вторник, 18 октября 2011 г.

Степени числа два

Степени числа два. Последовательные степени числа два от 0 до 29. Математика для блондинок.
Последовательные степени числа два
Последовательные степени числа два от 0 до 29 представлены на таблице выше. Начинается таблица степеней числа 2 с показателя степени ноль. Любое число в нулевой степени равняется единице. Поэтому два в степени 0 равняется 1. Любое число в первой степени равняется самому себе. Поэтому 2 в степени 1 равно 2.

Если кому-то мало этой таблицы, тогда можете посмотреть другую, где степени числа 2 представлены до 49-й степени. 

Степени числа два. 2 в степени от 0 до 49-й. 2 в нулевой степени. Математика для блондинок.
Степени числа 2 от 0 до 49
Степени числа два. 2 в степени от 50 до 69. Математика для блондинок.
Степени числа два. Два в степени от 70 до 89. Математика для блондинок.
Степени числа два. 2 в степени от 90 до 100. 2 в степени пи. 2 в степени е. Математика для блондинок.
Степени числа два от 50 до 100
Надеюсь, эти таблицы степеней числа 2 от 0 до 100 программистам понравятся. Математики любят совать всякую гадость куда попало. Как достойный ученик я не удержался, чтобы не всунуть в таблицу 2 в степени "пи" и 2 в степени "е". Авось, кому-нибудь из вундеркиндов это пригодится. А теперь маленький кусочек теории.

Два во второй степени означает, что число два нужно умножить само на себя. Поэтому 2 в степени 2 или 2 в квадрате равняется четырем.

2 х 2 = 4

Вообще, показатель степени показывает, сколько одинаковых чисел перемножается между собой. Так, два в третьей степени или 2 в кубе означает, что три числа 2 перемножаются между собой и это равняется восьми:

2 х 2 х 2 = 8

Два в четвертой степени будет произведением четырех двоек:

2 х 2 х 2 х 2 = 16

Эта таблица последовательных степеней числа два очень часто применяется в программировании, поскольку там используется двоичная система система счисления.

В заключение нужно ответить на вопрос вселенского масштаба: а 2 в бла-бла-бла степени на какую цифру заканчивается?

Два в любой степени заканчивается на одну из четырех цифр: 2, 4, 8, 6. Именно в такой последовательности они чередуются. (Евангелие от Меня: под выражением "любая степень" нужно понимать любое положительное целое число за исключением нуля. Аминь.) Искать формулы в Интернете мне откровенно лень. Беру карандаш и бумагу, рисую формулы - не правильно. Вторая попытка - то, что нужно. Несколько проверок - готово. Перед вами четыре формулы. Та формула, в которой при делении получается целое число, показывает, на какую цифру оканчивается два, возведенное в указанную степень.

Степени числа два. Формулы для определения последней цифры. 2 в степени n на какую цифру заканчивается. Математика для блондинок.
Формулы для определения последней цифры

На картинке приведены два примера использования формул. В первом случае 2 в степени 123456789 заканчивается на цифру 2. Во втором случае 2 в степени 11111 заканчивается на цифру 8.

Несколько ответов на вопросы в комментариях.

2 в 999 степени заканчивается на 88.

2 в 2000 и 2 в 2012 степенях заканчиваются на 6 (оба показателя степени без остатка делятся на 4).

60 комментариев:

  1. Ответственно заявляю как программист - у меня эта таблица висит на рабочем месте в распечатанном виде.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. почему это так важно для программистов???

      Удалить
    2. Наверное потому, что компьютеры основаны на двоичной системе счисления.

      Удалить
  2. Да уж, для программистов это как икона)))

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. ахаха как смешно, прям петросян!

      Удалить
  3. А 2 в 1000 степени на какую цифру заканчивается?

    ОтветитьУдалить
  4. Точнее 6:
    10715086071862673209484250490600018105614048117055336074437503883703510511249361224931983788156958581275946729175531468251871452856923140435984577574698574803934567774824230985421074605062371141877954182153046474983581941267398767559165543946077062914571196477686542167660429831652624386837205668069376

    ОтветитьУдалить
  5. Можно пойти по другому пути. Использовать периодичность последнего числа в результатах возведения в степень. Все степени числа два заканчиваются на числа 2, 4, 8, 6 с чередованием именно в такой последовательности. Степени с нулем на конце заканчиваются либо на 4, либо на 6. Если из показателя степени выбросить последний нуль, то тогда нечетные числа оканчиваются на 4, четные на 6. Наш показатель степени 1000 дает четное число 100, значит 2 в 1000 степени заканчивается на 6.

