четверг, 23 декабря 2010 г.

Преобразование тригонометрических функций - правило прямого угла.

Преобразование тригонометрических функций - правило прямого угла не ищите в учебниках. Такого математического правила нет ни в одном учебнике математики. Это придумал я в результате нудного ковыряния в формулах приведения тригонометрических функций. Оказывается, если отбросить знаки тригонометрических функций, всё становится простым и понятным. На уроках математики всего того, что вы прочтете ниже, я не советую рассказывать - преподаватели математики могут обидеться, что вы знаете больше них. А вот для проверки правильности своих решений правило прямого угла вам очень даже пригодится.

Первым делом разделим все тригонометрические функции на три пары перпендикулярно симметричных функций: синус и косинус, тангенс и котангенс, секанс и косеканс. Понятие перпендикулярной симметрии тригонометрических функций в математике отсутствует, хотя именно на её свойствах основано действие правила прямого угла и формул приведения тригонометрических функций. О перпендикулярной симметрии мы поговорим в другой раз. А пока принимайте на веру мои слова, ведь вся математика построена исключительно на вере в правильность принятых определений)))

Вот теперь можно сформулировать правило прямого угла:

если к величине угла альфа любой тригонометрической функции прибавить прямой угол, название тригонометрической функции изменится на перпендикулярно симметричное при условии сохранения угла альфа в качестве аргумента тригонометрический функции. Изменение знаков полученных тригонометрических функций необходимо рассматривать дополнительно.

Получилось очень заумно и не понятно (на всякий случай писал специально для математиков). Не надо пугаться, учить дословно этот бред не нужно, главное - понять принцип действия. Давайте посмотрим, как это правило выглядит на картинке.

Преобразование тригонометрических функций правило прямого угла. Тригонометрия для блондинок. Новое в математике. Математика для блондинок. Новая математика. Формулы приведения тригонометрических функций.

На рисунке вы видите три совершенно одинаковых крестика со стрелочками. Стрелочки указывают на названия тригонометрических функций. Сгруппированы тригонометрические функции по признаку перпендикулярной симметрии.

Как это работает? Выбираете нужную вам тригонометрическую функцию и движетесь по часовой или против часовой стрелки вокруг центра крестика на нужное вам количество прямых углов. В конце движения стрелочка показывает, какое название тригонометрической функции получится в результате. При каждом добавлении или вычитании прямого угла название тригонометрической функции меняется. Формулы приведения дают нам конечный результат, правило прямого угла позволяет проследить процесс получения этого результата. Например:

|sin (α + 90°)| = |cos α|


Новое в математике. Преобразование тригонометрических функций правило прямого угла. Новая математика. Тригонометрия для блондинок. Математика для блондинок. Пример приведения sin, cos синус, косинус. Формулы приведения тригонометрических функций.
|tg (α + 180°)| = |ctg (α + 90°)| = |tg α|


Новое в математике. Тригонометрия для блондинок. Преобразование тригонометрических функций правило прямого угла для тангенсов. Математика для блондинок. Новая математика. Пример приведения tg, ctg, cot, тангенс, котангенс. Формулы приведения тригонометрических функций.
|cosec (α + 270°)| = |sec (α + 180°)| = |cosec (α + 90°)| = |sec α|


Математика для блондинок. Новое в математике.  Преобразование тригонометрических функций правило прямого угла для тангенсов.  Новая математика. Пример приведения sec, cosec, scs, csc, секанс, косеканс. Тригонометрия для блондинок. Формулы приведения тригонометрических функций.
Вертикальные черточки означают модуль тригонометрический функции, то есть без учета изменений знаков. Данный принцип действует как для сложения, так и для вычитания прямых углов. Каждый раз, прибавляя или отнимая прямой угол, нужно менять название функции.

Как видно из приведенных выше рисунков, результат преобразования не зависит от того, в каком месте вы возьмете тригонометрическую функцию (слева или справа, сверху или снизу) и в каком направлении вы будете отсчитывать прямые углы (по часовой стрелке или против часовой стрелки). Вот это и есть настоящая математика - результат не зависит от порядка выполняемых нами действий.

Общий принцип следующий: если количество прибавляемых или вычитаемых прямых углов нечетно - название тригонометрической функции меняется, если количество прямых углов четно (то есть делится на два) - название функции не меняется.

