Показаны сообщения с ярлыком углы. Показать все сообщения
Показаны сообщения с ярлыком углы. Показать все сообщения

воскресенье, 24 ноября 2019 г.

Тригонометрия борща. Сложение.

Я не стану вам рассказывать рецепты приготовления борща, я буду говорить о математике. Что такое борщ? Если говорить просто, то это овощи, приготовленные в воде по специальному рецепту. Я буду рассматривать два исходных компонента (овощной салат и воду) и готовый результат - борщ. Геометрически это можно представить как прямоугольник, в котором одна сторона обозначает салат, вторая сторона обозначает воду. Сумма этих двух сторон будет обозначать борщ. Диагональ и площадь такого "борщевого" прямоугольника являются чисто математическими понятиями и никогда не используются в рецептах приготовления борща.

Тригонометрия борща. Борщ, вода, салат. Деление на ноль. Если хочешь воды, не будь идиотом, бери воду, не бери салат. Математика для блондинок.
Тригонометрия борща

Как салат и вода превращаются в борщ с точки зрения математики? Как сумма двух отрезков может превратиться в тригонометрию? Чтобы понять это, нам понадобятся линейные угловые функции.


В учебниках математики вы ничего не найдете о линейных угловых функциях. А ведь без них не может быть математики. Законы математики, как и законы природы, работают независимо от того, знаем мы о их существовании или нет.

Линейные угловые функции - это законы сложения. Посмотрите, как алгебра превращается в геометрию, а геометрия превращается в тригонометрию.

Тригонометрия сложения. Линейные угловые функции. Сумма двух чисел. Сложение двух отрезков. Математика для блондинок.
Тригонометрия сложения

Можно ли обойтись без линейных угловых функций? Можно, ведь математики до сих пор без них обходятся. Хитрость математиков заключается в том, что они всегда рассказывают нам только о тех задачах, которые они сами умеют решать, и никогда не рассказывают о тех задачах, которые они решать не умеют. Смотрите. Если нам известен результат сложения и одно слагаемое, для поиска другого слагаемого мы используем вычитание. Всё. Других задач мы не знаем и решать не умеем. Что делать в том случае, если нам известен только результат сложения и не известны оба слагаемые? В этом случае результат сложения нужно разложить на два слагаемых при помощи линейных угловых функций. Дальше мы уже сами выбираем, каким может быть одно слагаемое, а линейные угловые функции показывают, каким должно быть второе слагаемое, чтобы результат сложения был именно таким, какой нам нужен. Таких пар слагаемых может быть бесконечное множество. В повседневной жизни мы прекрасно обходимся без разложения суммы, нам достаточно вычитания. А вот при научных исследованиях законов природы разложение суммы на слагаемые очень может пригодиться.

Ещё один закон сложения, о котором математики не любят говорить (ещё одна их хитрость), требует, чтобы слагаемые имели одинаковые единицы измерения. Для салата, воды и борща это могут быть единицы измерения веса, объема, стоимости или другие единицы измерения.

Закон сложения. Сложение и единицы измерения. Математика для блондинок.
Закон сложения

На рисунке показаны два уровня различий для математических величин. Первый уровень - это различия в области чисел, которые обозначены a, b, c. Это то, чем занимаются математики. Второй уровень - это различия в области единиц измерения, которые показаны в квадратных скобках и обозначены буквой U. Этим занимаются физики. Мы же можем понимать третий уровень - различия в области описываемых объектов. Разные объекты могут иметь одинаковое количество одинаковых единиц измерения. Насколько это важно, мы можем увидеть на примере тригонометрии борща. Если мы добавим нижние индексы к одинаковому обозначению единиц измерения разных объектов, мы сможем точно говорить, какая математическая величина описывает конкретный объект и как она изменяется с течением времени или в связи с нашими действиями. Буквой W я обозначу воду, буквой S обозначу салат и буквой B - борщ. Вот как будут выглядеть линейные угловые функции для борща.

Закон сложения для борща. Нижний индекс у единиц измерения. Математика для блондинок.
Закон сложения для борща

Если мы возьмем какую-то часть воды и какую-то часть салата, вместе они превратятся в одну порцию борща. Здесь я предлагаю вам немного отвлечься от борща и вспомнить далекое детство. Помните, как нас учили складывать вместе зайчиков и уточек? Нужно было найти, сколько всего зверушек получится. Что же нас тогда учили делать? Нас учили отрывать единицы измерения от чисел и складывать числа. Да, одно любое число можно сложить с другим любым числом. Это прямой путь к аутизму современной математики - мы делаем непонятно что, непонятно зачем и очень плохо понимаем, как это относится к реальности, ведь из трех уровней различия математики оперируют только одним. Более правильно будет научиться переходить от одних единиц измерения к другим.

И зайчиков, и уточек, и зверушек можно посчитать в штуках. Одна общая единица измерения для разных объектов позволяет нам сложить их вместе. Это детский вариант задачи. Давайте посмотрим на похожую задачу для взрослых. Что получится, если сложить зайчиков и деньги? Здесь можно предложить два варианта решения.

Первый вариант. Определяем рыночную стоимость зайчиков и складываем её с имеющейся денежной суммой. Мы получили общую стоимость нашего богатства в денежном эквиваленте.

Второй вариант. Можно количество зайчиков сложить с количеством имеющихся у нас денежных купюр. Мы получим количество движимого имущества в штуках.

Как видите, один и тот же закон сложения позволяет получить разные результаты. Всё зависит от того, что именно мы хотим знать.

Но вернемся к нашему борщу. Теперь мы можем посмотреть, что будет происходить при разных значениях угла линейных угловых функций.

Угол равен нулю. Есть салат, нет воды и борща. Математика для блондинок.
Угол равен нулю

Угол равен нулю. У нас есть салат, но нет воды. Мы не можем приготовить борщ. Количество борща также равно нулю. Это совсем не значит, что ноль борща равен нулю воды. Ноль борща может быть и при нуле салата (прямой угол).


Что это было? Тригонометрия борща. угол равен нулю. Математика для блондинок.
Что это было?

