понедельник, 9 апреля 2012 г.

Фрактальная структура теоремы Пифагора

Все вы знаете теорему Пифагора - пифагоровы штаны на все стороны равны. А знаете ли вы, сколько карманов в этих штанах? И в каждом кармашке спрятана целая куча самых разных интересных штучек. В одном кармашке мы нашли нашли основное тригонометрическое тождество, формулы для двух углов и многомерных пространств, в другом - единицы измерения в теореме Пифагора. Сегодня мы пороемся в том кармашке, где спрятаны фракталы.

Что такое фракталы? Это когда часть подобна целому. Красота фракталов поразила воображение не только математиков, но и обычных ротозеев. Дерево имеет структуру фрактала - ствол, толстые ветки, более тонкие ветки, веточки ещё тоньше, листья, жилки на листике... Получается фрактал, если часть целого заменить уменьшенной копией всего целого, а потом часть уменьшенной копии снова заменить на ещё больше уменьшенную копию и так до бесконечности. Вот пример построения фрактала из Википедии.

Фрактал. Пример построения фрактала. Что такое фрактал. Математика для блондинок.
Числами обозначены шаги в построении фрактала. Первое - это целая фигура, второе - первый этап развития фрактала и так далее. Нижний фрактал изображен на четвертом этапе. В левой части я специально дорисовал исходные фигуры, чтобы нагляднее показать развитие фрактала. Так вот, в статье Википедии о фракталах нет упоминаний о теореме Пифагора. У меня два варианта объяснения этого постыдного факта:

1. Математики сами ничего не знают о фрактальной структуре теоремы Пифагора.
2. Они знают, но скрывают от нас свои тайные знания, как жрецы в древности.

Думать о том, что математики считают теорему Пифагора не достойной фракталов, даже мне стыдно. Восстановим справедливость. Первый момент, на который я хочу обратить ваше внимание - это развитие фрактала. Математики во всех направлениях развивают фрактал одинаково для получения симметрии. Я так делать не буду, поскольку и в природе фракталы могут развиваться в разных направлениях по-разному - некоторые ветки деревьев усыхают. Ещё я хочу сделать картинки более понятными и меньшими по размеру за счет развития фрактала только в одном направлении. И последнее. Таким образом мы получим линейный фрактал (кстати, он мне чем-то напоминает полимер из химии).

И так, возьмем прямоугольный треугольник. Все вы знаете, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов - это и есть теорема Пифагора. Теперь один из катетов мы представим как гипотенузу другого прямоугольного треугольника, у которого есть пара своих катетов. Заменим катет первого прямоугольного треугольника мы заменим двумя катетами второго треугольника. Один катет второго треугольника заменяем двумя катетами третьего треугольника. Так можно поступать с любой стороной треугольника, продолжая замену до бесконечности. Вот как это выглядит на рисунке - две замены для одной стороны дают нам представление о фрактальной структуре теоремы Пифагора.

Фрактальная структура теоремы Пифагора. Неравномерное развитие фрактала. Треугольный фрактал. Линейный фрактал. Математика для блондинок.
Кстати, если гипотенузу треугольника заменить на два точно таких же катета, отраженных симметрично, мы получим прямоугольник. Для прямоугольника теорема Пифагора будет звучать так: сумма квадратов сторон прямоугольника равна квадрату диагонали. Как видите, теорема Пифагора прячется практически везде, за что бы мы не взялись. Это самая вездесущая теорема математики.

Теперь перейдем к самому интересному - формулам треугольного фрактала. С классическим видом теоремы Пифагора никаких проблем нет. Заменяем квадрат самого первого элемента формулы на сумму квадратов и подставляем в формулу. Красным цветом выделены те выражения, которыми мы пользуемся при подстановке. Вопреки всем существующим правилам записи математических выражений, каждое подставляемое выражение я возьму в скобки, чтобы вам было понятнее, какие выражения появляются после подстановки.