Принцип изменения названия тригонометрических функций очень похож на правило умножения положительных и отрицательных чисел. Помните? Минус на минус дает плюс, плюс на минус дает минус. Только у нас один прямой угол меняет название функции, два прямых угла не меняют название. Как этим пользоваться на практике, рассмотрим на примерах в следующий раз.

Как определять знаки полученных тригонометрических функций? Включайте свою сообразительность, берите тригонометрический круг - и вперед. Я подумаю, можно ли здесь ввести какой-то общий принцип, но результата не гарантирую. Секрет знаков тригонометрических функций заключается в том, что настоящие тригонометрические функции знаков не имеют - их придумали математики. Мы с вами тоже можем ввести в математику цвет, вкус, запах, политическую или религиозную принадлежность тригонометрических функций. Что скажет по этому поводу математика? Вы сами это придумали, сами с этим и разбирайтесь - чем бы дитя не тешилось, лишь бы не плакало.

Если у вас есть вопросы по применению правила прямого угла, пишите в комментариях.

Вы ищете:
Не понимаю формулы приведения - прочтите эту страничку, возможно кое-что прояснится.

19 комментариев:

  1. бред, хотя и научный :)
    в школе дается два правила и все...

    ОтветитьУдалить
  2. Благодарю за столь высокую оценку моего скромного труда. Но это всего лишь баловство на тему преобразования тригонометрических функций, так сказать, замечание мимоходом. Настоящий научный бред получается тогда, когда берешь математический справочник, выбрасываешь из него весь маразм - в сухом остатке получается чистейшая математика. Выглядит действительно как бред, но зато какой красивый!!! :)))

    ОтветитьУдалить
  3. А скажите пожалуйста как удобно вычислить тангенс и котангенс.... только методом подбора ??)))Есть ли таблица со значениями?:)Заранее спасибо )

    ОтветитьУдалить
  4. Я такого метода не знаю. Хотя, он вполне может быть. Лично меня интересует смысл тригонометрических функций, а не циферки, которым они равны. Таблицу тангенсов и таблицу котангенсов от 1 до 360 градусов я опубликовал, по ссылочкам вы их найдете.

    ОтветитьУдалить
  5. А по-моему вы гений! За 11 лет проведенных в гуманитарном классе, перед сдачей ЕГЭ я стала пониматьтригонометрию).
    Спасибо!
    Блондинка Саша.

    ОтветитьУдалить
  6. Спасибо за столь высокую оценку моего скромного труда)))

    ОтветитьУдалить
  7. Анонимный22 июня 2011 г., 16:54

    заумно объяснять умеет всякий, а понятно - только талант!

    ОтветитьУдалить
  8. Интересно, это комплимент или угроза?

    ОтветитьУдалить
  9. Спасибо вам за объяснение, а то в этой мути путаюсь, а учитель не может всему классу прояснить.

    ОтветитьУдалить
  10. а скажите,как как найти синус 42 градусов?

    ОтветитьУдалить
  11. Можно воспользоваться таблицей Брадиса для синусов и косинусов. Смотреть нужно в первом столбце, значение равно 0,6691

    ОтветитьУдалить
  12. Да... "Открытие"... А тут почитать:
    //ru.wikipedia.org/wiki/Единичная_окружность

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Любой учебник состоит из подобных "открытий". Так что, запретим публикацию новых учебников и будем пользоваться церковно-приходскими??? Очень "мудрое" решение.

      Удалить
    2. Кстати, подобный опыт у нас уже имеется. Тора, Библия, Коран... Далеко мы ушли на подобных "учебниках"???

      Удалить
  13. Спасибо, Николай. Мне всегда были более понятны сухие формулы, но спустя окончания школы прошло 5 лет, и ваша инфографика наилучшим образом освежает память.

    ОтветитьУдалить
  14. Анонимный6 июня 2013 г., 20:37

    А что такое преобразовательная функция математики ??????????

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Понятия не имею. Под любой набор слов можно подсунуть какой угодно смысл, по этому делать логические заключения глупо. Ответ может зависеть и от того, кто и в каком именно месте задает этот вопрос - математик, философ, проповедник...

      Удалить
  15. Замечательные объяснения!Спасибо вам за ваш труд.

    ОтветитьУдалить