Перестановка слагаемых в бесконечных суммах

В прошлый раз я рассказывал, как математики обманывают маленьких детей. Сейчас я покажу, как они обманывают взрослых. То, что вы увидите - это не математика, это обычный трюк иллюзионистов, математический фокус.

В статье «Что не так с перестановкой слагаемых?» приводится пример бесконечной суммы, якобы доказывающий, что итоговая сумма зависит от порядка сложения. Рассмотрим этот пример с более тщательным соблюдением правил записи математических выражений.

Перестановка слагаемых в бесконечных суммах

В первой строке представлена исходная бесконечная сумма, состоящая из шести скобок – по три слагаемых в каждой скобке. Общее количество слагаемых равно 18, итоговая сумма выражения равна нулю. Всё математическое выражение можно разделить на две группы: видимая часть выражения, представленная 18-тью слагаемыми и невидимая часть выражения, состоящая из бесконечного количества скобок, по три слагаемых в каждой скобке. Эти две части разделяет троеточие бесконечности. Обе части равняются нулю.

Во второй строке представлены те же 18 слагаемых после перестановки. Первые три пары слагаемых будут в дальнейшем представлены в видимой части выражения. Фигурными скобками выделена компенсирующая группа слагаемых.

В третьей строке шесть слагаемых видимой части остаются без изменений. Компенсирующая группа, после упрощения выражения, представлена тремя слагаемыми. Итоговый результат после перестановки слагаемых не изменился и по-прежнему равен нулю.

Четвертая строка не имеет к математике отношения. Это обычный фокус иллюзиониста, спрятавшего компенсирующую группу слагаемых в рукав бесконечности (невидимая часть выражения). Цель этого трюка – убедить доверчивых зрителей в «правдивости» ложного утверждения об изменении итоговой суммы после перестановки слагаемых. Да, так поступают карточные шулеры - прячут карту в рукав или достают её оттуда. В цырке подобный трюк называют фокусом иллюзиониста. На юридическом язые это называтся мошенничество.

Можно привести и более грубый пример перестановки слагаемых в данном выражении. Если в видимой части выражения показать слагаемые только с одним знаком, у зрителей неизбежно возникнет вопрос, куда подевались слагаемые с противоположными знаками, а это явно затруднит демонстрацию фокуса.

Перестановку слагаемых в бесконечных суммах наглядно демонстрирует принцип сообщающихся сосудов. Первый сосуд – это видимая часть выражения. Второй сосуд – это невидимая часть выражения, включающая компенсирующую группу слагаемых. Троеточие бесконечности – это соединительный патрубок между сосудами. Итоговая сумма выражения – это общий объем жидкости в двух сосудах. Поскольку в нашем математическом примере итоговая сумма равна нулю, то применительно к сообщающимся сосудам, мы рассматриваем первоначальный общий уровень жидкости в сосудах, как ноль относительной системы координат. Изменение количества или величины слагаемых в видимой части выражения будет приводить к изменению количества или величины слагаемых в компенсирующей группе.

Если последнее выражение рассматривать без невидимой компенсирующей группы слагаемых, тогда это будет не результат перестановки слагаемых, а совсем другая бесконечная сумма, содержащая только часть слагаемых из первоначального выражения и никак с ним не связанная. Доказательством этого факта является разная итоговая сумма двух выражений.

Перестановка слагаемых

Со школьной скамьи всем нам известно правило, появившееся ещё в древности: от перестановки мест слагаемых сумма не меняется. Об этом матемаики никогда не говорят, но по умолчанию подразумевается, что количество слагаемых и их величина после перестановки остаются неизменными. Если мы изменим количество слагаемых или изменим величину хотя бы одного из них, о перестановке слагаемых уже не может быть речи. В этом случае мы перешли от одной суммы к совершенно другой сумме и эти две суммы никак между собой не связаны.

Но математики утверждают, что после перемены слагаемых сумма может меняться. Даже конкретные "примеры" из жизни приводят. В статье «Что не так с перестановкой слагаемых?», рассчитанной на младших школьников, приводится несколько примеров, якобы доказывающих, что сумма зависит от порядка сложения. При этом матемаики сами не понимают, что же именно они делают. Давайте рассмотрим эти "примеры" более внимательно.

Покупка в ювелирном магазине

Вы приходите в ювелирный магазин. Просите продать вам коробочку для перстня за 100 рублей и перстень за 100 000 рублей. Общая сумма равна 100 100 рублей. Но если вы купите сперва перстень а потом согласитесь на упаковку этого перстня, "то цена покупки может оказаться больше, например 100 тысяч 500 рублей!" (цитирую шедевр математической мысли из оригинала). Что же фактически сделали математики? Они изменили величину одного из слагаемых. Ведь "коробочка для перстня" и "упаковка" - это совершенно разные вещи, если они имеют разную цену. Слагаемое «упаковка», скорее всего, включает в себя: «коробочка_для_перстня + декоративная_коробочка + лента_с_бантиком + пакетик».

