четверг, 29 марта 2012 г.

Почему умножение первое?

Вот какой интересный вопрос о порядке выполнения математических действий мне задали:

меня зовут Александр. меня подруга замучала вопросом почему умножение делается раньше сложения? например почему 1+2*3=7 а не 9 я просто не знаю как объяснить, просто знаю что 7 и всё!!))))

Традиционный ответ на этот вопрос будет звучать приблизительно так: правила математики гласят - сперва выполняется умножение, потом сложение. Нам нужно просто делать то, чему нас учат наши учителя, соблюдать математические правила и мы получим правильный результат. В математике абстрагирование от конкретных условий приводит к потере смысла выполняемых действий.

Так всё же почему умножение выполняется первое, а только потом сложение? Ответ довольно прост. При умножении двух разных единиц измерения получается новая единица измерения, при сложении единицы измерения не меняются. При умножении мы получаем эту самую новую единицу измерения. Если она такая же, как и у первого слагаемого, тогда мы можем выполнить сложение.

Вот задача, которая хорошо иллюстрирует сказанное. У нас имеется геометрическая фигура площадью 1 квадратный сантиметр. К ней прибавили прямоугольник размером 2 на 3 сантиметра. Какая общая площадь двух фигур? Если вы захотите к одному квадратному сантиметру прибавить два сантиметра стороны прямоугольника, то у вас ничего не получится. Нельзя сложить две величины с разными единицами измерения. Если вы умножите стороны прямоугольника, тогда вы получите его площадь. Площадь с площадью можно сложить и получить результат - 7 квадратных сантиметров составляет общая площадь двух фигур.

По умолчанию, в математике считается, что если между числами записан знак математического действия, значит это действие можно выполнять. Отсутствие единиц измерения превращает математику в бессмысленную детскую игру в числа.

среда, 14 марта 2012 г.

Объем прямоугольного параллелепипеда

Сегодня мы решим одну задачу и найдем объем прямоугольного параллелепипеда. Для начала посмотрим, что это за математический зверь такой - прямоугольный параллелепипед. Вот как он выглядит.

Прямоугольный параллелепипед. Что такое прямоугольный параллелепипед картинка. Вершина, ребро и грань параллелепипеда. Математика 5 класс, геометрия. Математика для блондинок.
Как видите, прямоугольный параллелепипед скорее похож на клетку для зверей, чем на самого зверя. Математики считают, что живет этот параллелепипед в геометрии, в 5 классе. Они просто забыли, что в детском садике параллелепипед был одной из их игрушек. Детский кубик - это тоже прямоугольный параллелепипед, у которого все грани равной длины. У параллелепипеда есть 8 вершин, 12 ребер и 6 граней. Это трехмерная (или объемная) фигура. Двухмерные грани, одномерные ребра и точки вершин обозначают границы трехмерного пространства, которое заключено внутри параллелепипеда. Прямоугольным эту геометрическую фигуру называют потому, что все углы в нем прямые - равные 90 градусов или пи/2. Внутренне пространство этой клетки называется объемом. Кстати, мы очень любим сажать друг друга в клетки параллелепипедов. Или прятаться внутри них - комнаты часто имеют форму параллелепипедов. Стены, пол и потолок - так мы называем грани комнаты. Ребра мы называем углами, нижние ребра мы стыдливо прячем за плинтус, верхние ребра или выставляем на показ, или украшаем потолочным багетом. Точки, в которых пересекаются углы комнаты, являются вершинами параллелепипеда, в котором мы живем. Ой, что-то мы сильно отвлеклись на экскурсию по достопримечательностям параллелепипеда, давайте посмотрим, как нужно считать его объем.

Объем прямоугольного параллелепипеда 5 класс. 1см3 - один сантиметр в кубе, кубический сантиметр. Размеры параллелепипеда. Математика для блондинок.
Общий объем параллелепипеда состоит из маленьких кубиков единиц измерения объема, который на рисунке измеряется в кубических сантиметрах. Измерять объем можно и в других единицах измерения - кубических метрах (например, объем комнаты), кубических километрах (когда будем мерить планету), литрах (жидкости, но моря и океаны лучше измерять в кубических километрах). Объемы звездных систем и галактик можно мерить в кубических световых годах. Интересно, а в чем лучше измерять объемы разных вселенных? Как вы видите, любой трехмерный объем является умножением трех перпендикулярных единиц измерения длины. У прямоугольного параллелепипеда три ребра всегда перпендикулярны в вершинах. Длина таких ребер называется линейными размерами или измерениями прямоугольного параллелепипеда.

Объем прямоугольного параллелепипеда 5 класс. Формула объема и измерения размеров параллелепипеда. Математика для блондинок.
Если избрать единицу измерения и количество этих единиц в каждом из трех измерений, тогда легко можно высчитать объем прямоугольного параллелепипеда по формуле - перемножить все три линейных (перпендикулярных) размера.

