарисовал картинки для синусов, но так и не опубликовал их здесь. Наверное, на косинусы сил не хватило и это благородное дело не свершилось. Вот теперь настало время разобрать тригонометрический круг по косточкам на примере значений синуса.

суббота, 17 января 2015 г.

Тригонометрия прямоугольного треугольника.


Я не буду вам вдалбливать в голову правила и определения тригонометрических функций на прямоугольном треугольнике. Математики это с удовольствием сделают без меня. Вам я просто покажу картинку, на которой изображена тригонометрия прямоугольного треугольника.

Тригонометрия прямоугольного треугольника. Решение задач про треугольник. Математика для блондинок.
Тригонометрия прямоугольного треугольника
В верхнем ряду показано, кто есть кто в тригонометрическом зоопарке. Синус и косинус угла альфа - это отношения катетов к гипотенузе. Тангенс и котангенс - это отношения катетов. С гипотенузой обычно проблем не возникает, она одна и расположена напротив прямого угла. А вот катетов аж два и они разные. Один расположен напротив угла альфа и называется противолежащим (на картинке сторона а). Другой нежно прижимается к углу альфа и называется прилежащим (на картинке сторона b). Теперь, глядя на картинку, вы без труда сформулируете определения тригонометрических функций на прямоугольном треугольнике.

Нижний ряд картинок показывает, как найти стороны прямоугольного треугольника, если нам известна одна сторона и угол альфа. Известная сторона выделена зеленым цветом. Используя эту сторону и тригонометрические функции, без труда можно найти две другие стороны прямоугольного треугольника.

Крутить картинку можно как угодно, переворачивать лицом вниз и смотреть на просвет - тригонометрические зависимости в прямоугольном треугольнике от этого не изменяются.

Тригонометрия прямоугольного треугольника. Вращение картинки. Математика для блондинок.
Вращение картинки
Данная картинка вам может пригодиться в будущем, при изучении физики, теоретической механики, при выполнении инженерных расчетов. К тому времени вы уже прочно забудете, как определять и использовать тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике.

И самое печальное в конце. Если бы математики учили вас пользоваться математикой, то такие картинки вы рисовали бы сами в течении нескольких минут, без всяких учебников. Ведь делается это элементарно просто.

воскресенье, 2 февраля 2014 г.

Сторона равнобедренного треугольника

Вот крик о помощи, в котором просят помочь найти сторону равнобедренного треугольника:

Помогите, пожалуйста! Я не понимаю геометрию(( У меня задача по типу вот этой, только числа другие. Мне бы сам ход решения.

ЗАДАЧА: Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30°. Найдите боковую сторону треугольника, если его площадь равна 25.


Помочь мне не трудно, но есть одна проблема: я понятия не имею о школьной программе и не представляю, что можно использовать при решении задачи, а что нельзя. Если просто брать математику и использовать её для решения, то задача решается довольно просто.

Начинаем рассуждать. У нас есть площадь равнобедренного треугольника и угол при его вершине. Нужно найти длину боковой стороны. Можно использовать теорему Пифагора, тригонометрические функции и всё то, чему вас учили до этого момента. Используя разные трюки с подстановками, можно в конце концов найти решение этой задачи. Я поступлю гораздо проще.

Для определения площади треугольника существует много разных формул. Вот к ним-то я и предлагаю присмотреться внимательнее.

Площадь треугольника формулы. Сторона равнобедренного треугольника. Математика для блондинок.
Площадь треугольника формулы
 Все эти формулы есть в Википедии, можно их отыскать и в разных математических справочниках. Шестая формула нам подходит как нельзя кстати. Здесь площадь треугольника определяется по боковой стороне и углам. Зная площадь треугольника, можно легко найти сторону. Осталось только с углами разобраться. Углы в основании равнобедренного треугольника равны. На картинке запишем те условия, которые превращают обычный треугольник в равнобедренный.

Равнобедренный треугольник. Сторона равнобедренного треугольника. Математика для блондинок.
Равнобедренный треугольник
Как видите, нам даже нет необходимости искать углы в основании равнобедренного треугольника - синусы этих углов равны и сокращаются в дроби. Угол в вершине равен 30 градусов, синус этого угла равен одной второй. Теперь легко можно решить задачу. Выражаем квадрат стороны через площадь и синус угла в вершине, извлекаем квадратный корень и получаем сторону размером в 10 единиц.

