Классификация сумм

Аннотация

Если взять любую сумму, то все остальные суммы можно разделить на три группы: одинаковые суммы, суммы разложения и другие суммы. Критериями классификации являются слагаемые и результат сложения.

Одинаковые суммы

Одинаковые суммы объединяются в отдельную группу свойством коммутативности. Суммы из этой группы имеют попарно одинаковые по величине слагаемые и равное количество слагаемых. Результат сложения этих сумм одинаковый. Пример одинаковых сумм:

Одинаковые суммы

Количество сумм в данной группе определяется количеством слагаемых. Для бесконечных сумм оно равно бесконечности.

Суммы разложения

Если результаты сложения разного количества слагаемых или разных по величине слагаемых одинаковые, то такие суммы образуют группу разложения:

Суммы разложения

Любую из этих сумм можно получить разложением результата сложения на слагаемые при помощи линейных угловых функций. Получив при этом два слагаемых, любое из них можно также разложить на слагаемые и так далее. Пример разложения для первых трех сумм:

Разложение на слагаемые

Пример разложения числа на три слагаемых показывает, что разные варианты разложения могут давать одну и ту же сумму, что лежит в основе ассоциативных свойств сложения. Чем больше слагаемых содержит сумма, тем больше различных вариантов разложения может быть. Разложение на слагаемые можно продолжать до бесконечности. Разные углы и разные алгоритмы разложения позволяют получить разные варианты бесконечных сумм. Теория пределов позволяет определить результат сложения на основе анализа слагаемых. Разложение на слагаемые позволяет результат суммирования представить в виде бесконечного ряда слагаемых.

Для примера разложим единицу в бесконечную сумму по следующему принципу: разложение выполняется под углом 45°, каждое второе слагаемое раскладывается на два слагаемых:

Разложение на бесконечное количество слагаемых

В фигурных скобках указана сумма невидимой компенсирующей группы слагаемых, дополняющая результат сложения до целой единицы. Можно предположить, что любая сумма, даже бесконечный расходящийся ряд, в тригонометрическом виде равна единице.

Другие суммы

Если результат сложения любой суммы отличается от результата сложения рассматриваемой суммы, то эта сумма не имеет никакого отношения к рассматриваемой сумме и относится к группе «другие суммы».

Предположим, что для суммы a+b=c существует другой результат сложения d, не равный c. То есть, a+b=d. Представим эти два выражения с использованием линейных угловых функций, а затем переведем их в тригонометрический вид:

Разные результаты сложения

Предположение о наличии разных результатов сложения у одной и той же суммы выводит нас за пределы математики, где основные тригонометрические соотношения перестают работать:

За пределами математики

Почему одна и та же сумма слагаемых не может иметь двух разных результатов сложения? Понять это можно, рассмотрев обратный процесс – превращение тригонометрических функций в конкретные математические суммы. Более подробно мы рассмотрим это в отдельной публикации.

В завершение разговора о наличии двух разных результатов сложения у расходящихся рядов, я приведу пример из физики. В земной коре (сходящийся ряд [4]) существуют природные пещеры (сумма сходящегося ряда). Используя специальные механизмы (сходимость по Чезаро и др.) мы можем получить искусственные тоннели (сумма сходящегося ряда). В морях и океанах (расходящийся ряд) нет природных пещер (сумма ряда отсутствует). Применение специальных механизмов (сходимость по Чезаро и др.) позволяет нам получить искусственные тоннели (сумма расходящегося ряда) в водной толще. На основании этой, математически доказанной, теории можно спроектировать сеть тоннелей для автомобильных и железных дорог, опоясывающих всю земную поверхность. Такая теория вполне возможна, если мы не понимаем различия между твердыми телами (сходящийся ряд) и жидкостями (расходящийся ряд).

Вывод

Не существует математических методов, позволяющих получить другой результат сложения для рассматриваемой суммы.

Сдвиг в арифметике

Аннотация

Применение сдвига в арифметике приводит к сложению слагаемых с разными единицами измерения.

Рассмотрим результаты сдвига в арифметическом сложении. Сдвиг возможен при выполнении сложения в столбик. Для примера возьмём трехзначное число и прибавим к нему такое же число без сдвига, со сдвигом на одну позицию и со сдвигом на две позиции. При этом будем соблюдать правило, принятое при сдвиге бесконечных рядов – отбрасываем цифры второго слагаемого, выходящие за границы первого числа:

Сложение со сдвигом в столбик

Как и при сложении бесконечных рядов, сдвиг на разное количество позиций приводит к разным результатам. Можно записать эти же выражения в строку с последующим указанием единиц измерения каждого из слагаемых:

Сложение со сдвигом в строку

Вывод

Сдвиг приводит к изменению единицы измерения сдвигаемого слагаемого. Сдвиг является нарушением Сложение - нельзя складывать слагаемые с разными единицами измерения.

