суббота, 8 марта 2014 г.

Задача про прямоугольный параллелепипед

Очередная задача про прямоугольный параллелепипед:

Одна из сторон прямоугольного параллелепипеда на 7 см меньше другой. Найти объем и площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда, если его диагональ 85 см, высота 84 см.

Если сами стороны параллелепипеда не известны, а сказано о них только "больше" или "меньше", значит нужно пользоваться иксами. Обозначим одну сторону через икс. Другая сторона у нас будет икс минус семь сантиметров. Высота прямоугольного параллелепипеда известна, диагональ тоже. Берем теорему Пифагора для параллелепипеда и записываем. Решаем полученное уравнение и находим икс.

Задача про прямоугольный параллелепипед. Как составить уравнение. Математика для блондинок.
Задача про прямоугольный параллелепипед
Решение квадратного уравнения дало нам два значения икса. Отрицательный корень выбрасываем в мусор, ведь отрицательной дины не бывает. Теперь мы можем найти объем и площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда.

Объем и площадь поверхности прямоугольного параллелепиеда. Формулы. Математика для блондинок.
Объем и площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда
Собственно, вот и всё решение задачи про прямоугольный параллелепипед, его объем и площадь полной поверхности.

вторник, 4 марта 2014 г.

Формула печали

Знаменитую формулу любви знают все:

Саша + Маша = любовь

Здесь мы имеем самую банальную сумму двух слагаемых. А как выглядит формула печали? При помощи математики мы можем выяснить и это. Осмелюсь заявить, что формула печали - это разность квадратов.

Естественно, ни один уважающий себя математик без доказательства это утверждение не примет. Вот доказательством мы сейчас и займемся. При доказательстве мы используем формулу любви (которая у нас уже есть) и формулу разлуки. Выглядит она так:

Саша - Маша = разлука

В формуле разлуки мы никому ничего доказывать не будем. Стырим у математиков их любимый приемчик - заявим, что и так всем всё "интуитивно понятно". Если у кого-то с интуицией проблемы, тогда тупо учите определение. Если умные люди сказали "понятно", значит понятно, и не нам, дуракам, рассуждать.

А дальше доказательство выглядит совсем просто:

Саша² - Маша² =
= (Саша + Маша)(Саша - Маша) =
= (любовь)(разлука) =
= грусть-печаль


Что и требовалось доказать. Особо нужно подчеркнуть, что в самом конце формулы печали мы получили не банальную разность грусти и печали, а очень сложное слово, написанное через дефис. Есть в литературе такие слова. Так сказать, элемент высшего языковедения (по аналогии с высшей математикой).

понедельник, 24 февраля 2014 г.

Внешние углы треугольника

Вот такая вот просьба: Здравствуйте! Помогите пожалуйста. Определите, является ли треугольник АВС тупоугольным, если два его внешних угла равны 135 и 160 градусов.

Понятие тупых углов в треугольнике - это тот мусор, который уже давно пора выбросить из математики. Спросите у любой блондинки, она когда-нибудь одевает свое платье наизнанку? Она его всегда носит так, как положено. А вот математики углы в треугольниках меряют и так, и сяк. Получается, блондинки умнее математиков - они умеют правильно пользоваться вещами.

Передо мной нет школьного учебника и я не знаю, как правильно нужно решать эту задачу. Можно решить двумя способами - на лицо и на изнанку. Начнем с того, что по уверениям математиков, сумма внешнего и внутреннего углов в любой вершине треугольника равна 180 градусов. Картинку я здесь рисовать не буду, она есть на другой странице - нечего распространять заразу невежества, даже если оно математическое.

Для нормального решения нужно от внешних углов треугольника перейти к внутренним и найти величину третьего угла. Считаем:

180 - 135 = 45 градусов
180 - 160 = 20 градусов


И так, у нас есть два угла треугольника. Является ли он тупоугольным? Судя по этим двум углам - нет. Напоминаю, что тупоугольным называется треугольник, у которого один  угол тупой. Тупой не в смысле умственных способностей, а в смысле количества градусов. Если угол перебрал больше 90 градусов, то его принято считать тупым. Ой! Опять что-то не то. Ну, короче, вы поняли. Кто не понял - открываем учебник и зубрим тупой угол.

Так вот, два угла у нас острых. А третий? Вот тут нам на помощь приходит теорема (или как там её математики называют) о сумме углов треугольника. Как бы это не называлось, но сумма углов любого треугольника всегда равна 180 градусов. Напоминаю, свое платье мы одеваем сейчас нормально, поэтому речь здесь идет о внутренних углах треугольника. Зная величину двух углов, найти третий - задачка для малявок.