Лично для меня, это основное математическое доказательство того факта, что ноль не является числом. Ноль не изменяет число при сложении. Это происходит потому, что само сложение невозможно, если есть только одно слагаемое и отсутствует второе слагаемое. Вы к этому можете относиться как угодно, но помните - все математические операции с нулем придумали сами математики, поэтому отбрасывайте свою логику и тупо зубрите определения, придуманные математиками: "деление на ноль невозможно", "любое число, умноженное на ноль, равняется нулю", "за выколом точки ноль" и прочий бред. Достаточно один раз запомнить, что ноль не является числом, и у вас уже никогда не возникнет вопрос, является ноль натуральным числом или нет, потому что такой вопрос вообще лишается всякого смысла: как можно считать числом то, что числом не является. Это всё равно, что спрашивать, к какому цвету отнести невидимый цвет. Прибавлять ноль к числу - это то же самое, что красить краской, которой нет. Сухой кисточкой помахали и говорим всем, что " мы покрасили". Но я немного отвлекся.

Угол больше нуля, но меньше прямого угла. Тригонометрия борща. Идеальный борщ. Математика для блондинок.
Угол больше нуля, но меньше прямого угла

Угол больше нуля, но меньше сорока пяти градусов. У нас много салата, но мало воды. В результате мы получим густой борщ.

Угол равен сорок пять градусов. Мы имеем в равных количествах воду и салат. Это идеальный борщ (да простят меня повара, это просто математика).

Угол больше сорока пяти градусов, но меньше девяноста градусов. У нас много воды и мало салата. Получится жидкий борщ.

Прямой угол. Есть вода, нет салата. Борща нет. Математика для блондинок.
Прямой угол

Прямой угол. У нас есть вода. От салата остались только воспоминания, поскольку угол мы продолжаем измерять от линии, которая когда-то обозначала салат. Мы не можем приготовить борщ. Количество борща равно нулю. В таком случае, держитесь и пейте воду, пока она есть)))

Вот. Как-то так. Я могу здесь рассказать и другие истории, которые будут здесь более чем уместны.

Проценты.

Проценты. Преобразование линейных угловых функций в проценты. Математика для блондинок.
Проценты

Деление клетки.

Деление клетки. Описание деления клетки при помощи линейных угловых функций. Математика для блондинок.
Деление клетки

Два друга имели свои доли в общем бизнесе. После убийства одного из них, всё досталось другому.

Общий бизнес. Доли в бизнесе. Присвоение бизнеса. Математика для блондинок.
Общий бизнес

Появление математики на нашей планете.

Появление математики. Один плюс один равно два. Математика для блондинок.
Появление математики

Все эти истории на языке математики рассказаны при помощи линейных угловых функций. Как-нибудь в другой раз я покажу вам реальное место этих функций в структуре математики. А пока, вернемся к тригонометрии борща и рассмотрим проекции.

суббота, 23 июля 2016 г.

Линейные угловые функции

Тема занятий:
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ
На прошлом уроке мы рассмотрели
Деление

Урок 14

ЛИНЕЙНЫЕ УГЛОВЫЕ ФУНКЦИИ


Если рассматривать конечные тригонометрические функции как координаты точек единичной окружности в декартовой системе координат, тогда линейные угловые функции – это координаты точек хорды, соединяющей точки пересечения окружности с осями координат. Сумма координат любой точки этой хорды всегда равна единице.

Линейные угловые функции. Новый вид тригонометрических функций. Математика для блондинок.
Линейные угловые функции

В математике понятия, аналогичные линейным угловым функциям, используются с древних времен – это деление целого на части. В современном мире аналогом являются проценты.

Пояснение для читателей этого сайта. Для себя я называл линейные угловые функции "линос" и "лосес". Как я придумал эти названия? Взял обозначение синуса и косинуса. Визуально они довольно хорошо различаются. В каждом обозначении я заменил первую букву на латинскую букву "l" от слова "line" - линия. Получилось довольно симпатично. Но решать вам. Приживутся ли эти функции в математике и как они будут называться - время покажет. Я просто предлагаю ещё один математический инструмент для описания реальности.

На следующем уроке мы рассмотрим
Сложение

понедельник, 11 июля 2016 г.

Измерение плоских углов

Опубликовано 7 июля 2016 года
"Доклады независимых авторов"
Выпуск 36, стр. 43-45

Аннотация

Плоские углы необходимо разделять на тригонометрические углы и углы вращения.

Измерение углов в стереометрии

В стереометрии «углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и её проекцией (ортогональной) на плоскость. Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между ней и плоскостью считается (курсив мой – Н.Г.Хижняк) равным 90°, а между параллельными прямой и плоскостью – равным 0°». [1, стр. 308].

Как следует из определения, угол между прямой и плоскостью не может быть больше 90°. Углы больше 90° относятся к углам вращения [2, стр. 81], а в стереометрии не принято при помощи углов описывать вращение прямой вокруг точки её пересечения с плоскостью.

Если прямая параллельна плоскости (или принадлежит плоскости), то считается, что величина угла имеет нулевое значение. Фактически отсутствует вершина угла – точка пересечения прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна плоскости, то проекция линии превращается в точку, которая совпадает с точкой пересечения прямой и плоскости. Фактически отсутствует второй луч, образующий угол. В этом случае угол считается прямым.

Измерение углов в планиметрии

По аналогии со стереометрией, плоский угол между двумя прямыми (лучами, отрезками) должен измеряться как угол между точкой на одной прямой и её проекцией на другой прямой с вершиной угла в точке пересечения этих прямых.

Данное правило позволяет разделить плоские углы на тригонометрические углы (величиной от 0° до 90°) и углы вращения. Принципиальное отличие между этими углами заключается в количестве объектов на двухмерной плоскости, образующих угол. Тригонометрический угол измеряется между двумя разными объектами, угол вращения измеряется между двумя положениями (начальным и конечным) одного объекта. Для тригонометрических углов фактор времени отсутствует, для углов вращения фактор времени обязателен: первоначальное положение, время вращения, конечное положение.

При измерении углов между двумя параллельными прямыми угол определить невозможно, поскольку отсутствует точка пересечения прямых. При измерении угла между двумя перпендикулярными прямыми угол так же невозможно определить, поскольку проекция точки совпадает с точкой пересечения этих прямых.

Вывод: нулевой и прямой углы не могут иметь точно такие же математические свойства, как остальные углы. Подробнее эти различия будут описаны при рассмотрении тригонометрических функций.