    ОтветитьУдалить
  6. 2.48 в -1 степени

    ОтветитьУдалить
  7. Ответы
    1. подскажите • число 16^16 - 14^14 делится на 10Почему???
      с 6 понятно . 6*6=36
      6*6*6=...6
      6*6*6*...*6=.....6
      любая степень 16 будеет оканчиваться на 6 а как быть с 14??????

      Удалить
  8. 2,71 в степени 1,32

    ОтветитьУдалить
  9. 2 в степени 999

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. требуется найти последние два числа

      Удалить
    2. Судя по таблице и огромному числу в комментариях, две последние цифры равны 88.

      Судя по таблице, все степени двойки с четным количеством десятков и девяткой на конце заканчиваются на 12, с нечетным количеством десятков и девяткой на конце заканчиваются на 88. Таким образом число в степени *99 будет заканчиваться на 88.

      Удалить
  10. а 2 в 2012 степени на 6 оканчивается????

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. 2000 - 6
      2001 - 2
      2002 - 4
      2003 - 8
      2004 - 6
      2005 - 2
      2006 - 4
      2007 - 8
      2008 - 6
      2009 - 2
      2010 - 4
      2011 - 8
      2012 - 6
      2013 - 2
      2014 - 4
      2015 - 8
      2016 - 6
      2017 - 2
      2018 - 4
      2019 - 8
      2020 - 6

      Надеюсь, в 2021 году этот маразм закончится. Хотя... Пару-тройку тысяч лет эти задачи в учебниках продержатся.

      А 2 в 2012 степени действительно заканчивается на 6.

      Удалить
    2. спасибо, очень помогли!!!

      Удалить
    3. 8 в 2003 степени на какое число оканчивается?

      Удалить
  11. Анонимный18 июня 2013 г., 8:40

    да вы что сайт для блондинок ,а блондинки по вашему тупые?так вот нет-это вы тупые идиоты

    ОтветитьУдалить
  12. помогите две последние цифры числа 2 в 2004 степени ,как я понял последняя 6 ,а предпоследняя

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Тот, кто эту задачу придумал, явно не на счетных палочках считал... Берем таблицу и смотрим. Периодичность двух последних цифр равна 20 строк таблицы. На 76 заканчиваются 2 в 20-й, 40-й, 60-й и т.д. степенях. Следовательно, 2 в 2000 степени закончится на эти же цифры. Пользуясь периодичностью двух последних цифр, записываем

      2000 - 76
      2001 - 52
      2002 - 04
      2003 - 08
      2004 - 16

      Удалить
  13. Здравствуйте! А как узнать сколько цифр получиться при перемножении двух тысяч двенадцати двоек (или любого иного их количества). Есть какая-нибудь формула? Сынишка к олимпиаде готовиться, застряли на задаче.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Не знаю. Судя по таблице, один знак в числе прибавляется со строгой периодичностью - 3 степени, 3 степени, 4 степени. Вывести общую формулу у меня что-то не получается. Можно попробовать подобрать коэффициент с округлением результата вверх или вниз.

      Я пробовал делить показатель степени на 3,258; 3,285; 3,3 с округлением результата вверх до целого числа, которое должно показывать количество цифр в числе, но результат иногда не совпадает при проверке по таблице. Особенно в местах прибавления очередной цифры.

      Возможно, есть и другая логика в решении этой задачи - математики очень хитрые бестии)))

      Удалить
    2. Спасибо большое за ответ! Но задача из книги (только не смейтесь) "Дидактические материалы по математике к учебнику Н.Я.Виленкина 6 класс" автор М.А.Попов. Школа лингвистическая, не физ.-мат. Дословно задача сформулирована так: Докажите, что при перемножении двух тысяч двенадцати двоек получается число не более, чем из 700 цифр. Исходя из того, что задача для детей, может как-то совсем просто попробовать, вот только как?

      Удалить
    3. Опираясь на Ваши расчеты , рассуждаем так: на каждые 10 степеней добавляется 3 цифры, тогда 2012 делим на 3 и получаем 670,666.. Число меньше чем 700 цифр. Вот только как быть с ..., 258 по два раза и ..,3 Кто поручится , что к 2012 степени они не добавят к 670 еще 30 знаков? Что-то меня сомнит...

      Удалить
    4. Только что вывел формулу

      1+(n*3/10)

      с отбрасыванием дробной части числа. n - показатель степени двойки.

      Проверял для степеней от 40 до 50 включительно - работает. Но ведь я для математиков не авторитет))) А сам ребенок такую формулу вывести не может.