180 - 45 - 20 = 115 градусов

Треугольник у нас тупоугольный, поскольку третий угол больше 90 градусов и является тупым. Не по жизни тупым, а просто тупым, как отдельные представители отдельных наук.

Теперь решаем эту же задачу, только наизнанку. Пусть блондинки посмеются над такими математиками, как мы. И так, сумма внешнего и внутреннего углов в каждой вершине треугольника равна 180 градусов. Сколько у нас вершин? Правильно - три. Треугольник всё-таки, не хухры-мухры. Считаем, чему равна сумма внешних и внутренних углов? Три вершины по 180 градусов... Итого:

3*180 = 540 градусов

Если калькулятор нам не врет. Выше мы уже говорили, что сумма внутренних углов треугольника равна 180 градусов. Отнимаем её от общей суммы:

540 - 180 = 360 градусов

Получается, что сумма внешних углов треугольника равна 360 градусов. Ведь только она у нас и осталась, внутренние углы из суммы мы уже выбросили. Любой шустрый математик в подобных случаях громогласно заявляет: "Теорему о сумме внешних углов треугольника можно считать доказанной!".

Теперь вывернем наизнанку тупоугольный треугольник и посмотрим, как должен выглядеть он. Если один внутренний угол у него должен быть больше 90 градусов, значит этот же внешний угол должен быть меньше 90 градусов. Давайте считать по внешним углам:

360 - 135 - 160 = 65 градусов

Калькулятор утверждает, что даже наизнанку наш треугольника всё равно тупоугольный. Не знаю, как вам, а мне математика наизнанку совсем не нравится. В приличном обществе это моветон, всё равно что одежду наизнанку носить.

P.S. Кстати, математики даже понятие внутреннего угла наизнанку толком вывернуть не могут. Если рассуждать "интуитивно понятно", то внешний угол - это то, что мы можем измерить снаружи,  то есть 360 градусов минус внутренний угол. Как меряют талию у блондинок? Становятся перед нею и вытянутыми вперед руками пытаются что-то там сделать.

воскресенье, 23 февраля 2014 г.

Математика Евромайдана

При помощи математики можно описать всё, что угодно. Было бы желание. Ведь математика - это то, что происходит в окружающем нас мире. Вот посмотрите, какой бардак творится в Украине:

3-7y-3(2-3y) = 4(y-1)-(y+1)

Знак равенства - это баррикада на Майдане. Числа - это люди без масок, игреки - это люди в масках. Скобки - это щиты, за которыми прячутся и те, и другие. Кто скрывается под масками? Вот вопрос, на который мы должны дать ответ. А под масками прячутся все: и друзья, и враги. В математике есть очень хороший способ отличать своих от чужих - это знаки плюс и минус. Всех своих врагов мы помечаем знаком минус, всех друзей - знаком плюс. Кому какие знаки присваивать? Это зависит от того, по кукую сторону баррикады мы сами стоим. Ведь в этом мире всё относительно.

Для того, чтобы увидеть лица под масками, сначала нужно избавиться от щитов скобок. Достаем волшебную палочку и убираем все щиты.

3-7y-3(2-3y) = 4(y-1)-(y+1)
3-7y-6+9y = 4y-4-y-1

Теперь лица в масках загоняем по одну сторону баррикад, лица без масок - по другую. В международной практике это принято делать дубинками, в быту - палками. Не забываем, что перебежчики через баррикаду меняют сою знаковую принадлежность. Это по ту сторону баррикады они были врагами и им цепляли ярлык "минус". Здесь они уже друзья и имеют знак "плюс". К сожалению, с врагами происходит то же самое - там они были друзьями со знаком "плюс", у нас они превращаются во врагов со знаком "минус".

3-7y-6+9y = 4y-4-y-1
-7y+9y-4у+у = -4-1-3+6


Теперь начинается кровавая бойня на украинском Майдане. Те, кто имеет знак "минус", уничтожают тех, кто имеет знак "плюс". При этом сами погибают смертью героев. Но это с точки зрения наших врагов. Мы же в подобных случаях говорим: "Туда им и дорога". По другую сторону баррикад рассуждают точно так же. К сожалению, в жизни всё не так, как в математике - жертва умирает, а убийца продолжает жить. Здесь действует совсем другой математический закон: сквозь прицел снайперской винтовки все мы выглядим одинаково - просто мишени.