Объем прямоугольного параллелепипеда 5 класс. Пример вычисления объема прямоугольного параллелепипеда. Математика для блондинок.
Математики никогда не обращают на это особого внимания, но нужно не забывать, что во всех трех направлениях единицы измерения длины должны быть одинаковыми. Если у какой-то штучки один размер значительно больше двух других размеров, то тогда такую штучку мы меряем в погонных метрах. Например, железнодорожные рельсы лучше измерять в погонных метрах (километрах), а не в единицах измерения объема. С математической точки зрения, один погонный метр - это единица измерения объемных тел, двумя размерами которых можно пренебречь.

Объем прямоугольного параллелепипеда. Длина, ширина, высота, формула вычисления объема прямоугольного параллелепипеда. Математика для блондинок.
Как видно из рисунка, одним и тем же единицам измерения длины мы присваиваем разные названия. Этим мы уточняем пространственную ориентацию нашего параллелепипеда. Длина и ширина располагаются внизу, при этом длина обычно больше ширины. Высоту мы отмеряем вверх. Все эти названия являются относительными. Если поставить наш параллелепипед на другую грань, названия сторон могут поменяться - длина или ширина превратится в высоту. Объем параллелепипеда не зависит от названий его размеров, поскольку при нахождении объема используются все три линейных размера.

Таким образом, объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты (произведению трех линейных размеров). Как бы мы этот параллелепипед не крутили. Числовое выражение объема зависит от тех единиц измерения, в которых мы выражаем размеры этой геометрической фигуры. В полном соответствии с теоремой Пифагора, все единицы измерения размеров должны быть одинаковы. Возможно, это и звучит, как нравоучение несмышлёным детишкам, но математики считают математику абстрактной наукой именно потому, что они не всегда понимают, что именно, когда и как они делают.

Объем прямоугольного параллелепипеда. Другая формула вычисления объема. Умножение площади основания на высоту. Математика для блондинок.
На этой картинке представлена другая формула. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту. Точнее, площади одной грани умноженной на перпендикулярный размер. Покрутите параллелепипед - у вас основанием каждый раз будет какая-то другая грань, при этом высота так же будет меняться. Крутить параллелепипед совсем не обязательно, достаточно вычислить площадь любой его грани (основания, боковой или торцевой грани) и умножить на перпендикулярный размер: основание на высоту, боковую площадь на ширину, торцевую площадь на длину. Во всех случаях результат будет одинаковым.

Нахождение объема через площадь грани и перпендикулярный размер не является каким-то научным открытием. Это всего лишь констатация того факта, что мы не можем одновременно выполнить два математических действия умножения между тремя размерами. Сперва мы берем два перпендикулярных размера и умножаем их между собой - получается площадь. Потом эту площадь мы умножаем на третий размер - получается объем. Переместительный закон (или коммутативность) умножения и порядок выполнения математических действий являются родителями второй формулы вычисления объема параллелепипеда. (При этом важно отличать линейные размеры от их симметричных отражений. Умножив площадь основания на один из размеров этого основания, вы получите единицы измерения объема, но не получите объем самого параллелепипеда.)

Когда эта формула важна? Ну, например, ваши разведчики во вражеском тылу выкрали сверхсекретное значение площади основания параллелепипеда. Теперь вам просто нужно продолжить вычисление - умножить эту площадь на высоту. Тот объем, который известен врагам, теперь знаете и вы. А если серьезно, то площадь боковой грани можно найти по другой формуле площади прямоугольника - по длине диагонали и синусу угла между ними. Вам уже не нужно находить размеры этой грани, умножаете площадь на третий размер и объем у вас в руках. Этот принцип можно использовать при нахождении объемов любых геометрических фигур с любым количеством измерений. Достаточно четко понимать,на каком этапе вычислений вы находитесь и что вам ещё осталось сделать. Например, зная трехмерный объем, для нахождения объема шестимерного, вам нужно будет умножить его еще на три длины в недостающих измерениях. Ваши метры кубические превратятся в метры в шестой степени. При путешествии в шестимерное пространство не забывайте, что ваше собственное тело имеет всего три измерения. Нельзя в такое путешествие отправляться голышом, даже если вы одеты. Вам понадобится скин 3/4 для перехода в четырехмерное пространство, скин 4/5 для перехода из четырехмерного в пятимерное пространство и скин 5/6 для завершения перемещения в шестимерное пространство. В этом случае вы будете чувствовать себя приятно и комфортно в пространстве шести измерений. Правда, одновременное пребывание сразу в трех скинах может сопровождаться весьма своеобразными ощущениями.

Коль мы говорим о прямоугольном параллелепипеде, возможно, вам пригодятся некоторые другие сведения о нем.

Объем прямоугольного параллелепипеда. Площадь боковой поверхности, полная площадь поверхности, диагональ прямоугольного параллелепипеда. Математика для блондинок.
На этой картинке прямоугольный параллелепипед обзывается прямоугольной призмой. В математике главное не название, а смысл. Под призмой подразумевается два параллельных основания и высота, под параллелепипедом - три линейных размера. Для трехмерной фигуры не имеет принципиального значения, каким образом получается её объем, главное - что он есть.