Углы и расстояния

Тригонометрический угол по своим свойствам аналогичен расстоянию между двумя точками, угол вращения аналогичен пройденному пути между этими же точками. Если движение осуществляется по прямой линии, тогда пройденный путь равен расстоянию между начальной и конечной точками пути. Если вращение осуществляется на угол до 90° градусов, тогда угол вращения равен тригонометрическому углу. Угол вращения не может быть меньше тригонометрического угла, пройденный путь не может быть меньше расстояния между точками начала и конца этого пути. Расстояние между двумя точками может быть в числовом диапазоне от нуля до бесконечности. Соответствие между углами от 0° до 90° и числами от нуля до бесконечности устанавливается тригонометрической функцией тангенса этих углов.

Пройденный путь так же выражается в числовом диапазоне от нуля до бесконечности, даже если расстояние между начальной и конечной точкой пройденного пути равно нулю. Точно так же угол вращения может достигать бесконечно больших значений, при этом тригонометрический угол между началом и окончанием вращения может быть равным нулю. В этом случае можно установить прямую аналогию между числом и величиной угла, как это принято в математическом анализе.

Для вычисления расстояния между начальной и конечной точками пройденного пути применяются различные математические инструменты, например, теорема Пифагора. Для определения угла между началом и окончанием вращения применяются формулы приведения углов.

Заключение: плоские углы по своим свойствам аналогичны расстояниям на плоскости.

Список литературы

1. Забелышинская М.Я. «Математика. Учебно-практический справочник» Харьков, Ранок, 2010 г.
2. Хижняк Н.Г. «Основы математики», Доклады Независимых Авторов, вып. 19, 2011 г.

P.S. Эта статья опубликована для разогрева. Хедлайнером новой работы является статья о тригонометрических функциях в прямоугольнике. Надеюсь, из неё вы узнаете очень много нового и интересного.

четверг, 29 января 2015 г.

Два угла треугольника

Рассмотрим очень простенькую задачу про два угла треугольника, которые известны. Звучит эта задача так:

Два угла треугольника равны 53 градуса и 57 градусов. Найдите его третий угол треугольника.

У любого треугольника всего три угла. Именно поэтому треугольник так и называется. Величина двух углов из трех нам известна. Теперь я задам вам всего пару вопросов, которые помогут решить эту задачу.

Вопрос первый. Чему равна сумма углов треугольника? Это сакральное знание математики дразнят "Теорема о сумме углов треугольника". Как бы они не называли этот закон природы, суть его не изменится. Кстати, сумма углов треугольника относится к разряду тех математических знаний, которые запоминаются легко и надолго, но которыми вы никогда больше пользоваться не будите в своей повседневной жизни. Бесполезное знание? Нет, но пользуются им люди весьма ограниченного круга профессий, например, геодезисты.

Сумма углов треугольника. Сумма трех углов в треугольнике составляет 180 градусов. Математика для блондинок.
Сумма углов треугольника

Вопрос второй. Если вы знаете, что сумма всех углов треугольника равна 180 градусов, с арифметикой сами справитесь? Здесь всё просто. От суммы углов треугольника в 180 градусов отнимаем два известных угла и получаем значение третьего угла треугольника.

180 - 53 - 57 = 70 градусов

Не хотел приводить здесь готовое решение, но... Во-первых, у калькулятора много разных кнопочек и их случайно можно перепутать. В подобных случаях у ученых исчезают спутники на Марсе. Так что готовое решение, для контроля, не помешает. Просто проверите себя.

Во-вторых, это очень удобный случай проделать то, что математики настоятельно нам делать не рекомендуют. Нас учат выполнять задания с минимальными затратами времени, и по возможности без записи промежуточных результатов. Собственно, я так и сделал. С одной стороны, это правильно. С другой стороны, это не дает нам возможности понять, а что же мы, собственно, делаем?

Лично мне очень нравится рассматривать решения математических задач под микроскопом в замедленной съемке. Иногда впечатление такое, что наблюдаешь за фокусом в исполнении иллюзиониста и все секреты фокуса тут же вылезают наружу. Давайте рассмотрим подробное решение этой задачи о двух известных углах треугольника и одном неизвестном. Вот как это выглядит.

Задача про два угла треугольника. Решение задачи. Математика для блондинок.
Задача про два угла треугольника

И так. Кто-то измерял углы в каком-то реальном треугольнике. Измерения выполнили только для двух углов. Человек учился в школе и знает, что третий угол можно просто вычислить. Это и есть условие задачи. Теперь подробное решение и описание смысла выполняемых нами действий.

1. Записываем закон, который устанавливает связь между углами треугольника, в алгебраической форме. Я уже говорил, что в математике он называется "Теорема о сумме углов треугольника". Геометрическая форма этого закона представлена на первой картинке.

2. Преобразуем алгебраическую форму закона об углах треугольника под решение нашей конкретной задачи.

3. Вводим в полученную формулу данные из поставленной перед нами задачи. Переходим от алгебраической формы к физической.

4.Анализируем физическую модель решения задачи. Математический аппарат представлен десятичной системой счисления чисел, другие системы счисления отсутствуют. Физический аппарат представлен градусной мерой углов, другие единицы измерения углов отсутствуют. Только при этих условиях мы можем выполнять сложение и вычитание.

5. Переходим к математической модели физической задачи и выполняем математические действия с числами при помощи калькулятора, листа бумаги или в уме.

6. Получаем готовое решение задачи в физической форме.

Вот такой роман почти в стихах у меня получился для одной очень простой задачи. На точность описания сей литературный опус не претендует, поскольку в школе меня такому не учили, выдумывать пришлось на ходу. Все описанные действия мы выполняем автоматически, не вдаваясь в подробные объяснения. Я согласен с математиками в том, что глупо каждое решение задачи расписывать так подробно. Но ещё глупее тупо выполнять те действия, которым тебя учат. В этом случае образование превращается в обычную дрессировку животных.

понедельник, 5 мая 2014 г.

Где на окружности находится...

Сегодня мы посмотрим на крысиные бега в математике. Где на окружности находится 7пи/2? Очень интересный вопрос. Подобные вопросы любят задавать злобные математики. Точнее, их это заставляет делать учебная программа, составленная по сочинениям безмозглых математиков. Почему безмозглых? Измерять вращение математиков никто не научил, а собственные мозги у них отсутствуют. Вот математики и носятся со своими "пи", как дурни со ступой.