      Методами математических доказательств я не владею, к частью или к сожалению))) Если предположить, что 10 степеней двойки добавляют к числу 3 цифры, то погрешность такого расчета будет не больше плюс-минус одна цифра для любого показателя степени.

      В принципе, рассуждения анонимного комментатора правильны. Думаю, что погрешность расчетов слишком преувеличена.

      Число из 700 цифр нам даст перемножение 700*10/3=2333,3 двоек, что значительно больше 2012.

      Попробую ещё подумать. Ведь логика таких, как М.А.Попов, не предсказуема)))

      Удалить
    5. Есть мысль, попробую сформулировать. Пусть n - это количество двоек, добавляющее одну цифру к числу. Нам нужно доказать, что 700*n>2012

      2*2=4 перемножение двух двоек дает одну цифру в числе.

      2*2*2=8 перемножение трех троек НЕ ДОБАВЛЯЕТ одну цифру

      2*2*2*2=16 одна цифра к числу прибавляется только при n>3

      Наше неравенство 700*n>2012 выполняется даже при n=3

      700*3>2012
      2100>2012

      При всех n>3 неравенство так же будет выполняться.

      Следовательно, перемножение 2012 двоек не может дать число, содержащее больше 700 цифр.

      Приблизительно так.

      Удалить
  14. Математики рядом с Вами отдыхают. Уж Вы мне поверьте, я весь интернет перевернула. Вам нужно бы профессию поменять, нельзя зарывать талант! Спасибо большое! Формулу сейчас запишу в специальную тетрадочку, а то нам учиться еще 5 лет, а как показывает практика, чем дальше, тем страшнее.
    К вопросу о логике автора нашей книжки:
    Мальчики заговорили о Сережиных марках:
    -У него их не меньше 1000, - сказал Петя.
    -Ты не прав, у него их меньше, возразил Андрей.
    -Но одна-то у него наверняка есть, -добавил Антон.
    Известно, что из этих утверждений только одно верное. Сколько марок у Сергея?
    Открываю ответы к задачам. Ответ..."НИ ОДНОЙ"!

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Профессию менять поздно - никто не потерпит в в своем тихом болоте сильного конкурента и возмутителя спокойствия))) Что касается логики. Мое мнение такое - там, где начинается человеческая логика, там заканчивается математика. Логика - это оружие из арсенала проповедников и философов, разницы между которыми лично я не вижу)))

      Удалить
    2. В ответе на данную задачу, собственно, и заключается идиотизм современной математики. От марок переходим к числам и получаем верное утверждение, что число ноль меньше числа тысяча.

      Чтобы такой идиотской логики избежать, нужно всех математиков принимать на оклад "меньше миллиона", а в ведомости на получение зарплаты тупо ставить ноль. Может тогда математики смогут почувствовать на собственной шкуре разницу между "меньше, чем" и "ничего".

      Удалить
  15. Если мы Вам еще не надоели со своими глупостями, то может , что подскажите блондинке вот по какому поводу: монету бросают 5 раз. Сколько разных последовательностей орлов и решек можно при этом получить?
    Рассуждаем так: может выпасть
    0 орлов(о) и 5 решек (р)
    1 о - 4 р
    2 о -3 р
    3 о -2 р
    4 о - 1 р
    5 о -0 р
    варианты со 2 по 4 могут меняться каждый по 5 комбинаций, 1 и 5 не могут (либо все орлы, либо все решки). Соответственно 4 (варианта) х 5 (комбинаций) = 20+ 2(1 и 5 вариант) и того 22 комбинации. В ответе "32". Откуда взялось?

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Никогда не увлекался теорией вероятностей. Где-то в недрах Евангелие от Вероятности есть формула сочетания элементов, по которой количество возможных сочетаний равно двойке в пятой степени - для нашего случая.

      Тупо берем формулу, тупо подставляем пятерку в показатель степени и получаем результат:

      2*2*2*2*2 = 32

      Удалить
  16. Значит, если, допустим, подбрасывать кубик у которого 6 сторон, и подбрасывать, скажем 4 раза, то тогда 6х6х6х6 = 1 296. И так для любых чисел? А если бросать не один кубик, а 2, то нужно сложить количество сторон (6+6=12) , а потом 12 возвести в четвертую степень?

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Ой, нет. Увольте меня от таких задач. Тупо берем учебник и пытаемся понять, что там хотели написать))))

      Удалить
    2. Хотя, логика рассуждений правильная. Только я не вникал, что пишется в число, а что в показатель степени.