Математические действия с бесконечными рядами

Аннотация

При выполнении математических действий с бесконечными рядами необходимо соблюдать правила позиционной системы счисления.

Количество слагаемых

Количество слагаемых бесконечного ряда, представленных в видимой части ряда, необходимо рассматривать как аналог записи числа при помощи цифр в позиционной системе счисления. Количество слагаемых в видимой части ряда аналогично округлению обычной десятичной дроби с определенной точностью, то есть до определенного количества знаков после запятой.

При выполнении математических действий с бесконечными рядами, для каждого примера необходимо использовать одинаковое количество слагаемых в видимой части ряда. Если не соблюдать данное правило, это может приводить к ошибочному результату. В математике не принято использовать в одном примере какое-либо число с разной точностью округления.

Сдвиг ряда

Сдвиг бесконечного ряда при выполнении математических действий автоматически приводит к неправильному результату. Это аналогично добавлению нулей в десятичную дробь сразу после запятой.

Рассмотрим пример. Если из любого ряда вычесть такой же ряд без сдвига, результат будет равен нулю. Если при вычитании использовать сдвиг и не учитывать компенсирующую группу слагаемых, то результат будет отличным от нуля. Пусть у нас есть ряд S. Запишем ряд –S и сложим эти два ряда. В результате должен получиться ноль. Выполнив сложение без сдвига, мы получаем правильный результат.

Сложение без сдвига

Сдвиг на одну позицию приводит к неправильному результату.

Сдвиг на одну позицию

Сдвиг на две позиции приводит к другому неправильному результату.

Сдвиг на две позиции

Сдвиги на произвольное количество позиций позволяют получить бесконечное множество неправильных результатов.

Соблюдение правила об одинаковом количестве слагаемых бесконечного ряда в одном примере и использование компенсирующей группы слагаемых (выделена фигурными скобками) позволяет избежать ошибки. Но в приведенных примерах этот способ более трудоемкий, чем отказ от сдвига.

Сдвиг с компенсирующей группой слагаемых

Проанализируем несколько наиболее известных примеров определения сумм бесконечных расходящихся рядов.

Сумма ряда Гранди

В приведенном примере сумма ряда Гранди равна одной второй, что является не верным результатом.

Сумма ряда Гранди

Во второй строке стоит знак равенства между двумя разными суммами: одна сумма состоит из пяти слагаемых, не равных нулю, вторая – из четырех. В этом примере использована оптическая иллюзия равенства разных сумм, если одно слагаемое спрятать за троеточие бесконечности.

Сумма знакопеременного ряда

Ниже приведен знакопеременный ряд и решение по определению его суммы.

Сумма знакопеременного ряда

В предлагаемом решении один и тот же ряд представлен разным количеством слагаемых: от четырех до шести. При выполнении математических действий и перестановке слагаемых игнорируется компенсирующая группа слагаемых. Не рассмотрены два других способа получения суммы 4s: сложение рядов без сдвига и умножение исходного ряда s на 4. Оба эти способа дают одинаковый результат, что указывает на математическую точность выполненных вычислений.

Сумма 4s

Сумма натуральных чисел

Рассмотрим сумму бесконечного ряда натуральных чисел. Интуитивно, это расходящийся бесконечный ряд, который не может иметь конечного значения суммы. Но, вот пример вычисления суммы этого бесконечного ряда.

Сумма натуральных чисел

Типичные ошибки этих вычислений приведены в примере выше. Не выполнена проверка решения: исходный ряд с, умноженный на минус три, равен:

Проверка решения

Вывод

Все приведенные выше способы нахождения суммы бесконечного ряда являются не чем иным, чем подгонкой решения под заданный результат. Никто не мешает математикам устанавливать собственные правила виртуальных игр в числа. Но применение подобных результатов «вычислений» в законах физики приводит к неправильному их пониманию. Например, числовой коэффициент, обусловленный каким-либо физическим параметром или просто поправочный коэффициент, трактуется как сумма какого-нибудь бесконечного ряда. Примером ошибочного истолкования числовых коэффициентов будет следующее утверждение: площадь прямоугольного треугольника равна сумме ряда Гранди, умноженному на произведение его катетов.