Один полный оборот математики обозначают как 2 пи. Что это значит? Вот вы стоите перед входом в школу. Поворачиваетесь на минус 90 градусов (что равно минус пи/2), то есть по часовой стрелке, и бежите вокруг школы в положительном направлении (против часовой стрелки). Когда вы снова окажетесь напротив школьного входа, значит вы пробежали угол величиной в 2 пи. Если вы повернетесь на плюс 90 градусов (что равно плюс пи/2) и побежите в противоположном направлении, вы пробежите угол в минус 2 пи. Сколько бы кругов вы не наматывали вокруг школы, вы всегда будете попадать в ту же точку, с которой начинались ваши крысиные бега. Почему бега называют крысиными? Наверное потому, что сколько не бегай, а никуда не убежишь.

План эвакуации. Бег по кругу. Математика для блондинок.
План эвакуации
Приблизительно так будет выглядеть план эвакуации, разработанный и утвержденный математиками. И так, бег по кругу - это самое бессмысленное занятие, которое можно придумать. Естественно, если этот бег по кругу не связан со спортом или укреплением собственного здоровья. Здесь у кругового бега одно существенное преимущество - бегая, вы всегда остаетесь практически на месте, не зависимо от того, какое расстояние пробежали. Попробуйте пробежать назад 10 километров, если вы только что закончили забег на 10 километров вперед. А по кругу - пробежал 10 километров и хватит.

Но вернемся к нашей задаче. Как узнать, где на окружности находится 7 пи, деленное пополам? Для начала, нужно выбросить всю дурь не только с головы, но и со значения угла. Если размер дури в других науках определить довольно проблематично, то в математике она имеет вполне конкретное выражение - два пи или 360 градусов. Вот их и нужно выбросить из наших 7пи/2. Вспоминаем вычитание дробей. Чтобы зловредная буква пи нам не мешала, вынесем её за скобки.

Вычисление угла. 7пи/2 равно 3пи/2. Математика для блондинок.
Вычисление угла
Про сокращение дробей помните? Точно так же мы выполнили сокращение угла. Сколько бы дури размером в 2 пи (360 градусов) не содержалось в наших углах, всю её необходимо выбросить. Это обычный математический мусор, который, как святыню, хранят церковно-приходские математики.

После сокращения угла можно взять окружность и показать на ней точку, соответствующую углу в 3/2 пи. 

Окружность градусов и радиан. Где на окружности находится 7пи/2. Математика для блондинок.
Окружность градусов и радиан
Как видно из картинки, угол в 3/2 пи или 270 градусов находится на границе третьей и четвертой четвертей окружности. Хотя, благодаря Интернету и путину, понятие "граница" сегодня весьма размыто.

Не следует забывать, что "пи" - это не единица измерения радиан, а загадочное число 3,1415... Угол в 3/2 пи равен 4,7122... радиан. По умолчанию, математики не пишут возле значения угла единицу измерения "радиан". Чем всех нас запутывают и сами путаются.

Кстати, на сокращении дробей построены пропорции. На сокращении углов такой фокус не возможен - на идиотизме пропорцию не построишь.  

вторник, 11 февраля 2014 г.

Внешний угол при вершине треугольника

Очередная задача про равнобедренный треугольник:

В тре­уголь­ни­ке АВС АС=ВС. Внеш­ний угол при вер­ши­не В равен 122 градуса. Най­ди­те угол. Ответ дайте в гра­ду­сах. Можно мне все подробно?

Постараюсь объяснить как можно подробнее. Почему я сразу сказал, что задача про равнобедренный треугольник? У обычных треугольников все стороны разной длинны. Их даже так и называют - разносторонние. Берем картинку со страницы про виды треугольников, отрезаем ненужное и начинаем разукрашивать. Геометрия - это та же детская разукрашка, только проще. В задаче обычно всегда говорится, что именно и как вы должны разукрашивать. Разукрасим нашу картинку с видами треугольников по размерам сторон синенькими буквами вершин равнобедренного треугольника.

Виды треугольников. Равносторонний, равнобедренный, разносторонний. Виды треугольников по размерам сторон. Математика для блондинок.
Виды треугольников
Теперь нужно разобраться, что такое внешний угол при вершине треугольника. По моему глубокому убеждению, это мусор, которым математики засоряют вам мозги. Ведь чем больше всякого мусора в учебнике, тем больше часов нужно на его изучение и тем больше сможет заработать учитель. Чем запутаннее предмет, тем легче репетиторам найти работу. Это похоже на продажу овощей на вес - чем больше в них грязи, тем больше денег заработает продавец.

И так, открываем "умную" книжку и начинаем копаться в математической грязи. В книжке написано буквально следующее:

Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине.

По умолчанию предполагается, что мы уже должны знать, что такое смежный угол. Не знаю, как вы, а я уже давно забыл, что это за фигня такая - "смежный угол". Ведь все нормальные люди пользуются нормальными углами. Хорошо, что к определению внешнего угла треугольника картинка прилагается, которая проясняет, как именно он выглядит.

Внешний угол. Треугольник и вешний угол при вершине треугольника. Математика для блондинок.
Внешний угол
Я никогда не пойму, зачем к треугольнику лепить внешний угол, если у него уже есть обычные, внутренние, углы. Я так понимаю, что одни дураки когда-то учили других, а те тупо повторяют действия учителей. Своими мозгами пользоваться их так никто и не научил. Кстати, величайшим достижением современного образования можно считать отсутствие в учебной программе научной теории о трех китах и Земле, которая на них держится. И это только потому, что данная теория не относится к математике. А ведь если в учебной программе что-то записано, то учить это обязательно для получения хорошей оценки.

Ладно, по возмущался и хватит. Вернемся к наше задаче. Читаем внимательно: Внеш­ний угол при вер­ши­не В равен 122 градуса. Собственно, картинка внешнего угла - это то, что доктор прописал. Обычный угол треугольника получается путем вычитания из 180 градусов внешнего угла. У равнобедренного треугольника углы при основании равны. Рисуем картинку и сразу решение.