Площадь боковой поверхности призмы равна периметру основания на высоту. А вот в этом случае крутить параллелепипед (он же прямая прямоугольная призма), категорически не рекомендуется. Для разных оснований будет разное значение площади боковой поверхности. Возможны три размера оснований и три значения площади боковой поверхности.

Полная площадь поверхности параллелепипеда равна удвоенной сумме площадей его перпендикулярных граней, по которым определяются линейные размеры. У параллелепипеда таких граней три - основание, боковая, торцевая.

Длина диагонали параллелепипеда определяется по основному тригонометрическому тождеству для многомерных пространств (или теореме Пифагора). Квадрат диагонали равен сумме квадратов линейных размеров параллелепипеда.

Наконец-то мы добрались до нашей задачи про нахождение объема. Нужно найти объем прямоугольного параллелепипеда, если площади трех граней у него равны 12, 15 и 20 сантиметров квадратных.

Объем прямоугольного параллелепипеда. Задача найти объем, если известны площади боковых граней. Математика для блондинок.
Поскольку все площади граней разные, значит по ним можно определить линейные размеры. Пойдем традиционным путем. Составляем уравнения площадей этих граней. Получаем систему трех уравнений с тремя неизвестными. Решаем эту систему, находим линейные размеры прямоугольного параллелепипеда, затем вычисляем его объем.

Объем прямоугольного параллелепипеда. Пример вычисления объема. Решение задачи на объем. Математика для блондинок.
Как следует из решения, точно такой прямоугольный параллелепипед мы рассматривали на картинках выше.

Но лично мне нравится другое, более простое и изящное, решение. Если мы возведем объем в квадрат и извлечем из него квадратный корень - объем останется прежним. Распишем объем в виде произведения линейных размеров. Используем коммутативность умножения и перегруппируем сомножители. Видите, под квадратным корнем оказывается произведение данных нам по условию площадей. Если мы перемножим площади, мы получим сантиметры в шестой степени - то шестимерное пространство, для прогулки по которому нам необходимо аж три скина. Если мы из сантиметров в шестой степени извлечем квадратный корень, мы получим нужный нам объем прямоугольного параллелепипеда.

Объем прямоугольного параллелепипеда. Нахождение объема через площади. Пример решения задачи по геометрии. Математика для блондинок.
Этот фокус можно использовать при определении объемов фигур с любым количеством измерений. Объем многомерной геометрической фигуры можно определять по составляющим её элементам с меньшим количеством измерений. Главное, необходимо следить, чтобы линейные размеры получались в одинаковой степени. Например, четырехмерный объем гиперкуба можно определить как произведение четырех его линейных размеров abcd, произведение двух двумерных площадей (ab)(cd), корень кубический из произведения четырех трехмерных объемов (abc)(bcd)(abd)(cda) и так далее.

Картинки нагло взяты с сайта 900 игр, да простит меня Математика.

Если вам понравилась публикация и вы хотите знать больше, помогите мне в работе над другими материалами.

воскресенье, 11 марта 2012 г.

Теорема Пифагора

Здесь мы не будем рассматривать доказательство теоремы Пифагора. Доказательств много и вы их без труда найдете. Сегодня мы рассмотрим преобразование теоремы Пифагора из тригонометрического вида в другие виды с применением различных единиц измерения. Такие исследования математических свойств разных единиц измерения должны быть неотъемлемой частью математики. К сожалению, никто нас этому не учат. Но если вы хотите понимать математику, вы должны это знать.

Прежде всего, отметим те существенные моменты, которые влияют на применение теоремы Пифагора к окружающей действительности:

1. Две единицы измерения должны быть перпендикулярны.
2. Перпендикулярные единицы измерения должны быть одинаковыми.


Если две перпендикулярные единицы измерения будут разными, мы не сможем выполнить их сложение. Таковы правила сложения, которым нас учат в самом раннем возрасте и которые потом нас учат напрочь забывать. По умолчанию принято считать, что если между числами мы поставили знак плюс или минус, то эти числа имеют одинаковые единицы измерения. Весь окружающий мир не превращается в бесформенную серую массу потому, что даже одно число может иметь бесконечное множество единиц измерения. Именно единицы измерения удерживают разные величины от сложения в одно целое.

Тригонометрическая форма теоремы Пифагора, которую мы называем основным тригонометрическим тождеством, является формой записи теоремы Пифагора без единиц измерения. Это один из основных математических законов, который при введении разных единиц измерения превращается в разные физические законы.

Произведем преобразования основного тригонометрического тождества так, что бы мы могли потом подставлять любые единицы измерения и получать результат. Для этого введем нейтральные элементы в эту формулу.