Перестановка слагаемых в бесконечных суммах

В прошлый раз я рассказывал, как математики обманывают маленьких детей. Сейчас я покажу, как они обманывают взрослых. То, что вы увидите - это не математика, это обычный трюк иллюзионистов, математический фокус.

В статье «Что не так с перестановкой слагаемых?» приводится пример бесконечной суммы, якобы доказывающий, что итоговая сумма зависит от порядка сложения. Рассмотрим этот пример с более тщательным соблюдением правил записи математических выражений.

Перестановка слагаемых в бесконечных суммах

В первой строке представлена исходная бесконечная сумма, состоящая из шести скобок – по три слагаемых в каждой скобке. Общее количество слагаемых равно 18, итоговая сумма выражения равна нулю. Всё математическое выражение можно разделить на две группы: видимая часть выражения, представленная 18-тью слагаемыми и невидимая часть выражения, состоящая из бесконечного количества скобок, по три слагаемых в каждой скобке. Эти две части разделяет троеточие бесконечности. Обе части равняются нулю.

Во второй строке представлены те же 18 слагаемых после перестановки. Первые три пары слагаемых будут в дальнейшем представлены в видимой части выражения. Фигурными скобками выделена компенсирующая группа слагаемых.

В третьей строке шесть слагаемых видимой части остаются без изменений. Компенсирующая группа, после упрощения выражения, представлена тремя слагаемыми. Итоговый результат после перестановки слагаемых не изменился и по-прежнему равен нулю.

Четвертая строка не имеет к математике отношения. Это обычный фокус иллюзиониста, спрятавшего компенсирующую группу слагаемых в рукав бесконечности (невидимая часть выражения). Цель этого трюка – убедить доверчивых зрителей в «правдивости» ложного утверждения об изменении итоговой суммы после перестановки слагаемых. Да, так поступают карточные шулеры - прячут карту в рукав или достают её оттуда. В цырке подобный трюк называют фокусом иллюзиониста. На юридическом язые это называтся мошенничество.

Можно привести и более грубый пример перестановки слагаемых в данном выражении. Если в видимой части выражения показать слагаемые только с одним знаком, у зрителей неизбежно возникнет вопрос, куда подевались слагаемые с противоположными знаками, а это явно затруднит демонстрацию фокуса.

Перестановку слагаемых в бесконечных суммах наглядно демонстрирует принцип сообщающихся сосудов. Первый сосуд – это видимая часть выражения. Второй сосуд – это невидимая часть выражения, включающая компенсирующую группу слагаемых. Троеточие бесконечности – это соединительный патрубок между сосудами. Итоговая сумма выражения – это общий объем жидкости в двух сосудах. Поскольку в нашем математическом примере итоговая сумма равна нулю, то применительно к сообщающимся сосудам, мы рассматриваем первоначальный общий уровень жидкости в сосудах, как ноль относительной системы координат. Изменение количества или величины слагаемых в видимой части выражения будет приводить к изменению количества или величины слагаемых в компенсирующей группе.

Если последнее выражение рассматривать без невидимой компенсирующей группы слагаемых, тогда это будет не результат перестановки слагаемых, а совсем другая бесконечная сумма, содержащая только часть слагаемых из первоначального выражения и никак с ним не связанная. Доказательством этого факта является разная итоговая сумма двух выражений.

В продолжение начатой темы: "Математические действия с бесконечными рядами".

Перестановка слагаемых

Со школьной скамьи всем нам известно правило, появившееся ещё в древности: от перестановки мест слагаемых сумма не меняется. Об этом матемаики никогда не говорят, но по умолчанию подразумевается, что количество слагаемых и их величина после перестановки остаются неизменными. Если мы изменим количество слагаемых или изменим величину хотя бы одного из них, о перестановке слагаемых уже не может быть речи. В этом случае мы перешли от одной суммы к совершенно другой сумме и эти две суммы никак между собой не связаны.

Но математики утверждают, что после перемены слагаемых сумма может меняться. Даже конкретные "примеры" из жизни приводят. В статье «Что не так с перестановкой слагаемых?», рассчитанной на младших школьников, приводится несколько примеров, якобы доказывающих, что сумма зависит от порядка сложения. При этом матемаики сами не понимают, что же именно они делают. Давайте рассмотрим эти "примеры" более внимательно.