      Удалить
  17. Я взяла учебник... Видимо я очень тупая, потому что даже не смогла перевести на человеческий язык то, что там написано.
    Формула размещения - выборки которые различаются как по составу, так и по расположению элементов.

    A_n^m=n!/(n-m)!

    Формула перестановки - выборки, различающиеся только по расположению элементов.

    P_n=n!

    Формула сочетания - выборки, которые различаются только по составу (из всей совокупности часть, порядок НЕ важен)

    C_n^m=n!/m!(n-m)!

    (И причем тут в каждой формуле восклицательные знаки? Радуются, что умные такие?)

    Вот Вы все понятно про монеты объяснили, а это, видимо , формула размещения.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Восклицательный знак - это факториал. Есть такое понятие в математике, как раз в теории вероятностей они и применяются.

      Я ценю свои мозги и в такие казенно-бюрократические формулировки не вникаю))) Для математиков это самый смак, а вот детей жалко)))

      Кстати, где-то читал. Южный берег, лето пляж. После научной конференции группа физиков, кандидатов и докторов наук, взяла бутылку вина. Бутылка закрыта капроновой пробкой и ножа ни у кого нет. Эту ситуацию быстро оценил мужичок, отдыхавший рядом и пришел на помощь. Он взял зажигалку, подогрел капроновую пробку и открыл бутылку, назидательно сказав:
      - Физику знать надо!
      Поле этих слов ученые-физики долго ржали.

      Удалить
  18. Забавная история! Определенно, произошедшая в нашей стране. Только наши граждане обладают такой находчивостью и только в нашей стране группа кандидатов и докторов может позволить себе купить одну на всех бутылку вина, да еще с капроновой пробкой и распивать ее на пляже.
    Про факториал даже читать не стану - СТРАШНО!
    Примите мою огромную благодарность за помощь и потраченное на нас время. Олимпиада у сына завтра, так что я оставлю Вас в покое на время, до следующего всплеска творческой активности нашего преподавателя математики. Еще раз спасибо!

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Не за что))) Если надо - обращайтесь, возможно смогу чем-то помочь.

      Удалить
    2. Вы правильно рассуждаете. А с 14 поступаем точно также.
      Вторая степень 4*4=16
      Третья степень 6*4=24
      Четвертая степень 4*4=16 и так далее.
      Четные степени числа 14 заканчиваются на число 6, нечетные - на число 4.
      В нашем примере оба числа заканчиваются на шестерки и при вычитании результат будет оканчиваться на ноль. А если число заканчивается на ноль, то оно делится на 10 без остатка.

      Удалить
  19. Помогите решить
    "Визначити дві останні цифри числа 2 в 2004 степені"
    Свыше сказанного я поняла что это 16,но как правильно записать не знаю((

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. К моему счастью и к вашему сожалению, я не преподаватель математики. Правилам правильной записи математических текстов меня не обучали. Наблюдая со стороны, могу только сказать, что тупые бюрократические функции очень любят менять свои тупые бюрократические правила, создавая видимость "работы")))

      Удалить
    2. А сколько будет 2 в 2008 степени?

      Удалить
    3. Понятия не имею. Самый простой способ - берем в руки рулон обоев, карандаш и 2008 раз умножаем. Сперва двойку на два, потом результат на два и так далее. Думаю, ни один калькулятор на такое количество цифр не рассчитан. Ведь калькуляторы делают для использования разумными людьми, а математикой пользуется кто попало)))

      Удалить
  20. Первое
    000
    001
    010
    011
    100
    101
    110
    111
    Второе
    000
    001
    101
    111
    011
    010
    110
    100

    В чём разница?

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Суть вопроса можно уточнить? Из какого класса школы или курса института задача? Какую тему изучаете и что именно от вас хотят узнать инквизиторы от математики?

      Удалить
    2. И там и там 8. а 8 это 2 умножить на 2 умножить на 2

      Удалить
    3. В двоичной системе счисления 8 это 1000.

      Удалить
    4. задание продолжить ряд: 4,12,22,40,74,140,270,528,?

      Удалить
    5. Не знаю. Вот для таких задач и существуют математики)))

      Удалить
    6. Во второй последовательности использован код Грея

      Удалить
  21. А можно определить в какую степень возведено число, если известно произведение?

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Нет. Нужно знать ещё что-то. Если известно число, которое возводилось в степень, то тогда по результату можно определить степень. Для этого придумали логарифмы.

      Удалить
  22. Анонимный9 июля 2016 г., 17:58

    продолжить ряд 2,10,76,648,6030,...

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. С детства ненавижу ребусы, что грамматические, что математические. Я тупой, поэтому от меня помощи не будет.

      Удалить