Теорема Пифагора. Тригонометрический вид теоремы пифагора. Основное тригонометрическое тождество. Математика для блондинок.
Почему единица возведена в квадрат? Потому, что в математике так писать не принято, но это объясняет смысл того, что будет происходить дальше. Теперь мы приравниваем нашу единицу к длине гипотенузы прямоугольного треугольника и получаем теорему Пифагора в классическом виде - сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Теорема Пифагора. Превращение основного тригонометрического тождества в теорему Пифагора для треугольника. Геометрия теорема Пифагора формула. Математика для блондинок.
Заметьте, не имеет значения, что мы будем называть синусом, а что косинусом. Не имеет значения, какой из двух острых углов мы возьмем - теорема Пифагора работает для двух этих углов одинаково. Главным является то, что сумма квадратов отношений гипотенузы к катетам равна квадрату самой гипотенузы, всё остальное - это проявления относительности тригонометрических функций. Теорему Пифагора можно рассматривать как математическое доказательство переместительного закона (математики называют это коммутативностью) сложения - от перестановки слагаемых сумма не меняется. Коммутативность - ещё одно проявление относительности в математике.

Теперь посмотрим, что получится, если вместо единицы мы подставим радиус окружности.

Теорема Пифагора. Математика теорема Пифагора для радиуса окружности. Математика для блондинок.
Получается, что сумма квадратов координат точек окружности равна квадрату радиуса. Но, не нужно при этом забывать главное условие - центр окружности должен совпадать с центром декартовой системы координат. Если центр окружности и центр системы координат не совпадают, тогда это утверждение рассыпается, как карточный домик. Окружность и декартовы координаты - это две абсолютно независимые системы, которые могут располагаться, как угодно. Кто сказал, что центр окружности всегда должен совпадать с центром системы координат? Математики? Они пошутили.

Нужно обратить внимание ещё на один момент - знаки чисел. Теорема Пифагора их полностью игнорирует даже при наложении на окружность декартовой системы координат в классическом виде - с положительными и отрицательными направлениями. Возведение любого числа в квадрат полностью лишает это число знаковых признаков. Это свидетельствует о том, что в математике главным является само число, а не тот знак, который мы этому числу приписываем.

Дальше мы подставим вместо единицы длину отрезка.

Теорема Пифагора. Геометрия теорема Пифагора для отрезка. Математика для блондинок.
У нас получилось, что сумма квадратов проекций отрезка на оси прямоугольной системы координат равна квадрату длины отрезка. Я не зря подчеркнул, что система координат должна быть прямоугольной. Для косоугольной (аффинной) системы координат теорема Пифагора будет выглядеть по-другому. Взаимное положение отрезка и системы координат значения не имеет. Так же не имеет никакого значения, есть в системе координат отрицательные направления или нет. Проективные свойства пространства проявляются уже в момент возникновения самого пространства, до того, как в этом пространстве появляемся мы со своими знаками чисел. Кстати, в момент появления пространства возникает и симметрия, которая заставляет нас применять отрицательные числа, что бы мы могли различать симметричные явления. Есть ли у инопланетян отрицательные числа? Понятия не имею. Но знаю точно, что у них обязательно есть что-то, что помогает им адекватно отображать свое отношение к симметрии. Поэтому, когда встретитесь с ними, не сильно удивляйтесь, что они не понимают ваших рассказов о плюсах и минусах.

Теперь подведем маленький итог. Всё то, что мы с вами рассмотрели - гипотенуза треугольника, радиус окружности, отрезок - это различные названия одной и той же единицы измерения длины. Все перечисленные геометрические объекты измеряются в сантиметрах, метрах, километрах и так далее. Просто в разных ситуациях нас научили называть длину по-разному. В повседневной жизни это удобно, в математических операциях эти различия в названиях не имеют никакого значения, вы всегда имеете дело с длиной. Все рассмотренные нами разновидности теоремы Пифагора - это различные варианты записи одного и того же математического закона для двух перпендикулярных измерений длины.

В качестве следующей единицы измерения возьмем единицу измерения времени. Для времени теорема Пифагора будет выглядеть так:

Теорема Пифагора. Применение теоремы Пифагора для времени. Единицы измерения времени и теорема Пифагора. Математика для блондинок.
Сумма квадратов проекций времени на перпендикулярные направления равна квадрату самого времени. Естественно, здесь возникает целый ряд вопросов.

Существуют ли у времени перпендикулярные направления? Мы этого не знаем, но это совсем не означает, что у времени не может быть перпендикулярных направлений. Точно нам смогут ответить только физики. Думаю, на ближайшее тысячелетие им работы хватит.

Сколько измерений имеет время? Некоторые уверены, что одно. Некоторые высказывают предположение, что больше. Лично я рассуждаю так. У длины имеется минимум три пространственных измерения, в которых мы живем - длина, ширина, высота. У времени должно быть такое же количество измерений, как и у длины, иначе нарушаются основные математические принципы - симметрии и относительности.

Можно ли применить теорему Пифагора для времени? Да, можно. Совсем скоро я вам покажу то место, где разложение времени по теореме Пифагора будет смотреться очень естественно и логично.

Дальше рассмотрим другие единицы измерения. Для примера возьмем единицы измерения температуры и единицы измерения денег. Это точно такие же математические объекты, как и длина, но приметить теорему Пифагора к ним не возможно - эти единицы измерения не имеют точно таких же перпендикулярных единиц измерения. Посмотрите, что получается для температуры.

Теорема Пифагора. Применение теоремы Пифагора к единицам измерения температуры. Математика для блондинок.
И для денег. В качестве примера единиц измерения денег возьмем доллар.