Покупка в ювелирном магазине

Вы приходите в ювелирный магазин. Просите продать вам коробочку для перстня за 100 рублей и перстень за 100 000 рублей. Общая сумма равна 100 100 рублей. Но если вы купите сперва перстень а потом согласитесь на упаковку этого перстня, "то цена покупки может оказаться больше, например 100 тысяч 500 рублей!" (цитирую шедевр математической мысли из оригинала). Что же фактически сделали математики? Они изменили величину одного из слагаемых. Ведь "коробочка для перстня" и "упаковка" - это совершенно разные вещи, если они имеют разную цену. Слагаемое «упаковка», скорее всего, включает в себя: «коробочка_для_перстня + декоративная_коробочка + лента_с_бантиком + пакетик».

Перестановка слагаемых

Покупка на рынке

На рынке продаются апельсины и яблоки по одинаковой цене 100 рублей за килограм. Вы покупаете одно яблоко за 10 рублей и тонну апельсин за 100 000 рублей. Общая сумма равна 100 010 рублей. "Если же вы берете тонну апельсинов, да еще просите добавить туда одно яблоко, «они ведь по одной цене», то получите то же самое, скорее всего, «всего лишь» за 100 000 рублей." (цитирую ещё один шедевр математической мысли). Сумма «яблоко + 1_тонна_апельсин» превращается в другую сумму «1_тонна_апельсин + ноль». Здесь после перестановки одно слагаемое исчезло, что привело к другому результату. Можно предположить, что из тонны взяли один апельсин и заменили его одним яблоком. Либо одно яблоко было подарено бесплатно в качестве бонуса за крупную покупку. Но это уже психология рынка, а не математика.

Вот так взрослые математики обманывают маленьких деток. Но это ещё не всё. Обманывают математики не только маленьких, но и взрослых. Как они это делают? Для этого мы отправимся в цирк и посмотрим на выступление иллюзионистов от математики. Естественно, с разобласением секрета фокуса.

Квадратура круга

Квадратура круга. Решение задачи. Почти точное. Математический розыгрыш.

Квадратура круга. Решение задачи. Почти точное.

Это построение не является решением задачи о квадратуре круге, но оно заставило меня взять в руки математику и выполнить все проверочные вычисления. Если правильное решение должно давать отрезок длиной 1,77245 радиуса, то длина красного отрезка на рисунке составляет 1,78885 радиуса. Чуть-чуть больше, чем необходимо. Насколько больше? Отрезок превышает необходимую длину на 0,9253% или на 0,01640 радиуса. Площадь квадрата со сторонами, равными длине этого отрезка, на 1,8592% больше площади круга.

Как этим пользоваться? Для дружеского розыгрыша любителей математики. Строите квадрат со сторонами, равными десяти сантиметрам. В квадрат вписываете окружность радиусом 5 сантиметров. Проводите линию, как показано на рисунке и предлагаете линейку для измерения длины полученного отрезка. Она будет равна 8,9 сантиметра. При помощи калькулятора вычисляете площадь круга, которая равна 78,54 квадратных сантиметра. Площадь квадрата со сторонами в 8,9 сантиметра равна 79,21 квадратных сантиметра. Такое расхождение можно объяснить низкой точностью измерений при помощи линейки. Лично я после таких грубых расчетов сел за проверку решения.

Не рекомендую так шутить со своими учителями или преподавателями математики - они могут заставить вас выполнить все проверочные расчеты для опровержения этого решения задачи о квадратуре круга. Неразрешимость этой задачи доказал немецкий математик Линдеман ещё в 1882 году. Впрочем, я уже давно отношусь с очень большим недоверием ко многим доказательствам математиков.

Знак больше и меньше

Я не буду здесь рассказывать вам, что такое знак больше и меньше, я расскажу вам, как их запомнить. В далекие-далекие времена, когда я был маленьким и учился в школе, этому нас научила учительница. Даже став взрослым, я всегда, при необходимости, пользовался этим способом.

Правой рукой мы всегда делаем больше, чем левой. Если мы согнем правую руку в локте и поднимем над головой, мы получим знак "БОЛЬШЕ". Левой рукой мы делаем меньше. Согнутая и поднятая левая рука даст нам знак "МЕНЬШЕ". Локоть правой руки смотрит в ту же сторону, куда направлено острие знака больше. Вот как это выглядит на картинке.

Знак больше и меньше

Действительно, согнутая в локте рука очень похожа на символ больше и меньше. Даже не обязательно поднимать руку. И эта шпаргалка всегда будет с вами. Ну, разве что математики вам руки отрубят.

Если вы левша и левой рукой делаете больше, чем правой? Как тогда быть? У вас два варианта. Либо вы рассуждаете также, как и все и у вас не будет проблем с математикой. Либо вы пишите свою "математику для левшей" и математики будут от вас просто в шоке.