-7y+9y-4у+у = -4-1-3+6
9у+у-7у-4у = 6-4-3-1
-у = -2


Сказки обычно имеют счастливый конец. В этом конкретном примере результат получился отрицательным, как это нередко случается в жизни. Естественно, каким бы уродом не являлся победитель, он себя считает хорошим. В человеческой истории не принято судить победителей. Поскольку победило зло, переходим на сторону победителя. При этом меняем знаки и зло превращается в добро:

-у = -2
у = 2


Как видим, под маской скрывалось обычное лицо. И добро, и зло всегда скрываются под масками человеческих лиц.


Памяти всех жертв баррикадного противостояния в Украине посвящается.


P.S. Вы не представляете, какое это счастье - решать те математические задачи, которые хочется решать, а не те, которые решать заставляют. Наверное, это можно сравнить с пением любимых песен, а не тех, которые петь разрешают.

Вот один из гимнов киевского Евромайдана, песню группы Океан Ельзи "Я не здамся без бою" ("Я не сдамся без боя"), поют грузинские артисты и их показывают по телевизору на всю страну. Называется эта страна Грузия.


Вот артисты из Латвии поют гимн Украины и их показывают по национальному телевидению.



А вы когда-нибудь видели по телевизору своих артистов, на концерте поющих гимн Америки?

Умные люди ищут себе друзей, а дураки - врагов. Не ищите дураков, они вас сами найдут.

среда, 12 февраля 2014 г.

Площадь поверхности параллелепипеда

Очередная задача про прямоугольный параллелепипед. Точнее, про площадь поверхности параллелепипеда. Почему мне так нравятся именно прямоугольные параллелепипеды? Во-первых, решение задач у них проще, чем у косоугольных параллелепипедов, призм, цилиндров и прочей геометрической мути. Во-вторых, прямоугольный параллелепипед - это среда нашего обитания. Среда не в смысле вторник, четверг, а в смысле джунглей для обезьян. Мы обитаем внутри таких параллелепипедов. Если верить заверениям наших доблестных строителей, они прямоугольные. Во всяком случае, к этому стремятся. Прямоугольная комната - это и есть прямоугольный параллелепипед. Кирпич или коробка для обуви - это тоже он, родимый.

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 9 и 24. Диагональ параллелепипеда равна 41. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.

Вот о чем поведала нам задача. Да, это не любовный роман. К тому же, уже прочитанный. Зная две стороны и диагональ прямоугольного параллелепипеда, третью сторону можно найти по старой доброй формуле дедушки Пифагора. Такую задачу мы совсем недавно рассматривали. Я не буду заморачиваться с картинками, а расскажу на пальцах.

Возводим диагональ в квадрат и вычитаем сперва квадрат одной стороны, затем квадрат другой стороны.

41*41 - 9*9 - 24*24 = 1681 - 81 - 576 = 1024

Это мы получили квадрат третьей стороны. После этого извлекаем квадратный корень и получаем третью сторону длиной 32. Кого-чего? А какая разница? К числам можно любую единицу измерения прилепить. Главное - без фанатизма. Если вы будете измерять прямоугольный параллелепипед долларами или градусами Цельсия, то вас никто не поймет. По умолчанию предполагается, что в нашем случае возле чисел должны стоять единицы измерения длины: метры, сантиметры, дюймы, локти...

Теперь переходим к площади поверхности прямоугольного параллелепипеда. В комнате это площадь четырех стен, пола и потолка. Все они из себя представляют прямоугольники. Тупо умножаем размеры прямоугольников и получаем их площади. У нас должны получиться три пары площадей - передняя и задняя стенки, левая и правая стенки, пол и потолок. Записываем формулу площади поверхности параллелепипеда и считаем:

S = 2(a*b + b*c + a*c) = 2(9*24 + 24*32 + 9*32)  = 2(216 + 768 + 288) = 2*1272 = 2544

Вот и всё. Площадь поверхности параллелепипеда оказалась равной 2544 единицы измерения площади.

вторник, 11 февраля 2014 г.

Внешний угол при вершине треугольника

Очередная задача про равнобедренный треугольник:

В тре­уголь­ни­ке АВС АС=ВС. Внеш­ний угол при вер­ши­не В равен 122 градуса. Най­ди­те угол. Ответ дайте в гра­ду­сах. Можно мне все подробно?

Постараюсь объяснить как можно подробнее. Почему я сразу сказал, что задача про равнобедренный треугольник? У обычных треугольников все стороны разной длинны. Их даже так и называют - разносторонние. Берем картинку со страницы про виды треугольников, отрезаем ненужное и начинаем разукрашивать. Геометрия - это та же детская разукрашка, только проще. В задаче обычно всегда говорится, что именно и как вы должны разукрашивать. Разукрасим нашу картинку с видами треугольников по размерам сторон синенькими буквами вершин равнобедренного треугольника.