Теорема Пифагора. Применение теоремы Пифагора к единицам измерения денег. Математика для блондинок.
Точно такая же картина вырисовывается, если мы будем пробовать подставлять в теорему Пифагора все другие, известные нам, единицы измерения. К ним теорема Пифагора не применима из-за отсутствия перпендикуляра у каждой из них. Следовательно, все эти единицы измерения обладают несколько иными математическими свойствами, чем длина и время - к ним нельзя применить тригонометрические зависимости, в том числе и теорему Пифагора.

В завершение наших исследований рассмотрим обратный процесс - превращение теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника в основное тригонометрическое тождество. Для этого разделим все элементы математического выражения на квадрат длины гипотенузы и выполним преобразования.

Теорема Пифагора. Преобразование теоремы Пифагора в основное тригонометрическое тождество. Тригонометрический вид теоремы Пифагора. Математика для блондинок.
Мы снова вернулись к тригонометрической форме теоремы Пифагора, с которой мы начинали.

В заключение хочу признаться, что совсем недавно я встречался с инопланетянами. Так вот, в процессе общения они нарисовали мне довольно странный рисунок. Вот он.

Теорема Пифагора. Инопланетяне рисуют теорему Пифагора. Математика для блондинок.
Что инопланетяне хотели этим сказать? Что они умеют рисовать палочки и кружочки? Как-то примитивно для них. Наверное, что-то другое. Инопланетяне умнее меня, ведь это они прилетели ко мне в гости, а не я к ним. Может быть, так выглядит их планета в комплексом пространстве двенадцати переменных? Знаете, наша планета в трех реальных измерениях длины выглядит гораздо красивее.

пятница, 9 марта 2012 г.

Сколько будет 7 у 8?

После вопроса о лукоморье, переходим к не менее простому. Детский вопрос на знание таблицы умножения:

Сколько будет 7 у 8?

Правильный ответ: 56.

А вот наши ответы пестрят обилием возможных вариантов. Начиная от "Я в математике не силен, я юрист будущий" до "Дайте калькулятор, пожалуйста". Лично я предпочитаю всегда последний вариант. Ну, не выучил я, в свое время, таблицу умножения на 7 и на 8, каюсь. Для таких, как я, и придумали калькуляторы.

На мой взгляд, таблицу умножения нужно начинать учить с конца - начинать с 9 и заканчивать 2. Но тут опять могут возникнуть проблемы - мы начнем путаться в ответе на вопрос, сколько будет дважды два. Похоже, то, что изучается в начале, запоминается лучше, чем то, что учится в конце. Если не верите мне, посмотрите видеоролик, сюжет с таблицей умножения самый первый.

среда, 7 марта 2012 г.

Единицы измерения длины

В честь восьмого марта хочу сделать блондинкам маленький подарок (и не только им, все желающие могут пользоваться чужим подарком, надеюсь, блондинки возражать не будут). Подарок этот математический - таблица единиц измерения длины. О единицах измерения длины я уже писал и там то же есть таблица. Но проблемы с переводом одних единиц измерения в другие не исчезают сами по себе. Отдельно мы рассматривали, сколько будет метров и дециметров в задачах, которые задают учителя.

Вашему вниманию предлагается специальная таблица, при помощи которой вы без особого труда сможете переводить единицы измерения длины миллиметры, сантиметры, дециметры метры и километры из одного вида в другой. В вертикальных столбцах представлены единицы измерения одного вида, в горизонтальных строках вы можете найти, как каждая из них выражается в других метрических единицах измерения длины. Например, в одном метре содержится 10 дециметров, 100 сантиметров, 1 000 миллиметров или 0,001 километров.

Единицы измерения длины. Таблица перевода миллиметры, сантиметры, дециметры, метры, километры. Сколько метров в километре. Математика для блондинок.

Единицы измерения длины. Таблица перевода миллиметры, сантиметры, дециметры, метры, километры. Сколько метров в километре. Математика для блондинок.
Но это не главное. Для вас специально оставлены пустые строчки, куда вы можете пристраивать те числа, которые у вас есть. Можно даже курсором по пустой строчке ориентироваться в поиске нужного значения требуемой единицы измерения. Потом в соседних столбцах смотреть, какое число у вас должно получиться в других единицах измерения. Вот эта же таблица с примерами, которые выделены синим цветом.

Единицы измерения длины примеры. Таблица перевода единиц измерения с примерами миллиметры, сантиметры, дециметры, метры, километры. Сколько сантиметров в дециметре. Дециметр это сколько. Математика для блондинок.

