Равнобедренный тупоугольный треугольник

Сейчас мы проверим, как выполняется теорема косинусов в тупоугольном треугольнике. Для примера (и для простоты) рассмотрим равнобедренный тупоугольный треугольник.

Равнобедренный тупоугольный треугольник

Упс! В периметре треугольника не может быть квадратных корней. Периметр этого треугольника равен сумме двух боковых сторон и основания. Что произошло? Закон косинусов не работает? Но такого быть не может - я верю в несокрушимую силу математики. Что-то здесь явно не так. Когда мы рассматривали треугольники с углами меньше или равными 90 градусов, никаких проблем не возникало. Когда мы взяли треугольник с углом больше 90 градусов - появились проблемы. Почему? Я всегда с большим подозрением отношусь к тригонометрическим функциям углов больших, чем 90 градусов. Здесь нужно подумать.

На решение этой задачи у меня ушло около получаса. Оказывается, секрет раскрывается очень просто. Давайте выразим основание треугольника через боковые стороны и посмотрим, что получится. Дважды вставим полученное равенство в наш результат. Первый раз вставляем сикось-накось, второй раз - накось-сикось. Вот что получилось.

Периметр треугольника

Как видите, всё чудесно сходится. Периметр получается таким, каким должен быть. У меня складывается такое впечатление, что тупой угол треугольника выворачивает на изнанку теорему косинусов.  Заметьте, именно две одновременные подстановки приводят результат в божеский вид - минус на минус дает плюс :))) Оказывается, вот такое вот противоядие есть в математике против тупого угла.

Чтобы завершить проверку теоремы косинусов для периметра, рассмотрим вырожденный треугольник.