суббота, 1 февраля 2014 г.

Решение системы уравнений

Сегодня мы будем решать систему двух уравнений с двумя неизвестными. Выглядит эта система вот так:

x - y = -2
xy - y = 10 



Благодаря усилиям многих поколений математиков это увлекательное занятие превратилось в очень нудную процедуру. С таким же успехом и теми же методами церковно-приходские дьячки вдалбливали "Слово Божье". Меня же здесь заинтересовал один момент - насколько правильная та математика, которую нам проповедуют в школе? Ответ я ещё не знаю и пишу эту статью в режиме реального времени. В настоящей математике результат не может зависеть от способа решения. Посмотрим, что получится у нас.

И так, решение системы уравнений мы будем производить способом подстановки. Самый популярный способ в истории человечества. Когда правители направляют свои войска на врагов - это и есть способ подстановки. Сами правители под стрелы и пули не лезут,они подставляют других. Поиск козла отпущения - это ещё одна разновидность способа подстановки, когда ищут того, кто ответит за чужие грехи. Но вернемся к решению нашей системы уравнений.

Говорят, что все изобретения сделаны лентяями ради облегчения собственной жизни. Способы решения, которым нас учат математики - из той же оперы. Давайте проанализируем наши уравнения и попытаемся сделать некоторые выводы. В первом уравнении у нас есть икс без всяких прибамбасов и игрек с прибамбасом в виде знака минус перед ним. Во втором уравнении икс умножается на игрек и присутствует игрек со знаком минус.

Для решения системы уравнений методом подстановки нужно одну неизвестную выразить через другую. Что через что выражать? Для получения результата это не имеет никакого значения. А вот для количества потраченных усилий в ходе решения разница есть. Произведение икса на игрек во втором уравнении сразу должно вас насторожить. Почему? Здесь неизбежно возникнут дроби. А возиться с дробями - удовольствие ниже среднего. Вот смотрите чему будет равен икс:

xy - y = 10

ху = 10 + у

х = (10 + у)/у



Теперь посмотрим, чему получится равным игрек:

xy - y = 10

у(х - 1) = 10

у = 10/(х - 1)



Такое только в страшном  сне может присниться. А ведь эти дроби ещё нужно вставить в первое уравнение и найти значение неизвестной. Мрак.

Смотрим на первое уравнение. Здесь картина гораздо приятнее. Смотрим, как будет выглядеть икс:

x - y = -2 

х = у - 2



Даже у игрека прибамбас в виде знака минус исчезает при телепортации его в другую часть уравнения, за знак равенства. Теперь найдем игрек:

x - y = -2

-у = -х - 2

у = х + 2



Полученные из первого уравнения выражения для икса и игрека выглядят очень гламурненько и не идут ни в какое сравнение с дробями, полученными из второго уравнения.  Мудрый вывод может быть только один - нужно из первого уравнения найти выражение для любой неизвестной и подставить его во второе уравнение.

Какое неизвестное лучше подставлять во второе уравнение? Здесь нужно пользоваться правилом лентяя - чем меньше раз будем подставлять, тем лучше. Во втором уравнении икс представлен в единственном экземпляре и подставлять придется только один раз. А вот игреков у нас аж два. Следовательно, подставлять придется тоже аж два раза.

Вот мы и получили принцип решения заданной нам системы уравнений методом подстановки: из первого уравнения находим икс и подставляем значение икса во второе уравнение. Смотрим, что у нас получилось:

xy - y = 10

(у - 2)*у - у = 10

у² - 2у - у = 10

у² - 3у = 10

у² - 3у - 10 = 0



Как видите, у нас получилось квадратное уравнение. С детства не люблю квадратные уравнения, а слово "дискриминант" на меня вселенскую тоску находит. К счастью, времена церковно-приходских решений миновали и у нас появилась замечательная возможность воспользоваться специальной программой для решения квадратных уравнений. Вводим в ячейки значения наших коэффициентов 1; -3; -10 и получаем два значения игрека:

у = 5

у = -2



Подставляем эти значения в первое уравнение и получаем значения иксов:

х = у - 2 = 5 - 2 = 3


х = у - 2 = -2 - 2 = -4


В результате решения системы уравнений с двумя неизвестными ми получили две пары значений икса и игрека:

х = 3; у = 5

х = -4; у = -2


Прежде, чем делать глубоко научные выводы, нужно выполнить проверку. Подставляем каждую неразлучную пару в наши уравнения и смотрим результат. Первая пара пошла на проверку:

х - у = 3 - 5 = -2

ху - у = 3*5 - 5 = 15 - 5 = 10


За ней отправляем другую пару:

х - у = -4 -(2) = -4 + 2 = -2

ху - у = (-4)*(-2) -(-2) = 8 + 2 = 10


Всё чудненько сходится, значит систему уравнений мы решили правильно. Вот теперь и наступил момент познания истины - сейчас мы изменим ход решения системы уравнений.  Из первого уравнения найдем игрек и подставим значение игрека во второе уравнение. Вот как это выглядит:

у = х + 2

ху - у = 10

х(х + 2) - (х + 2) = 10

х² + 2х - х - 2 = 10

х² + х - 12 = 0


 У нас получилось квадратное уравнение с другими коэффициентами: 1; 1; -12. Вставляем их в дырочки и получаем два значения иксов:

х = 3

х = -4


Теперь находим два значения игреков:

у = х + 2 = 3 + 2 = 5

у = х + 2 = -4 + 2 = -2


Как видим, другой ход решения дает точно такой же результат. Вывод может быть только один - математики научились правильно решать системы уравнений. Чему и нас учат. А вот зачем нам это нужно - это уже совсем другой вопрос. Ответ "Все так учились" в современном мире уже не катит, нужны аргументы боле весомые. Разумные существа всегда понимают, что именно и для чего они делают. Дрессированные животные просто повторяют то, чему их научили.

Комментариев нет:

Отправить комментарий