Единицы измерения длины примеры. Таблица перевода единиц измерения с примерами миллиметры, сантиметры, дециметры, метры, километры. Сколько сантиметров в дециметре. Дециметр это сколько. Математика для блондинок.
Как видите, все довольно просто. Примеров много и разных. Главный принцип - число должно быть больше верхнего и меньше нижнего. Например, нам необходимо 8 дециметров перевести в другие единицы измерения. В столбце дециметров ищем пустую строчку по заданному количеству дециметров. Необходимая нам строчка находится между 1 дм и 10 дециметров. Восемь больше одного но меньше десяти. Все другие значения длины должны вписываться в пределы, обозначенные этой строчкой. Миллиметров должно быть больше 100 но меньше 1 000, значит у нас будет 800 миллиметров. Сантиметров больше 10 но меньше 100, значит у нас есть 80 сантиметров. Метров больше 0,1 но меньше одного, следовательно мы имеем 0,8 метра. Километров получается 0,0008 или 8 десятитысячных.

Как видите, цифры в числе не меняются, необходимо только подобрать нужное количество нулей к этим цифрам или правильно определить место запятой. Например, в самом низу таблицы 725 километров мы перевели в метры и получили 725 тысяч метров. То есть добавили три нуля к нашему числу. Если вам нужно расписать подробно это действие, то зная первоначальное число и правильный результат, не трудно найти то математическое действие, которое нужно выполнить для того, что бы первое число превратилось во второе. В нашем примере нужно умножить на 1 000 (в одном километре содержится 1000 метров):

725 км = 725 * 1000 = 725000 м

Рассмотрим самый верхний пример (первые синие цифры в начале таблицы). У нас имеется 0,476 миллиметра. Нам необходимо перевести их в метры. Из таблицы видно, что после запятой необходимо добавить ещё три нуля, что бы получилось 0,000476 метра. В математических действиях это можно выразить либо умножением на 0,001 (в одном миллиметре 0,001 метра) или деление на 1000 (в одном метре 1000 миллиметров):

0,476 мм = 0,476 * 0,001 = 0,476 / 1000 = 0,000476 м

Я думаю, в этом случае с делением проще справиться, чем разбираться в сотых, тысячных и десятитысячных. Я в них сам чуть не запутался.

В заключение хочу сказать свое мнение по поводу выражения одной длины в разных единицах измерения. Например, "длина отрезка равна три дециметра и пять сантиметров". Я считаю, что это уровень церковно-приходских священников периода средневековья. Это они так учили пра-пра-пра-учителей наших современных пропагандистов математических знаний. А прилежные ученики добросовестно перетаскивают сантиметра с дециметрами из одной школьной программы в другую, потому что их так учили. Не надо повторять их глупости. Учитесь выражать одно значение длины в одной единице измерения - либо в сантиметрах (35 см), либо в дециметрах (3,5 дм), либо в любой другой единице измерения длины (0,35 м, 350 мм). Калькуляторы понимают только так, а сегодня без калькуляторов вы математику не посчитаете. Если вы этого не сделаете, когда сами будете писать школьные программы, то ещё тысячи лет вашим потомкам математики будут вдалбливать в головы, как 35 сантиметров записывать в дециметрах и сантиметрах.

Что такое лукоморье?

В канун международного женского дня 8 марта отвлечемся от математики с её дециметрами, и послушаем ответы на такой простой вопрос:

Что такое лукоморье?

Ещё совсем недавно этим вопросом можно было убить наповал и меня. Честно признаюсь, что слово "лукоморье" у меня всегда прочно ассоциировалось с лесом - какая-то опушка или что-то вроде этого. Не зря же Пушкин расположил свой знаменитый дуб с золотой цепью (у Пушкина "дуб" - это дерево, оно зеленое; это у нас с золотыми цепями только новые русские; у блондинок, кстати, не цепи, а цепочки, даже если они золотые) возле этого самого лукоморья.

Как оказалось, я был не одинок в своих заблуждениях. Вот некоторые из ответов прохожих:

- Лукоморье - это что-то из Пушкина...
- Может, это какая-то возвышенность...
- Это дерево. Или нет?...
- А это изучают в школе?...
- "У лукоморья дуб зеленый, златая цепь на дубе том, и днем и ночью кот ученый..." Я могу вам рассказать стих, но что это - я не знаю...
- Дуб, наверное...
- Это, наверное, озеро какое-то...
- Меня всегда интересовал этот вопрос в школе, но почему-то учителя на него никогда не отвечали...(Потому, что учителя сами не знали, что такое лукоморье!)
- Это один из персонажей произведения Пушкина...
- Это такое место, где ходил котик...(ВАУ!!!)

Закончился опрос общественного мнения довольно оригинально. По сюжету передачи, должен найтись хоть один человек, который знает правильный ответ на вопрос. Но в данном случае таких знатоков не оказалось. Тогда ведущая сказала правильный ответ одному из опрашиваемых и попросила повторить его на камеру. И так, правильный ответ:

Лукоморье - это морская бухта.

Если кто-то будет сильно умничать в вашем присутствии, можете задать ему этот вопрос. Послушайте, что он вам ответит. А мы пока посмотрим сюжет целиком. Вопрос о лукоморье с 6 минуты 55 секунд.

вторник, 6 марта 2012 г.

Что такое дециметр?

Странно было бы, если бы при всеобщем невежестве отвечающих, спрашивающие подавляли всех своим интеллектом. Понятно, что они точно такие же люди, как и все остальные. На вопрос с делением на ноль они ответили правильно, как их и учили. А вот на следующий вопрос даже организаторы шоу не сумели найти правильный ответ. И так, довольно простой вопрос:

Что такое дециметр?