Это взрослое решение. Все взрослые пользуются справочниками, не вдаваясь в подробности. Для инквизиторов от математики такое решение может показаться богохульством. Специально для инквизиторов мы сейчас выведем формулу площади равнобедренного треугольника через боковую сторону и синус угла в вершине. Как и предыдущее решение, это будет пример того, как нужно пользоваться математикой.

Стоп! Я обещал писать в режиме реального времени. Так вот, всё, что написано до сих пор, писалось в ночь с пятницы на субботу. Сейчас утро воскресенья. Почему я сразу всё не написал? Ну, во-первых, у меня проблемы с картинками тригонометрических формул - программа, в которой я их писал, начала глючить и не переключается на английский язык. Во-вторых, я, наверное, чувствовал, что у этой задачи есть очень простое, детское, решение. Сегодня утром до меня дошло.

Почему-то все самые интересные решения ко мне приходят по утрам. Может, я ночью с инопланетянами общаюсь? Может, это они за меня задачки решают? Есть там у них какой-то канал, типа Ютуба, под названием "Из жизни идиотов". Когда им становится грустно, они включают этот канал и начинают ухохатываться над нашими математиками с их идиотскими определениями и не менее грамотными решениями. Потом появляюсь я со своим; "Не могу решить задачу...". Они долго смеются и один говорит другому: "Покажи этому дурачку картинку, пусть исчезнет с экрана". Формулы можно записывать разными загогулинами и вкладывать в эти загогулины разный смысл. А вот геометрия на всю вселенную одна и у инопланетян равнобедренный треугольник выглядит точно так же, как и у нас. Именно поэтому инопланетяне понимают, что делают наши математики и им становится очень смешно. Мы ведь тоже смеемся, наблюдая за некоторыми проделками животных.


Это было маленькое лирическое отступление. Теперь перейдем к инквизиторским пыткам и я на время превращусь в математика-садиста, который будет мучить вас тригонометрией. Для начала картинка нашего равнобедренного треугольника с сохранением всех обозначений, принятых для произвольного треугольника. Почему я об этом специально говорю? Из-за тупости отдельных наших математиков. Если в формуле треугольника фигурирует один угол, то математик обозначит его как "альфа" и ему по барабану, этот угол находится в основании или в вершине треугольника. Это уже потом он будет тыкать пальцем в картинку и рассказывать, что именно этот угол он имел в виду, а не какой-нибудь другой. Когда же посторонний человек попробует воспользоваться такой формулой, вот тут и начинаются все проблемы в математике. И так, картинка.

Равнобедренный треугольник. Сторона равнобедренного треугольника. Математика для блондинок.
Равнобедренный треугольник
Теперь тригонометрические пляски с бубном.

Вывод формулы площади равнобедренного треугольника. Сторона равнобедренного треугольника. Математика для блондинок.
Вывод формулы площади равнобедренного треугольника
Краткое пояснение к этой шаманской пляске. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Высоту и основание выражаем через боковую сторону и тригонометрические функции угла при основании треугольника. Дальше переходим к углу в вершине треугольника, точнее, его половине. На следующем этапе используем тригонометрическую формулу произведения синуса и косинуса, но с учетом того, что у нас одинаковые углы. Потом всё складываем в кучку и получаем искомую формулу площади равнобедренного треугольника.

Но всё гениальное просто. Давайте разрежем наш равнобедренный треугольник пополам и сложим две половинки в прямоугольник.

Равнобедренный треугольник и прямоугольник. Сторона равнобедренного треугольника. Математика для блондинок.
Равнобедренный треугольник и прямоугольник
 А как известно, площадь любого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними. Наша боковая сторона равнобедренного треугольника превратилась в диагональ прямоугольника, угол в вершине равен углу между диагоналями. Мы получаем ту же формулу площади равнобедренного треугольника.

Ну и наконец, само решение задачи.

Сторона равнобедренного треугольника. Математика для блондинок.
Сторона равнобедренного треугольника
Картинки получились плохими. Но мы это как-нибудь переживем. Главное - их смысл.