среда, 1 февраля 2012 г.

Синус двух арксинусов

Ещё один пример на жонглирование тригонометрическими формулами. На этот раз попался синус двух арксинусов. При выполнении разных трюков на арене математического цирка нужно помнить, что ваши дрессировщики не заставят вас выполнять те трюки, которых вы не знаете. Нужно применять всё то, чему вас уже научили, начиная с первых классов. Вот пример.

Синус двух арксинусов. Пример решения синус и арксинус. Математика для блондинок.
Синус арксинуса находится очень быстро - отбрасываем буковки и задача решена. В результате должно остаться просто число или математическое выражение, которое превращается в число. Но в данном случае между синусом и арксинусом стоит число, которое не дает нам тупо выбросить названия функций. В тригонометрии есть формулы двойного угла, вот эту формулу для синуса мы и применим.

Как видим, в результате двойка вылезла из синуса и умостилась впереди нашего выражения. Но в математике не бывает всё так просто. Противная двойка вместо себя оставила нам на память сразу две тригонометрические функции - синус и косинус. С синусом теперь никаких проблем нет - он благополучно уничтожается арксинусом. А вот с косинусом проблемы - внутри него появился всё тот же арксинус. Разные названия тригонометрических функций с арком и без говорят о том, что так просто от них не удастся избавиться.

Есть в математике формулы, которые позволяют перегнать математических зверей из клеток с одними названиями в клетки с другими названиями. Вот такой вот математический зоопарк. И нам в принципе не важно, кого куда загонять - косинус в синус или арксинус в арккосинус. Если мы выполним одну из этих операций, мы получим необходимый результат - оба зверя окажутся в одной клетке. Если мы выполним сразу две эти операции, мы снова окажемся в дураках: косинус арксинуса поменяется на синус арккосинуса - оба зверя по-прежнему будут в разных клетках, только других.

Вам эта ситуация ничего не напоминает? Плюс на минус дает минус, минус на минус дает плюс. Мне кажется, очень похоже. И в том и в другом случае главным является результат. Если мы что-то делаем один раз (умножаем на минус или применяем одну из формул), то результат меняется. Если мы что-то делаем два раза (дважды умножаем на минус или применяем сразу две формулы), то результат не меняется. В случае со знаком числа он так и остается неизменным, в случае с названиями тригонометрических функций - они меняются местами. Это уже фокусы математической симметрии. Как видите, математика - это не просто тупое жонглирование числами или формулами, это ещё и математические принципы решения различных математических задач. Если мы сделаем то или это - получим нужный результат. Если мы сделаем и то, и это - ничё не получим, или получим совсем не то, что нам надо. В математике всё очень просто: два раза соври - получится правда. Это касается любых решений любых задач. Один раз вы врёте, когда допускаете ошибку в ходе решения задачи, второй раз вы врёте, когда подгоняете это решение под заранее известный результат. Лично мне кажется, что почти вся современная математика держится именно на этом принципе. Но это так, лирическое отступление.

Косинус мы трогать не будем, пусть отдыхает. Преобразуем арксинус в арккосинус. Для преобразования арксинуса в любую другую арканутую тригонометрическую функцию есть специальные формулы. В нашем примере число больше нуля но меньше единицы. Используем первую формулу для арксинуса.

Формулы преобразования арксинуса. Синус в арккосинус, арктангенс, арккотангенс. Математика для блондинок.
Кстати, при подготовке решения этой задачи я допустил грубую ошибку и использовал формулу преобразования арккосинуса в арксинус, для чего даже предварительно опубликовал формулы преобразования арккосинусов. Но ни переделывать решение задачи, ни врать второй раз мне не пришлось. От неминуемой смерти меня спасла симметрия тригонометрических функций синус и косинус. Интересно, почему при описании свойств тригонометрических функций математики упорно молчат об этой симметрии? Либо они считают всех дураками, не достойными столь высоких математических знаний, либо сами ничего не понимают в тригонометрии. В математике "знать" и "понимать" - это разные вещи. Говорящие попугаи то же могут знать очень много умных слов, но они ничего не понимают в сказанном.

Таким образом, мы добились того, что наш косинус вместе с арккосинусом бесследно исчезают из нашего уравнения. Дальше мы просто гоняем циферки, выполняя простое математические действия с числами. Как видите, ответ можно получить без всякого калькулятора. Можно просто тупо взять калькулятор и посчитать на калькуляторе без всяких формул. Для проверки полученного результата я так и сделал.

4 комментария:

  1. что такое симметрия тригонометрических функций синусов и косинусов?

    ОтветитьУдалить
  2. почему 24/25 умножается на 1?

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Я так делаю для наглядного перевода обычной дроби в десятичную. Можно просто разделить 24 на 25 и получить десятичную дробь. Можно ничего не делать и оставить обычную дробь. Кому как нравится. Обычно результат подгоняют под ответ в решебнике.

      Удалить