Фрактальная структура теоремы Пифагора. Формула неравномерного фрактала. Треугольный фрактал формула по теореме Пифагора. Формула линейного фрактала. Математика для блондинок.
Как видите, полученная нами формула легко складывается в теорему Пифагора для первого прямоугольного треугольника, если мы пойдем по этим формулам в обратном порядке. То есть два элемента последней формулы, выделенные скобками, заменим одним. Напоминаю, что разложить мы можем как любую сторону треугольника, так и все сразу. Я раскладывал только первый элемент и для наглядности, и для экономии места на рисунке. В результате у меня получилась теорема Пифагора для линейного фрактала.

Если мы с вами запишем теорему Пифагора для любого треугольника, не только прямоугольного, тогда любой многоугольник мы сможем представить как фрактал треугольника. Зачем это нужно? Понятия не имею, просто прикольно. А вдруг кому-то пригодится? Но об этом как нибудь в другой раз. Сейчас же продолжим терзать наши прямоугольные треугольники.

Как настоящие ученые, мы должны представить полученный нами линейный фрактал в тригонометрическом виде - ведь теорема Пифагора легко преобразуется в основное тригонометрическое тождество и обратно, что мы с вами уже подробно рассматривали. С нарисованным нами фракталом так легко не получится. Если мы просто заменим первый элемент формулы на сумму квадратов синуса и косинуса, как это сделано в традиционном представлении теоремы Пифагора, мы вляпаемся в равенство единица плюс квадрат косинуса равняется единице. А это равенство не является правильным. Здесь мы лицом к лицу сталкиваемся с таким математическим понятием, как переменные единицы измерения.

Что такое переменные единицы измерения и существуют ли они в природе? С эти вопросом, более детально, мы будем разбираться отдельно. Здесь же поговорим о треугольниках. Что является математической единицей измерения размеров треугольника? Для каждого треугольника математической единицей измерения длины является длина одной стороны. Какой именно стороны? Любой. Какую сторону вы выберите, та и будет единицей измерения для конкретного треугольника. Это причуды относительности математики. В школе, в повседневной жизни мы пользуемся не математическими, а человеческими единицами измерения для выражения размеров треугольника.

Не переключайтесь на другой канал - впереди вас ждут удивительные открытия! (Кажется, я это где-то уже слышал).

суббота, 7 апреля 2012 г.

Интересная математика

Сегодня посмотрим несколько интересных примеров на умножение и сложение чисел. Эта интересная математика может применяться для проверки работы калькулятора. Особенно первый пример. Здесь между собой умножается одинаковое количество единичек, а в результате получается зеркально симметричный набор цифр от 1 до 9. При этом точкой симметрии в ответе является цифра, соответствующая количеству умножаемых единичек. Посмотрите, как красиво получается.

Интересная математика. Умножение одинакового количества единиц. Как проверить калькулятор. Математика для блондинок.
В следующем примере мы берем девять цифр от 1 до 9, умножаем их на 9 и еще на одну цифру. В результате получаем набор из девяти одинаковых цифр с ноликом на предпоследнем месте. Цифры соответствуют последнему сомножителю.

Интересная математика. Умножение набора цифр на девять и ещё одну цифру. В результате девять одинаковых цифр и ноль. Приколы в математике. Математика для блондинок.
Дальше мы будем использовать умножение и сложение. При помощи этих математических действий также можно получить интересные результаты.

Интересная математика. Умножение и сложение дают интересный результат. Занимательная математика. Математика для блондинок.
Дальше пример, похожий на предыдущий, только в результате мы получаем разное количество единичек.

Интересная математика. Умножение и сложение дают в результате разное количество единиц. Как проверить калькулятор. Математические приколы. Математика для блондинок.
В последнем примере мы получаем разное количество восьмерок.

Интересная математика. Умножение и сложение дают разное количество восьмерок. Занимательная математика. Математика для блондинок.

Это маленький приме красоты и симметрии математики. Ничего сверхъестественного в этих примерах нет - обычные математические действия. По логике вещей, если существуют такие красивые наборы цифр в числах, то эти числа можно каким-то образом получить. Оказывается, есть красивые способы получения не менее красивых чисел.