Внешний угол при вершине. Равнобедренный треугольник. Математика для блондинок.
Внешний угол при вершине
Кажется, я догадываюсь, откуда в математике могли появиться внешние углы. Когда европейцы увидели пирамиды древнего Египта, они были потрясены увиденным. Им захотелось измерить эти грандиозные сооружения. Вот только внутренний угол пирамиды измерить не представляется возможным. Можно измерить внешний угол и высчитать внутренний. Математики увидели, что делают другие, и записали в свою Математическую Библию определение внешнего угла треугольника. Вот с тех пор это Священное Писание переписывается из учебника в учебник.

понедельник, 21 октября 2013 г.

Загадка вавилонской таблички

Как хорошо быть дилетантом и ничего не знать. На мир смотришь совершенно иными глазами. Вот из такого моего незнания появилась загадка вавилонской таблички. Лишний раз пришлось убедиться, что когда имеешь дело с математикой, результат может получиться самым неожиданным.

И так, в Википедии я наткнулся на одну интересную картинку, где изображена древняя вавилонская глиняная табличка с изображением квадрата и клинописью. Надпись под табличкой уверяет нас, что здесь приводится значение корня из двух, вычисленное древними вавилонянами почти четыре тысячи лет назад. Вот эта картинка.

Вавилонская табличка корень из двух. Математика для блондинок.
Вавилонская табличка корень из двух


Найдена эта табличка была давно и математики провели её исследование. Вот официальная версия, которую я раскопал на просторах Интернета буквально только что. По диагонали представлено значение корня из двух в шестидесятеричной системе счисления. Напоминаю, что составлена она была почти четыре тысячи лет назад. Точность для того времени потрясающая - пять знаков после запятой! Здесь уместно напомнить, что популярные в двадцатом веке нашей эры таблицы Брадиса имели только четыре знака после запятой.

Дальше идет предположение наших математиков, что на табличке изображены три числа. Поскольку нуля и запятой после целой части числа у древних вавилонян не было, то первое число можно трактовать двояко: и как целое число 30, и как дробь 30/60=0,5. Математики предположи, что вавилонская табличка показывает пример вычисления диагонали квадрата со стороной, равной 30. То есть, 30 умножается на корень из двух и получается результат - третье число. Берем в руки калькулятор и проверяем.

Вавилонская табличка корень из двух. Вычисление диагонали квадрата со стороной 30 единиц. Математика для блондинок.
Вычисление диагонали квадрата со стороной 30
В принципе, всё логично и вычисления древними математиками выполнены правильно. Но ведь я этого не знал. Я видел только значение квадратного корня из двух и у меня возник естественный вопрос: что означают два других числа?

Предположив, что 42 25 35 - это дробь без целой части, я взял в руки калькулятор и произвел вычисления. Результат показался мне до боли знакомым. Это число пи, деленное на 4? Очень грубое сравнение. Что ещё? Диагональ квадрата связана не только с корнем квадратным, но и с тригонометрическими функциями угла в 45 градусов. Набираю на калькуляторе пи/4, нажимаю кнопочку синуса и... Увиденное меня мня слегка шокировало - синус и косинус угла в 45 градусов представлен с точностью до шести знаков после запятой!

Вавилонская табличка синус и косинус. Значение тригонометрических функций синуса и косинуса 45 градусов с точностью до шести знаков после запятой. Математика для блондинок.
Вавилонская табличка синус и косинус
Вау! Тригонометрические функции в два раза старше, чем принято считать. Два - ноль в пользу древних математиков! Как быть с числом 30? Если это дробь, то читать её следует как 0,5. Я знаю другой класс тригонометрических функций, значение которых для угла 45 градусов равняется 0,5. Получается, что древние математики знали больше нас? Другим классом тригонометрических функций мы пользуемся и сегодня, причем очень широко, но... Мы их называем по-другому, у нас они имеют другие числовые значения и с углами мы их никак не связываем. Оба класса тригонометрических функций можно использовать при решении двух похожих математических задач, которые мы еще не решаем. Или уже не решаем?

Кстати, математика древнего мира мне нравится гораздо больше современной. Я так полагаю, что наших математиков в древнем Вавилоне даже на порог школы не пустили бы. Ответ звучал бы приблизительно так: "Стройте собственные храмы и там проповедуйте свою веру в Определения, Множества и Функции".

И вот, после всех этих размышлений я ознакомился с официальной версией расшифровки вавилонской таблички. Это что - случайное совпадение? Лично я не верю в случайные совпадения. Но и с математикой не поспоришь - оба решения верны.

Какие недостатки у версии с умножением? Почему в качестве первого сомножителя выступает именно число 30, а не любое другое, например, 2? Почему квадратный корень из двух в шестидесятеричной системе счисления представлен с точностью до трех знаков после запятой, а результат вычисления имеет только два знака после запятой? Не хватило места для третьего знака? Не верю.

Какие достоинства у версии с тригонометрическими функциями? Два числа представлены с одинаковой точностью - три знака после запятой. Древняя вавилонская табличка является не примером умножения, а математическим справочником по свойствам квадрата.

Для того, чтобы разгадать загадку вавилонской таблички, нужно проанализировать и другие математические таблички того же периода.

P.S. 04.08.19г. Я не буду настаивать на том, что в древнем Вавилоне были известны понятия синуса и косинуса угла. Значения синуса и косинуса угла в 45 градусов совпадают с числом, равным единице, деленной на корень из двух. Обратные числа били известны в древнем Вавилоне и широко применялись. И так, скорее всего, на табличке, являющейся одним из элементов древнего математического справочника, указаны такие математические сведения для квадрата со стороной, равной единице:

1. Число - корень из двух (длина диагонали).

2. Обратное число - единица, деленная на корень из двух.

3. Число одна вторая (число "30" в шестидесятиричной системе счисления).

Поскольку в древнем Вавилоне вряд ли знали проценты, можно предположить, что третье число на табличке является линейной угловой функцией угла в 45 градусов. Геометрически, линейные угловые функции являются пропорциями деления полупериметра прямоугольника в зависимости от значения угла между его стороной и диагональю.

Были ли известны линейные угловые функции древним вавилонянам? Этот вопрос требует специального изучения, поскольку этот вид тригонометрических функций неизвестен современным математикам. А изучать то, чего не знаешь, очень даже проблематично.