Правильный ответ:

Дециметр - это единица измерения длины.

Тот ответ, который написали организаторы в качестве правильного, а именно "10 сантиметров", относится к другому вопросу. Звучит этот вопрос так: "Сколько сантиметров в одном дециметре?" Признаю, что я здесь умный такой только потому, что у меня было время хорошенько подумать, в отличие от тех, кто оказался перед микрофоном.

Самый честный ответ: "О, Боже! Как стыдно - я не помню..." Лучший ответ: "Это единица измерения чего-то, которая переводится из чего-то во что-то". Смотрим ролик полностью, математика в самом конце, с 8-й минуты 13-ти секунд.

понедельник, 5 марта 2012 г.

Деление на ноль

В прошлый раз мы разбирались с медианой. Сегодня посмотрим, как мы знаем правило деления на ноль. Это, возведенное математиками в ранг библейских истин, правило вдалбливается в наши головы с завидным постоянством на протяжении всего курса обучения. Как мы его усваиваем, показывает ответ на вопрос:

Сколько будет корень из четырех разделить на ноль?

Как свято верят математики, правильный ответ звучит так:

На ноль делить нельзя.

Лучший, на мой взгляд, ответ звучит так: "Татьяна Сергеевна, простите...". Да уж, не сумела Татьяна Сергеевна озарить светом знания потемки сознания прилежной ученицы, в чем ученица искренне раскаивается.

Вот что интересно. Просматривая все эти ролики о плачевном состоянии наших фундаментальных знаний (ведь среднее образование является обязательным для всех), я ни разу не встречал ругательств в адрес учителей. Чаще всего во всем обвиняют себя: "У меня с математикой проблемы" или "Ненавижу математику". Отчасти, это справедливо. Но... Продавцы оценок, умело маскирующиеся под учителей, остаются в тени самобичевания своих учеников.

Судя по ролику, проблема всех отвечающих на вопрос с делением на ноль заключается в том, что они начинают думать. А думать не надо! Любой говорящий попугай, услышав слова "...разделить на ноль...", должен отвечать цитатой из Евангелие от Деления: "Деление на ноль запрещено". Радует тот факт, что не смотря на все старания бюрократических функций от математики, подавить разум в человеке им не удается. Прослушав школьный курс математики, подавляющее большинство людей выбрасывают из головы всю эту дурь и снова готовы думать, а не тупо повторять вызубренное.

И ещё один вопрос, попутно. Если результаты среднего образования стремятся к нулю, может мы не тому и не так учим? Хоть одна бюрократическая функция от образования задавала себе такой вопрос? Или они на большее, чем тупо выполнять распоряжения вышестоящих бюрократических функций, не способны?

Ладно, оставим эти философские вопросы без ответов и посмотрим ролик "Дурнев+1. К доске!", часть 3, полностью.

Что такое медиана?

Продолжаем изучать нашу эрудицию. Точнее, её остатки. С углами четырехугольника мы разобрались в прошлый раз, сегодня вопрос такой:

Что такое медиана?

Правильный ответ:

Медиана - это отрезок, который соединяет вершину треугольника со срединой противолежащей стороны.

Лучший ответ, на мой взгляд: "Медиана? Ну, это параллели и медианы". У кого это было "...смешались в кучу кони, люди..."? Кажется, у Лермонтова, в "Бородино". Здесь же получилась гремучая смесь географии (параллели и меридианы на глобусе) и геометрии (биссектрисы и медианы в треугольнике).

Для общего развития нужно сказать, что у одного треугольника таких штучек под названием "медиана" аж три штуки. Раз у треугольника есть три вершины, у каждой вершины есть противолежащая сторона, все стороны треугольника можно разделить пополам, следовательно мы можем провести в одном треугольнике три медианы. Давайте посмотрим на картинке, как выглядят медианы в треугольнике. Они выделены красным цветом.

Что такое медиана. Медианы в треугольнике. Математика для блондинок.
В заключение, видеоролик "Дурнев+1. К доске!", часть 2, где прозвучал вопрос о медиане.

воскресенье, 4 марта 2012 г.

Углы в четырехугольнике

То, что вы сейчас увидите - это не блондинки. Это мы после школы, в которой нас долго и упорно учили тому, что мы благополучно выбросили из головы после окончания школы. Украинский телеканал ТЕТ показывает специальную передачу, в которой случайным прохожим задаются простые вопросы из школьного курса. Следует признать, что нечеловеческие усилия учителей по вбиванию знаний в наши головы оказались почти напрасными. И так, послушаем ответы на некоторые вопросы. Сегодня у нас вопрос по математике:

Если четырехугольнику отрезать один угол, сколько углов останется?