Перестановка слагаемых

Покупка на рынке

На рынке продаются апельсины и яблоки по одинаковой цене 100 рублей за килограм. Вы покупаете одно яблоко за 10 рублей и тонну апельсин за 100 000 рублей. Общая сумма равна 100 010 рублей. "Если же вы берете тонну апельсинов, да еще просите добавить туда одно яблоко, «они ведь по одной цене», то получите то же самое, скорее всего, «всего лишь» за 100 000 рублей." (цитирую ещё один шедевр математической мысли). Сумма «яблоко + 1_тонна_апельсин» превращается в другую сумму «1_тонна_апельсин + ноль». Здесь после перестановки одно слагаемое исчезло, что привело к другому результату. Можно предположить, что из тонны взяли один апельсин и заменили его одним яблоком. Либо одно яблоко было подарено бесплатно в качестве бонуса за крупную покупку. Но это уже психология рынка, а не математика.

Вот так взрослые математики обманывают маленьких деток. Но это ещё не всё. Обманывают математики не только маленьких, но и взрослых. Как они это делают? Для этого мы отправимся в цирк и посмотрим на выступление иллюзионистов от математики. Естественно, с разобласением секрета фокуса.

Квадратура круга

Квадратура круга. Решение задачи. Почти точное. Математический розыгрыш.

Квадратура круга. Решение задачи. Почти точное.

Это построение не является решением задачи о квадратуре круге, но оно заставило меня взять в руки математику и выполнить все проверочные вычисления. Если правильное решение должно давать отрезок длиной 1,77245 радиуса, то длина красного отрезка на рисунке составляет 1,78885 радиуса. Чуть-чуть больше, чем необходимо. Насколько больше? Отрезок превышает необходимую длину на 0,9253% или на 0,01640 радиуса. Площадь квадрата со сторонами, равными длине этого отрезка, на 1,8592% больше площади круга.

Как этим пользоваться? Для дружеского розыгрыша любителей математики. Строите квадрат со сторонами, равными десяти сантиметрам. В квадрат вписываете окружность радиусом 5 сантиметров. Проводите линию, как показано на рисунке и предлагаете линейку для измерения длины полученного отрезка. Она будет равна 8,9 сантиметра. При помощи калькулятора вычисляете площадь круга, которая равна 78,54 квадратных сантиметра. Площадь квадрата со сторонами в 8,9 сантиметра равна 79,21 квадратных сантиметра. Такое расхождение можно объяснить низкой точностью измерений при помощи линейки. Лично я после таких грубых расчетов сел за проверку решения.

Не рекомендую так шутить со своими учителями или преподавателями математики - они могут заставить вас выполнить все проверочные расчеты для опровержения этого решения задачи о квадратуре круга. Неразрешимость этой задачи доказал немецкий математик Линдеман ещё в 1882 году. Впрочем, я уже давно отношусь с очень большим недоверием ко многим доказательствам математиков.

Знак больше и меньше

Я не буду здесь рассказывать вам, что такое знак больше и меньше, я расскажу вам, как их запомнить. В далекие-далекие времена, когда я был маленьким и учился в школе, этому нас научила учительница. Даже став взрослым, я всегда, при необходимости, пользовался этим способом.

Правой рукой мы всегда делаем больше, чем левой. Если мы согнем правую руку в локте и поднимем над головой, мы получим знак "БОЛЬШЕ". Левой рукой мы делаем меньше. Согнутая и поднятая левая рука даст нам знак "МЕНЬШЕ". Локоть правой руки смотрит в ту же сторону, куда направлено острие знака больше. Вот как это выглядит на картинке.

Знак больше и меньше

Действительно, согнутая в локте рука очень похожа на символ больше и меньше. Даже не обязательно поднимать руку. И эта шпаргалка всегда будет с вами. Ну, разве что математики вам руки отрубят.

Если вы левша и левой рукой делаете больше, чем правой? Как тогда быть? У вас два варианта. Либо вы рассуждаете также, как и все и у вас не будет проблем с математикой. Либо вы пишите свою "математику для левшей" и математики будут от вас просто в шоке.

2 в ноль пятой степени

Сколько будет 2 в ноль пятой степени? Вопрос с подвохом, как и всё то, что придумывают для нас математики. Если кратко, преобразования выглядят вот так.

2 в ноль пятой степени

 

А теперь разберемся более подробно в логике математиков.Возведение числа в целую степень - это умножение этих чисел. Возведение числа в дробную степень - это извлечение корня из числа, при этом число в знаменателе показывает, корень какой степени нужно найти. А вот саму дробь можно записать и в виде десятичной дроби, и в виде обычной дроби. Засыпаем всё это в горшок, тщательно перемешиваем и математический ребус для учебника готов.

Разгадывать этот ребус нужно в следующем порядке. Переводим десятичную дробь ноль пять в обычную дробь и получаем одну вторую. Вот теперь мы число 2 с показателем дробной степени можем записать как квадратный корень из двух и вычислить его значение.

Для закрепления пройденного материала, рассмотрим ещё парочку простых примеров.