Лично я очень хотел бы посмотреть на подобную справочную табличку древних вавилонян для прямоугольника с углами в 30 и 60 градусов или с другими значениями углов.

воскресенье, 20 октября 2013 г.

Простое построение углов

Тут мне в комментариях задали интересный вопрос. Простое построение углов - как это сделать? Вот сам вопрос.

Простое построение углов. Вопрос о построении угла в 45 градусов в декартовой системе координат.. Математика для блондинок.
Вопрос о построении углов

И так, вопрос сводится к следующему - в декартовой системе координат, если брать одинаковый икс и игрек, получим прямую под углом в 45 градусов к осям координат. А как построить углы другой величины? Можно, конечно, заняться гаданием на кофейной гуще и попробовать высчитать, сколько нужно откладывать по иксам, сколько по игрекам, чтобы получился другой удобочитаемый угол. Не 156пи/911, а что-то типа 1, 5, 10, 15 градусов.

Угол в тридцать градусов получается, когда по оси игрек мы возьмем половинку, а расстояние от центра системы координат до точки будет равно единице. При помощи циркуля и линейки такое построить можно, но...

Построение угла в 30 градусов в декартовой системе координат. Математика для блондинок.
Построение угла в 30 градусов
Для подобного построения необходимо: построить декартову систему координат, нарисовать круг, по оси игрек разделить радиус пополам, через полученную точку провести линию, параллельную заданной... Фокус в том, что о декартовой системе координат древние люди не имели ни малейшего понятия. И ведь тысячелетиями как-то жили, и углы строили.

И так, четвертое-пятое тысячелетие до нашей эры,  древняя Месопотамия... Тогда зародилось то, чем мы пользуемся и сегодня. Астрономия, письменность, математика, углы... Какими инструментами тогда пользовались для построения углов? Линейка, циркуль...Возможно, были тогда и угольники, хотя это не принципиально - для построения прямого угла достаточно циркуля и линейки.

Теперь попробуем строить углы при помощи циркуля и линейки без всяких координатных систем. Проводим прямую линию, строим окружность с центром на построенной линии. Ставим циркуль в точки пересечения линии и окружности и строим две окружности того же радиуса. Соединяем линиями центр первой окружности точки пересечения окружностей.  У нас получились углы в 60 градусов.

Простое построение углов. Построение угла в 60 градусов при помощи циркуля и линейки. Математика для блондинок.
Построение угла в 60 градусов

Почему возле углов я поставил циферки 1, 2, 3, 4, 5, 6? Я считаю, что именно такую единицу измерения углов использовали наши предки. Назовем эту единицу измерения углов "вавилонский угол". Дальше один угол делится на 60 градусов. Почему именно на 60? В те времена, в тех местах, использовалась шестидесятеричная система счисления. Вы такой системой счисления никогда не пользовались и понятия о ней не имеете? Ошибаетесь. Когда вы выражаете время в минутах и секундах, вы используете именно шестидесятеричное счисление. "Подожди пять минут" в переводе на десятичные дроби, если за единицу брать один час, будет звучать как "Подожди 0,083333333... часа". Дико звучит, не правда ли?

Давайте посмотрим на структуру вавилонских шестидесятеричных чисел. Единицу целого числа вавилоняне делили на шестьдесят частей. Потом каждую эту часть делили ещё на шестьдесят частей и так дальше. У шестидесятых долей были свои названия: минута, секунда, терция...

Минута, секунда, терция, кварта, квинта. Структура шестидесятеричного числа. Математика для блондинок.
Минута, секунда, терция, кварта, квинта
Вот теперь я включаю логику и начинаю рассуждать. Если минута - это малая часть, значит могла быть и большая часть или просто часть. Градус как нельзя лучше подходит на роль части вавилонского угла. Тогда первый шестидесятеричный знак после запятой будет называться градус и только второй - минута. Хотя, я могу и ошибаться. Вполне возможно, что градус играет роль целого числа, а придуманный мною "вавилонский угол" - ни что иное, как аналог наших десятков. Но суть не в этом.

Я просто хотел обратить ваше внимание на то, что 360 градусов окружности приблизительно равны 365 дням в году (если отбросить градусы и дни, а тупо сравнивать только числа, как это любят делать наши математики). Почему я сравниваю окружность с днями в году? За сутки Солнце смещается по эклиптике приблизительно на один градус. С другой стороны, вавилонский угол в 60 градусов приблизительно равен одному радиану. Ведь 1 радиан  ≈  57,295779513°  ≈  57° 17′ 44,806″ При этом, у вавилонского угла есть точное числовое значение, а вот радиан точного числового значения не имеет - он построен на бесконечности числа "пи". Один - ноль в пользу древних математиков. Что бы там не утверждали наши математики, но принимать в качестве единицы измерения бесконечное число - это не совсем разумно. Думаю, физики меня поймут - создать точный измерительный прибор для измерения неточной величины даже теоретически невозможно.

Но продолжим наши построения углов. Через центр первой окружности проводим перпендикуляр, затем строим ещё две окружности с центрами в точках пересечения перпендикуляра и первой окружности.

Простое построение углов. Построение угла в 30 градусов. Математика для блондинок.
Построение угла в 30 градусов
Получился угол в 30 градусов. Как видите, построение очень простое, даже циркуль с переменным радиусом не нужен. Достаточно отрезать кусок разветвления ветки вместо циркуля и всё прекрасно получится. В этой первозданной простоте родились наши современные часы.

Простое построение углов. Вавилонские углы и циферблат часов. Математика для блондинок.
Вавилонские углы и циферблат часов
Как видно из рисунка, один час времени равняется тридцати градусам угла. Одна минута времени равна шести градусам угла. В минуте шесть градусов, в окружности шесть углов - что-то в этом есть. Вот только часов на окружности циферблата 12, что не очень вписывается в логику шестидесятеричной системы счисления. У наших математиков везде тупо было бы шестьдесят. В году двенадцать знаков зодиака, в сутках 24 часа. Где-то должна быть очень веская логика именно такого построения временной шкалы. Я не занимался изучением этого вопроса, древние вавилоняне меня и без него шокировали. Но об этом в следующей статье.