Пройдя по ссылке, вы можете услышать ответы на этот вопрос. Нужно сказать, что авторы программы сами в школьном курсе ориентируются весьма смутно. Дело в том, что в качестве правильного ответа они ждут ответ "Пять углов". Но... Они забывают о нашей жадности и абстрактности математики. Математике всё равно, сколько мы себе отрежем от четырехугольника. Если один угол отрезать по самую диагональ, то углов останется только три. Если отрезать угол через вершину, но не по диагонали, то углов по прежнему будет четыре (каюсь, не я придумал - в комментариях подсказали, за что вам большое спасибо!). Так что правильных ответов на этот вопрос три: останется три, четыре или пять углов. Всё зависит от нашего аппетита.

Углы в четырехугольнике. Если в четырехугольнике один угол отрезать, сколько углов останется. Правильный ответ три, четыре или пять. Математика для блондинок.
Интересная математика получается. Посмотрите, в любом случае мы от четырехугольника отрезаем треугольник, а в итоге получаем... Запишем арифметику этого процесса:

4 угла - 3 угла = 3, 4 или 5 углов

Это уже не математика, а какие-то пляски шаманов с бубнами. Наверное, именно такие пляски математики называют высшей математикой. Весь секрет нашей математики заключается в правиле сложения треугольников с одной общей стороной. В результате такого сложения мы можем получить практически любую геометрическую фигуру, состоящую из треугольников. При этом добавление каждого нового треугольника к исходной фигуре прибавляет один угол к многоугольнику. Или не прибавляет, если новый треугольник просто удлиняет имеющеюся сторону. Развернутый угол в 180 градусов у нас углом считать не принято.

Углы в четырехугольнике. Сложение треугольников. Многоугольник состоит из треугольников.
Вот такая вот фигня эта геометрия. Прибавляя к одному треугольнику другой, мы никогда не можем точно сказать, сколько угольник у нас получится. Все зависит от того, как линии лягут. Вот это гадание по математическим линиям, точкам, кривым, как по линиям руки, уже точно называется высшей математикой. И как кажется мне, проблема заключается не в геометрии и математике, а в нашей психологии - нас не устраивает ответ "может так, а может эдак", нам нужно знать всегда и точно. Если мы будем считать развернутый угол углом многоугольника, то у нас любая геометрическая фигура из отрезков будет являться многоугольником с бесконечным количеством углов. От такой перспективы любого математика кондрашка хватит. Если не будем считать, то будем иметь то, что имеем. Хрен редьки не слаще. Здесь есть где приложить свои умственные усилия.

Загадка нашего четырехугольника с отрезанным углом и бредовой арифметикой на картинке разрешается очень даже просто. Черненьким обозначены треугольники, составляющие конечный результат геометрического обрезания. Красненьким ведется бухгалтерский учет полученных углов.

Углы в четырехугольнике. Как отрезать один угол в четырехугольнике. Что получится в результате. Математика для блондинок.

Но, из дебрей геометрии вернемся к нашему видеоролику. Лучшим, на мой взгляд, является ответ: "Наверное, четырехугольником и останется. Я не знаю, потому что с математикой было хуже всего в школе". Правильно, честно и откровенно.

Полностью этот видеоролик можете посмотреть ниже. Начинается эта передача с утверждения, что украинцы тупые. Я не согласен. С точки зрения школьных знаний тупые все, не зависимо от национальности. Но это не тупость - это мудрость Природы. Мы не держим в своих головах всякий мусор всю жизнь. Если какие-то знания нам не нужны, мы их благополучно забываем, освобождая место в памяти для более необходимых в данный момент знаний.

пятница, 2 марта 2012 г.

Точка на координатной прямой

При подготовке к ЕГЭ или сдачи тестов это вам пригодится. Задача простая - необходимо показать точку на координатной прямой, соответствующую определенному числу. С целыми числами особых проблем нет, а вот показать точку, если она задана корнем из числа, иногда затруднительно.

Вот задача, когда на координатной прямой показано несколько точек и нужно ткнуть пальцем в ту точку, которая соответствует числу корень из 68. Как найти эту точку, не выковыривая число из-под корня, то есть не производя вычисления. Воспользуемся принципами относительности математики и симметрией математических действий. Если мы, вместо того, чтобы извлекать корень из нужного нам числа, возведем в квадрат целые числа, указанные на числовой прямой для ориентации в пространстве чисел. Понятно, что мы переместимся в совсем другой кусок координатной прямой, соответствующий квадратам этих чисел. Чтобы вернуться назад, в первоначальное место координатной прямой, нужно выполнить математическое действие, симметричное возведению числа в квадрат - извлечь квадратный корень. Теперь наша координатная прямая имеет тот вид, когда можно сравнивать точки по подкоренным числам. Ведь пропорции на координатной прямой сохраняются, когда мы с разными числами выполняем одинаковые математические действия.

Теперь нам необходимо только выбрать одну из двух точек. Нужная нам точка должна быть ближе к числу 8 и дальше от числа 9. Ведь число 68 ближе к числу 64, чем к числу 81. Точка D находится ближе к числу 9 и дальше от числа 64, значит она нам не подходит. Остается только точка С.

Вот маленький видеоролик "Сравнение чисел на числовом луче, математика", где человек всё красиво рассказал и показал.