Виды треугольников. Равносторонний, равнобедренный, разносторонний. Виды треугольников по размерам сторон. Математика для блондинок.
Виды треугольников
Теперь нужно разобраться, что такое внешний угол при вершине треугольника. По моему глубокому убеждению, это мусор, которым математики засоряют вам мозги. Ведь чем больше всякого мусора в учебнике, тем больше часов нужно на его изучение и тем больше сможет заработать учитель. Чем запутаннее предмет, тем легче репетиторам найти работу. Это похоже на продажу овощей на вес - чем больше в них грязи, тем больше денег заработает продавец.

И так, открываем "умную" книжку и начинаем копаться в математической грязи. В книжке написано буквально следующее:

Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине.

По умолчанию предполагается, что мы уже должны знать, что такое смежный угол. Не знаю, как вы, а я уже давно забыл, что это за фигня такая - "смежный угол". Ведь все нормальные люди пользуются нормальными углами. Хорошо, что к определению внешнего угла треугольника картинка прилагается, которая проясняет, как именно он выглядит.

Внешний угол. Треугольник и вешний угол при вершине треугольника. Математика для блондинок.
Внешний угол
Я никогда не пойму, зачем к треугольнику лепить внешний угол, если у него уже есть обычные, внутренние, углы. Я так понимаю, что одни дураки когда-то учили других, а те тупо повторяют действия учителей. Своими мозгами пользоваться их так никто и не научил. Кстати, величайшим достижением современного образования можно считать отсутствие в учебной программе научной теории о трех китах и Земле, которая на них держится. И это только потому, что данная теория не относится к математике. А ведь если в учебной программе что-то записано, то учить это обязательно для получения хорошей оценки.

Ладно, по возмущался и хватит. Вернемся к наше задаче. Читаем внимательно: Внеш­ний угол при вер­ши­не В равен 122 градуса. Собственно, картинка внешнего угла - это то, что доктор прописал. Обычный угол треугольника получается путем вычитания из 180 градусов внешнего угла. У равнобедренного треугольника углы при основании равны. Рисуем картинку и сразу решение.

Внешний угол при вершине. Равнобедренный треугольник. Математика для блондинок.
Внешний угол при вершине
Кажется, я догадываюсь, откуда в математике могли появиться внешние углы. Когда европейцы увидели пирамиды древнего Египта, они были потрясены увиденным. Им захотелось измерить эти грандиозные сооружения. Вот только внутренний угол пирамиды измерить не представляется возможным. Можно измерить внешний угол и высчитать внутренний. Математики увидели, что делают другие, и записали в свою Математическую Библию определение внешнего угла треугольника. Вот с тех пор это Священное Писание переписывается из учебника в учебник.

понедельник, 10 февраля 2014 г.

Сравни, поставь знак больше, меньше или равно

Задача на единицы измерения и сравнение чисел с разными единицами измерения. Звучит она так:

Сравни. Поставь знак больше, меньше или равно.
80 см2 ... 8 дм2
236 см2 ... 2 дм2
40 дм2 ... 4000 см2
754 дм2 ... 7540 см2
15000 см2 ... 15 дм2
25600 см2 ... 256 дм2


Здесь сравниваются единицы измерения площадей, точнее сантиметры квадратные и дециметры квадратные. Для сравнения двух разных величин, их нужно привести к одной единице измерения. К какой именно? Не имеет значения. Главное, чтобы и возле одного числа, и возле другого числа единицы измерения были одинаковы.

Для перехода от одной единицы измерения к другой, необходимо выполнить определенные вычисления. Как учат нас математики? Точно не помню, но,  кажется, они пользуются таблицами перевода одних единиц измерения в другие. Для нужных нам сантиметров квадратных и дециметров квадратных выглядит это так:

1 см² = 0,01 дм²
1 дм² = 100 см²


Теперь берем одно наше значение, применяем к нему переводной коэффициент и можем смело сравнивать с другим значением.

80 см² = 80*0,01 дм² = 0,8 дм² меньше 8 дм²
236 см² = 236*0,01 дм² = 2,36 дм² больше 2 дм²
40 дм² = 40*100 см² = 4000 см² равно 4000 см²
754 дм² = 754*100 см² = 75400 см² больше 7540 см²
15000 см² = 15000*0,01 дм² = 150 дм² больше 15 дм²
25600 см² = 25600*0,01 дм² = 256 дм² равно 256 дм²


Как выглядят знаки  больше и меньше можно посмотреть на отдельной странице. Со знаком равно всё гораздо проще - две палочки "Твикс".