Особо стоит отметить, что в древности использовались солнечные часы. Было два варианта солнечных часов - напольные и настенные. Так вот, стрелки этих двух типов часов (тень на циферблате) двигались в противоположных направлениях - по часовой стрелке у напольных и против часовой стрелки у настенных. Можно предположить, что такого понятия, как "вращение по часовой стрелке" у древних математиков не существовало. А в том, что древние люди были очень умными, мы можем убедиться, рассмотрев загадку вавилонской таблички.

четверг, 14 марта 2013 г.

Куб и угол между прямыми

Сейчас решим задачу про куб и угол между прямыми. Задача звучит так:  

Точка Е - середина ребра АА1 куба ABCDA1B1C1D1. Найдите угол между прямыми DE и BD1.

Для начала нужно соорудить конструкцию куба и разукрасить её буквами обозначений. Затем попробуем разобраться, чего надобно этим старцам от математики. Рисуем куб и прямые линии.

Куб и угол между прямыми. Обозначения вершин куба, диагональ куба, линия на боковой грани куба.
Куб и прямые линии
Получилось, что одна прямая линия совпадает с диагональю куба, вторая прямая линия проходит через боковую грань куба. Математики такие лини называют скрещивающиеся прямые. Угол между скрещивающимися прямыми определяется (не в смысле математическое определение типа "бла-бла-бла", а когда конкретное дело делается) как угол между пересекающимися прямыми, которые параллельны данным скрещивающимся прямым. Это не я такой умный, это у меня книжка умная есть, там и вычитал.

Возьмем ту прямую, которая на боковой грани и проведем параллельную ей прямую линию, проходящую через вершину D1. В этом случае мы получили две пересекающиеся прямые, для которых уже можно определить угол.

Куб и угол между прямыми. Скрещивающиеся и пересекающиеся прямые. Угол между скрещивающимися прямыми.
Скрещивающиеся и пересекающиеся прямые
Для определения угла нам нужны размеры куба. Без этого математика бессильна. Поскольку, по условию задачи, размеры куба нам не заданы, мы можем сами выбрать любой, благо все три размера у куба одинаковы. Примем длину ребра нашего куба за единицу. Получился куб в собственном соку, то есть в собственных единицах измерения. Весь этот математический фокус заключается в том, что угол между заданными нам прямыми совершенно не зависит от размеров куба. И в большом кубе, и в маленьком кубике углы между этими прямыми будут одинаковы.

Дальше всё просто, как в реанимации. Назначаем пациенту, то есть кубу:

1. Две теоремы Пифагора для двухмерного пространства.
2. Одну теорему Пифагора для трехмерного пространства.
3. Одну теорему косинусов.
4. Одну таблицу косинусов.

Теперь разберемся, к каким местам на теле куба всё это нужно прикладывать.

Куб и угол между прямыми. Два прямоугольных треугольника на гранях куба, диагональ куба и искомый угол в треугольнике.
Два прямоугольных треугольника, диагональ куба, искомый угол в треугольнике

Рассуждаем от конца к началу. По таблице косинусов мы можем найти значение угла в градусах. Значение косинуса угла можно найти по теореме косинусов, если знать размеры сторон синенького треугольника из рисунка выше. По теореме Пифагора для трехмерного пространства мы можем найти диагональ куба - это одна из сторон треугольника. Две другие стороны треугольника можно найти на гранях куба по обычной (двухмерной) теореме Пифагора. А вот для применения теоремы Пифагора нам необходимы числовые размеры куба. Ведь просто слово "ребро" во вторую степень возвести не возможно. Вот для этого мы и приняли в самом начале размер ребра равным единице.

Мы проутюжили наше решение от начала к концу и от конца к началу. Лично у меня оно где-то по середине и срослось, на теореме Пифагора. Что бы там не утверждали наши современные математики, а математических инструментов мощнее тригонометрии и теоремы Пифагора они так и не создали.

Для полного счастья нам нужно ещё рассмотреть теорему косинусов. Ведь тупо записать её могут многие, а вот применять на практике этот калейдоскоп символов нужно ещё уметь. Посмотрите, как буковки в формулах переливаются! Это и есть первозданная красота математики.

Куб и угол между прямыми. Теорема косинусов. Как найти угол в треугольнике по трем сторонам. Математика для блондинок.
Теорема косинусов

Что такое математическая функция арккосинус? Это очень умное выражение, которым нас пугают математики. А фактически это наша голова и таблица косинусов перед глазами. Или специальная кнопочка на калькуляторе. Только вместо команды "Бобик, фас!" ( косинус - найти число по значению угла), нужно выполнять команду "Фас, покусай Бобика!" (арккосинус - найти значение угла по числовому значению косинуса).

Пусть у нас неизвестный угол будет по кличке "гамма", а диагональку куба мы обзовем "а". Отрезок прямой, что расположен на грани куба прямо перед нами, будет именоваться "с", а на грани слева - "b". Вот теперь можно погонять циферки и получить числовое решение задачи.

Куб и угол между прямыми. Вычисление сторон треугольника для формулы по теореме Пифагора. Математика для блондинок.
Вычисление сторон треугольника для формулы
Куб и угол между прямыми. Вычисление косинуса и нахождение угла между прямыми. Применение теоремы косинусов и таблицы косинусов. Математика для блондинок.
Вычисление косинуса и нахождение угла между прямыми
На картинке вы видите огрызок (математики это называют "отрезок") таблицы косинусов. Если кто забыл, напомню, что при уменьшении числового значения косинуса, значение угла увеличивается. Вот по этому мы вычитаем из значения косинуса шесть десятитысячных (на картинке у меня опечатка, просто шестерка, но переделывать не хочу, ещё неделю возиться буду) и прибавляем две минуты к значению угла. В итоге получилось, что угол между прямыми равен семьдесят пять градусов две минуты. Аминь (математики говорят "плюс константа").

вторник, 9 октября 2012 г.

Как найти угол по тангенсу

В комментариях к тригонометрической таблице меня спросили, как перевести в градусы tg@= 4,99237? В общем виде вопрос заключается в том, как найти угол по тангенсу? Для решения этой задачи мы будем использовать калькулятор. Поскольку математики никогда не ставили перед собой задачи навести порядок в математике, то углы и сегодня измеряются в самых разных единицах измерения. Наиболее популярны среди математиков градусная и радианная меры углов. Мы тоже найдем решение как в градусах, так и в радианах. Благо, на калькуляторе они есть.