4 в ноль пятой степени

4 в ноль пятой степени - это тоже самое, что и 4 в степени одна вторая. Четыре в степени одна вторая - это квадратный корень из 4. Извлекая квадратный корень из четырех, мы получаем два.

25 в ноль пятой степени

После рассмотрения двух предыдущих примеров, 25 в ноль пятой степени для нас не представляют никого труда. Как заправские шаманы, мы ноль пять превращаем в одну вторую, извлекаем квадратный корень из 25 и получаем такой желанный результат - корень из двадцати пяти равен пять.

Зачем все эти пляски шаманов с бубнами? У этой математической медали есть две стороны. Лицевая сторона - математики учат нас пользоваться математикой. Обратная сторона медали -  если математики будут просто и ясно выражать свои мысли на языке математики, тогда они не будут казаться нам такими умными, а мы сами не будем выглядеть такими дураками.

101 в кубе. Как не надо делать.

Как найти 101 в кубе, используя формулы сокращенного умножения? Я уже показывал, как при помощи формулы куба суммы можно вычислить сто один в кубе. Там я одно число 101 представил в виде суммы двух чисел 100 и 1. Использование более простых (более удобных в вычислениях) чисел облегчает вычисление.

На просторах Интернета я увидел другой пример применения формул сокращенного умножения, а именно сумму и разность кубов. Предупреждаю сразу, так не надо делать. Для нахождения 101 в кубе там берут числа 101 и 100. Вот как это выглядит.

101 в кубе. Как не надо делать.

Почему так не надо делать для нахождения 101 в кубе? Сейчас я вам покажу. Я не буду брать числа 101 и 100, я возьму другую пару: число 101, куб которого нам нужно найти, и ноль (у меня уже язык не поворачивается называть ноль числом). Смотрите, что получилось у меня.

101 в кубе. Убираем мусор.

При помощи нуля я убрал из вычислений весь математический мусор. Ведь вместо двух умножений (это возведение числа в куб) какой-то умник нам предлагает выполнять ещё четыре умножения и четыре сложения или вычитания. С чем это можно сравнить? Все знают, что из одной комнаты в другую, соседнюю, можно пройти через дверь. Но вот нашелся человек, который предлагает вылезть в окно в одной комнате и залезть в окно в другой комнате. Да, так можно можно сделать, но зачем?

Я понимаю, что когда математикам делать нечего, они занимаются вычислениями, но лучше бы они брали пример с котов.

Сто один в кубе

Сегодня мы разберем пример, как при помощи формул сокращенного умножения можно найти сто один в кубе. Другими словами, как число 101 возвести в третью степень при помощи формулы сокращенного умножения.

В комментариях раздался вот такой крик о помощи:

Помогите пожалуйста, задача (пример) из физ-мата 8 класс:

101^3

Я не понимаю, как это решить с помощью формул сокращённого умножения.

Возвести число 101 в куб очень просто - нужно набрать число 101 на калькуляторе и два раза умножить на такое же число 101.

101^3=101*101*101=1030301

Если под рукой нет калькулятора (мало ли, телефон только что украли), то можно вычислить на бумажечке в столбик (картинка будет в конце, как проверка и калькулятора, и формулы).

Применяем формулу сокращенного умножения.

В условии задачи сказано, что нужно не просто найти куб числа 101, а применить для этого формулу сокращенного умножения. По мнению учителей математики, эти формулы должны знать все. Наивные. А если вы не знаете, где её взять?

Можно поискать в Интернете по запросу формулы сокращенного умножения. Есть у меня прямо здесь такая страница, если она не нравится - Гугл вам в помощь. Можно эти формулы найти в справочнике по математике, в учебнике по математике за какой-то там класс (врать не буду, а искать лень), можно спросить у знахарая-одноклассника, который знает формулы сокращенного умножения наизусть. Нужная нам формула сокращенного умножения называется "Куб суммы". Ниже вы её увидите.

И теперь ответ на самый каверзный вопрос: как из одного числа получить сумму чисел? Нужно это число разложить на слагаемые. С точки зрения математики, количество слагаемых может быть любое, но... Формулы сокращенного умножения для возведения суммы в куб я нашел только для двух и трех слагаемых. Формула куба суммы трех слагаемых - это просто лютая жесть. А вот куб суммы двух слагаемых выглядит даже симпатично. Основной принцип разложения на слагаемые для применения формул сокращенного умножения заключается в том, чтобы числа можно было легко перемножать в уме, не используя калькулятор. Для числа 101 самым лучшим вариантом будет 101=100+1. Сто и единичку без проблем можно перемножать в уме. Давайте посмотрим, что у нас получится.

Сто один в кубе

Не знаю как вы, но я без бумажки обойтись не смог. Да, записывал я всё в строчку, а не в столбик, но тем не менее. И в заключение, выполним проверку нашего решения, умножив в столбик на бумажке.

Сто один в кубе в столбик

Ну, как-то так. Зачем всё это нужно вам? Чтобы вы знали, что умножать можно не только на калькуляторе или в столбик, но иногда можно эффективно применять и формулы сокращенного умножения. Если, конечно, вы их знаете.