Аннотация
Количество слагаемых
При выполнении математических действий с бесконечными рядами, для каждого примера необходимо использовать одинаковое количество слагаемых в видимой части ряда. Если не соблюдать данное правило, это может приводить к ошибочному результату. В математике не принято использовать в одном примере какое-либо число с разной точностью округления.
Сдвиг ряда
Рассмотрим пример. Если из любого ряда вычесть такой же ряд без сдвига, результат будет равен нулю. Если при вычитании использовать сдвиг и не учитывать компенсирующую группу слагаемых, то результат будет отличным от нуля. Пусть у нас есть ряд S. Запишем ряд –S и сложим эти два ряда. В результате должен получиться ноль. Выполнив сложение без сдвига, мы получаем правильный результат.
![]() |
Сложение без сдвига |
Сдвиг на одну позицию приводит к неправильному результату.
![]() |
Сдвиг на одну позицию |
Сдвиг на две позиции приводит к другому неправильному результату.
![]() |
Сдвиг на две позиции |
Сдвиги на произвольное количество позиций позволяют получить бесконечное множество неправильных результатов.
Соблюдение правила об одинаковом количестве слагаемых бесконечного ряда в одном примере и использование компенсирующей группы слагаемых (выделена фигурными скобками) позволяет избежать ошибки. Но в приведенных примерах этот способ более трудоемкий, чем отказ от сдвига.
![]() |
Сдвиг с компенсирующей группой слагаемых |
Проанализируем несколько наиболее известных примеров определения сумм бесконечных расходящихся рядов.
Сумма ряда Гранди
![]() |
Сумма ряда Гранди |
Во второй строке стоит знак равенства между двумя разными суммами: одна сумма состоит из пяти слагаемых, не равных нулю, вторая – из четырех. В этом примере использована оптическая иллюзия равенства разных сумм, если одно слагаемое спрятать за троеточие бесконечности.
Сумма знакопеременного ряда
![]() |
Сумма знакопеременного ряда |
В предлагаемом решении один и тот же ряд представлен разным количеством слагаемых: от четырех до шести. При выполнении математических действий и перестановке слагаемых игнорируется компенсирующая группа слагаемых. Не рассмотрены два других способа получения суммы 4s: сложение рядов без сдвига и умножение исходного ряда s на 4. Оба эти способа дают одинаковый результат, что указывает на математическую точность выполненных вычислений.
![]() |
Сумма 4s |
Сумма натуральных чисел
![]() |
Сумма натуральных чисел |
Типичные ошибки этих вычислений приведены в примере выше. Не выполнена проверка решения: исходный ряд с, умноженный на минус три, равен:
![]() |
Проверка решения |