Сначала мы найдем угол по тангенсу в градусах. Для этого в правом верхнем углу калькулятора нужно установить специальный пыптик в положение Deg 360, что соответствует градусам. Дальше кнопочками вводим число 4,99237. Вот что у нас должно получиться.

Как найти угол по тангенсу. Угол в градусах на калькуляторе. Как ввести число на калькуляторе. Математика для блондинок.


После этого нужно нажать кнопочку арктангенс. Именно эта математическая ерунда превращает значение тангенса в угол. На калькуляторе эта хитрая обратная тригонометрическая функция (как её величают математики) замаскирована под кнопочку tan в степени минус 1, то есть тангенс в минус первой степени. После нажатия этой кнопочки восторженный калькулятор на все лады расхваливает нашу мудрость и всеми возможными способами сообщает нам, что мы таки ковырнули арктангенс, а не что нибудь другое. Об этом свидетельствует название функции atan (4.99237) в окошке калькулятора. Для особо одаренных здесь же буковками написано Arc tangent. Правда, особо одаренным нужно ещё знать английский язык, для того, чтобы понять всю глубину восторга калькулятора.

Как найти угол по тангенсу. Где найти арктангенс на калькуляторе. Арктангенс в градусах. Математика для блондинок.


"А где же угол?" - спросите вы и будете правы. Угла нет, не смотря на все наши старания. Для превращения восторга калькулятора в математический результат нужно ещё нажать здоровенную кнопку равно, обозначенную двумя горизонтальными палочками =. Вот теперь мы нашли угол по тангенсу в градусах. Он равняется 78,6732 (ну, и так далее) градусов.

Как найти угол по тангенсу. Угол в градусах на калькуляторе. Математика для блондинок.


Для полного счастья, можно пролить бальзам на душу математиков, разложив эту десятичную форму записи градусов на градусы, минуты и секунды. Для этого дробную часть числа умножаем на 60 и получаем количество минут в дробном хвосте градусов.

0,6732 * 60 = 40,392'

Подобную процедуру повторяем с минутами. Дробную часть минут умножаем на 60 и получаем секунды.

0,392 * 60 = 23,52"

Процедуру можно повторять и дальше до бесконечности, но, к счастью, математики до этого ещё не додумались. По этому на секундах мы и остановимся. Ничего, что секунды у нас получились с дробным хвостиком. Математики к таким хвостам относятся терпимо. В итоге, полнометражная версия полученного нами угла в градусной мере углов выглядит следующим образом:

78 градусов 40' 23,52"

В слух эта магическая надпись произносится так: "78 градусов, 40 минут, 23 целых и 52 сотых секунды". Аминь!

Нет, ещё не "Аминь!". Теперь нужно выковырять из калькулятора этот же угол, только в радианах. Процедура добывания угла точно такая же, как и для градусов, с той только разницей, что в самом начале мы на калькуляторе нажимаем соседний пыптик Rad 2п. Повинуясь нашей воле, калькулятор добросовестно выдаст нам результат в радианах. Вот как это будет выглядеть.

Как найти угол по тангенсу. Угол в радианах.  Математика для блондинок.


Как видите, в радианах мы получили всего-навсего 1,3731 радиан. И за что математики так любят радианы? Ведь, плюнуть не на что. Ну, да Бог с ними, с этими математиками.

пятница, 11 ноября 2011 г.

Приведение углов

Приведение углов - это та задача, которую необходимо решить прежде, чем приступать к приведению тригонометрических функций по формулам приведения. Вот пример вопроса: "Приведите к тригонометрическим функции угла от 0 до 90 град. а) tg 137 град. б) sin (-178) град как решить?"

Начинать решение этой задачи нужно с другой, более простой задачи на приведение углов к значениям от 0 до 90 градусов. Для этого имеющийся угол нужно представить как сумму или разность, используя при этом угол в 90 градусов или кратные ему углы и угол в пределах от 0 до 90 градусов. Это написано всё очень заумно, а делается очень просто. Смотрите:

137 = 90 + 47

137 = 180 - 43


Мы разложили имеющийся угол двумя способами. Вариантов решения этой задачи так же может быть два. Для второго угла так же может быть два варианта:

-178 = -180 + 2 = 2 - 180

-178 = -90 - 88 = -(90 + 88)


Теперь займемся приведением тригонометрических функций. Для этого используем формулы приведения тангенса. На картинке я подчеркнул и подписал те формулы, которые мы будем использовать в первом и во втором случае.

Тангенс формулы приведения пример. Приведение углов. Решение задачи по тригонометрии. Математика для блондинок.
В первом случае мы применяем формулу сложения для 90 градусов, во втором случае мы применяем формулу вычитания для 180 градусов. Теперь запишем оба решения для тангенса угла 137 градусов.

tg 137 = tg (90 + 47) = -ctg 47

tg 137 = tg (180 - 43) = -tg 43


Всё, мы сделали то, что от нас требуется в задаче. Записывайте любой из вариантов, оба они правильные, поскольку численные значения полученных функций равны.

Теперь приступим к решению задачи про синусы. Угол мы уже разложили на составляющие, теперь нам нужно подобрать соответствующие формулы приведения синуса. Снова рассматриваем два варианта.

Синус формулы приведения пример. Решение задачи по тригонометрии sin. Приведение углов. Математика для блондинок.
В первом случае применяем формулу вычитания из угла ста восьмидесяти градусов. Во втором случае применяем сперва формулу нечетности синуса, а после этого формулу сложения углов для 90 градусов. Записываем эти решения.

sin (-178) = sin (2 - 180) = -sin 2

sin (-178) = sin [-(90 + 88)] = -sin (90 + 88) = -cos 88

Как водно из решения, второй вариант более громоздкий в записи.

В заключение, можно ещё посмотреть на те углы, которые мы рассматривали. Напомню, что положительные углы откладываются против часовой стрелки, отрицательные - по часовой стрелке. Для наглядности возьмем картинку из статьи про круг градусов и радиан.

Круг градусов и радиан применение. Положительные и отрицательные углы. Знаки тригонометрических функций. Математика для блондинок.
Красными прямоугольниками выделены те тригонометрические функции, которые мы рассматриваем. Как видите, и для тангенса, и для синуса значения получаются отрицательные, что соответствует результатам, полученным нами по формулам приведения.