среда, 1 февраля 2012 г.

Арккосинус синуса

Тут меня попросили решить примерчик - найти арккосинус синуса:

7/пи*arccos(sin(-пи/7)) - надо посчитать без калькулятора и таблицы))

Честно скажу, чувствую себя обезьяной, которую вытащили на арену цирка и просят продемонстрировать трюк. Но я умная обезьяна - сразу делать ничего не буду. И вам не советую. Усаживаемся поудобнее на арене, смотрим в пример и с умным видом начинаем разводить философию.

В жизни вам такое вряд ли встретится. Значит это дело рук человеческих. Очень похоже на хорошо закрученную интригу при дворе царя людоедов. Об этом свидетельствует дубинка знака минус, скромненько завернутая в круглые скобки. Если эту дубинку где-то случайно уронить, через неё можно споткнуться. В этом случае учитель вас точно съест, притом живьем и без соли. Анализируем дальше.

Арккосинус - это угол по числу. То есть, мы берем число и при помощи арккосинуса получаем из него угол. Синус - это число по углу. Вот если бы у нас был косинус, тогда бы он очень чудненько взаимоуничтожился с арккосинусом. Физики подобный процесс называют аннигиляцией, он сопровождается выделением энергии. Поскольку у нас математика, аннигиляция арккосинуса и косинуса происходит без выделения умственной энергии - просто берем эти буковки и выбрасываем их в мусор. Остается голый угол в своем первозданном виде.

Теперь наша задача состоит в том, что бы превратить синус в косинус. Попытки отыскать необходимое снадобье у местных знахарей математики на страницах русскоязычной Википедии закончились неудачей. Пришлось обращаться к знаниям знахарей заморских. У меня складывается такое впечатление, что они гораздо ближе к пониманию смысла тригонометрии, чем наши доморощенные "мудрецы". Вот заморские рецепты.

Преобразование тригонометрических функций. Формулы преобразования синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов

Первая строчка этой таблицы - это именно то, что нам нужно.

Проведенные мною археологические раскопки показали, что в более древних манускриптах знахарей от математики функция арккосинус считалась бесконечнозначной в связи с периодичностью тригонометрических функций. В более поздних творениях подобное утверждение отсутствует. То ли писцы при переписывании рукописей этот факт пропустили, то ли знахари поумнели... Но рекомендую вам уточнить это обстоятельство в тех учебниках, по которым учат вас. Я же буду считать, что арккосинус имеет только одно значение. Баба с воза...

Ну и последняя философская мысль при созерцании примера. Глядя на числители и знаменатели углов, которые подозрительно похожи по значению и помня о том, что этот пример придумали люди, я подозреваю, что у нас что-то с чем-то должно сократиться. Всё, философские размышления закончены, можно приступать к исполнению трюка:

(7/пи)*arccos(sin(-пи/7)) = (7/пи)*arccos(cos[(пи/2)-(-пи/7)]) = (7/пи)*arccos(cos[(пи/2)+пи/7]) = (7/пи)*[(пи/2)+пи/7] = (7/пи)*[(7пи+2пи)/14] = 7*9пи/(пи*14) = 9/2 = 4,5

Судя по ответу, это как раз подходит под условие "посчитать без калькулятора и таблицы" арккосинус синуса.

3 комментария:

  1. Анонимный20 мая 2012 г., 16:25

    эти формулы - частный случай формул привЕдения. в конце ошибка:
    не 7*9пи/пи*14,
    а 7*9пи/(пи*14).
    судя по вашему решению, в результате у вас должно получиться 7*9*14 :-) так бы вам посчитал калькулятор

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Спасибо. Согласен. Моя ошибка - это те грабли, на которые будут наступать последующие поколения учеников, а философы с умным видом наблюдают за подобными процессами и рассуждают о цикличности в развитии истории:) Сейчас исправлю, чтоб опровергнуть законы философии:)

      Удалить
    2. И ещё. С частным случаем я не согласен. Это основа формул приведения, всё остальное - их интерпретация. Лично я так считаю.

      Удалить